Normed vector space

Original article: w:Normed vector space

Hierarchy of mathematical spaces. Normed vector spaces are a superset of inner product spaces and a subset of metric spaces, which in turn is a subset of topological spaces.

수학(mathematics)에서, 노름된 벡터 공간(normed vector space) 또는 노름된 공간(normed space)은 노름(norm)이 정의된 실수 또는 복소수에 걸쳐 벡터 공간(vector space)입니다. 노름은 물리적 세계에서 "길이"의 직관적인 개념의 일반화입니다. 만약 $V$가 $K$에 걸쳐 벡터 공간이면, 여기서 $K$는 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$와 같은 필드이며, $V$ 위에 노름은 전형적으로 $\lVert \cdot \rVert$로 표시되는 맵 $V\to \mathbb {R}$이며, 다음 네 가지 공리를 만족시킵니다:

1. 비-음수성: 모든 각 $x\in V$에 대해,$\;\lVert x\rVert \geq 0$.
2. 양수 한정성: 모든 각 $x\in V$에 대해, $\;\lVert x\rVert =0$인 것과 $x$가 영 벡터인 것은 필요충분 조건입니다.
3. 절대 동차성: 모든 각 $\lambda \in K$와 $x\in V$에 대해,$$\lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert$$
4. 삼각형 부등식(Triangle inequality): 모든 각 $x\in V$와 $y\in V$에 대해,$$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$$

만약 $V$가 위에서 처럼 실수 또는 복소수 벡터 공간이고, $\lVert \cdot \rVert$가 $V$ 위에 노름이면, 순서쌍 $(V,\lVert \cdot \rVert )$는 노름된 벡터 공간이라고 불립니다. 만약 노름이 의도된 문맥에서 분명하면, 노름된 벡터 공간을 단순히 $V$로 표시하는 것이 공통적입니다.

노름은 다음 공식에 의해 (노름) 유도된 메트릭((norm) induced metric)이라고 불리는 거리(distance)를 유도합니다: $$d(x,y)=\|y-x\|.$$ 이는 임의의 노름된 벡터 공간을 메트릭 공간(metric space)과 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)으로 만듭니다. 만약 이 메트릭 공간이 완비(complete)이면 노름된 공간은 바나흐 공간(Banach space)입니다. 모든 각 노름된 벡터 공간은 바나흐 공간으로 "고유하게 확장"될 수 있으며, 이는 바나흐 공간과 밀접하게 관련된 노름된 공간을 만듭니다. 모든 각 바나흐 공간은 노름된 공간이지만 전환은 참이 아닙니다. 예를 들어, 실수의 유한 수열(finite sequences)의 집합은 유클리드 노름(Euclidean norm)으로 노름될 수 있지만, 이 노름에 대해서는 완비가 아닙니다.

안의 곱 공간(inner product space)은 노름이 벡터와 자신의 안의 곱의 제곱근인 노름된 벡터 공간입니다. 유클리드 벡터 공간(Euclidean vector space)의 유클리드 노름(Euclidean norm)은 다음 공식에 의해 유클리드 거리를 정의할 수 있는 특별한 경우입니다: $$d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.$$

노름된 공간과 바나흐 공간에 대한 연구는 수학의 주요 하위 분야인 함수형 해석(functional analysis)의 토대적 부분입니다.

Definition

See also: Seminormed space

노름된 벡터 공간(normed vector space)은 노름(norm)을 갖춘 벡터 공간(vector space)입니다. 반노름 벡터 공간(seminormed vector space)은 반노름(seminorm)을 갖춘 벡터 공간입니다.

유용한 삼각형 부등식의 변형은 임의의 벡터 $x$ and $y$에 대해 다음과 같습니다:$$\|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||$$ 이것은 역시 벡터 노름이 (균등하게) 연속적인 함수(continuous function)임을 보여줍니다.

속성 3은 스칼라의 필드 위에 노름 $|\alpha |$의 선택에 따라 달라집니다. 스칼라 필드가 $\mathbb {R}$ (또는 보다 일반적으로 $\mathbb {C}$의 부분집합)일 때, 이것은 일반적으로 보통의 절댓값(absolute value)으로 고려되지만, 다른 선택도 가능합니다. 예를 들어, $\mathbb {Q}$에 걸쳐 벡터 공간에 대해, $\mathbb {Q}$를 $p$-진수 절댓값($p$-adic absolute value)으로 취할 수 있습니다.

