Lipschitz continuity

수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 독일 수학자 루돌프 립시츠(Rudolf Lipschitz)의 이름을 따서 지은 립시츠 연속성은 함수(function)에 대해 균등 연속성(uniform continuity)의 강한 형식입니다. 직관적으로, 립시츠 연속 함수(continuous function)는 그것이 얼마나 빨리 변화할 수 있는지에 제한이 있습니다: 이 함수의 그래프에 있는 모든 각 점의 쌍에 대해, 그것들을 연결하는 직선의 기울기의 절댓값(absolute value)이 이 실수보다 더 크지 않음을 만족하는 실수가 존재합니다; 그러한 경계 중 가장 작은 것은 함수의 립시츠 상수 (또는 균등 연속성의 모듈러스)라고 불립니다. 예를 들어, 경계진 일차 도함수를 가지는 모든 각 함수는 립시츠 연속입니다.^[1]

미분 방정식(differential equation) 이론에서, 립시츠 연속성은 초기 값 문제(initial value problem)에 대한 해의 존재와 고유성을 보장하는 피카르–린델뢰프 정리(Picard–Lindelöf theorem)의 핵심 조건입니다. 수축(contraction)이라고 불리는 특수한 유형의 립시츠 연속성이 바나흐 고정-점 정리(Banach fixed-point theorem)에서 사용됩니다.^[2]

우리는 실수 직선의 닫히고 경계진(closed and bounded) 비-자명한 구간에 걸쳐 함수에 대해 다음과 같은 엄격한 포함의 체인을 가지고 있습니다:

연속적으로 미분가능 ⊂ 립시츠 연속 ⊂ α-훨더 연속

여기서 0 < α ≤ 1. 우리는 역시 다음을 가집니다:

립시츠 연속 ⊂ 절대적으로 연속

Definitions

두 메트릭 공간(metric space) (X, d_X)와 (Y, d_Y)이 주어지면, 여기서 d_X는 집합 X 위에 메트릭(metric)을 나타내고 d_Y는 집합 Y 위의 메트릭이며, 함수 f : X → Y는 만약 X에서 x₁와 x₂에 대해, 다음을 만족하는 실수 상수 K ≥ 0가 존재하면 립시츠 연속이라고 불립니다:

d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).

^[3]

임의의 그러한 K는 함수 f에 대해 하나의 립시츠 상수로 참조되고 f는 역시 K-립시츠로 참조될 수 있습니다. 가장 작은 상수는 때때로 (최상의) 립시츠 상수라고 불립니다; 어쨌든, 대부분의 경우에서, 후자 개념은 덜 관련성이 있습니다. 만약 K = 1이면 그 함수는 짧은 맵(short map)이라고 불리고, 만약 0 ≤ K < 1이고 f가 메트릭 공간을 자체로 매핑하면, 그 함수는 수축(contraction)이라고 불립니다.

특히, 실수-값 함수(real-valued function) f : R → R은 만약 모든 실수 x₁와 x₂에 대해, 다음을 만족하는 양의 실수 상수 K가 존재하면 립시츠 연속이라고 불립니다.

|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.

이 경우에서, Y는 표준 메트릭 d_Y(y₁, y₂) = |y₁ − y₂|를 갖는 실수(real number) R의 집합이고, X는 R의 부분집합입니다.

일반적으로, 그 부등식은 만약 x₁ = x₂이면 (자명하게) 만족시킵니다. 그렇지 않으면, 우리가 립시츠 연속이 되는 함수를 동등하게 정의할 수 있는 것과 모든 x₁ ≠ x₂에 대해, 다음을 만족하는 상수 K ≥ 0가 존재하는 것은 필요충분(iff) 조건입니다:

{\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.

여러 실수 변수의 실수-값 함수에 대해, 이것이 유지되는 것과 모든 가름선의 기울기의 절댓값이 K에 의해 경계지는 것은 필요충분 조건입니다. 그 함수의 그래프 위에 한 점을 통과하는 기울기 K의 직선의 집합은 원형 원뿔을 형성하고, 함수가 립시츠인 것과 모든 곳에서 함수의 그래프는 이 원뿔 완전하게 밖에 놓이는 것은 필요충분 조건입니다 (그림을 참조하십시오).

