Null set

수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 널 집합(null set) $N\subset \mathbb {R}$ 은 측정 영을 가지는 측정-가능 집합(measurable set)입니다. 이것은 임의적으로 작은 전체 길이의 구간(interval)의 셀-수-있는(countable) 합집합에 의해 covered(덮혀질) 수 있는 집합으로 특성화될 수 있습니다.

널 집합의 개념은 집합 이론(set theory)에서 정의된 빈 집합(empty set)과 혼동되어서는 안 됩니다. 비록 빈 집합이 르베그 측정(Lebesgue measure) 영을 가질지라도, 널인 비-빈 집합이 역시 있습니다. 예를 들어, 실수의 임의의 비-빈 셀-수-있는 집합은 르베그 측정 영을 가지고 따라서 널입니다.

보다 일반적으로, 주어진 측정 공간(measure space) $M=(X,\Sigma ,\mu )$ 위에, 널 집합은 $\mu (S)=0$ 를 만족하는 집합 $S\subset X$ 입니다.

Example

실수의 모든 각 유한 또는 셀-수-있는 무한 부분집합은 널 집합입니다. 예를 들어, 자연수 집합과 유리수의 집합은 둘 다 셀-수-있는 무한이고 따라서 실수의 부분집합으로 고려될 때 널 집합입니다.

칸토어 집합(Cantor set)은 셀-수-없는 널 집합의 예제입니다.

Definition

$A$ 가 다음을 만족하는 실수 직선(real line) $\mathbb {R}$ 의 부분집합으로 가정합니다: $\forall \varepsilon >0,\ \exists \left\{U_{n}\right\}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ \land \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|U_{n}\right|<\varepsilon \,,$

여기서 $U n$ 는 구간(interval)이고 $| U |$ 는 $U$ 의 길이이며, 그런-다음 $A$ 는 널 집합이며,^[1] 역시 영-컨텐츠의 집합으로 알려져 있습니다.

수학적 해석학(mathematical analysis)의 용어에서, 이 정의는 덮개의 길이의 극한(limit)이 영인 $A$ 의 열린 덮개(open cover)의 수열(sequence)이 있음을 요구합니다.

Properties

빈 집합(empty set)은 항상 널 집합입니다. 보다 일반적으로, 널 집합의 임의 셀-수-있는(countable) 합집합(union)은 널입니다. 널 집합의 임의의 측정-가능 부분집합은 그 자체로 널 집합입니다. 함께, 이들 사실은 X의 m-널 집합이 X에 대한 시그마-아이디얼(sigma-ideal)을 형성한다는 것을 보여줍니다. 유사하게, 측정-가능 m-널 집합은 측정-가능 집합의 시그마-대수(sigma-algebra)의 시그마-아이디얼을 형성합니다. 따라서, 널 집합은 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 개념을 정의하는 무시할 수 있는 집합(negligible set)으로 해석될 수 있습니다.

Lebesgue measure

르베그 측정(Lebesgue measure)은 유클리드 공간(Euclidean space)의 부분집합에 대한 길이(length), 넓이(area), 또는 부피(volume)를 할당하는 표준 방법입니다.

$\mathbb {R}$ 의 부분집합 N은 널 르베그 측정이고 $\mathbb {R}$ 에서 널 집합으로 고려되는 것은 다음과 필요충분 조건입니다:

임의의 양수 ε가 주어지면, N이

{I n}

의 합집합에 포함되고 합집합의 전체 길이가 ε보다 작음을 만족하는

\mathbb {R}

에서 구간(intervals)의 수열(sequence)이 있습니다.

이 조건은 구간 대신에 n-입방체(cube)를 사용하여 $\mathbb {R} ^{n}$ 으로 일반화될 수 있습니다. 사실, 그 아이디어는 심지어 그곳에 르베그 측정이 없더라도 임의의 리만 매니폴드(Riemannian manifold)에 대해 의미를 가질 수 있습니다.

예를 들어:

$\mathbb {R} ^{n}$ 에 관한, 모든 한원소 집합(singleton set)이 널이고, 따라서 모든 셀-수-있는 집합(countable set)은 널입니다. 특히, 유리수(rational number)의 집합 Q는 $\mathbb {R}$ 에서 조밀한(dense) 것임에도 불구하고 널 집합입니다.
칸토어 집합(Cantor set)의 표준 구성은 $\mathbb {R}$ 에서 널 셀-수-없는 집합(uncountable set)의 예제입니다; 어쨌든 다른 구성은 칸토어 집합에 무엇이든지 임의의 측정을 할당하는 것이 가능합니다.
그것의 차원(dimension)이 n보다 더 작은 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 모든 부분집합은 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 널 르베그 측정을 가집니다. 예를 들어 직선 또는 원은 $\mathbb {R} ^{2}$ 에서 널 집합입니다.
사드의 보조정리(Sard's lemma): 매끄러운 함수의 임계 값(critical value)의 집합은 측정 영을 가집니다.

만약 λ가 $\mathbb {R}$ 에 대해 르베그 측정이고 π는 $\mathbb {R} ^{2}$ 에 대해 르베그 측정이면, 곱 측정(product measure)은 $\lambda \times \lambda =\pi$ 입니다. 널 집합의 관점에서, 다음 동치는 푸비니의 정리(Fubini's theorem)로 스타일이 지정되었습니다:^[2]

$A\subset \mathbb {R} ^{2}$ 와 $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\}$ 에 대해, $\pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.$

Uses

널 집합은 르베그 적분(Lebesgue integral)의 정의에서 핵심적인 역할을 합니다: 만약 함수 $f$ 와 $g$ 가 널 집합을 제외하고 같으면, $f$ 는 적분-가능인 것과 $g$ 가 있고, 그것들의 적분이 같은 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 $L p$ 공간의 형식적 정의를 오직 널 집합에서 다른 함수의 동치 클래스의 집합으로 동기를 부여합니다.

