This article is about the law of sines in trigonometry. For the law of sines in physics, see
Snell's law .
A triangle labelled with the components of the law of sines. Capital A B C a b c a A 삼각법(trigonometry) 에서, 사인의 법칙 (law of sines ), 사인 법칙 (sine law ), 사인 공식 (sine formula ) 또는 사인 규칙 (sine rule )은 삼각형(triangle) (임의의 모양)의 변의 길이와 그것의 각도의 사인(sine) 을 관련시키는 방정식(equation) 입니다. 그 법칙에 따라,
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
,
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,2R,}
여기서 a , b c A , B C R 둘레-원(circumcircle) 의 반지름(radius) 입니다. 그 방정식의 마지막 부분은 사용되지 않을 때, 그 법칙은 때때로 역수(reciprocals) 를 사용하여 말합니다;
sin
A
a
=
sin
B
b
=
sin
C
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}.}
사인의 법칙은 두 각도와 한 면이 알려져 있을 때 삼각형의 남아있는 변을 계산하기 위해서 사용될 수 있습니다—삼각분할(triangulation) 이라고 알려진 기법입니다. 그것은 역시 두 변과 비-둘러싸인 각도의 하나가 알려져 있을 때 사용될 수 있습니다. 일부 그러한 경우에서, 삼각형은 이 데이터에 의해 고유하게 결정되지 않고 (모호한 경우 라고 불림), 기법은 둘러싸인 각도에 대해 두 가능한 값을 제공합니다.
사인의 법칙은 부등변 삼각형(scalene triangle)의 길이와 각도를 찾기 위해 공통적으로 적용되는 두 삼각 방정식 중 하나이며, 다른 하나는 코사인의 법칙(law of cosines) 입니다.
사인의 법칙은 상수 곡률을 갖는 표면 위에 더 높은 차원으로 일반화될 수 있습니다.[1]
Proof 임의의 삼각형의 넓이 T
T
=
1
2
b
(
c
sin
A
)
=
1
2
c
(
a
sin
B
)
=
1
2
a
(
b
sin
C
)
.
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,.}
이것들에 2 / abc
2
T
a
b
c
=
sin
A
a
=
sin
B
b
=
sin
C
c
.
{\displaystyle {\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,.}
The ambiguous case of triangle solution 사인의 법칙을 삼각형의 변을 구하기 위해 사용할 때, 모호한 경우가 두 갈라진 삼각형이 제공된 데이터로부터 구성될 수 있을 때 발생합니다 (즉, 삼각형에 대한 두 다른 가능한 해가 있습니다). 아래에 표시된 경우에서, 그들은 삼각형 ABC AB′C′
일반적인 삼각형이 주어지면, 다음 조건은 모호한 것이 되는 경우에 대해 충족되어야 합니다:
삼각형에 대한 알려진 유일한 정보는 각도 A a c
각도 A 예각(acute) 입니다 (즉, A
변 a c a < c
변 a B h h = c sin A a > h 만약 모든 위의 조건이 참이면, 각도 C C′
C
′
=
arcsin
c
sin
A
a
or
C
=
π
−
arcsin
c
sin
A
a
.
{\displaystyle C'=\arcsin {\frac {c\sin A}{a}}{\text{ or }}C=\pi -\arcsin {\frac {c\sin A}{a}}.}
그것으로부터 우리는 만약 요구된다면 해당하는 B b B′ b′ b A C b′ A C′
추가적인 정보없이 어떤 삼각형이 요청되었는지 결정하는 것은 불가능합니다.
Examples 다음은 사인의 법칙을 사용하여 문제를 해결하는 방법에 대한 예제입니다.
Example 1 주어진 것: 변 a = 20c = 24C = 40°A
사인의 법칙을 사용하면, 우리는 다음임을 결론짓습니다:
sin
A
20
=
sin
40
∘
24
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.}
A
=
arcsin
(
20
sin
40
∘
24
)
≈
32.39
∘
.
