Complement (set theory)

If

A

is the area colored red in this image...

... then the complement of

A

is everything else.

집합 이론(set theory)에서, 집합(set) $A$ 의 여집합은 $A$ 안에 있지 않은 원소(elements)를 참조합니다.

고려-사항 아래에서 모든 집합은 주어진 집합 $U$ 의 부분-집합(subset)으로 여길 수 있을 때, $A$ 의 절대적인 여집합(absolute complement)은 $U$ 안에 있지만 $A$ 안에 있지 않는 원소의 집합입니다.

집합 $B$ 에 관한 $A$ 의 상대적인 여집합(relative complement)은 $B$ 안에 있지만 $A$ 안에 있지 않는 원소의 집합이며, $B \ A$ 로 쓰이고 $B$ 와 $A$ 의 집합 차이(set difference)로 역시 이름-짓습니다.

Absolute complement

Definition

만약 $A$ 가 집합이면, $A$ 의 절대 여집합 (또는 간단히 $A$ 의 여집합)은 암시적으로 정의된 더 큰 집합 이내에서 $A$ 에 있지 않은 원소의 집합입니다. 다시 말해서, $U$ 를 연구 아래에서 모든 원소를 포함하는 집합이라고 놓습니다. 만약 그것이 이전에 지정되었거나 명확하고 고유하기 때문에 $U$ 를 언급할 필요가 없으면, $A$ 의 절대 여집합은 $U$ 에서 $A$ 의 상대 여집합입니다:^[1]

A^{c}=U\setminus A

.

공식적으로:

A^{c}=\{x\in U\mid x\notin A\}.

$A$ 의 절대 여집합은 보통 $A^{c}$ 로 표시됩니다. 다른 표기법은 ${\overline {A}}$ , $A'$ , $\complement _{U}A$ , 및 $\complement A$ 을 포함합니다.^[2]

Examples

전체 집합이 정수(integer)의 집합이라고 가정합니다. 만약 $A$ 가 홀수의 집합이면, $A$ 의 여집합은 짝수의 집합입니다. 만약 $B$ 가 3의 배수(multiples0의 집합이면, $B$ 의 여집합은 1 또는 2 모듈로 3에 일치(congruent)하는 숫자의 집합 (또는, 더 간단한 용어에서, 3의 배수가 아닌 정수)입니다.
전체 집합이 표준 52-카드 덱(standard 52-card deck)이라고 가정합니다. 만약 집합 $A$ 가 스페이드의 한벌이면 $A$ 의 여집합은 클럽, 다이아몬드 및 하트의 한벌의 합집합(union)입니다. 만약 집합 $B$ 가 클럽과 다이아몬드의 한벌의 합집합이라면, $B$ 의 여집합은 하트와 스페이드의 한벌의 합집합입니다.

Properties

$A$ 와 $B$ 를 전체 집합 $U$ 에서 두 집합으로 놓습니다. 다음 항등식은 절대 여집합의 중요한 속성을 획득합니다:

드 모르간의 법칙(De Morgan's laws):^[3]

$\left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.$
$\left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.$

여집합 법칙:^[3]

$A\cup A^{c}=U.$
$A\cap A^{c}=\varnothing .$
$\varnothing ^{c}=U.$
$U^{c}=\varnothing .$
${\text{If }}A\subseteq B{\text{, then }}B^{c}\subseteq A^{c}.$
(이것은 그것의 대우(contrapositive)를 갖는 조건부와 동등합니다.)

인볼루션(Involution) 또는 이중 여집합 법칙:

$(A^{c})^{c}=A.$

상대적인 및 절대적인 여집합 사이의 관계:

$A\setminus B=A\cap B^{c}.$
$(A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B.$

집합 차이를 갖는 관계:

$A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.$

위의 처음 두 여집합 법칙은 만약 $A$ 가 비-빈, $U$ 의 적절한 부분-집합(proper subset)이면, ${A, A c}$ 은 $U$ 의 분할(partition)임을 보여줍니다.