Kronecker delta

Original article: w:Kronecker delta

Not to be confused with the Dirac delta function, nor with the Kronecker symbol.

수학(mathematics)에서, 크로네커 델타(Kronecker delta)는, 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)의 이름을 따서 지어졌으며, 두 변수(variables), 보통 단지 비-음의 정수(integer)의 함수(function)입니다. 그 함수는 변수가 같으면 1이고, 그렇지 않으면 0입니다: $$\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$$

또는 아이버슨 괄호(Iverson bracket)의 사용과 함께: $$\delta _{ij}=[i=j]\,$$

여기서 크로네커 델타 δ_ij는 변수 i와 j의 조각별(piecewise) 함수입니다. 예를 들어, δ_1 2 = 0이지만, δ_3 3 = 1입니다.

크로네커 델타는 위의 정의를 간결하게 표현하는 수단으로 수학, 물리학, 및 공학의 많은 영역에서 자연스럽게 나타납니다.

선형 대수(linear algebra)에서, n × n 항등 행렬(identity matrix) I는 크로네커 델타와 같은 엔트리를 가집니다: $$I_{ij}=\delta _{ij}$$

여기서 i와 j는 값 1, 2, ..., n을 취하고, 벡터(vector)의 안의 곱(inner product)이 다음으로 쓸 수 있습니다: $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$$

여기서 유클리드 벡터(Euclidean vectors)는 n-튜플: $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$와 $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})$으로 정의되고 마지막 단계는 크로네커 델타의 값을 j에 걸쳐 합을 줄이기 위해 사용함으로써 얻습니다.

양수 또는 비-음의 정수에 대한 제한은 공통적이지만, 실제로, 크로네커 델타는 임의적인 집합 위에 정의될 수 있습니다.

Properties

다음 방정식이 만족됩니다: $${\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}$$ 그러므로, 행렬 δ은 항등 행렬로 고려될 수 있습니다.

또 다른 유용한 표현은 다음 형식입니다: $$\delta _{nm}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}e^{2\pi i{\frac {k}{N}}(n-m)}$$

이것은 유한 기하 급수(finite geometric series)에 대해 공식을 사용하여 유도될 수 있습니다.

Alternative notation

아이버슨 괄호(Iverson bracket)를 사용하여: $$\delta _{ij}=[i=j].$$

종종, 단일-인수 표기법 δ_i이 사용되며, 이것은 설정 j = 0과 동등합니다: $$\delta _{i}={\begin{cases}0,&{\text{if }}i\neq 0\\1,&{\text{if }}i=0\end{cases}}$$

선형 대수(linear algebra)에서, 그것은 역시 탠서(tensor)로 생각될 수 있고, δⁱ
_j로 쓰입니다. 때때로 크로네커 델타는 대체 텐서라고 불립니다.

Digital signal processing

Unit sample function

디지털 신호 처리(digital signal processing) (DSP)의 연구에서, 단위 표본 함수 $\delta [n]$는 2-차원 크로네커 델타 함수 $\delta _{ij}$의 특별한 경우를 나타내며, 여기서 크로네커 인덱스는 숫자 영을 포함하고, 여기서 인덱스 중 하나는 영입니다. 이 경우에서: $$\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}~~~{\text{where}}-\infty <n<\infty$$

또는 보다 일반적으로 여기서: $$\delta [n-k]\equiv \delta [k-n]\equiv \delta _{nk}\equiv \delta _{kn}{\text{where}}-\infty <n<\infty ,-\infty <k<\infty$$

어쨌든, 이것은 매우 특별한 경우일 뿐입니다. 텐서 미적분학에서, 인덱스 0이 아닌 인덱스 1로 시작하는 특정 차원에서 기저 벡터에 숫자를 매기는 것이 더 공통적입니다. 이 경우에서, 관계 $\delta [n]\equiv \delta _{n0}\equiv \delta _{0n}$는 존재하지 않고, 사실, 크로네커 델타 함수와 단위 표본 함수는 인덱스가 숫자 0을 포함하고 인덱스의 숫자가 2이고, 인덱스 중 하나가 영의 값을 가지는 하나의 특별한 경우에 우연히 겹치는 실제로 다른 함수입니다.

이산 단위 표본 함수와 크로네커 델타 함수는 같은 문자를 사용하지만, 그것들은 다음 방법에서 다릅니다. 이산 단위 표본 함수에 대해 단일 정수 인덱스를 대괄호 안에 배치하는 것이 더 일반적이며, 대조적으로 크로네커 델타는 임의의 인덱스의 숫자를 가질 수 있습니다. 게다가, 이산 단위 표본 함수의 목적은 크로네커 델타 함수와 다릅니다. DSP에서, 이산 단위 표본 함수는 전형적으로 시스템의 출력으로 생성될 시스템의 시스템 함수를 발견하기 위해 이산 시스템에 대한 입력 함수로 사용됩니다. 대조적으로, 크로네커 델타 함수의 전형적인 목적은 아인슈타인 합계 규칙(Einstein summation convention)에서 항을 필터링하는 것입니다.

