For linear dependence of random variables, see Covariance.
Linearly independent vectors in Linearly dependent vectors in a plane in
벡터 공간(vector space)의 이론에서, 벡터(vector)의 집합(set)은 만약 영 벡터와 같은 벡터의 비-자명한 선형 조합(linear combination)이 있으면 선형적 종속(linearly dependent)이라고 말합니다. 만약 그러한 선형 조합이 존재하지 않으면, 벡터는 선형적 독립(linearly independent)이라고 말합니다. 이들 개념은 차원(dimension)의 정의에서 핵심입니다.[1]
벡터 공간은 선형적 독립 벡터의 최대 숫자에 따라 유한 차원 또는 무한 차원이 될 수 있습니다. 선형 종속성의 정의와 벡터 공간의 벡터 부분-집합이 선형 종속인지 여부를 결정하는 능력은 벡터 공간의 차원을 결정하는 데 핵심입니다.
벡터의 열 은 만약 그것이 선형적으로 종속이 아니면, 즉, 다음 방정식이 에 대해 오직 에 의해 만족될 수 있으면 선형적으로 독립(linearly independent)이라고 말합니다:
이것은 열에서 어떤 벡터도 열에서 남아있는 벡터의 선형 조합으로 표시될 수 없음을 의미합니다. 다시 말해, 벡터의 열은 만약 그 벡터의 선형 조합으로서 의 유일한 표현이 모든 스칼라 가 영인 자명한 표현이면 선형적으로 독립입니다.[2] 훨씬 더 간결하게 말하면, 벡터 열이 선형적으로 독립인 것과 이 고유한 방법으로 그 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있는 것은 필요충분 조건입니다.
만약 벡터의 열이 같은 벡터를 두 번 포함하면, 그것은 반드시 종속적입니다. 벡터의 열의 선형 종속성은 열에서 항의 순서에 의존하지 않습니다. 이것은 유한한 벡터 집합에 대해 선형 독립성을 정의할 수 있게 합니다: 유한한 벡터 집합은 만약 그것들에 순서를 지정함으로써 얻은 열이 선형적으로 독립이면 선형적으로 독립입니다. 다시 말해, 우리는 종종 유용한 다음과 같은 결과를 가집니다.
벡터의 열이 선형적으로 독립인 것과 그것이 같은 벡터를 두 번 포함하지 않고 그 벡터의 집합이 선형적으로 독립인 것은 필요충분 조건입니다.
Infinite case
벡터의 무한 집합은 만약 모든 각 비-빈 유한 부분-집합(subset)이 선형적으로 독립이면 선형적으로 독립(linearly independent)입니다. 반대로, 무한한 벡터의 집합은 만약 그것이 선형적으로 종속인 유한 부분-집합을 포함하거나, 동등하게, 그 집합에서 일부 벡터가 그 집합에서 다른 벡터의 선형 조합이면 선형적으로 종속(linearly dependent)입니다.
벡터의 인덱싱된 가족(indexed family)은 만약 그것이 같은 벡터를 두 번 포함하지 않고 그 벡터의 집합이 선형적으로 독립이면 선형적으로 독립입니다. 그렇지 않으면, 그 가족은 선형적으로 종속이라고 말합니다.
선형 독립적이고 일부 벡터 공간에 스팬(spans)인 벡터의 집합은 해당 벡터 공간의 기저(basis)를 형성합니다. 예를 들어, 실수에 걸쳐 x에서 모든 다항식(polynomials)의 벡터 공간은 (무한) 부분-집합 {1, x, x2, ...}를 기저로 가집니다.
Geometric examples
와 가 독립이고 평면 P를 정의합니다.
, , 및 는 종속인데 왜냐하면 셋 모두는 같은 평면에 속하기 때문입니다.
와 는 종속인데 왜냐하면 그것들은 서로 평행하기 때문입니다.
, , 및 는 독립인데 왜냐하면 와 가 서로 독립이고 가 그것들의 선형 조합이 아니기 때문입니다. 또는 동등하게, 그것들이 공통 평면에 속하지 않기 때문입니다. 세 개의 벡터는 삼-차원 공간을 정의합니다.
