Linear independence

Original article: w:Linear independence

For linear dependence of random variables, see Covariance.

Linearly independent vectors in $\mathbb {R} ^{3}$

Linearly dependent vectors in a plane in $\mathbb {R} ^{3}.$

벡터 공간(vector space)의 이론에서, 벡터(vector)의 집합(set)은 만약 영 벡터와 같은 벡터의 비-자명한 선형 조합(linear combination)이 있으면 선형적 종속(linearly dependent)이라고 말합니다. 만약 그러한 선형 조합이 존재하지 않으면, 벡터는 선형적 독립(linearly independent)이라고 말합니다. 이들 개념은 차원(dimension)의 정의에서 핵심입니다. 벡터 공간은 선형적 독립 벡터의 최대 숫자에 따라 유한 차원 또는 무한 차원이 될 수 있습니다. 선형 종속성의 정의와 벡터 공간의 벡터 부분-집합이 선형 종속인지 여부를 결정하는 능력은 벡터 공간의 차원을 결정하는 데 핵심입니다.

Definition

벡터 공간(vector space) V에서 벡터 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}$의 열은 만약 다음을 만족하는 모두가 영은 아닌 스칼라(scalars) $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}$가 존재하면 선형적으로 종속(linearly dependent)이라고 말합니다:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,$

여기서 $\mathbf {0}$은 영 벡터를 나타냅니다.

이것은 적어도 하나의 스칼라가 비-영, 말하자면 $a_{1}\neq 0$이고, 위의 방정식은 $k>1$이면 다음으로 쓰이고, $k=1$이면 $\mathbf {v} _{1}=\mathbf {0}$로 쓸 수 있습니다:

$\mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k}.$

따라서, 벡터의 집합이 선형적으로 종속인 것과 그 중 하나가 영이거나 다른 벡터들의 선형 조합(linear combination)인 것은 필요충분 조건입니다.

벡터의 열 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$은 만약 그것이 선형적으로 종속이 아니면, 즉, 다음 방정식이 $i=1,\dots ,n$에 대해 오직 $a_{i}=0$에 의해 만족될 수 있으면 선형적으로 독립(linearly independent)이라고 말합니다:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

이것은 열에서 어떤 벡터도 열에서 남아있는 벡터의 선형 조합으로 표시될 수 없음을 의미합니다. 다시 말해, 벡터의 열은 만약 그 벡터의 선형 조합으로서 $\mathbf {0}$의 유일한 표현이 모든 스칼라 $a_{i}$가 영인 자명한 표현이면 선형적으로 독립입니다. 훨씬 더 간결하게 말하면, 벡터 열이 선형적으로 독립인 것과 $\mathbf {0}$이 고유한 방법으로 그 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있는 것은 필요충분 조건입니다.

만약 벡터의 열이 같은 벡터를 두 번 포함하면, 그것은 반드시 종속적입니다. 벡터의 열의 선형 종속성은 열에서 항의 순서에 의존하지 않습니다. 이것은 유한한 벡터 집합에 대해 선형 독립성을 정의할 수 있게 합니다: 유한한 벡터 집합은 만약 그것들에 순서를 지정함으로써 얻은 열이 선형적으로 독립이면 선형적으로 독립입니다. 다시 말해, 우리는 종종 유용한 다음과 같은 결과를 가집니다.

벡터의 열이 선형적으로 독립인 것과 그것이 같은 벡터를 두 번 포함하지 않고 그 벡터의 집합이 선형적으로 독립인 것은 필요충분 조건입니다.

Infinite case

벡터의 무한 집합은 만약 모든 각 비-빈 유한 부분-집합(subset)이 선형적으로 독립이면 선형적으로 독립(linearly independent)입니다. 반대로, 무한한 벡터의 집합은 만약 그것이 선형적으로 종속인 유한 부분-집합을 포함하거나, 동등하게, 그 집합에서 일부 벡터가 그 집합에서 다른 벡터의 선형 조합이면 선형적으로 종속(linearly dependent)입니다.

벡터의 인덱싱된 가족(indexed family)은 만약 그것이 같은 벡터를 두 번 포함하지 않고 그 벡터의 집합이 선형적으로 독립이면 선형적으로 독립입니다. 그렇지 않으면, 그 가족은 선형적으로 종속이라고 말합니다.

