Parametric equation

수학(mathematics)에서, 매개변수 방정식(parametric equation)은 매개변수(parameter)라고 불리는 하나 이상의 독립 변수(independent variables)의 함수(functions)로 양의 그룹을 정의합니다.^[1] 매개변수 방정식은 곡선(curve) 또는 표면(surface:표면)과 같은 기하학적 대상을 만드는 점의 좌표(coordinates)를 표현하기 위해 공통적으로 사용되며, 이 경우에서 방정식은 대상의 매개변수 표현(parametric representation) 또는 매개변수화(parameterization) (대안적으로 parametrization라고 씀)라고 집합적으로 불립니다.^[1]^[2]^[3]

예를 들어, 다음 방정식은

{\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}

단위 원(unit circle)의 매개변수 표현을 형성하며, 여기서 t는 매개 변수입니다: 점 (x, y)가 단위 원 위에 있는 것과 해당 점을 생성하는 이들 두 방정식을 만족하는 t의 값이 있는 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 때때로 개별 스칼라(scalar) 출력 변수에 대해 매개변수 방정식이 벡터(vectors)에서 단일 매개변수 방정식으로 결합됩니다:

(x,y)=(\cos t,\sin t).

매개변수 표현은 일반적으로 비-고유이므로 (아래의 "이 차원에서 예제"를 참조), 같은 양은 많은 다른 매개변수화로 표현될 수 있습니다.^[1]

곡선과 표면 외에도, 매개변수 방정식은 매니폴드(manifold)와 더 높은 차원(dimension)의 대수적 다양체(algebraic varieties)를 묘사할 수 있으며, 매개변수의 숫자는 매니폴드 또는 다양체의 차원과 동일하고, 방정식의 숫자는 매니폴드 또는 다양체가 고려된 공간의 차원과 같습니다 (곡선에 대해 차원이 일이고 일의 매개 변수가 사용되고, 표면에 대해 차원이 이이고 이의 매개 변수가 사용되고, 등등).

매개변수 방정식은 대상의 궤도(trajectory)가 매개변수로 시간에 따른 방정식에 의해 표현되는 운동학(kinematics)에서 공통적으로 사용됩니다. 이 응용때문에, 단일 매개변수는 종종 t로 레이블됩니다; 어쨌든, 매개변수는 (기하학 변수와 같은) 다른 물리량을 나타내거나 편의상 임의적으로 선택될 수 있습니다. 매개변수화는 고유하지 않습니다; 매개변수 방정식의 하나 이상보다 많은 집합이 같은 곡선을 지정할 수 있습니다.^[4]

Applications

Kinematics

운동학(kinematics)에서, 공간을 통한 대상의 경로는 공통적으로 매개변수 곡선으로 설명되며, 여기서 각 공간 좌표는 독립적인 매개변수 (보통 시간)에 명시적으로 의존합니다. 이러한 방법에서 사용된, 대상의 좌표에 대해 매개변수 방정식의 집합은 집합적으로 위치에 대해 벡터-값 함수(vector-valued function)를 구성합니다. 그러한 매개변수 곡선은 그런-다음 항별 적분(integrated)되고 미분(differentiated)될 수 있습니다. 따라서, 만약 입자의 위치는 다음으로 매개변수적으로 설명되면:

\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))

그것의 속도(velocity)는 다음으로 구할 수 있습니다:

\mathbf {v} (t)=\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))

그리고 그것의 가속도(acceleration)는 다음으로 구할 수 있습니다:

\mathbf {a} (t)=\mathbf {r} ''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))

.

Computer-aided design

매개변수 방정식의 또 다른 중요한 사용처는 컴퓨터-지원 설계(computer-aided design) (CAD)의 분야에 있습니다.^[5] 예를 들어, 다음 세 가지 표현을 고려하십시오. 그것들 모두는 공통적으로 평면 곡선(planar curves)을 설명하기 위해 사용됩니다.

