Linear system

시스템 이론(systems theory)에서, 선형 시스템(linear system)은 선형 연산자(linear operator)의 사용을 기반으로 하는 시스템(system)의 수학적 모델(mathematical model)입니다. 선형 시스템은 전형적으로 비선형(nonlinear) 사례보다 훨씬 단순한 특색과 속성을 나타냅니다. 수학적 추상화 또는 이상화로서, 선형 시스템은 자동 제어(automatic control) 이론, 신호 처리(signal processing), 및 전기 통신(telecommunications)에서 중요한 응용을 찾습니다. 예를 들어 무선 통신 시스템의 전파 매체는 종종 선형 시스템으로 모델링할 수 있습니다.

Definition

일반적인 결정론적 시스템(deterministic system)은 입력 $x (t)$ 를 $t$ 의 함수로 출력 y(t)에 매핑하는 연산자 $H$ 로 설명될 수 있습니다.

시스템이 선형인 것과 그것이 (즉, 모든 입력, 모든 스케일링 상수, 및 모든 시간에 대해) 제한 없이 중첩 원리(superposition principle), 또는 동등하게 덧셈-가능성과 동차성 속성을 모두 만족시키는 것은 필요충분 조건입니다.^[1]^[2]^[3]^[4]

중첩 원리는 시스템에 대한 입력의 선형 조합이 개별 입력에 해당하는 개별 영-상태 출력 (즉, 초기 조건을 영으로 설정하는 출력)의 선형 조합을 생성한다는 것을 의미합니다.^[5]^[6]

동차성 속성을 만족시키는 시스템에서, 입력을 스케일링하는 것은 항상 같은 인수로 영-상태 응답을 스케일링합니다.^[6] 덧셈-가능성 속성을 만족시키는 시스템에서, 두 개의 입력을 더하는 것은 항상 개별 입력으로 인해 해당하는 두 개의 영-상태 응답을 더하는 것을 초래합니다.^[6]

수학적으로, 연속-시간 시스템에 대해, 두 개의 임의적인 입력이 주어지면, ${\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}$ 마찬가지로 각각의 영-상태 출력이 주어지면, ${\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}$ 선형 시스템은 임의의 스칼라(scalar) 값 $α$ 와 $β$ , 임의의 입력 신호 $x 1 (t)$ 과 $x 2 (t)$ , 및 모든 시간 $t$ 에 대해 다음을 만족시켜야 합니다: $\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$ 그런-다음 시스템은 방정식 $H (x (t)) = y (t)$ 로 정의되며, 여기서 $y (t)$ 는 일부 임의적인 시간의 함수이고, $x (t)$ 는 시스템 상태입니다. $y (t)$ 와 $H$ 가 주어지면, 그 시스템은 $x (t)$ 에 대해 풀 수 있습니다.

복소 입력을 받는 결과 시스템의 행동은 더 간단한 입력에 대한 응답의 합으로 설명될 수 있습니다. 비선형 시스템에서, 그러한 관계가 없습니다. 이 수학적 속성은 모델링 방정식의 해를 많은 비선형 시스템보다 단순하게 만듭니다. 시간-불변(time-invariant) 시스템에 대해, 이것은 충격 응답(impulse response) 또는 주파수 응답(frequency response) 방법 (LTI 시스템 이론을 참조)의 기초이며, 이는 단위 충격(unit impulses) 또는 주파수 구성 요소(frequency components)의 관점에서 일반 입력 함수 $x (t)$ 를 설명합니다.

선형 시간-불변 시스템의 전형적인 미분 방정식(differential equations)은 연속(continuous) 경우에서 라플라스 변환(Laplace transform)과 이산(discrete) 경우에서 (특히 컴퓨터 구현에서) Z-변환을 사용하는 분석에 잘 적용됩니다.

또 다른 관점은 선형 시스템에 대한 해가 기하학적 의미에서 벡터(vectors)처럼 행동하는 함수(functions)의 시스템으로 구성된다는 것입니다.

선형 모델의 공통적인 용도는 선형화(linearization)에 의해 비선형 시스템을 설명하는 것입니다. 이것은 보통 수학적 편의를 위해 수행됩니다.

선형 시스템의 이전 정의는 SISO (단일-입력 단일-출력) 시스템에 적용할 수 있습니다. MIMO (다중-입력 다중-출력) 시스템에 대해, 입력과 출력 신호 ( $x_{1}(t)$ , $x_{2}(t)$ , $y_{1}(t)$ , $y_{2}(t)$ ) 대신 입력과 출력 신호 벡터 ( $y_{2}(t)$ , ${\mathbf {x} }_{2}(t)$ , ${\mathbf {y} }_{1}(t)$ , ${\mathbf {y} }_{2}(t)$ )를 고려됩니다.^[2]^[4]

선형 시스템의 이러한 정의는 미적분학에서 선형 미분 방정식(linear differential equation)의 정의와 선형 대수에서 선형 변환(linear transformation)의 정의와 유사합니다.

Examples

단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator)는 다음 미분 방정식을 따릅니다: $m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.$

만약 다음이면, $H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),$ $H$ 는 선형 연산자입니다. $y (t) = 0$ 라고 놓으면, 우리는 미분 방정식을 $H (x (t)) = y (t)$ 로 다시 쓸 수 있으며, 이는 단순 조화 진동자가 선형 시스템임을 보여줍니다.