선형 독립적이고 일부 벡터 공간에 스팬(spans)인 벡터의 집합은 해당 벡터 공간의 기저(basis)를 형성합니다. 예를 들어, 실수에 걸쳐 x에서 모든 다항식(polynomials)의 벡터 공간은 (무한) 부분-집합 {1, x, x², ...}를 기저로 가집니다.

Geometric examples

• ${\vec {u}}$와 ${\vec {v}}$가 독립이고 평면 P를 정의합니다.
• ${\vec {u}}$, ${\vec {v}}$, 및 ${\vec {w}}$는 종속인데 왜냐하면 셋 모두는 같은 평면에 속하기 때문입니다.
• ${\vec {u}}$와 ${\vec {j}}$는 종속인데 왜냐하면 그것들은 서로 평행하기 때문입니다.
• ${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$, 및 ${\vec {k}}$는 독립인데 왜냐하면 ${\vec {u}}$와 ${\vec {v}}$가 서로 독립이고 ${\vec {k}}$가 그것들의 선형 조합이 아니기 때문입니다. 또는 동등하게, 그것들이 공통 평면에 속하지 않기 때문입니다. 세 개의 벡터는 삼-차원 공간을 정의합니다.
• 벡터 ${\vec {o}}$ (널 벡터, 그것의 성분이 영과 같음) 및 ${\vec {k}}$는 종속인데 왜냐하면 ${\vec {o}}=0{\vec {k}}$이기 때문입니다.

Geographic location

어떤 장소의 위치를 설명하는 사람은 "여기에서 북쪽으로 3마일, 동쪽으로 4마일입니다"라고 말할 수 있습니다. 지리 좌표 시스템은 2-차원 벡터 공간으로 고려될 수 있기 때문에 이것은 위치를 설명하는 데 (고도와 지구 표면의 곡률을 무시하여) 충분한 정보입니다. 그 사람은 "그 장소는 여기에서 북동쪽으로 5마일 떨어져 있습니다"라고 덧붙일 수 있습니다. 이 마지막 명제는 사실이지만, 위치를 찾을 필요는 없습니다.

이 예제에서 "북쪽으로 3마일" 벡터와 "동쪽으로 4마일" 벡터는 선형적으로 독립입니다. 다시 말해, 북쪽 벡터는 동쪽 벡터의 관점에서 설명될 수 없고, 그 반대도 마찬가지입니다. 세 번째 "북동쪽 5마일" 벡터는 다른 두 벡터의 선형 조합(linear combination)이고, 벡터의 집합을 선형적으로 종속으로 만듭니다. 즉, 세 벡터 중 하나는 평면 위의 특정 위치를 정의하는 데 필요하지 않습니다.

역시 고도가 무시되지 않으면, 선형적으로 독립 집합에 세 번째 벡터를 추가해야 함에 주목하십시오. 일반적으로, n-차원 공간에서 모든 위치를 설명하려면 n 개의 선형적으로 독립 벡터가 필요합니다.

Evaluating linear independence

The zero vector

만약 주어진 벡터 $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$의 열에서 하나 이상의 벡터가 영 벡터 $\mathbf {0}$이면 벡터 $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$는 반드시 선형적으로 종속입니다 (그리고 결과적으로, 그것들은 선형적으로 독립이 아닙니다). 그 이유를 알아보기 위해, $i$가 $\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0}$을 만족하는 인덱스 (즉, $\{1,\ldots ,k\}$의 원소)라고 가정합니다. 그런 다음 $a_{i}:=1$라고 놓고 (대안적으로, $a_{i}$를 임의의 다른 비-영 스칼라와 같게 두는 것도 작동함) 그런-다음 모든 다른 스칼라를 0으로 놓습니다 (명시적으로, 이것은 $i$가 아닌 임의의 인덱스 $j$에 대해 (즉, $j\neq i$에 대해), 결과적으로 $a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0}$가 되도록 $a_{j}:=0$라고 놓습니다). $a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}$를 단순화하면 다음과 같습니다:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .$

모든 스칼라는 영이 아니기 때문에 (특히, $a_{i}\neq 0$), 이것은 벡터 $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$가 선형적으로 종속임을 입증합니다.

결과적으로, 영 벡터는 선형적으로 독립인 벡터의 임의의 모음에 속할 수 없습니다.