유형	형식	예제	설명
1. 명시적	$y=f(x)\,\!$	$y=mx+b\,\!$	직선
2. 암시적	$f(x,y)=0\,\!$	$\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}$	원
3. 매개변수적	$x={\frac {g(t)}{w(t)}};\,\!$ $y={\frac {h(t)}{w(t)}}$	$x=a_{0}+a_{1}t;\,\!$ $y=b_{0}+b_{1}t\,\!$ $x=a+r\,\cos t;\,\!$ $y=b+r\,\sin t\,\!$	직선 원

각 표현은 CAD 응용 프로그램에 대해 장점과 단점을 가집니다.

명시적 표현은 매우 복잡할 수 있거나, 심지어 존재하지 않을 수 있습니다. 게다가, 그것은 기하학적 변환(geometric transformations), 및 특히 회전(rotations) 아래에서 잘 작동하지 않습니다. 다른 한편으로, 매개변수 방정식과 암시적 방정식은 명시적 표현에서 쉽게 유추할 수 있으므로, 단순 명시적 표현이 존재할 때, 그것은 다른 표현 둘 다의 장점을 가집니다.

암시적 표현은 곡선에 점을 생성하고, 실제 점이 있는지 여부를 결정하는 것을 어렵게 만들 수 있습니다. 다른 한편으로, 그것들은 주어진 점이 곡선 위에 있는지, 또는 그것이 닫힌 곡선의 내부 또는 외부에 있는지 여부를 결정하는 데 적합합니다.

그러한 결정은 매개변수 표현으로 어려울 수 있지만, 매개변수 표현은 곡선에 점을 생성하고, 곡선을 그리는 데 가장 적합합니다.^[6]

Integer geometry

정수 기하학(integer geometry)에서 수많은 문제는 매개변수 방정식을 사용하여 해결될 수 있습니다. 고전적인 그러한 해는 변 $a, b$ 와 빗변 $c$ 의 길이가 서로소 정수(coprime integers)임을 만족하는 직각 삼각형(right triangle)의 유클리드(Euclid) 매개변수화입니다. a와 b가 둘 다 짝수가 아니므로 (그렇지 않으면 $a, b$ 와 $c$ 가 서로소가 아님), 우리는 짝수를 가지기 위해 그것들을 교환할 수 있고, 매개변수화는 그런-다음 다음과 같습니다:

a=2mn,\ \ b=m^{2}-n^{2},\ \ c=m^{2}+n^{2},

여기서 매개변수 $m$ 과 $n$ 은 둘 다 홀수가 아닌 양의 서로소 정수입니다.

$a, b$ 와 $c$ 에 임의의 양의 정수를 곱함으로써, 우리는 세 변이 정수 길이를 가진 모든 직각 삼각형의 매개변수화를 얻습니다.

Implicitization

매개변수 방정식의 집합을 단일 암시적 방정식(implicit equation)으로 변환하려면 연립 방정식 $x=f(t),\ y=g(t)$ 에서 변수 $t$ 를 제거하는 것과 관련합니다. 이 과정은 암시화(implicitization)라고 불립니다. 만약 이들 방정식 중 하나가 t에 대해 풀릴 수 있으면, 획득된 표현은 오직 x와 y를 포함하는 방정식을 얻기 위해 다른 방정식에 대입될 수 있습니다: $y=g(t)$ 를 $t=g^{-1}(y)$ 를 얻기 위해 풀고 $x=f(t)$ 에서 이것을 사용하면 명시적 방정식 $x=f(g^{-1}(y))$ 을 제공하고, 반면에 더 복잡한 경우는 형식 $h(x,y)=0$ 의 암시적 방정식을 제공할 것입니다.

만약 매개변수화가 다음 유리 함수(rational function)에 의해 제공되면:

x={\frac {p(t)}{r(t)}},\qquad y={\frac {q(t)}{r(t)}},

여기서 $p, q, r$ 는 집합-별 서로소(coprime) 다항식이며, 결과식(resultant) 계산은 우리에게 암시적이 되도록 허용합니다. 보다 정확하게, 암시적 방정식은 $xr (t) - p (t)$ 와 $yr (t) - q (t)$ 에 관한 결과식(resultant)입니다.