함수가 만약 X에서 모든 각 x에 대해, U로 제한된 f가 립시츠 연속을 만족하는 x의 이웃(neighborhood) U가 존재하면 지역적으로 립시츠 연속이라고 불립니다. 동등하게, 만약 X가 지역적으로 컴팩트(locally compact) 메트릭 공간이면, f가 지역적으로 립시츠인 것과 그것이 X의 모든 각 컴팩트 부분집합 위에 립시츠 연속인 것은 필요충분 조건입니다. 지역적으로 컴팩트가 아닌 공간에서, 이것은 필요이지만 충분 조건은 아닙니다.

보다 일반적으로, X 위에 정의된 함수 f가 만약 X에서 모든 x와 y에 대해 다음을 만족하는 상수 M ≥ 0이 존재하면 훨더 연속이라고 말해지거나 X 위에 차수 α > 0의 훨더 조건(Hölder condition)을 만족시킨다고 말합니다:

d_{Y}(f(x),f(y))\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha }

때때로 차수 α의 훨더 조건은 역시 차수 α > 0의 균등 립시츠 조건이라고 불립니다.

만약 다음을 갖는 K ≥ 1가 존재하면:

{\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})

f는 쌍-립시츠(bilipschitz 또는 bi-Lipschitz라고 씀)라고 불립니다. 쌍-립시츠 매핑은 단사(injective)이고, 사실 그것의 이미지 위로의 위상동형(homeomorphism)입니다. 쌍립시츠 함수는 그것의 역 함수(inverse function)가 역시 립시츠인 단사 립시츠 함수와 같은 것입니다.

Examples

립시츠 연속 함수

모든 실수에 대해 정의된 함수 $f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}$ 는 립시츠 상수 K = 1를 갖는 립시츠 연속인데, 왜냐하면 그것은 모든 곳에서 미분가능(differentiable)이고 도함수의 절댓값이 1에 의해 위로 경계지기 때문입니다. 아래에 있는 "속성(Properties)" 아래의 목록화된 첫 번째 속성을 참조하십시오.
마찬가지로, 사인(sine) 함수는 립시츠 연속인데 왜냐하면 그것의 도함수, 코사인 함수는 절댓값에서 1에 의해 위로 경계지기 때문입니다.
실수 위에 정의된 함수 f(x) = |x|는 역 삼각형 부등식(Reverse triangle inequality)에 의해 1과 같은 립시츠 상수를 갖는 립시츠 연속입니다. 이것은 미분-가능이 아닌 립시츠 연속 함수의 예제입니다. 보다 일반적으로, 벡터 공간 위의 노름(norm)은 1과 같은 립시츠 상수를 갖는 결합된 메트릭에 관한 립시츠 연속입니다.

모든 곳에서 미분-가능은 아닌 립시츠 연속 함수

함수 $f(x)=|x|$

모든 곳에서 미분-가능이지만 연속적으로 미분-가능은 아닌 립시츠 연속 함수

함수 $f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$ , 그것의 도함수는 존재하지만 필연적으로 $x=0$ 에서 불연속성을 가집니다.

(전역적으로) 립시츠 연속은 아닌 연속 함수

[0, 1] 위에 정의된 함수 f(x) = √x는 립시츠 연속이 아닙니다. 이 함수는 x가 0으로 접근할 때 무한하게 올라가게 되는데 왜냐하면 그것의 도함수가 무한이기 때문입니다. 어쨌든, 그것은 균등하게 연속이고,^[4] α ≤ 1/2에 대해 클래스 C^{0, α}의 훨더 연속(Hölder continuous)과 역시 [0, 1] 위의 절대적으로 연속(absolutely continuous) 둘 다입니다 (그것의 둘 다는 전자를 의미합니다).

(지역적으로) 립시츠 연속이 아닌 미분-가능 함수

0<x≤1에 대해 f(0) = 0와 f(x) = x^3/2sin(1/x)에 의해 정의된 함수 f는 컴팩트 집합 위에 미분-가능이지만 지역적으로 립시츠가 아닌 함수의 예제를 제공하는데 왜냐하면 그것의 도함수 함수는 경계진 것이 아니기 때문입니다. 역시 아래의 첫 번째 속성을 참조하십시오.

(전역적으로) 립시츠 연속이 아닌 해석적 함수

지수 함수(exponential function)는 x → ∞일 때 임의적으로 올라가게 되고, 따라서 전역적으로 립시츠 연속은 아니며, 그럼에도 불구하고 해석적 함수(analytic function)입니다.
모든 실수 도메인을 갖는 함수 f(x) = x²는 립시츠 연속이 아닙니다. 이 함수는 x가 무한대로 접근할 때 임의적으로 올라가게 됩니다. 그것은 어쨌든 지역적으로 립시츠 연속입니다.