이산 단위 표본 함수는 다음과 같이 더 간단하게 정의됩니다: $$\delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n{\text{ is another integer}}\end{cases}}$$

게다가, DSP는 크로네커 델타 함수와 단위 표본 함수 둘 다에 대해 종종 혼동되는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)라고 불리는 함수가 있습니다. 디랙 델타는 다음과 같이 정의됩니다: $$\delta (t)={\begin{cases}\infty &t=0\\0&t{\text{ is another real}}\end{cases}}$$

크로네커 델타 함수 $\delta _{ij}$와 단위 표본 함수 $\delta [n]$와 달리, 디랙 델타 함수 $\delta (t)$는 정수 인덱스를 가지지 않으며, 그것은 단일 연속 비-정수 값 t를 가집니다.

문제를 더 혼란스럽게 하기 위해, 단위 임펄스 함수는 때때로 디랙 델타 함수(Dirac delta function) $\delta (t)$, 또는 단위 표본 함수 $\delta [n]$을 참조하기 위해 사용됩니다.

Properties of the delta function

크로네커 델타는 j ∈ Z에 대해 다음과 같은 소위 체질(sifting) 속성을 가집니다: $$\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ij}=a_{j}.$$

그리고 만약 정수가 세는 측정(counting measure)을 부여한 측정 공간(measure space)으로 보이면, 이 속성은 디랙 델타 함수(Dirac delta function)의 정의하는 속성과 일치합니다: $$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)\,dx=f(y),$$

그리고 실제로 디랙의 델타가 이와 유사한 속성 때문에 크로네커 델타의 이름을 따서 지어졌습니다. 신호 처리에서 크로네커와 디랙 "함수"를 구별하는 것은 보통 문맥 (이산 또는 연속 시간)입니다. 그리고 관례에 따라, δ(t)는 일반적으로 연속 시간 (디랙)을 나타내고, 반면에 i, j, k, l, m, 및 n과 같은 인수는 보통 이산 시간 (크로네커)에 대해 예약되어 있습니다. 또 다른 공통적인 관행은 대괄호로 이산 수열을 나타내는 것입니다. 따라서: δ[n]. 크로네커 델타는 디랙 델타 함수를 직접 샘플링한 결과가 아닙니다.

크로네커 델타는 투사 대수(incidence algebra)의 곱셈의 항등 원소(identity element)를 형성합니다.

Relationship to the Dirac delta function

확률 이론(probability theory)과 통계(statistics)에서, 크로네커 델타와 디랙 델타 함수(Dirac delta function)는 둘 다 이산 분포(discrete distribution)를 나타내기 위해 사용될 수 있습니다. 만약 분포의 지원이 점 x = {x₁, ..., x_n}으로 구성되고, 해당 확률 p₁, ..., p_n을 가지면, x에 걸쳐 분포의 확률 질량 함수(probability mass function) p(x)는, 크로네커 델타를 사용하여, 다음과 같이 쓸 수 있습니다: $$p(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta _{xx_{i}}.$$

동등하게, 분포의 확률 밀도 함수(probability density function) f(x)는 디랙 델타 함수를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다: $$f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$$

특정 조건 아래에서, 크로네커 델타는 디랙 델타 함수를 표본화하는 것에서 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 만약 디랙 델타 임펄스가 표본화 점에서 정확하게 발생하고 나이퀴스트–섀넌 표본화 정리(Nyquist–Shannon sampling theorem)에 따라 (임계 주파수에서 차단과 함께) 이상적으로 저역통과-필터링되면, 결과 이산-시간 신호는 크로네커 델타 함수가 될 것입니다.

