A triangle, showing the "incircle" and the partitioning of the sides. The angle bisectors meet at the incenter , which is the center of the incircle . By the above reasoning, all six parts are as shown. 삼각법(trigonometry) 에서, 코탄젠트의 법칙 (law of cotangents )[1]
그의 항등식이 사인의 법칙(law of sines) 으로 표현되는 세 개의 양이 삼각형의 둘레-원(circumscribed circle) 의 지름 (또는 그 법칙이 어떻게 표현되는지에 따라, 그것의 역수)과 같기 때문에, 마찬가지로 코탄젠트의 법칙은 삼각형(triangle) 의 내접-원(inscribed circle) 의 반지름 (내-반지름(inradius) )을 그의 변과 각도에 관련시킵니다.
Statement 삼각형에 대해 보통 표기법을 사용하여 (오른쪽 꼭대기의 그림 참조), 여기서 a b c A B C α β γ s s = a + b + c / 2 r 코탄젠트(cotangent) 의 법칙은 다음임을 말합니다:
cot
(
α
2
)
s
−
a
=
cot
(
β
2
)
s
−
b
=
cot
(
γ
2
)
s
−
c
=
1
r
{\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}\,}
및 나아가서 내-반지름은 다음에 의해 제공됩니다:
r
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
.
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,.}
Proof 위쪽 그림에서, 삼각형의 변을 가진 원의 접하는 점은 둘레를 3 쌍에서 6 선분으로 나눕니다. 각 쌍에서 선분은 같은 길이의 것입니다. 예를 들어, 꼭짓점 A에 인접한 2 선분은 같습니다. 만약 우리가 각 쌍으로부터 하나의 선분을 선택하면, 그 합은 반-둘레 s a s − a s − a s − b s − c
코탄젠트 함수의 정의를 사용하여, 그림의 검사에 의해, 우리는 다음을 가집니다:
cot
(
α
2
)
=
s
−
a
r
{\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,}
및 비슷하게 다른 두 각도에 대해, 첫 번째 역설을 입증합니다.
두 번째 것에 대해–내-반지름 공식–우리는 일반적인 덧셈 공식(general addition formula) 으로 시작합니다:
cot
(
u
+
v
+
w
)
=
cot
u
+
cot
v
+
cot
w
−
cot
u
cot
v
cot
w
1
−
cot
u
cot
v
−
cot
v
cot
w
−
cot
w
cot
u
.
{\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.}
cot( α / 2 β / 2 γ / 2 ) π / 2 에 적용하면, 우리는 다음을 얻습니다:
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
cot
(
γ
2
)
=
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
+
cot
(
γ
2
)
.
{\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).}
(이것은 역시 트리플 코탄젠트 항등식(triple cotangent identity) 입니다)
첫 번째 부분에서 얻어진 값을 빼면, 우리는 다음을 얻습니다:
(
s
−
a
)
r
(
s
−
b
)
r
(
s
−
c
)
r
=
s
−
a
r
+
s
−
b
r
+
s
−
c
r
=
3
s
−
2
s
r
=
s
r
.
{\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}
r 3 / s r 2
Some proofs using the law of cotangents 여러 다른 결과는 코탄젠트의 법칙으로부터 유도될 수 있습니다.
헤론의 공식(Heron's formula) . 삼각형 ABC A s − a r 1 / 2 r (s − a )r (s − a )S
S
=
r
(
s
−
a
)
+
r
(
s
−
b
)
+
r
(
s
−
c
)
=
r
(
3
s
−
(
a
+
b
+
c
)
)
=
r
(
3
s
−
2
s
)
=
r
s
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs\\[8pt]\end{aligned}}}
이것은 요구되었던 다음 결과를 제공합니다:
S = √s (s − a )(s − b )(s − c )
sin
(
α
2
−
β
2
)
sin
(
α
2
+
β
2
)
=
cot
(
β
2
)
−
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
+
cot
(
α
2
)
=
a
−
b
2
s
−
a
−
b
.
{\displaystyle {\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.}
이것은 요구되었던 다음 결과를 제공합니다:
a
−
b
c
=
sin
(
α
2
−
β
2
)
cos
(
γ
2
)
{\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}
cos
(
α
2
−
β
2
)
cos
(
α
2
+
β
2
)
=
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
+
1
cot
(
α
2
)
cot
(
β
2
)
−
1
=
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
+
2
cot
(
γ
2
)
cot
(
α
2
)
+
cot
(
β
2
)
=
4
s
−
a
−
b
−
2
c
2
s
−
a
−
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}
여기서, 추가적인 단계는, 합/곱 공식에 따라, 곱을 합으로 변환하는 것이 요구됩니다.
이것은 요구되었던 다음 결과를 제공합니다:
b
+
a
c
=
cos
(
α
2
−
β
2
)
sin
(
γ
2
)
{\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}
See also References
^ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
Silvester, John R. (2001). Geometry: Ancient and Modern . Oxford University Press. p. 313. ISBN 9780198508250
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs\\[8pt]\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd33f29c6713cb42ca53c078b151a7488f64765)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/092aee26c4576ac92546235eb7c041945528218c)