Topological structure

만약 $(V,\|\,\cdot \,\|)$가 노름된 벡터 공간이면, 노름 $\|\,\cdot \,\|$은 $V$ 위에 메트릭(metric, 거리의 개념)과 따라서 토폴로지(topology)를 유도합니다. 이 메트릭은 자연스러운 방법에서 정의됩니다: 두 벡터 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$ 사이의 거리는 $\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|$에 의해 주어집니다. 이 토폴로지는 $V$를 연속으로 만들고 다음 의미에서 $V$의 선형 구조와 호환되는 정확하게 가장 약한 토폴로지입니다:

1. 벡터 덧셈 $\,+\,:V\times V\to V$은 이 토폴로지에 관해 결합적으로 연속입니다. 이것은 삼각형 부등식(triangle inequality)에서 직접 따릅니다.
2. 스칼라 곱셈 $\,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V$은, 여기서 $\mathbb {K}$는 $V$의 놓여있는 스칼라 필드이며, 결합적으로 연속입니다. 이것은 삼각형 부등식과 노름의 동차성에서 따릅니다.

유사하게, 임의의 반노름된 벡터 공간에 대해, 두 벡터 $\mathbf {u}$와 $\mathbf {v}$ 사이의 거리를 $\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|$로 정의할 수 있습니다. 이것은 반노름된 공간을 유사메트릭 공간(pseudometric space, 이는 메트릭보다 약함에 주의)으로 바꾸고 연속성(continuity) 및 수렴(convergence)과 같은 개념의 정의를 허용합니다. 좀 더 추상적으로 표현하면, 모든 각 반노름된 벡터 공간은 토폴로지적 벡터 공간이고 따라서 반-노름에 의해 유도되는 토폴로지적 구조(topological structure)를 지닙니다.

특히 흥미로운 것은 바나흐 공간(Banach space)으로 알려진 완비(complete) 노름된 공간입니다. 모든 각 노름된 벡터 공간 $V$는 일부 바나흐 공간 내부에 조밀한 부분공간으로 위치합니다; 이 바나흐 공간은 본질적으로 $V$에 의해 고유하게 정의되고 $V$의 완비(completion)라고 불립니다.

같은 벡터 공간 위에 두 개의 노름은 만약 그것들이 같은 토폴로지(topology)를 정의하면 동등하다(equivalent)고 합니다. 유한-차원 벡터 공간 위에, 모든 노름이 동등하지만 이것은 무한 차원 벡터 공간에 대해 참이 아닙니다.

유한-차원 벡터 공간의 모든 노름은 그것들이 같은 토폴로지를 유도하기 때문에 토폴로지적 관점에서 동등합니다 (결과 메트릭 공간이 같을 필요는 없습니다). 그리고 임의의 유클리드 공간이 완비이기 때문에, 우리는 따라서 모든 유한-차원 노름된 벡터 공간이 바나흐 공간이라는 결론을 내릴 수 있습니다. 노름된 벡터 공간 $V$가 지역적으로 컴팩트(locally compact)인 것과 단위 공 $B=\{x:\|x\|\leq 1\}$이 컴팩트한 것은 필요충분 조건이며, 이것이 그 경우인 것과 $V$가 유한-차원인 것은 필요충분 조건입니다; 이것은 리스의 보조정리(Riesz's lemma)의 결과입니다. (사실, 보다 일반적인 결과는 참입니다: 토폴로지적 벡터 공간이 지역적으로 컴팩트인 것과 그것이 유한-차원인 것은 필요충분 조건입니다. 여기서 요점은 토폴로지가 노름에서 온다고 가정하지 않는다는 것입니다.)

반노름된 벡터 공간의 토폴로지는 많은 좋은 속성을 가지고 있습니다. 0 주변의 이웃 시스템(neighbourhood system) ${\mathcal {N}}(0)$이 주어졌을 때, 모든 다른 이웃 시스템을 다음과 같이 구성할 수 있습니다:$${\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}$$ 이때 $$x+N:=\{x+n:n\in N\}.$$

게다가, 흡수 집합(absorbing sets)과 볼록 집합(convex sets)으로 구성된 원점에 대한 이웃 기저(neighbourhood basis)가 존재합니다. 이 속성은 함수형 해석(functional analysis)에 매우 유용하기 때문에, 이 속성을 갖는 노름된 벡터 공간의 일반화는 지역적으로 볼록 공간(locally convex spaces)이라는 이름 아래에서 연구됩니다.

