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Parity (mathematics)

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(Redirected from Odd number)
Original article: w:Parity (mathematics)
"Odd number" redirects here. For the 1962 Argentine film, see Odd Number (film).
Cuisenaire rods: 5 (yellow) cannot be evenly divided in 2 (red) by any 2 rods of the same color/length, while 6 (dark green) can be evenly divided in 2 by 3 ().

수학(mathematics)에서, 패리티는 그것이 짝수인지 홀수인지 여부에 대한 정수(integer)의 속성입니다. 정수의 패리티는 그것이 나머지없이 이로 나뉠(divisible) 수 있으면 짝수이고 그렇지 않으면; 즉, 나머지는 1이면 그것의 패리티는 홀수입니다.[1] 예를 들어, −4, 0, 82, 및 178은 그것을 2로 나눌 때 나머지가 없기 때문에 짝수입니다. 대조적으로, −3, 5, 7, 21은 2로 나뉠 때 1의 나머지를 남기므로 홀수입니다.

짝수와 홀수는 반대 패리티를 가집니다. 예를 들어, 22 (짝수)와 13 (홀수)은 반대 패리티를 가집니다. 특히, 영의 패리티는 짝수입니다.[2] 임의의 둘의 연속 정수는 반대 패리티를 가집니다.

짝수의 공식적인 정의는 n = 2k 형식의 정수이며, 여기서 k는 정수입니다;[3] 그런-다음 홀수는 n = 2k + 1 (또는 대안적으로, 2k − 1) 형식의 정수로 보일 수 있습니다. 위의 패리티 정의는 오직 정수에 적용되고, 따라서 1/2 또는 4.201과 같은 숫자에는 적용될 수 없음을 인식하는 것이 중요합니다. 더 큰 클래스의 "숫자" 또는 다른 보다 일반적인 설정에 대해 패리티 개념의 일부 확장에 대해서 아래의 "고급 수학" 섹션을 참조하십시오.

짝수와 홀수의 집합(sets)은 다음과 같이 정의될 수 있습니다:[4]

  • 짝수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle =\{ 2k: k \in \mathbb{Z} \}}
  • 홀수 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle =\{ 2k+1: k \in \mathbb{Z} \}}

십진(decimal) 숫자-표시 시스템(numeral system)으로 표현되는 숫자 (즉, 정수)는 그것의 마지막 자릿수가 짝수인지 홀수인지 여부에 따라 짝수 또는 홀수입니다. 즉, 만약 마지막 자릿수가 1, 3, 5, 7 또는 9이면 홀수입니다; 그렇지 않으면 짝수입니다–임의의 짝수의 마지막 자릿수는 0, 2, 4, 6, 또는 8입니다. 같은 아이디어는 임의의 짝수 밑을 사용해도 작동할 것입니다. 특히, 이진 숫자-표시 시스템(binary numeral system)으로 표현된 숫자는 마지막 숫자가 1이면 홀수입니다; 그리고 마지막 자릿수가 0이면 짝수입니다. 홀수 밑수에서, 숫자는 자릿수의 합에 따라 짝수입니다–그것이 짝수인 것과 그것의 자릿수의 합이 짝수인 것은 필요충분 조건입니다.[5]

Arithmetic on even and odd numbers

다음 법칙은 나눔가능성의 속성을 사용하여 검증될 수 있습니다. 그것들은 모듈러 산술(modular arithmetic)에서 규칙의 특별한 경우이고, 공통적으로 만약 상등이 각 측면의 패리티를 테스트함으로써 올바른지 확인하기 위해 사용됩니다. 일반 산술과 마찬가지로, 곱셈과 덧셈은 모듈로 2 산술에서 교환적 및 결합적이고, 곱셈은 덧셈에 걸쳐 분배적입니다. 어쨌든, 모듈로 2에서 뺄셈은 덧셈과 동일하므로, 뺄셈은 역시 이들 속성을 보유하며, 이것은 정규 정수 산술에 대해 참이 아닙니다.

Addition and subtraction

  • 짝수 ± 짝수 = 짝수;[1]
  • 짝수 ± 홀수 = 홀수;[1]
  • 홀수 ± 홀수 = 짝수;[1]

Multiplication

  • 짝수 × 짝수 = 짝수;[1]
  • 짝수 × 홀수 = 짝수;[1]
  • 홀수 × 홀수 = 홀수;[1]

구조 ({짝수, 홀수}, +, ×)는 실제로 단지 두 원소를 갖는 필드입니다.