이제 $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}$의 열이 길이 1인 특수한 경우 (즉, $k=1$인 경우)를 생각해 보십시오. 정확하게 하나의 벡터로 구성된 벡터의 모음이 선형적으로 종속인 것과 해당 벡터가 영인 것은 필요충분 조건입니다. 명시적으로, 만약 $\mathbf {v} _{1}$이 임의의 벡터이면 열 $\mathbf {v} _{1}$ (길이가 1의 열)은 선형적으로 종속인 것과 $\mathbf {v} _{1}=\mathbf {0}$인 것은 필요충분 조건입니다; 대안적으로, 모음 $\mathbf {v} _{1}$은 선형적으로 독립인 것과 $\mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0}$인 것은 필요충분 조건입니다.

Linear dependence and independence of two vectors

이 예제는 실수 또는 복소수 벡터 공간에서 정확히 두 개의 벡터 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$가 있는 특별한 경우를 고려합니다. 벡터 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$가 선형적으로 종속인 것과 다음 중 적어도 하나가 참인 것은 필요충분(iff) 조건입니다:

1. $\mathbf {u}$는 $\mathbf {v}$의 스칼라 배수입니다 (명시적으로, 이것은 $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$임을 만족하는 스칼라 $c$가 존재함을 의미함) 또는
2. $\mathbf {v}$는 $\mathbf {u}$의 스칼라 배수입니다 (명시적으로, 이것은 $\mathbf {v} =c\mathbf {u}$임을 만족하는 스칼라 $c$가 존재함을 의미함).

만약 $\mathbf {u} =\mathbf {0}$이면 $c:=0$를 설정함으로써 $c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u}$임을 가지며 (이 상등은 $\mathbf {v}$의 값이 무엇이든 관계없이 유지됩니다), 이는 (1)이 이 특정한 경우에 참임을 보여줍니다. 유사하게, 만약 $\mathbf {v} =\mathbf {0}$이면 $\mathbf {v} =0\mathbf {u}$이기 때문에 (2)는 참입니다. 만약 $\mathbf {u} =\mathbf {v}$이면 (예를 들어, 만약 그것들이 둘 다 영 벡터 $\mathbf {0}$과 같으면) (1)과 (2) 둘 다는 참입니다 (둘 다에 대해 $c:=1$를 사용합니다).

만약 $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$이면 $\mathbf {u} \neq \mathbf {0}$는 오직 $c\neq 0$이고 $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$이면 가능합니다; 이 경우에서, ${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} }$로 결론짓기 위해 양쪽에 ${\textstyle {\frac {1}{c}}}$를 곱하는 것이 가능합니다. 이것은 $\mathbf {u} \neq \mathbf {0}$이고 $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$이면 (1)이 참인 것과 (2)가 참인 것인 필요충분 조건임을 보여줍니다; 즉, 이 특별한 경우에서 (1)과 (2)가 모두 참 (그리고 벡터는 선형적으로 종속)이거나 그렇지 않으면 (1)과 (2)가 모두 거짓 (그리고 벡터는 선형적으로 독립)입니다. 만약 $\mathbf {u} =c\mathbf {v}$이지만 대신 $\mathbf {u} =\mathbf {0}$이면 $c$와 $\mathbf {v}$ 중 적어도 하나는 영이어야 합니다. 게다가, 만약 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$ 중 정확히 하나가 $\mathbf {0}$이면 (다른 하나는 비-영), (1)과 (2) 중 정확히 하나가 참 (다른 하나는 거짓)입니다.

벡터 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$가 선형적으로 독립인 것과 $\mathbf {u}$가 $\mathbf {v}$의 스칼라 배수이고 $\mathbf {v}$가 $\mathbf {u}$의 스칼라 배수가 아닌 것은 필요충분 조건입니다.

Vectors in R²

Three vectors: 벡터의 집합 $\mathbf {v} _{1}=(1,1),$ $\mathbf {v} _{2}=(-3,2),$ 및 $\mathbf {v} _{3}=(2,4)$을 고려하고, 그런-다음 다음을 만족하는

$a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},$

또는

${\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.$

선형 종속성에 대한 조건은 비-영 스칼라 집합을 찾습니다.