벡터 (널 벡터, 그것의 성분이 영과 같음) 및 는 종속인데 왜냐하면 이기 때문입니다.
Geographic location
어떤 장소의 위치를 설명하는 사람은 "여기에서 북쪽으로 3마일, 동쪽으로 4마일입니다"라고 말할 수 있습니다. 지리 좌표 시스템은 2-차원 벡터 공간으로 고려될 수 있기 때문에 이것은 위치를 설명하는 데 (고도와 지구 표면의 곡률을 무시하여) 충분한 정보입니다. 그 사람은 "그 장소는 여기에서 북동쪽으로 5마일 떨어져 있습니다"라고 덧붙일 수 있습니다. 이 마지막 명제는 사실이지만, 위치를 찾을 필요는 없습니다.
이 예제에서 "북쪽으로 3마일" 벡터와 "동쪽으로 4마일" 벡터는 선형적으로 독립입니다. 다시 말해, 북쪽 벡터는 동쪽 벡터의 관점에서 설명될 수 없고, 그 반대도 마찬가지입니다. 세 번째 "북동쪽 5마일" 벡터는 다른 두 벡터의 선형 조합(linear combination)이고, 벡터의 집합을 선형적으로 종속으로 만듭니다. 즉, 세 벡터 중 하나는 평면 위의 특정 위치를 정의하는 데 필요하지 않습니다.
역시 고도가 무시되지 않으면, 선형적으로 독립 집합에 세 번째 벡터를 추가해야 함에 주목하십시오. 일반적으로, n-차원 공간에서 모든 위치를 설명하려면 n 개의 선형적으로 독립 벡터가 필요합니다.
Evaluating linear independence
The zero vector
만약 주어진 벡터 의 열에서 하나 이상의 벡터가 영 벡터 이면 벡터 는 반드시 선형적으로 종속입니다 (그리고 결과적으로, 그것들은 선형적으로 독립이 아닙니다). 그 이유를 알아보기 위해, 가 을 만족하는 인덱스 (즉, 의 원소)라고 가정합니다. 그런 다음 라고 놓고 (대안적으로, 를 임의의 다른 비-영 스칼라와 같게 두는 것도 작동함) 그런-다음 모든 다른 스칼라를 0으로 놓습니다 (명시적으로, 이것은 가 아닌 임의의 인덱스 에 대해 (즉, 에 대해), 결과적으로 가 되도록 라고 놓습니다). 를 단순화하면 다음과 같습니다:
모든 스칼라는 영이 아니기 때문에 (특히, ), 이것은 벡터 가 선형적으로 종속임을 입증합니다.
결과적으로, 영 벡터는 선형적으로 독립인 벡터의 임의의 모음에 속할 수 없습니다.
이제 의 열이 길이 1인 특수한 경우 (즉, 인 경우)를 생각해 보십시오. 정확하게 하나의 벡터로 구성된 벡터의 모음이 선형적으로 종속인 것과 해당 벡터가 영인 것은 필요충분 조건입니다. 명시적으로, 만약 이 임의의 벡터이면 열 (길이가 1의 열)은 선형적으로 종속인 것과 인 것은 필요충분 조건입니다; 대안적으로, 모음 은 선형적으로 독립인 것과 인 것은 필요충분 조건입니다.
Linear dependence and independence of two vectors
이 예제는 실수 또는 복소수 벡터 공간에서 정확히 두 개의 벡터 와 가 있는 특별한 경우를 고려합니다. 벡터 와 가 선형적으로 종속인 것과 다음 중 적어도 하나가 참인 것은 필요충분(iff) 조건입니다:
는 의 스칼라 배수입니다 (명시적으로, 이것은 임을 만족하는 스칼라 가 존재함을 의미함) 또는
는 의 스칼라 배수입니다 (명시적으로, 이것은 임을 만족하는 스칼라 가 존재함을 의미함).