토폴로지적 벡터 공간 $(X,\tau )$ 위에 노름 (또는 반노름) $\|\cdot \|$이 연속인 것과 $\|\cdot \|$가 $X$ 위에 유도하는 토폴로지 $\tau _{\|\cdot \|}$가 $\tau$보다 더 엉성하며 ($\tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau$를 의미), 이것이 발생하는 것과 $(X,\tau )$에서 열린 (다르게 말하자면, $B\in \tau$임을 만족하는) $(X,\|\cdot \|)$에서 열린 공 (예를 들어, 아마도 $\{x\in X:\|x\|<1\}$)가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.

Normable spaces

See also: Metrizable topological vector space § Normability

토폴로지적 벡터 공간(topological vector space) $(X,\tau )$은 만약 정식의 메트릭 $(x,y)\mapsto \|y-x\|$가 $X$ 위에 토폴로지 $\tau$를 유도함을 만족하는 $X$ 위의 노름 $\|\cdot \|$이 존재하면 노름가능(normable)이라고 불립니다. 다음 정리는 콜모고로프(Kolmogorov)에 기인합니다:

콜모고로프의 노름가능성 기준(Kolmogorov's normability criterion): 하우스도르프 토폴로지적 벡터 공간이 노름-가능인 것과 $0\in X$의 볼록, 폰 노이만 경계진(von Neumann bounded) 이웃이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.

노름가능 공간의 가족의 곱이 노름가능인 것과 공간의 유한하게 많은 것만 비-자명한 (즉, $\neq \{0\}$) 것은 필요충분 조건입니다. 게다가 닫힌 벡터 부분공간 $C$에 의한 노름가능 공간 $X$의 몫은 노름가능이고, 만약 추가로 $X$의 토폴로지가 노름 $\|\,\cdot \,\|$에 의해 주어지면 ${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$에 의해 주어진 맵 $X/C\to \mathbb {R}$은 $X/C$ 위에 몫 토폴로지(quotient topology)를 유도하는 $X/C$ 위에 잘 정의된 노름입니다.

만약 $X$가 하우스도르프 지역적으로 볼록(locally convex) 토폴로지적 벡터 공간이면 다음은 동등합니다:

1. $X$는 노름가능입니다.
2. $X$는 원점의 경계진 이웃을 가집니다.
3. $X$의 강한 이중 공간(strong dual space) $X_{b}^{\prime }$는 노름가능입니다.
4. $X$의 강한 이중 공간 $X_{b}^{\prime }$은 메트릭가능(metrizable)입니다.

게다가, $X$가 유한 차원인 것과 $X_{\sigma }^{\prime }$가 노름가능인 것은 필요충분 조건입니다 (여기서 $X_{\sigma }^{\prime }$는 약한-* 토폴로지가 부여된$X^{\prime }$를 나타냅니다).

프레셰 공간(Fréchet space) $C^{\infty }(K)$의 토폴로지 $\tau$는, 테스트 함수와 분포의 공간에 대한 기사에서 정의된 것처럼, 셀-수-있는 노름의 가족에 의해 정의되지만 노름가능 공간은 아닌데 왜냐하면 이 노름이 유도하는 토폴로지가 $\tau$와 같음을 만족하는 $C^{\infty }(K)$ 위에 임의의 노름 $\|\cdot \|$이 존재하지 않기 때문입니다.

측정-가능 토폴로지적 벡터 공간이 노름의 가족에 의해 정의되는 토폴로지를 가지고 있더라도, 그럼에도 불구하고 여전히 노름가능 공간이 될 수 없습니다 (그 토폴로지가 임의의 단일 노름에 의해 정의될 수 없음을 의미합니다). 그러한 공간의 예제는 프레셰 공간 $C^{\infty }(K)$이며, 그 정의는 테스트 함수와 분포의 공간에 대한 기사에서 찾을 수 있는데, 왜냐하면 그 토폴로지 $\tau$는 셀-수-있는 노름의 가족에 의해 정의되지만 이 노름이 유도하는 토폴로지가 $\tau$와 같음을 만족하는 $C^{\infty }(K)$ 위에 임의의 노름이 존재하지 않기 때문에 노르가능 공간이 아니기 때문입니다. 사실, 지역적으로 볼록 공간(locally convex space) $X$의 토폴로지가 $X$ 위에 노름의 가족에 의해 정의되는 것과 $X$ 위에 적어도 하나의 연속 노름이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다.

Linear maps and dual spaces

두 개의 노름된 벡터 공간 사이에서 가장 중요한 맵은 연속 선형 맵(continuous linear maps)입니다. 이들 맵과 함께, 노름된 벡터 공간은 카테고리(category)를 형성합니다.