Generalizations

만약 크로네커 델타가 유형 (1,1) 텐서(tensor)로 고려되면, 크로네커 텐서는 공변(covariant) 인덱스 j와 반변(contravariant) 인덱스 i를 갖는 δⁱ
_j로 쓸 수 있습니다: $$\delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}$$

이 텐서는 다음을 표현합니다:

• 항등 매핑 (또는 항등 행렬), 선형 매핑(linear mapping) V → V 또는 V^∗ → V^∗으로 고려됨
• 대각합(trace) 또는 텐서 수축(tensor contraction), 매핑 V^∗ ⊗ V → K으로 고려됨
• 맵 K → V^∗ ⊗ V, 스칼라 곱셈을 밖의 곱(outer product)으로 표현함

차수 2p의 일반화된 크로네커 델타 또는 다중-인덱스 크로네커 델타는 p 위쪽 인덱스와 역시 p 아래쪽 인덱스에서 완전하게 반대칭(antisymmetric)인 유형 (p, p) 텐서입니다.

p!의 인수만큼 다른 두 가지 정의가 사용 중입니다. 아래에, 표시된 버전은 ±1로 스케일된 비-영 구성 요소를 가집니다. 두 번째 버전은 ±1/p!인 비-영 구성 요소를 가지며, 아래에 § Properties of the generalized Kronecker delta에서 1/p!의 스케일 인수와 같은 공식에서 결과적으로 스케일 인수를 변경합니다.

Definitions of the generalized Kronecker delta

인덱스의 관점에서, 일반화된 크로네커 델타는 다음과 같이 정의됩니다: $$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{cases}+1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an even permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\-1&\quad {\text{if }}\nu _{1}\dots \nu _{p}{\text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}\mu _{1}\dots \mu _{p}\\\;\;0&\quad {\text{in all other cases}}.\end{cases}}$$

S_p를 차수 p의 대칭 그룹(symmetric group)으로 놓으며, 그런-다음: $$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\delta _{\nu _{\sigma (1)}}^{\mu _{1}}\cdots \delta _{\nu _{\sigma (p)}}^{\mu _{p}}=\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{p}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{\sigma (1)}}\cdots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{\sigma (p)}}.$$

반-대칭화(anti-symmetrization)를 사용하여: $$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=p!\delta _{[\nu _{1}}^{\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}]}^{\mu _{p}}=p!\delta _{\nu _{1}}^{[\mu _{1}}\dots \delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}]}.$$

p × p 행렬식(determinant)의 관점에서: $$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}={\begin{vmatrix}\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{1}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{\nu _{1}}^{\mu _{p}}&\cdots &\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\end{vmatrix}}.$$

행렬식의 라플라스 전개(Laplace expansion) (라플라스의 공식(Laplace's formula))을 사용하여, 그것은 재귀적으로(recursively) 정의될 수 있습니다: $${\begin{aligned}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=\sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots {\check {\nu }}_{k}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k}\dots {\check {\mu }}_{p}}\\&=\delta _{\nu _{p}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p-1}}-\sum _{k=1}^{p-1}\delta _{\nu _{k}}^{\mu _{p}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{k-1}\,\nu _{p}\,\nu _{k+1}\dots \nu _{p-1}}^{\mu _{1}\dots \mu _{k-1}\,\mu _{k}\,\mu _{k+1}\dots \mu _{p-1}},\end{aligned}}$$ 여기서 캐런, ˇ은 수열에서 생랼된 인덱스를 나타냅니다.

p = n (벡터 공간의 차원)일 때, 레비-치비타 기호(Levi-Civita symbol)의 관점에서: $$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}=\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{n}}.$$

Contractions of the generalized Kronecker delta

크로네커 델타 수축은 공간의 차원에 따라 다릅니다. 예를 들어, $$\delta _{\mu _{1}}^{\nu _{1}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}},$$

여기서 d는 그 공간의 차원입니다. 이 관계에서 전체 수출된 델타는 다음과 같이 얻습니다: $$\delta _{\mu _{1}\mu _{2}}^{\nu _{1}\nu _{2}}\delta _{\nu _{1}\nu _{2}}^{\mu _{1}\mu _{2}}=2d(d-1)\delta _{\nu _{2}}^{\mu _{2}}.$$

이전 공식의 일반화는 다음입니다: $$\delta _{\mu _{1}\dots \mu _{n}}^{\nu _{1}\dots \nu _{n}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}=n!{\frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}\delta _{\nu _{n+1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{n+1}\dots \mu _{p}}.$$

Properties of the generalized Kronecker delta

일반화된 크로네커 델타는 반-대칭화(anti-symmetrization)에 사용될 수 있습니다: $${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{\mu _{1}\dots \mu _{p}}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}.\end{aligned}}$$

위의 방정식과 반-대칭 텐서(anti-symmetric tensor)의 속성에서, 우리는 일반화된 크로네커 델타의 속성을 유도할 수 있습니다: $${\begin{aligned}{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a^{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]}&=a^{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}a_{[\mu _{1}\dots \mu _{p}]}&=a_{[\nu _{1}\dots \nu _{p}]},\\{\frac {1}{p!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}}\delta _{\rho _{1}\dots \rho _{p}}^{\nu _{1}\dots \nu _{p}}&=\delta _{\rho _{1}\dots \rho _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{p}},\end{aligned}}$$

이것은 § Properties에 쓰인 공식의 일반화된 버전입니다. 마지막 공식은 코시–비네 공식(Cauchy–Binet formula)과 동등합니다.