{\displaystyle A=\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}
잠재적 해 A = 147.61°A + B + C > 180°
Example 2 만약 삼각형의 두 변 a b x c a b c A B C
A
=
B
=
180
∘
−
C
2
=
90
∘
−
C
2
sin
A
=
sin
B
=
sin
(
90
∘
−
C
2
)
=
cos
(
C
2
)
c
sin
C
=
a
sin
A
=
x
cos
(
C
2
)
c
cos
(
C
2
)
sin
C
=
x
{\displaystyle {\begin{aligned}&A=B={\frac {180^{\circ }-C}{2}}=90^{\circ }-{\frac {C}{2}}\\[6pt]&\sin A=\sin B=\sin \left(90^{\circ }-{\frac {C}{2}}\right)=\cos \left({\frac {C}{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin C}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {x}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}{\sin C}}=x\end{aligned}}}
Relation to the circumcircle 항등식에서,
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
,
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}},}
세 분수의 공통 값은 사실은 프톨레마이오스(Ptolemy) 로 거슬러 올라가는 삼각형의 둘레-원(circumcircle) 의 지름(diameter) 입니다.[2] [3]
Deriving the ratio of the sine law equal to the circumscribing diameter. Note that triangle ADB passes through the center of the circumscribing circle. Proof 그림에서 보인 것처럼, 내접된
△
A
B
C
{\displaystyle \bigtriangleup ABC}
O 를 통과하는 또 다른 내접된
△
A
D
B
{\displaystyle \bigtriangleup ADB}
∠
A
O
D
{\displaystyle \angle AOD}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
중심 각도(central angle) 를 가지고 따라서
∠
A
B
D
=
90
∘
{\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}
△
A
B
D
{\displaystyle \bigtriangleup ABD}
sin
D
=
opposite
hypotenuse
=
c
2
R
,
{\displaystyle \sin D={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},}
여기서
R
{\displaystyle R}
[3]
∠
C
{\displaystyle \angle C}
∠
D
{\displaystyle \angle D}
중심 각도(central angle) 를 가지고 따라서 그들은 같은 것입니다:
∠
C
=
∠
D
{\displaystyle \angle C=\angle D}
sin
D
=
sin
C
=
c
2
R
.
{\displaystyle \sin D=\sin C={\frac {c}{2R}}.}
다시-정렬하면 다음을 산출합니다:
2
R
=
c
sin
C
.
{\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin C}}.}
그 과정을 다음 점을 갖는
△
A
D
B
{\displaystyle \bigtriangleup ADB}
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
=
2
R
.
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R.}
Relationship to the area of the triangle 삼각형의 넓이는
T
=
1
2
a
b
sin
θ
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
a b
T
=
1
2
a
b
⋅
c
2
R
.
{\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}
R
{\displaystyle R}
[4]
T
=
a
b
c
4
R
.
{\displaystyle T={\frac {abc}{4R}}.}
역시 이 방정식이 다음임을 보일 수 있습니다:
a
b
c
2
T
=
a
b
c
2
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
=
2
a
b
c
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}
여기서 T s 반-둘레(semiperimeter)
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
위의 두 번째 상등은 넓이에 대해 헤론의 공식(Heron's formula) 으로 쉽게 단순화됩니다.
사인 규칙은 삼각형의 넓이에 대해 다음 공식을 유도하는 것에 역시 사용될 수 있습니다: 삼각형의 사인의 반-합을
S
=
sin
A
+
sin
B
+
sin
C
2
{\displaystyle S={\frac {\sin A+\sin B+\sin C}{2}}}
[5]
T
=
D
2
S
(
S
−
sin
A
)
(
S
−
sin
B
)
(
S
−
sin
C
)
{\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin A)(S-\sin B)(S-\sin C)}}}
여기서
D
{\displaystyle D}
D
=
2
R
=
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
{\displaystyle D=2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}
Curvature 사인의 법칙은 곡률의 존재에서 비슷한 형식을 취합니다.