Division

두 정수의 나눗셈이 반드시 정수가 되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 1을 4로 나누면 1/4와 같으며, 짝수도 아니고 홀수도 아닌데, 왜냐하면 짝수와 홀수의 개념은 오직 정수에 적용되기 때문입니다. 그러나 몫(quotient)이 정수이면, 그것이 짝수가 될 것과 피제수(dividend)가 제수보다 더 많은 이의 인수를 갖는 것은 필요충분 조건입니다.[6]

History

고대 그리스인들은 1, 모나드(monad)를 완전히 홀수도 아니고 완전히 짝수도 아닌 것으로 고려했습니다.[7] 이들 감정 중 일부는 19세기까지 살아남았습니다: 프리드리히 프뢰벨(Friedrich Fröbel)의 1826년 The Education of Man은 교사에게 1이 짝수도 홀수도 아니라는 주장으로 학생들을 훈련시키라고 지시했으며, 이것에 대해 프뢰벨은 철학적 사후 생각을 첨부합니다:

자연과 사고의 아주 광범위한 법칙에 즉시 학생의 주의를 돌리는 것이 좋습니다. 이것은 상대적으로 다른 두 사물이나 관념 사이에 항상 세 번째가 존재한다는 것입니다. 일종의 균형을 이루고 있는 것인데, 마치 둘을 하나로 묶는 것처럼 보입니다. 따라서 홀수와 짝수 사이에는 둘 중 어느 것도 아닌 하나의 숫자가 있습니다. 마찬가지로, 형식에서, 직각은 예각과 둔각 사이에 있습니다; 그리고 언어에서, 무음과 모음 사이의 반-모음 또는 열망자가 있습니다. 사려 깊은 교사와 스스로 생각하도록 배운 학생은 이 법칙과 다른 중요한 법칙을 알아차리는 데 거의 도움이 되지 않습니다.[8]

Higher mathematics

Higher dimensions and more general classes of numbers

Lua error in package.lua at line 80: module 'Module:Chessboard/Chess' not found.

이차원 이상의 유클리드 공간(Euclidean space)에 있는 점의 정수 좌표는 역시 패리티를 가지고, 보통 좌표의 합의 패리티로 정의됩니다. 예를 들어, 면-중심 입방체 격자(face-centered cubic lattice)와 그것의 고-차원 일반화, Dn 격자(lattices)는 좌표의 합이 짝수인 모든 정수 점으로 구성됩니다.[9] 이 특색은 정사각형의 패리티가 색상으로 표시되는 체스에서 자체로 명백하게 합니다: 비숍은 같은 패리티의 정사각형으로 제한됩니다; 나이트는 이동 사이에 패리티를 대체합니다.[10] 이 형식의 패리티는 잘린 체스판 문제(mutilated chessboard problem)를 해결하기 위해 유명하게 사용되었습니다: 만약 둘의 반대 모서리 정사각형이 체스판에서 제거되면, 남아있는 보드는 도미노에 의해 덮혀질 수 없는데, 왜냐하면 각 도미노는 각 패리티의 한 정사각형을 덮고 다른 것보다 한 패리티의 둘의 더 많은 정사각형이 있기 때문입니다.[11]

순서 숫자의 패리티는 숫자가 극한 순서 숫자이거나, 극한 순서 숫자에 유한 짝수를 더한 것이면 짝수로, 그렇지 않으면 홀수로 정의될 수 있습니다.[12]

R을 교환 링(commutative ring)이라고 놓고 I를 인덱스(index)가 2인 R의 아이디얼(ideal)이라고 놓습니다. 코셋(coset) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 0+I} 의 원소는 짝수라고 할 수 있고, 반면에 코셋 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:7231/localhost/v1/":): {\displaystyle 1+I} 의 원소는 홀수라고 할 수 있습니다. 예제로, R = Z(2)을 소수 아이디얼(prime ideal) (2)에서 Z의 지역화(localization)라고 놓습니다. 그런-다음 R의 원소가 짝수 또는 홀수인 것과 그것의 분자가 Z에서 그런 것은 필요충분 조건입니다.

Number theory

짝수는 정수의 링(ring)에서 아이디얼(ideal)을 형성하지만,[13] 홀수는 그렇지 않습니다 – 이것은 덧셈에 대해 항등(identity) 원소, 영이 짝수의 원소일 뿐이라는 사실에서 분명합니다. 정수는 그것이 0 모듈로(modulo) 이 아이디얼에 합동이면 짝수이고, 1 모듈로 2에 합동이면 홀수입니다.

