Kernel (set theory)

집합 이론(set theory)에서 함수(function) f의 커널(kernel) (또는 동치 커널(equivalence kernel)^[1])은 다음 둘로 여길 수 있습니다:

"함수 f가 말할 수 있는 한 동등한"의 아이디어를 대략적으로 표현하는 함수의 도메인(domain)의 동치 관계(equivalence relation),^[2] 또는
도메인의 대응하는 분할(partition).

Definition

형식적 정의에 대해, X와 Y를 집합(sets)으로 놓고, f를 X에서 Y로의 함수로 놓습니다. X의 원소 x₁과 x₂는 만약 f(x₁)과 f(x₂)가 같으면(equal), 즉, Y의 같은 원소이면, 동등한 것입니다. f의 커널은 그때에 정의된 동치 관계입니다.^[2]

Quotients

임의의 동치 관계와 마찬가지로, 커널은 몫 집합을 형성하기 위해 수정될(modded out) 수 있고, 몫 집합은 분할입니다:

\left\{\,\left\{\,w\in X\mid f(x)=f(w)\,\right\}\mid x\in X\,\right\}.

이 몫 집합 $X$ /= $f$ 은 함수 $f$ 의 코이미지(coimage)라고 불리고, $coim f$ (또는 변동)이라고 표시됩니다. 코이미지는 이미지(image), $im f$ 에 (전단사의 집합-이론적 의미에서) 자연스럽게 동형적(naturally isomorphic)입니다; 구체적으로 특별히, $X$ 에서 $x$ (이것은 $coim f$ 의 원소임)의 동치 클래스(equivalence class)는 $Y$ 에서 $f (x)$ (이것은 $im f$ 의 원소임)에 해당합니다.

As a subset of the square

임의의 이항 관계(binary relation)와 마찬가지로, 함수의 커널은 데카르트 곱(Cartesian product) X × X의 부분집합(subset)으로 생각될 수 있습니다. 이 상황에서, 커널은 $ker f$ (또는 변동)으로 표시될 수 있고 다음으로 기호적으로 정의될 수 있습니다:

\operatorname {ker} f:=\{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}

.^[2]

이 부분집합의 속성의 연구는 $f$ 에 대해 밝힐 수 있습니다.

In algebraic structures

만약 X와 Y가 (그룹(group), 링(ring), 또는 벡터 공간(vector space)과 같은) 일부 고정된 유형의 대수적 구조(algebraic structure)이면, 및 만약 X에서 Y로의 함수가 준동형(homomorphism)이면, ker f는 합동 관계(congruence relation) (즉, 대수적 구조와 호환되는 동치 관계(equivalence relation))이고, f의 코이미지는 X의 몫(quotient)입니다.^[2] f의 코이미지와 이미지 사이의 전단사는 대수적 의미에서 동형(isomorphism)입니다; 이것은 첫 번째 동형 정리(first isomorphism theorem)의 가장 일반적인 형식입니다. 역시 커널 (대수)를 참조하십시오.

In topological spaces

만약 X와 Y가 토폴로지적 공간(topological space)이고 f가 그것들 사이의 연속 함수(continuous function)이면, ker f의 토폴로지적 속성은 공간 X와 Y를 밝힐 수 있습니다. 예를 들어, 만약 Y가 하우스도르프 공간(Hausdorff space)이면, ker f는 닫힌 집합(closed set)이어야 합니다. 반대로, 만약 X가 하우스도르프 공간이고 ker f가 닫힌 집합이면, f의 코이미지는, 만약 몫 공간(quotient space) 토폴로지가 주어지면, 역시 하우스도르프 공간이어야 합니다.

References

^ Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra, Chelsea Publishing Company, p. 33, ISBN 0821816462.
^ ^a ^b ^c ^d Bergman, Clifford (2011), Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics, Pure and Applied Mathematics, vol. 301, CRC Press, pp. 14–16, ISBN 9781439851296.

Sources

Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. Vol. 49 (2nd ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.

[mac-lane-birkhoff-1] Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra, Chelsea Publishing Company, p. 33, ISBN 0821816462.

[bergman-2] Bergman, Clifford (2011), Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics, Pure and Applied Mathematics, vol. 301, CRC Press, pp. 14–16, ISBN 9781439851296.

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