Spherical case 구형 경우에서, 그 공식은 다음입니다:
sin
A
sin
α
=
sin
B
sin
β
=
sin
C
sin
γ
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin \alpha }}={\frac {\sin B}{\sin \beta }}={\frac {\sin C}{\sin \gamma }}.}
여기서, α β γ a b c A B C
Vector proof 원점에서 삼각형의 꼭짓점까지 그려진 단위 벡터 OA OB OC α β γ a b c BC 는 중심에서 크기 a z OA OA c xz OB OC xy ON 으로 투영되고 ON 과 x A
O
A
=
(
0
0
1
)
,
O
B
=
(
sin
c
0
cos
c
)
,
O
C
=
(
sin
b
cos
A
sin
b
sin
A
cos
b
)
.
{\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}
스칼라 트리플 곱(scalar triple product) , OA · (OB × OC )OA OB OC 평행-육면체(parallelepiped) 의 부피입니다. 이 부피는 OA OB OC 스칼라 트리플 곱(scalar triple product) OA · (OB × OC )OA OB OC OA z
(
O
A
⋅
(
O
B
×
O
C
)
)
2
=
(
det
(
O
A
,
O
B
,
O
C
)
)
2
=
(
|
0
0
1
sin
c
0
cos
c
sin
b
cos
A
sin
b
sin
A
cos
b
|
)
2
=
(
sin
b
sin
c
sin
A
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&={\bigl (}\det(\mathbf {OA} ,\mathbf {OB} ,\mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}\\[4pt]&=\left({\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}\right)^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}
OB z (sin c sin a sin B )2 를 제공하지만, OC z (sin a sin b sin C )2 입니다. 이들 표현을 같게-하고 (sin a sin b sin c )2 로 나누면 다음을 제공합니다:
sin
2
A
sin
2
a
=
sin
2
B
sin
2
b
=
sin
2
C
sin
2
c
=
V
2
sin
2
a
sin
2
b
sin
2
c
,
{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}a\sin ^{2}b\sin ^{2}c}},}
여기서 V 는 구형 삼각형의 꼭짓점의 위치 벡터에 의해 형성된 평행-육면체(parallelepiped) 의 부피입니다. 따라서, 그 결과는 따릅니다.
작은 구형 삼각형에 대해, 구의 반지름이 삼각형의 변보다 훨씬 더 클 때, 이 공식이 극한에서 평면 공식이 되는 방법을 쉽게 알 수 있는데, 왜냐하면
lim
α
→
0
sin
α
α
=
1
{\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow 0}{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=1}
그리고 sin β 및 sin γ 에 대해 같은 것입니다.
Geometric proof 다음을 갖는 단위 원을 생각해 보십시오:
O
A
=
O
B
=
O
C
=
1
{\displaystyle OA=OB=OC=1}
∠
A
D
O
=
∠
A
E
O
=
90
∘
{\displaystyle \angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }}
D
{\displaystyle D}
E
{\displaystyle E}
∠
A
′
D
O
=
∠
A
′
E
O
=
90
∘
{\displaystyle \angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }}
A
′
{\displaystyle A'}
그러므로
∠
A
D
A
′
=
B
{\displaystyle \angle ADA'=B}
∠
A
E
A
′
=
C
{\displaystyle \angle AEA'=C}
A
′
{\displaystyle A'}
O
B
C
{\displaystyle OBC}
A
{\displaystyle A}
∠
A
A
′
D
=
∠
A
A
′
E
=
90
∘
{\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}
기본 삼각법에 의해, 우리는 다음을 가집니다:
A
D
=
sin
c
{\displaystyle AD=\sin c}
A
E
=
sin
b
{\displaystyle AE=\sin b}
그러나
A
A
′
=
A
D
sin
B
=
A
E
sin
C