선형 시스템의 다른 예제는 $y(t)=k\,x(t)$ , $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ , $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$ 에 의해 설명되는 것들과 보통의 선형 미분 방정식에 의해 설명되는 임의의 시스템을 포함합니다.^[4] $y(t)=k$ , $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$ , $y(t)=\sin {[x(t)]}$ , $y(t)=\cos {[x(t)]}$ , $y(t)=x^{2}(t)$ , ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$ , $y(t)=|x(t)|$ 에 의해 설명되는 시스템, 및 선형 영역과 포화 (상수) 영역으로 구성되는 홀수-대칭 출력을 갖는 시스템은 비-선형인데 왜냐하면 그것들은 항상 중첩 원리를 만족시키지 않기 때문입니다.^[7]^[8]^[9]^[10]

선형 시스템의 입력 대 출력 그래프는 원점을 통과하는 직선일 필요는 없습니다. 예를 들어, $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ (예를 들어, 상수-정전 용량 콘덴서 또는 상수-인덕턴스 유도자)에 의해 설명되는 시스템을 생각해 보십시오. 그것은 선형인데 왜냐하면 그것은 중첩 원리를 만족시키기 때문입니다. 어쨌든, 입력이 정현파일 때, 출력도 정현파이고, 따라서 출력-입력 플롯은 원점을 통과하는 직선이 아니라 원점을 중심으로 하는 타원입니다.

역시, 선형 시스템의 출력은 입력이 정현파인 경우에도 조화(harmonics)를 포함할 수 있습니다 (그리고 입력보다 더 작은 기본 주파수를 가질 수 있습니다). 예를 들어, $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ 에 의해 설명되는 시스템을 생각해 보십시오. 그것은 선형인데 왜냐하면 그것은 중첩 원리를 만족시키기 때문입니다. 어쨌든, 입력이 $x(t)=\cos {(3t)}$ 형식의 정현파일 때, 곱-을-합으로 삼각법 항등식을 사용하여, 출력이 $y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}$ 임을 쉽게 보일 수 있으며, 즉, 출력은 입력과 같은 주파수 (3 rad/s)의 정현파로만 구성되지 않지만, 대신 주파수 2 rad/s와 4 rad/s의 정현파로도 구성됩니다; 게다가, 출력의 정현파의 기본 주기의 최소 공통 배수를 취하여, 출력의 기본 각 주파수가 입력의 주파수와 다른 1 rad/s임을 보일 수 있습니다.

Time-varying impulse response

선형 시스템의 시간-변하는 충격 응답(time-varying impulse response) $h (t 2, t 1)$ 은 시간 $t = t 1$ 에 적용된 단일 충격(impulse)에 대한 시간 t = t₂에서의 시스템 응답으로 정의됩니다. 다시 말해서, 만약 선형 시스템에 대한 입력 $x (t)$ 가 다음과 같고, $x(t)=\delta (t-t_{1})$ 여기서 $δ(t)$ 는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 나타내며, 시스템의 대응하는 응답 $y (t)$ 가 다음과 같으면, $y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})$ 함수 $h (t 2, t 1)$ 는 시스템의 시간-변하는 충격 응답입니다. 시스템은 입력이 적용되기 전에 응답할 수 없기 때문에, 다음과 같은 인과 관계 조건(causality condition)이 만족되어야 합니다: $h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}$

The convolution integral

임의의 일반적인 연속-시간 선형 시스템의 출력은 인과 관계 조건으로 인해 이중 무한 범위에 걸쳐 기록될 수 있는 적분에 의한 입력과 관련됩니다: $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'$

만약 시스템의 속성이 그것이 작동되는 시간에 의존하지 않으면, 시간-불변(time-invariant)이라고 말하고 h는 $τ < 0$ (즉, $t < t'$ )에 대해 영인 시간 차이 $τ = t - t'$ 만의 함수입니다. h의 재정의에 의해, 입력-출력 관계를 다음과 같은 어떤 방법으로든 동등하게 작성할 수 있습니다: $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$

선형 시간-불변 시스템은 다음과 같은 전달 함수(transfer function)라고 하는 충격 응답 함수의 라플라스 변환으로 가장 공통적으로 특징짓습니다: $H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.$

응용에서, 이것은 보통 $s$ 의 유리수 대수적 함수입니다. $h (t)$ 는 음의 $t$ 에 대해 영이기 때문에, 그 적분은 이중 무한 범위에 걸쳐 동등하게 쓸 수 있고 $s = iω$ 를 넣으면 주파수 응답 함수(frequency response function)에 대한 공식을 따릅니다: $H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt$

Discrete-time systems

임의의 이산-시간 선형 시스템의 출력은 시간-변하는 합성곱 합에 의한 입력과 관련됩니다: $y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}$ 또는 동등하게 h를 재정의하는 시간-불변 시스템에 대해, $y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$ 여기서 다음은 $k=n-m$ 시간 m의 자극과 시간 n에서 반응 사이의 지연 시간을 나타냅니다.

References

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