모든 소수(prime number)는 하나의 예외: 소수 2를 제외하고 홀수입니다.[14] 모든 알려진 완전수(perfect number)는 짝수입니다; 임의의 홀수 완전수가 존재하는지 여부는 알려져 있지 않습니다. [15]

골드바흐의 추측(Goldbach's conjecture)에 따르면 2보다 큰 모든 각 짝수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있습니다. 현대의 컴퓨터 계산은 이 추측이 적어도 4 × 1018까지의 정수에 대해 사실임을 보여주었지만, 여전히 일반적인 증명(proof)은 발견되지 않았습니다.[16]

Group theory

Rubik's Revenge in solved state

순열의 패리티(parity of a permutation) (추상 대수학(abstract algebra)에서 정의됨)는 순열이 분해될 수 있는 전치(transposition)의 숫자의 패리티입니다.[17] 예를 들어 (ABC)에서 (BCA)는 A와 B를 교환하고 그런-다음 C와 A를 교환 (둘의 전치)함으로써 수행될 수 있기 때문입니다. 순열은 전치의 짝수와 홀수 둘 다에서 분해될 수 없음을 보일 수 있습니다. 따라서 위의 것이 적절한 정의입니다. 루빅스 큐브(Rubik's Cube), 메가밍크스(Megaminx), 및 다른 비틀기 퍼즐에서, 퍼즐의 움직임은 퍼즐 조각의 오직 짝수 순열을 허용하므로, 패리티는 이들 퍼즐의 구성 공간(configuration space)을 이해하는 데 중요합니다.[18]

파이트–톰프슨 정리(Feit–Thompson theorem)에 따르면 유한 그룹(finite group)은 그것의 순서가 홀수이면 항상 해결될 수 있습니다. 이것은 "홀수 차수"의 단순 가설의 적용 방법이 명백하지 않은 고급 수학 정리에서 역할을 하는 홀수의 예제입니다. [19]

Analysis

함수의 패리티(parity of a function)는 인수가 그것의 부정과 교환될 때 값이 어떻게 변하는지 설명합니다. 변수의 짝수 거듭제곱과 같은 짝수 함수는, 임의의 인수에 대해 부정에 대한 것과 같은 결과를 제공합니다. 변수의 홀수 거듭제곱과 같은 홀수 함수는 해당 인수의 부정이 주어졌을 때 결과의 부정을 임의의 인수에 대해 제공합니다. 함수가 홀수도 짝수도 아닐 수 있고, 경우 f(x) = 0에 대해, 홀수와 짝수 모두가 가능합니다.[20] 짝수 함수의 테일러 급수(Taylor series)는 지수가 짝수인 항만 포함하고, 홀수 함수의 테일러 급수는 지수가 홀수인 항만 포함합니다.[21]

Combinatorial game theory

조합론적 게임 이론(combinatorial game theory)에서, evil number는 이진 표현(binary representation)에서 1들의 짝수를 가지고, odious number는 이진 표현에서 1들의 홀수를 가집니다; 이들 숫자는 게임 Kayles의 전략에서 중요한 역할을 합니다. [22] 패리티 함수는 이진 표현, 모듈로 2(modulo 2)에서 숫자를 1의 수로 매핑하므로, 그것의 값은 evil 숫자에 대해 영이고, odious 숫자에 대해 일입니다. 투에–모스 수열(Thue–Morse sequence), 0과 1의 무한 수열은 i가 evil일 때 위치 i에서 0을 가지고, i가 odious일 때 해당 위치에 1을 가집니다. [23]

Additional applications

정보 이론(information theory)에서, 이진수에 첨부된 패리티 비트(parity bit)는 가장 단순한 형식의 오류 감지 코드(error detecting code)를 제공합니다. 만약 결과 값에서 단일 비트가 변경되면, 그것은 더 이상 올바른 패리티를 갖지 않을 것입니다: 원래 숫자에서 비트를 변경하면 기록된 것과 다른 패리티를 제공하고, 그 숫자를 변경하지 않고 패리티 비트를 변경하면 파생된 잘못된 결과를 다시 생성합니다. 이러한 방법에서, 모든 단일-비트 전송 오류는 안정적으로 감지될 수 있습니다.[24] 일부보다 정교한 오류 감지 코드는 역시 원래 인코딩된 값의 비트 부분집합에 대해 여러 패리티 비트의 사용을 기반으로 합니다.[25]

마우스피스의 클라리넷(clarinet)과 같이 원통형 구멍을 갖고 사실상 한쪽 끝이 닫힌 관악기(wind instrument)에서, 생성되는 하모니(harmonic)는 기본 주파수(fundamental frequency)의 홀수 배수입니다. (예를 들어 개방형 다이어파손(open diapason)과 같은 일부 오르간 스톱(organ stop)에 사용되는 양쪽 끝이 열린 원통형 파이프와 함께, 하모니는 주어진 구멍 길이에 대해 같은 주파수의 짝수 배수이지만, 이것은 기본 주파수가 두 배되고 모든 이 기본 주파수의 배수가 생성되는 효과를 가집니다.) harmonic series (music)를 참조하십시오. [26]