{\displaystyle AA'=AD\sin B=AE\sin C}
그들을 결합하면, 우리는 다음을 가집니다:
sin
c
sin
B
=
sin
b
sin
C
{\displaystyle \sin c\sin B=\sin b\sin C}
sin
B
sin
b
=
sin
C
sin
c
{\displaystyle {\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}
비슷한 추론을 적용함으로써, 우리는 구형 사인의 법칙을 얻습니다:
sin
A
sin
a
=
sin
B
sin
b
=
sin
C
sin
c
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}
Other proofs 순수하게 대수적 증명은 구형 코사인의 법칙(spherical law of cosines) 으로부터 구성될 수 있습니다. 항등식
sin
2
A
=
1
−
cos
2
A
{\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}
cos
A
{\displaystyle \cos A}
sin
2
A
=
1
−
(
cos
a
−
cos
b
cos
c
sin
b
sin
c
)
2
=
(
1
−
cos
2
b
)
(
1
−
cos
2
c
)
−
(
cos
a
−
cos
b
cos
c
)
2
sin
2
b
sin
2
c
sin
A
sin
a
=
[
1
−
cos
2
a
−
cos
2
b
−
cos
2
c
+
2
cos
a
cos
b
cos
c
]
1
/
2
sin
a
sin
b
sin
c
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {(1-\cos ^{2}\!b)(1-\cos ^{2}\!c)-(\cos a-\cos b\,\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}
오른쪽 변은
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,\;b,\;c}
위의 기하학적 증명에서 사용된 그림은 기본 선형 대수와 투영 행렬을 사용하여 사인 법칙을 도출하기 위해 (이 기사에서 figure 3을 참조하십시오) 바네르지에 의해 사용되고 역시 바네르지에서 제공됩니다.[6]
Hyperbolic case 쌍곡 기하학(hyperbolic geometry) 에서, 곡률이 −1일 때, 사인의 법칙은 다음이 됩니다:
sin
A
sinh
a
=
sin
B
sinh
b
=
sin
C
sinh
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}
특별한 경우에서, B
sin
C
=
sinh
c
sinh
b
{\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}
이것은 유클리드 기하학에서 반대쪽 변을 빗변으로 나눈 각도의 사인을 표현하는 공식과 유사합니다.
역시 쌍곡형 삼각형(hyperbolic triangle) 을 참조하십시오. Unified formulation 역시 실수 매개변수 K
sin
K
x
=
x
−
K
x
3
3
!
+
K
2
x
5
5
!
−
K
3
x
7
7
!
+
⋯
.
{\displaystyle \sin _{K}x=x-{\frac {Kx^{3}}{3!}}+{\frac {K^{2}x^{5}}{5!}}-{\frac {K^{3}x^{7}}{7!}}+\cdots .}
상수 곡률 K [1]
sin
A
sin
K
a
=
sin
B
sin
K
b
=
sin
C
sin
K
c
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{\sin _{K}c}}\,.}
K = 0K = 1K = −1
p K r )K r p K r ) = 2π sinK r
sin
A
p
K
(
a
)
=
sin
B
p
K
(
b
)
=
sin
C
p
K
(
c
)
.
{\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{K}(a)}}={\frac {\sin B}{p_{K}(b)}}={\frac {\sin C}{p_{K}(c)}}\,.}
이 공식화는 보여이 야노시(János Bolyai) 에 의해 발견되었습니다.[7]
Higher dimensions n 유클리드 공간(Euclidean space) 에서 n 심플렉스(simplex) (즉, 삼각형(triangle) (n = 2사면체(tetrahedron) (n = 3펜타토프(pentatope) (n = 4꼭짓점(vertex) 에서 만나는 패싯(facet) 의 법선 벡터(normal vector) 의 극 사인(polar sine) 의 절댓값(absolute value) 을 꼭짓점 반대편의 패싯의 초-넓이로 나눈 것은 꼭짓점의 선택에 독립입니다. n V (n −1) -차원 패싯의 초-넓이의 곱에 대해 P
(
n
V
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
P
.