두 번째 행에서 첫 번째 행을 뺌으로써 이 행렬 방정식을 행 축소(Row reduce)하여 다음을 얻습니다:

${\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.$

(i) 두 번째 행을 5로 나누고, 그런-다음 (ii) 3을 곱하고 그것을 첫 번째 행에 더하여 행 축소를 계속하면, 다음을 얻습니다:

${\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.$

이 방정식을 다시 정렬하면 다음을 얻을 수 있습니다:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.$

이는 $\mathbf {v} _{3}=(2,4)$가 $\mathbf {v} _{1}=(1,1)$과 $\mathbf {v} _{2}=(-3,2)$의 관점에서 정의될 수 있음을 만족하는 비-영 a_i가 존재함을 보여줍니다. 따라서, 세 벡터는 선형적으로 종속입니다.

Two vectors: 이제 두 벡터 $\mathbf {v} _{1}=(1,1)$와 $\mathbf {v} _{2}=(-3,2)$의 선형 종속성을 고려하고, 확인합니다:

$a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},$

또는

${\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.$

위에 제시된 같은 행 축소는 다음을 산출합니다,

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.$

이것은 $a_{i}=0$임을 보이며, 이는 벡터 $\mathbf {v} _{1}=(1,1)$와 $\mathbf {v} _{2}=(-3,2)$가 선형적으로 독립임을 의미합니다.

Vectors in R⁴

$\mathbb {R} ^{4}$에서 다음 세 개의 벡터가 선형적으로 독립임을 보이기 위해,

$\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.$

다음 행렬 방정식을 형성합니다:

${\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.$

이 방정식을 행 축소하여 다음을 얻습니다:

${\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.$

$\mathbf {v} _{3}$에 대해 풀기 위해 재정렬하고 다음을 얻습니다:

${\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.$

이 방정식은 비-영 $a_{i}$를 정의하기 위해 쉽게 풀립니다:

$a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,$

여기서 $a_{3}$는 임의적으로 선택될 수 있습니다. 따라서, 벡터 $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},$ 및 $\mathbf {v} _{3}$는 선형적으로 종속입니다.

Alternative method using determinants

대안적인 방법은 $\mathbb {R} ^{n}$에서 $n$ 벡터가 선형적으로 독립인 것과 벡터를 행렬의 열로 취함으로써 형성된 행렬(matrix)의 행렬식(determinant)이 비-영이라는 사실에 의존합니다.

이 경우에서, 벡터에 의해 형성된 행렬은 다음과 같습니다:

$A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.$

우리는 열의 선형 조합을 다음과 같이 작성할 수 있습니다:

$A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.$

우리는 어떤 비-영 벡터 Λ에 대해 AΛ = 0인지 여부에 관심이 있습니다. 이것은 $A$의 행렬식에 따라 달라지며, 이는 다음과 같습니다:

$\det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.$

행렬식(determinant)이 비-영이기 때문에, 벡터 $(1,1)$와 $(-3,2)$는 선형적으로 독립입니다.

그렇지 않으면, 우리가 $m<n$을 갖는 $n$ 좌표의 $m$ 벡터를 가진다고 가정합니다. 그런-다음 $A$는 m×n 행렬이고 Λ는 $m$ 엔트리를 갖는 열 벡터이고, 우리는 AΛ = 0에 다시 관심이 있습니다. 이전에 보았듯이, 이것은 $n$ 방정식 목록과 동등합니다. $A$의 첫 번째 $m$ 행, 첫 번째 $m$ 방정식을 생각해 보십시오; 전체 방정식 목록의 해는 축소된 목록에서도 참이어야 합니다. 사실, ⟨i₁,...,i_m⟩이 $m$ 행의 임의의 목록이면, 해당 행에 대해 방정식이 참이어야 합니다.

$A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .$

게다가, 그 반대가 참입니다. 즉, 모든 $m$ 행의 가능한 목록에 대해 다음 여부를 테스트함으로써 $m$ 벡터가 선형적으로 종속인지 여부를 테스트할 수 있습니다:

$\det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0$

(경우 $m=n$에서, 이것은 위에서 처럼 단 하나의 행렬식을 요구합니다. 만약 $m>n$이면, 벡터가 선형적으로 종속이어야 한다는 정리입니다.) 이 사실은 이론상 가치가 있습니다; 실제 계산에서는 보다 효율적인 방법을 사용할 수 있습니다.

More vectors than dimensions

만약 차원보다 벡터가 더 많이 있으면, 벡터는 선형적으로 종속입니다. 이것은 $\mathbb {R} ^{2}$에서 세 벡터에 대한 위의 예에서 설명되었습니다.