노름은 그것의 벡터 공간 위에 연속 함수입니다. 유한 차원 벡터 공간 사이의 모든 선형 맵도 연속적입니다.

노름된 두 벡터 공간 사이의 등거리변환(isometry)은 노름을 보존하는 선형 맵 $f$입니다 (모든 벡터 $\mathbf {v}$에 대해 $\|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|$임을 의미합니다). 등거리변환은 항상 연속적이고 단사적(injective)입니다. 노름된 벡터 공간 $V$와 $W$ 사이의 전사적(surjective) 등거리변환은 등거리변한적 동형(isometric isomorphism)이라고 불리고, $V$와 $W$는 등거리변환적으로 동형적(isometrically isomorphic)이라고 불립니다. 등거리변환적으로 동형적 노름된 벡터 공간은 모든 실제 목적에 대해 동일합니다.

노름된 벡터 공간에 대해 말할 때, 우리는 노름을 고려하기 위해 이중 공간(dual space)의 개념을 보강합니다. 노름된 벡터 공간 $V$의 이중 $V^{\prime }$는 $V$에서 기본 필드 (복소수 또는 실수)로의 모든 연속 선형 맵의 공간입니다 — 그러한 선형 맵은 "함수형(functionals)"이라고 불립니다. 함수형 $\varphi$의 노름은 $|\varphi (\mathbf {v} )|$의 상한(supremum)으로 정의되며, 여기서 $\mathbf {v}$는 $V$에서 모든 단위 벡터 (즉, 노름 1의 벡터)에 걸쳐 있습니다. 이것은 $V^{\prime }$을 노름된 벡터 공간으로 바꿉니다. 노름된 벡터 공간 위에 연속 선형 함수형에 대한 중요한 정리는 한–바나흐 정리(Hahn–Banach theorem)입니다.

Normed spaces as quotient spaces of seminormed spaces

많은 노름된 공간 (특히, 바나흐 공간)의 정의는 벡터 공간 위에 정의된 반노름을 포함하고 그런-다음 노름된 공간은 반노름 영의 원소의 부분공간에 의한 몫 공간(quotient space)으로 정의됩니다. 예를 들어, $L^{p}$ 공간과 함께, 다음과 같이 정의된 함수는 $$\|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}$$ 오른쪽 변의 르베그 적분(Lebesgue integral)이 정의되고 유한한 모든 함수의 벡터 공간 위에 반노름입니다. 어쨌든, 그 반노름은 르베그 측정(Lebesgue measure) 영의 집합 위에 지원된 임의의 함수에 대해 영과 같습니다. 이들 함수는 우리가 "나누는(quotient out)" 부분공간을 형성하여, 영 함수와 동등하게 만듭니다.

Finite product spaces

반노름 $q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R}$을 갖는 $n$ 반노름된 공간 $\left(X_{i},q_{i}\right)$가 주어졌을 때, 다음에 의해 곱 공간(product space)을 표시합니다: $$X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}$$ 여기서 벡터 덧셈은 다음과 같이 정의됩니다: $$\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)$$ 그리고 스칼라 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다: $$\alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).$$

다음에 의해 새로운 함수 $q:X\to \mathbb {R}$를 정의합니다: $$q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),$$ 이는 $X$ 위에 반노름입니다. 함수 $q$가 노름인 것과 모든 $q_{i}$가 노름인 것은 필요충분 조건입니다.

보다 일반적으로, 각 실수 $p\geq 1$에 대해 다음에 의해 정의된 맵 $q:X\to \mathbb {R}$은 반노름입니다: $$q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$$ 각 $p$에 대해 이것은 같은 토폴로지적 공간을 정의합니다.

기본 선형 대수를 포함하는 직접적인 주장은 유일한 유한-차원 반노름된 공간이 노름된 공간과 자명한 반노름을 갖는 공간의 곱 공간으로 발생하는 공간이라는 것을 보여줍니다. 결과적으로, 반노름된 공간의 더 흥미로운 예제와 응용은 무한-차원 벡터 공간에 대해 발생합니다.

See also

• Banach space, normed vector spaces which are complete with respect to the metric induced by the norm
• Banach–Mazur compactum
• Finsler manifold, where the length of each tangent vector is determined by a norm
• Inner product space, normed vector spaces where the norm is given by an inner product
• Kolmogorov's normability criterion
• Locally convex topological vector space – a vector space with a topology defined by convex open sets
• Space (mathematics) – mathematical set with some added structure
• Topological vector space

Bibliography

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Template:Banach Théorie des Opérations Linéaires
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), vol. 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR 0920371, OCLC 13064804
• Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

External links

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