{\displaystyle {\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}
예를 들어, 사면체는 네 삼각형 패싯을 가집니다. 꼭짓점을 공유하는 세 패싯에 대한 법선 벡터의 극 사인의 절댓값을 네 번째 패싯의 넓이로 나눈 것은 꼭짓점의 선택에 의존하지 않습니다:
|
psin
(
n
2
,
n
3
,
n
4
)
|
A
r
e
a
1
=
|
psin
(
n
1
,
n
3
,
n
4
)
|
A
r
e
a
2
=
|
psin
(
n
1
,
n
2
,
n
4
)
|
A
r
e
a
3
=
|
psin
(
n
1
,
n
2
,
n
3
)
|
A
r
e
a
4
=
(
3
Volume
t
e
t
r
a
h
e
d
r
o
n
)
2
2
!
A
r
e
a
1
A
r
e
a
2
A
r
e
a
3
A
r
e
a
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{1}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{2}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{3}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{4}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3\operatorname {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2!~\mathrm {Area} _{1}\mathrm {Area} _{2}\mathrm {Area} _{3}\mathrm {Area} _{4}}}\,.\end{aligned}}}
History Ubiratàn D'Ambrosio 와 힐라이너 셀린(Helaine Selin) 에 따르면, 구형 사인의 법칙은 10 세기에 발견되었습니다. 그것은 아부-마흐무드 코잔디(Abu-Mahmud Khojandi) , 아부 알-와파 브쨔아니(Abu al-Wafa 'Buzjani) , 나시르 알-딘 알-투시(Nasīr al-Dīn al-Tūsī) 및 아부 나스르 만수르(Abu Nasr Mansur) 에 의해 다양하게 공헌되었습니다.[8]
11세기에서 이븐 무하드 알-자야니(Ibn Muʿādh al-Jayyānī) 의 The book of unknown arcs of a sphere 는 일반적인 사인의 법칙을 포함합니다.[9] 나시르 알-딘 알-투시(Nasīr al-Dīn al-Tūsī) 에 의해 언급되었습니다. 그의 그는 On the Sector Figure 에서, 그는 평면과 구형 삼각형에 대해 사인의 법칙을 언급하고, 이 법칙에 대해 증명을 제시했습니다.[10]
글렌 반 브루멜렌(Glen Van Brummelen) 에 따르면, "사인의 법칙은 책 IV에서 직각 삼각형의 그의 해에 대해 레기오몬타누스(Regiomontanus) 의 실제로 기초이고, 이들 해는 그의 일반적인 삼각형의 해에 대해 차례롤 기초가 되었습니다."[11]
See also References
^ a b "Generalized law of sines" . mathworld .^ Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited . Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967
^ a b "Law of Sines" . www.pballew.net . Retrieved 2018-09-18 .^ Mr. T's Math Videos (2015-06-10), Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle , retrieved 2018-09-18 ^ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
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![{\displaystyle {\begin{aligned}&A=B={\frac {180^{\circ }-C}{2}}=90^{\circ }-{\frac {C}{2}}\\[6pt]&\sin A=\sin B=\sin \left(90^{\circ }-{\frac {C}{2}}\right)=\cos \left({\frac {C}{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin C}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {x}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}{\sin C}}=x\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2328329b896839b2f5094298ee5291377b352f06)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0791f9e5aaf7e592ffdd98ae27e4b34555d1a68)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&={\bigl (}\det(\mathbf {OA} ,\mathbf {OB} ,\mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}\\[4pt]&=\left({\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}\right)^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2d15bd24a2d8e3df9e3b7478c66840e397f1e40)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {(1-\cos ^{2}\!b)(1-\cos ^{2}\!c)-(\cos a-\cos b\,\cos c)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/711dd80f0e85c3089c26890701e8f580a3c8c486)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{1}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{2}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{3}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ){\bigr |}}{\mathrm {Area} _{4}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3\operatorname {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2!~\mathrm {Area} _{1}\mathrm {Area} _{2}\mathrm {Area} _{3}\mathrm {Area} _{4}}}\,.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/673dfe8c9ced0f9be24b0a0751af902b91784adc)