Natural basis vectors

$V=\mathbb {R} ^{n}$라고 놓고 자연 기저(natural basis) 벡터로 알려진 $V$에서 다음 원소를 생각해 보십시오:

${\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}$

그런-다음 $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}$는 선형적으로 독립입니다.

Proof

$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$가 다음을 만족하는 실수로 가정합니다:

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .$

다음이기 때문에,

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right),$

그때에 모든 $i=1,\ldots ,n$에 대해 $a_{i}=0$입니다.

Linear independence of functions

$V$를 실수 변수 $t$의 모든 미분-가능 함수(functions)의 벡터 공간(vector space)으로 놓습니다. 그런-다음 $V$에서 함수 $e^{t}$와 $e^{2t}$는 선형적으로 독립입니다.

Proof

$a$와 $b$가 다음을 만족하는 두 개의 실수라고 가정합니다:

$ae^{t}+be^{2t}=0$

위 방정식의 $t$의 모든 값에 대해 일차 도함수를 취합니다:

$ae^{t}+2be^{2t}=0$

우리는 $a=0$이고 $b=0$임을 보여줄 필요가 있습니다. 이를 수행하기 위해, 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼서, $be^{2t}=0$을 얻습니다. $e^{2t}$는 일부 $t$에 대해 영이 아니므로 $b=0$입니다. 이로 인해 $a=0$도 따라옵니다. 그러므로, 선형 독립성의 정의에 따르면, $e^{t}$과 $e^{2t}$는 선형적으로 독립입니다.

Space of linear dependencies

벡터 v₁, ..., v_n 사이의 선형 종속성(linear dependency) 또는 선형 관계(linear relation)는 다음을 만족하는 n 스칼라(scalar) 성분을 갖는 튜플 (a₁, ..., a_n)입니다:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

만약 그러한 선형 종속성이 적어도 비-영 구성 요소와 함께 존재하면, 그때에 n 벡터는 선형적으로 종속입니다. v₁, ..., v_n 사이의 선형 종속성은 벡터 공간을 형성합니다.

만약 벡터가 좌표에 의해 표현되면, 선형 종속성은 벡터 좌표를 계수로 갖는 동차 선형 방정식의 시스템(system of linear equations)의 해입니다. 따라서 선형 종속성의 벡터 공간의 기저(basis)는 가우스 소거법(Gaussian elimination)에 의해 계산될 수 있습니다.

Generalizations

Affine independence

See also: Affine space

벡터의 집합은 만약 벡터 집합에서 벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터들의 아핀 조합(affine combination)으로 정의될 수 있으면 아핀 종속적(affinely dependent)이라고 말합니다. 그렇지 않으면, 그 집합은 아핀적으로 독립(affinely independent)이라고 불립니다. 임의의 아핀 조합은 선형 조합입니다; 그러므로 모든 각 아핀적으로 종속 집합은 선형적으로 종속입니다. 역으로, 모든 각 선형적으로 독립 집합은 아핀적으로 독립입니다.

각각 크기 $n$의 $m$ 벡터 $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$의 집합을 고려하고, 각각 크기 $n+1$의 $m$ 증가된 벡터 ${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$의 집합을 고려합니다. 원래 벡터가 아핀적으로 독립인 것과 증가된 벡터가 선형적으로 독립인 것은 필요충분 조건입니다.

Linearly independent vector subspaces

벡터 공간 $X$의 두 개의 벡터 부분-공간 $M$과 $N$은 만약 $M\cap N=\{0\}$이면 선형적으로 독립이라고 말합니다. 보다 일반적으로, $X$의 부분-공간의 모음 $M_{1},\ldots ,M_{d}$는 모든 각 인덱스 $i$에 대해 ${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$이면 선형적으로 독립이라고 말하며, 여기서 ${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}}$입니다. 벡터 공간 $X$는 만약 이들 부분-공간이 선형적으로 독립이고 $M_{1}+\cdots +M_{d}=X$이면 $M_{1},\ldots ,M_{d}$의 직접 합(direct sum)이라고 말합니다.

See also

• Matroid

References

• Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Functional Analysis (Second ed.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. OCLC 829157984.

External links

• "Linear independence", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Linearly Dependent Functions at WolframMathWorld.
• Tutorial and interactive program on Linear Independence.
• Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.