Properties

모든 곳에 미분-가능 함수 g : R → R는 (K = sup |g′(x)|를 갖는) 립시츠 연속인 것과 그것이 경계진 일차 도함수(first derivative)인 것은 필요충분 조건입니다; 한 방향은 평균 값 정리(mean value theorem)에서 따릅니다. 특히, 임의의 연속적으로 미분-가능 함수는 지역적으로 립시츠인데, 왜냐하면 연속 함수는 지역적으로 경계진 것이므로 그것의 그래디언트는 마찬가지로 지역적으로 경계진 것이기 때문입니다.
립시츠 함수 g : R → R는 절대적으로 연속(absolutely continuous)이고 따라서 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 미분-가능, 즉, 르베그 측정(Lebesgue measure) 영의 집합 밖에 모든 각 점에서 미분-가능입니다. 그것의 도함수는 립시츠 상수에 의 해 크기에서 본질적으로 경계진(essentially bounded) 것이고, a < b에 대해, 차이 g(b) − g(a)는 구간 [a, b] 위에 도함수 g의 적분과 같습니다.
- 반대로, 만약 f : I → R가 절대적으로 연속이고 따라서 거의 모든 곳에서 미분-가능이고, I에서 거의 모든 x에 대해 |f′(x)| ≤ K를 만족시키면, f는 립시츠 상수 많아야 K를 갖는 립시츠 연속입니다.
- 보다 일반적으로, 라데마허의 정리(Rademacher's theorem)는 미분가능성 결과를 유클리드 공간 사이의 립시츠 매핑으로 확장합니다: 립시츠 맵 f : U → R^m는, 여기서 U는 Rⁿ에서 열린 집합이며, 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 미분-가능(differentiable)입니다. 게다가, 만약 K가 f의 최상의 립시츠 상수이면, 전체 도함수(total derivative) Df가 존재할 때마다 $\|Df(x)\|\leq K$ 입니다.
미분-가능 립시츠 맵 f : U → R^m에 대해, 부등식 $\|Df\|_{\infty ,U}\leq K$ 은 f의 최상의 립시츠 상수에 대해 유지되고, 만약 도메인 U가 볼록이면 상등으로 판명됩니다.
{f_n}가 두 메트릭 공간 사이의 립시츠 연속 매핑의 수열이고, 모든 f_n가 일부 K에 의해 경계진 립시츠 상수를 가진다고 가정합니다. 만약 f_n가 균등하게(uniformly) 매핑 f로 수렴하면, f는 역시 같은 K에 의해 경계진 립시츠 상수를 갖는 립시츠입니다. 특히, 이것은 립시츠 상수에 대해 특정 경계를 갖는 컴팩트 메트릭 공간 위에 실수-값 함수의 집합이 연속 함수의 바나흐 공간(Banach space)의 닫히고 볼록 부분집합임을 의미합니다. 이 결과는 그 함수가 어쨌든 무경계진 립시츠 상수를 가질 수 있는 수열에 대해 유지되지 않습니다. 사실, 컴팩트 메트릭 공간 위에 모든 립시츠 함수의 공간은 연속 함수의 바나흐 공간의 부분대수이고, 따라서 그것에서 조밀하며, 스톤–바이어슈트라스 정리(Stone–Weierstrass theorem)의 기본 결과입니다 (또는 바이어슈트라스 근사화 정리(Weierstrass approximation theorem)의 결과로, 왜냐하면 모든 각 다항식은 지역적으로 립시츠 연속이기 때문입니다).
모든 각 립시츠 연속 맵은 균등하게 연속(uniformly continuous)이고, 따라서 포르티오리 연속(continuous)입니다. 보다 일반적으로, 경계진 립시츠 상수를 갖는 함수의 집합은 동등-연속(equicontinuous) 집합을 형성합니다. 아르첼라–아스콜리 정리(Arzelà–Ascoli theorem)는 만약 {f_n}가 경계진 립시츠 상수를 갖는 함수의 균등하게 경계진(uniformly bounded) 수열이면, 그것은 수렴하는 부분수열을 가집니다. 이전 단락의 결과에 의해, 극한 함수는 역시 립시츠 상수에 대해 같은 경계를 갖는 립시츠입니다. 특히, 립시츠 상수 ≤ K 를 가지는 컴팩트 메트릭 공간 X에 대한 모든 실수-값 립시츠 함수의 집합은 바나흐 공간 C(X)의 지역적으로 컴팩트(locally compact) 볼록 부분집합입니다.
공통적인 상수를 갖는 립시츠 연속 함수 f_α의 가족에 대해, 함수 $\sup _{\alpha }f_{\alpha }$ (및 $\inf _{\alpha }f_{\alpha }$ )는 같은 립시츠 상수를 갖는 마찬가지로 립시츠 연속이며, 그것이 적어도 한 점에서 유한 값을 가정하는 조건 아래에서 그렇습니다.
만약 U가 메트릭 공간 M의 부분집합이고 f : U → R가 립시츠 연속 함수이면, f를 확장하고 같은 립시츠 상수를 f로 가지는 립시츠 연속 맵 M → R이 항상 존재합니다 (역시 체리브라운 정리(Kirszbraun theorem)를 참조하십시오). 하나의 확장은 다음에 의해 제공됩니다:

{\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},

여기서 k는 U 위에 f에 대해 립시츠 상수입니다.

Lipschitz manifolds

U와 V를 Rⁿ에서 두 열린 집합으로 놓습니다. 함수 T : U → V는 만약 그것이 그것의 이미지 위로의 립시츠 위상-동형이고, 그것의 역은 역시 립시츠이면, 쌍-립시츠라고 불립니다.

쌍-립시츠 매핑을 사용하면, 쌍-립시츠 위상-동형에 유사그룹(pseudogroup) 구조가 있기 때문에 토폴로지적 매니폴드(topological manifold)에서 립시츠 구조를 정의하는 것이 가능합니다. 이 구조는 조각별-선형 매니폴드(piecewise-linear manifold)와 매끄러운 매니폴드(smooth manifold)의 구조 사이의 중간입니다. 실제로 PL 구조는 고유한 립시츠 구조를 발생시킵니다;^[5] 그것은 해당 의미에서 '거의' 매끄럽게 될 수 있습니다.

One-sided Lipschitz

F(x)를 x의 위쪽 반-연속(upper semi-continuous) 함수라고 놓고, 해당 F(x)는 모든 x에 대해 닫힌, 볼록 집합입니다. 그런-다음 F는 일부 C와 모든 x₁와 x₂에 대해, 다음이면 한-쪽 립시츠입니다:^[6]

(x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}

.

함수 F가 매우 큰 립시츠 상수를 가질 수 있지만 적당한 크기, 또는 심지어 음의, 한-쪽 립시츠 상수를 가질 수 있는 것이 가능합니다. 예를 들어, 다음 함수는

{\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}

립시츠 상수 K = 50와 한-쪽 립시츠 상수 C = 0를 가집니다. 한-쪽 립시츠이지만 립시츠 상수가 아닌 예제는 C = 0을 갖는 F(x) = e^−x입니다.

References

^ Sohrab, H. H. (2003). Basic Real Analysis. Vol. Vol. 231. Birkhäuser. p. 142. ISBN 0-8176-4211-0. {{cite book}}: |volume= has extra text (help)
^ Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2001). Elementary Real Analysis. Prentice-Hall. p. 623.
^ Searcóid, Mícheál Ó (2006), "Lipschitz Functions", Metric Spaces, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7
^ Robbin, Joel W., Continuity and Uniform Continuity (PDF)
^ "Topology of manifolds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
^ Donchev, Tzanko; Farkhi, Elza (1998). "Stability and Euler Approximation of One-sided Lipschitz Differential Inclusions". SIAM Journal on Control and Optimization. 36 (2): 780–796. doi:10.1137/S0363012995293694.

[1] Sohrab, H. H. (2003). Basic Real Analysis. Vol. Vol. 231. Birkhäuser. p. 142. ISBN 0-8176-4211-0. {{cite book}}: |volume= has extra text (help)

[2] Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2001). Elementary Real Analysis. Prentice-Hall. p. 623.

[3] Searcóid, Mícheál Ó (2006), "Lipschitz Functions", Metric Spaces, Springer undergraduate mathematics series, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-84628-369-7

[4] Robbin, Joel W., Continuity and Uniform Continuity (PDF)

[5] "Topology of manifolds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[6] Donchev, Tzanko; Farkhi, Elza (1998). "Stability and Euler Approximation of One-sided Lipschitz Differential Inclusions". SIAM Journal on Control and Optimization. 36 (2): 780–796. doi:10.1137/S0363012995293694.

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