만약 이면 를 설정함으로써 임을 가지며 (이 상등은 의 값이 무엇이든 관계없이 유지됩니다), 이는 (1)이 이 특정한 경우에 참임을 보여줍니다. 유사하게, 만약 이면 이기 때문에 (2)는 참입니다. 만약 이면 (예를 들어, 만약 그것들이 둘 다 영 벡터 과 같으면) (1)과 (2) 둘 다는 참입니다 (둘 다에 대해 를 사용합니다).
만약 이면 는 오직 이고이면 가능합니다; 이 경우에서, 로 결론짓기 위해 양쪽에 를 곱하는 것이 가능합니다. 이것은 이고 이면 (1)이 참인 것과 (2)가 참인 것인 필요충분 조건임을 보여줍니다; 즉, 이 특별한 경우에서 (1)과 (2)가 모두 참 (그리고 벡터는 선형적으로 종속)이거나 그렇지 않으면 (1)과 (2)가 모두 거짓 (그리고 벡터는 선형적으로 독립)입니다. 만약 이지만 대신 이면 와 중 적어도 하나는 영이어야 합니다. 게다가, 만약 와 중 정확히 하나가 이면 (다른 하나는 비-영), (1)과 (2) 중 정확히 하나가 참 (다른 하나는 거짓)입니다.
벡터 와 가 선형적으로 독립인 것과 가 의 스칼라 배수이고 가 의 스칼라 배수가 아닌 것은 필요충분 조건입니다.
그렇지 않으면, 우리가 을 갖는 좌표의 벡터를 가진다고 가정합니다. 그런-다음 는 m×n 행렬이고 Λ는 엔트리를 갖는 열 벡터이고, 우리는 AΛ = 0에 다시 관심이 있습니다. 이전에 보았듯이, 이것은 방정식 목록과 동등합니다. 의 첫 번째 행, 첫 번째 방정식을 생각해 보십시오; 전체 방정식 목록의 해는 축소된 목록에서도 참이어야 합니다. 사실, ⟨i1,...,im⟩이 행의 임의의 목록이면, 해당 행에 대해 방정식이 참이어야 합니다.
게다가, 그 반대가 참입니다. 즉, 모든 행의 가능한 목록에 대해 다음 여부를 테스트함으로써 벡터가 선형적으로 종속인지 여부를 테스트할 수 있습니다:
(경우 에서, 이것은 위에서 처럼 단 하나의 행렬식을 요구합니다. 만약 이면, 벡터가 선형적으로 종속이어야 한다는 정리입니다.) 이 사실은 이론상 가치가 있습니다; 실제 계산에서는 보다 효율적인 방법을 사용할 수 있습니다.
More vectors than dimensions
만약 차원보다 벡터가 더 많이 있으면, 벡터는 선형적으로 종속입니다. 이것은 에서 세 벡터에 대한 위의 예에서 설명되었습니다.
벡터의 집합은 만약 벡터 집합에서 벡터 중 적어도 하나가 다른 벡터들의 아핀 조합(affine combination)으로 정의될 수 있으면 아핀 종속적(affinely dependent)이라고 말합니다. 그렇지 않으면, 그 집합은 아핀적으로 독립(affinely independent)이라고 불립니다. 임의의 아핀 조합은 선형 조합입니다; 그러므로 모든 각 아핀적으로 종속 집합은 선형적으로 종속입니다. 역으로, 모든 각 선형적으로 독립 집합은 아핀적으로 독립입니다.
각각 크기 의 벡터 의 집합을 고려하고, 각각 크기 의 증가된 벡터 의 집합을 고려합니다. 원래 벡터가 아핀적으로 독립인 것과 증가된 벡터가 선형적으로 독립인 것은 필요충분 조건입니다.[3]: 256
Linearly independent vector subspaces
벡터 공간 의 두 개의 벡터 부분-공간 과 은 만약 이면 선형적으로 독립이라고 말합니다.[4] 보다 일반적으로, 의 부분-공간의 모음 는 모든 각 인덱스 에 대해 이면 선형적으로 독립이라고 말하며, 여기서 입니다.[4] 벡터 공간 는 만약 이들 부분-공간이 선형적으로 독립이고 이면 의 직접 합(direct sum)이라고 말합니다.