널 집합의 모든 부분집합이 측정-가능인 측정이 완비(complete)입니다. 임의의 널-완비 측정은 널 집합의 부분집합이 측정 영을 갖는다고 단언함으로써 완비 측정을 형성하기 위해 완비될 수 있습니다. 르베그 측정은 완비 측정의 예제입니다; 일부 구성에서, 그것은 비-완비 보렐 측정(Borel measure)의 완비로 정의됩니다.

A subset of the Cantor set which is not Borel measurable

보렐 측정이 완비가 아닙니다. 한 가지 간단한 구성은 닫힌 따라서 보렐 측정-가능이고, 측정 영을 가지는 표준 칸토어 집합(Cantor set) $K$ 로 시작하고, 보렐 측정-가능이 아닌 $K$ 의 부분집합 $F$ 를 찾는 것입니다. (르베그 측정이 완비이므로, 이 $F$ 는 물론 르베그 측정-가능입니다.)

먼저, 우리는 모든 각 양의 측정의 집합이 비-측정가능 부분집합을 포함하고 있음을 알아야 합니다. $f$ 를 $K c$ 에서 지역적으로 상수이고, $f (0) = 0$ 와 $f (1) = 1$ 를 갖는 [0, 1]에서 단조적으로 증가하는 연속 함수, 칸토어 함수(Cantor function)라고 놓습니다. 분명하게, $f (K c)$ 가 셀-수-있는 것인데, 왜냐하면 그것은 $K c$ 의 성분당 하나의 점을 포함하기 때문입니다. 따라서, $f (K c)$ 는 측정 영을 가지므로, $f (K)$ 는 측정 일을 가집니다. 우리는 엄격하게 단조 함수(monotonic function)를 필요로 하므로, $g (x) = f (x) + x$ 를 고려합니다. $g (x)$ 는 엄격하게 단조이고 연속이므로, 그것은 위상동형(homeomorphism)입니다. 게다가, $g (K)$ 는 측정 일을 가집니다. $E \subset g (K)$ 를 비-측정가능으로 놓고, $F = g -1 (E)$ 라고 놓습니다. $g$ 는 단사이므로, 우리는 $F \subset K$ 임을 가지고, 따라서 $F$ 는 널 집합입니다. 어쨌든, 그것이 보렐 측정-가능이면, $g (F)$ 는 역시 보렐 측정-가능입니다 (여기서 우리는 연속 함수에 의한 보렐 집합의 이전-이미지가 측정-가능이라는 사실을 사용합니다; $g (F) = (g -1) -1 (F)$ 는 연속 함수 $h = g -1$ 을 통한 F의 이전-이미지입니다.) 그러므로, $F$ 는 널이지만, 비-보렐 측정-가능 집합입니다.

Haar null

분리-가능(separable) 바나흐 공간(Banach space) $(X, +)$ 에서, 그룹 연산은 임의의 부분집합 $A \subset X$ 를 임의의 $x \in X$ 에 대해 평행이동 $A + x$ 로 이동합니다. 모든 $x$ 에 대해, $μ (A + x) = 0$ 를 만족하는 $X$ 의 보렐 부분집합(Borel subset)의 σ-대수에서 확률 측정(probability measure) $μ$ 가 있을 때, $A$ 는 하르 널 집합(Haar null set)입니다.^[3]

그 용어는 하르 측정(Haar measure)에서 발견된 완비 불변과 결합하여 평행이동의 측정의 널 불변을 참조합니다.

토폴로지적 그룹(topological group)의 일부 대수적 속성은 부분집합과 하르 널 집합의 크기와 관련되어 왔습니다.^[4] 하르 널 집합은 $A$ 가 마른 집합(meagre set)이 아닐 때 $A -1 A$ 가 항등 원소(identity element)의 열린 이웃을 포함한다는 것을 보여주기 위해 폴란드 그룹(Polish group)에서 사용되어 왔습니다.^[5] 이 속성은 후고 스테인하우스(Hugo Steinhaus)의 이름을 따서 지어졌는데 왜냐하면 그것이 스테인하우스 정리(Steinhaus theorem)의 결론이기 때문입니다.

References

^ Franks, John (2009). A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration. The Student Mathematical Library. Vol. 48. American Mathematical Society. p. 28. doi:10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.
^ van Douwen, Eric K. (1989). "Fubini's theorem for null sets". American Mathematical Monthly. 96 (8): 718–21. doi:10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR 2324722. MR 1019152.
^ Matouskova, Eva (1997). "Convexity and Haar Null Sets" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (6): 1793–1799. doi:10.1090/S0002-9939-97-03776-3. JSTOR 2162223.
^ Solecki, S. (2005). "Sizes of subsets of groups and Haar null sets". Geometric and Functional Analysis. 15: 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074. doi:10.1007/s00039-005-0505-z. MR 2140632. S2CID 11511821.
^ Dodos, Pandelis (2009). "The Steinhaus property and Haar-null sets". Bulletin of the London Mathematical Society. 41 (2): 377–44. arXiv:1006.2675. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. doi:10.1112/blms/bdp014. MR 4296513. S2CID 119174196.