인덱스의 합계를 통한 차수를 감소하는 것은 다음 항등식에 의해 표현될 수 있습니다: $$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\mu _{s+1}\dots \mu _{p}}={\frac {(n-s)!}{(n-p)!}}\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}.$$

경우 p = n과 레비-치비타 기호를 갖는 관계에 대해 합계 규칙 둘 다를 사용하여, 레비-치비타 기호의 합산 규칙(the summation rule of the Levi-Civita symbol)이 유도됩니다: $$\delta _{\nu _{1}\dots \nu _{s}}^{\mu _{1}\dots \mu _{s}}={\frac {1}{(n-s)!}}\varepsilon ^{\mu _{1}\dots \mu _{s}\,\rho _{s+1}\dots \rho _{n}}\varepsilon _{\nu _{1}\dots \nu _{s}\,\rho _{s+1}\dots \rho _{n}}.$$

마지막 관계의 4D 버전은, 그가 에이트켄의 다이어그램을 개발하는 동안, 펜로즈 그래픽 표기법(Penrose graphical notation)의 기법의 일부가 되도록, 그가 나중에 일반화했던 펜로즈의 일반 상대성에 대한 스피너 접근 방식으로 나타납니다. 역시, 이 관계는 S-이중성(S-duality) 이론, 특히 그것들이 미분 형식(differential forms)과 호지 이중(Hodge duals)의 언어에서 쓰일 때 광범위하게 사용됩니다.

Integral representations

임의의 정수 n에 대해, 표준 잔여(residue) 미적분을 사용하여, 우리는 크로네커 델타에 대해 적분 표현을 아래 적분으로 쓸 수 있으며, 여기서 적분의 윤곽은 영을 중심으로 반시계 방향으로 갑니다. 이 표현은 역시 복소 평면에서 회전에 의한 정적분과 동등합니다. $$\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=1}z^{x-n-1}\,dz={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }\,d\varphi$$

The Kronecker comb

구간 N을 갖는 크로네커 빗 함수는 (DSP 표기법을 사용하여) 다음과 같이 정의됩니다: $$\Delta _{N}[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta [n-kN],$$

여기서 N과 n은 정수입니다. 크로네커 빗은 따라서 N 단위 떨어져 있는 단위 임펄스의 무한 급수로 구성되고, 영에서 단위 임펄스를 포함합니다. 그것은 디랙 빗(Dirac comb)의 이산 아날로그로 고려될 수 있습니다.

Kronecker integral

크로네커 델타는 역시 한 표면에서 또 다른 표면으로 매핑하는 정도라고 불립니다. 표면 S_uvw에서 영역 경계인 S_xyz로의, R_uvw와 R_xyz가 단순히 일-대-일 대응으로 연결되는 매핑이 발생한다고 가정합니다. 이 프레임워크에서, 만약 s와 t가 S_uvw에 대해 매개변수이고, S_uvw에서 S_uvw는 외부 법선 n에 의해 각 방향화되면: $$u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad w=w(s,t),$$

반면에 법선은 다음의 방향을 가집니다: $$(u_{s}\mathbf {i} +v_{s}\mathbf {j} +w_{s}\mathbf {k} )\times (u_{t}\mathbf {i} +v_{t}\mathbf {j} +w_{t}\mathbf {k} ).$$

x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)를 S_uvw를 포함하는 도메인에서 정의되고 매끄러운 것으로 놓고, 이들 방정식이 S_uvw에서 S_xyz 위로의 매핑을 정의한다고 놓습니다. 그런-다음 매핑의 정도 δ는 1/4π 곱하기 S_xyz의 내부 점, O에 관한 S_uvw의 이미지 S의 입체각입니다. 만약 O가 영역 R_xyz의 원점이면, 정도 δ는 적분에 의해 제공됩니다: $$\delta ={\frac {1}{4\pi }}\iint _{R_{st}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\begin{vmatrix}x&y&z\\{\frac {\partial x}{\partial s}}&{\frac {\partial y}{\partial s}}&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\{\frac {\partial x}{\partial t}}&{\frac {\partial y}{\partial t}}&{\frac {\partial z}{\partial t}}\end{vmatrix}}\,ds\,dt.$$

See also

• Dirac measure
• Indicator function
• Levi-Civita symbol
• 't Hooft symbol
• Unit function
• XNOR gate