일부 국가에서, 거리의 한쪽에 있는 집은 짝수이고 다른 쪽의 집은 홀수가 되도록 집 번호(house numbering)가 선택됩니다.[27] 유사하게, 미국 번호-매겨진 고속도로 중에서, 짝수는 주로 동서 고속도로를 나타내고 반면에 홀수는 주로 남북 고속도로를 나타냅니다.[28] 항공사 항공편 번호 중에서, 짝수는 전형적으로 동쪽 또는 북쪽으로 향하는 항공편을 식별하고, 홀수는 전형적으로 서쪽 또는 남쪽으로 가는 항공편을 식별합니다. [29]

See also

References

  1. ^ a b c d e f g Vijaya, A.V.; Rodriguez, Dora, Figuring Out Mathematics, Pearson Education India, pp. 20–21, ISBN 9788131703571.
  2. ^ Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory, World Scientific, p. 178, ISBN 9789814335232.
  3. ^ Bassarear, Tom (2010), Mathematics for Elementary School Teachers, Cengage Learning, p. 198, ISBN 9780840054630.
  4. ^ Sidebotham, Thomas H. (2003), The A to Z of Mathematics: A Basic Guide, John Wiley & Sons, p. 181, ISBN 9780471461630.
  5. ^ Owen, Ruth L. (1992), "Divisibility in bases" (PDF), The Pentagon: A Mathematics Magazine for Students, 51 (2): 17–20, archived from the original (PDF) on 2015-03-17.
  6. ^ Pólya, George; Tarjan, Robert E.; Woods, Donald R. (2009), Notes on Introductory Combinatorics, Springer, pp. 21–22, ISBN 9780817649524.
  7. ^ Tankha (2006), Ancient Greek Philosophy: Thales to Gorgias, Pearson Education India, p. 126, ISBN 9788177589399.
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  9. ^ Conway, J. H.; Sloane, N. J. A. (1999), Sphere packings, lattices and groups, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 290 (3rd ed.), New York: Springer-Verlag, p. 10, ISBN 978-0-387-98585-5, MR 1662447.
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  15. ^ Dudley, Underwood (1992), "Perfect numbers", Mathematical Cranks, MAA Spectrum, Cambridge University Press, pp. 242–244, ISBN 9780883855072.
  16. ^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2013), "Empirical verification of the even Goldbach conjecture, and computation of prime gaps, up to 4·1018" (PDF), Mathematics of Computation, 83 (288): 2033–2060, doi:10.1090/s0025-5718-2013-02787-1. In press.
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  20. ^ Gustafson, Roy David; Hughes, Jeffrey D. (2012), College Algebra (11th ed.), Cengage Learning, p. 315, ISBN 9781111990909.
  21. ^ Jain, R. K.; Iyengar, S. R. K. (2007), Advanced Engineering Mathematics, Alpha Science Int'l Ltd., p. 853, ISBN 9781842651858.
  22. ^ Guy, Richard K. (1996), "Impartial games", Games of no chance (Berkeley, CA, 1994), Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 29, Cambridge: Cambridge Univ. Press, pp. 61–78, MR 1427957. See in particular p. 68.
  23. ^ Bernhardt, Chris (2009), "Evil twins alternate with odious twins" (PDF), Mathematics Magazine, 82 (1): 57–62, doi:10.4169/193009809x469084, JSTOR 27643161.
  24. ^ Moser, Stefan M.; Chen, Po-Ning (2012), A Student's Guide to Coding and Information Theory, Cambridge University Press, pp. 19–20, ISBN 9781107015838.
  25. ^ Berrou, Claude (2011), Codes and turbo codes, Springer, p. 4, ISBN 9782817800394.
  26. ^ Randall, Robert H. (2005), An Introduction to Acoustics, Dover, p. 181, ISBN 9780486442518.
  27. ^ Cromley, Ellen K.; McLafferty, Sara L. (2011), GIS and Public Health (2nd ed.), Guilford Press, p. 100, ISBN 9781462500628.
  28. ^ Swift, Earl (2011), The Big Roads: The Untold Story of the Engineers, Visionaries, and Trailblazers Who Created the American Superhighways, Houghton Mifflin Harcourt, p. 95, ISBN 9780547549132.
  29. ^ Lauer, Chris (2010), Southwest Airlines, Corporations that changed the world, ABC-CLIO, p. 90, ISBN 9780313378638.

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