더 높은 차원에서 (두 좌표보다 많거나 하나보다 많은 매개변수), 유리 매개변수 방정식의 매개변수화는 그뢰브너 기저(Gröbner basis)로 수행될 수 있습니다; Gröbner basis § Implicitization in higher dimension를 참조하십시오.

반지름 a의 원의 예제를 취하기 위해, 다음 매개변수 방정식은

{\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\end{aligned}}

피타고라스 삼각 항등식(Pythagorean trigonometric identity)의 방법에 의해 x와 y의 관점에서 암시화될 수 있습니다:

다음이기 때문에

{\begin{aligned}{\frac {x}{a}}&=\cos(t)\\{\frac {y}{a}}&=\sin(t)\\\end{aligned}}

및

\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1,

우리는 다음을 얻습니다:

\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}=1,

그리고 따라서 다음입니다:

x^{2}+y^{2}=a^{2},

이것은 원점에 중심을 둔 원의 표준 방정식입니다.

Examples in two dimensions

Parabola

포물선(parabola)에 대해 가장 단순한 다음 방정식은,

y=x^{2}\,

(자명하게) 자유 매개변수 t를 사용하고, 다음을 설정함으로써 매개변수화될 수 있습니다:

x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .\,

Explicit equations

보다 일반적으로, 다음 명시적 방정식에 의해 주어진 임의의 곡선은

y=f(x)\,

(자명하게) 자유 매개변수 t를 사용하고, 다음을 설정함으로써 매개변수화될 수 있습니다:

x=t,y=f(t)\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .\,

Circle

보다 정교한 예제는 다음과 같습니다. 다음 보통의 (데카르트) 방정식에 의해 설명되는 단위 원을 생각해 보십시오:

x^{2}+y^{2}=1.\,

이 방정식은 다음처럼 매개변수화될 수 있습니다:

(x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad \mathrm {for} \ 0\leq t<2\pi .\,

그 데카르트 방정식과 함께 점이 원 위에 있는지 여부를 확인하는 것이 더 쉽습니다. 그 매개변수 버전과 함께 그림에서 점을 더 쉽게 얻을 수 있습니다.

일부 문맥에서, 오직 유리 함수(rational function) (즉, 두 다항식(polynomial)의 분수)를 포함하는 매개변수 방정식이 만약 그것이 존재하면 선호됩니다. 원의 경우에서, 그러한 유리 매개변수화는 다음과 같습니다:

{\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}.

매개변수 방정식의 쌍과 함께, 점 $(-1, 0)$ 은 $t$ 의 실수(real) 값에 의해 표현되지 않지만, $t$ 가 무한대(infinity)로 경향일 때 $x$ 와 $y$ 의 극한(limit)에 의해 표현됩니다.

Ellipse

반-축 a와 b를 갖는 정식의 위치 (원점에 중심, X-축을 따라 주요 축)에서 타원(ellipse)은 매개변수적으로 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

{\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t.\end{aligned}}

일반 위치에서 타원은 다음처럼 표현될 수 있습니다:

{\begin{aligned}x&=X_{c}+a\,\cos t\,\cos \varphi -b\,\sin t\,\sin \varphi \\y&=Y_{c}+a\,\cos t\,\sin \varphi +b\,\sin t\,\cos \varphi \end{aligned}}

이때 매개변수 t는 0에서 2 $π$ 까지 변합니다. 여기서 $(X_{c},Y_{c})$ 는 타원의 중심이고, $\varphi$ 는 $X$ -축과 타원의 주요 축 사이의 각도입니다.

매개변수화 둘 다는 탄젠트 절반-각 공식(tangent half-angle formula)을 사용하고 $\tan {\frac {t}{2}}=u$ 를 설정함으로써 유리(rational) 함수로 만들 수 있습니다.

Lissajous Curve

리사주 곡선(Lissajous curve)은 타원과 유사하지만, x와 y 정현파(sinusoid)가 위상에 있지 않습니다. 정식의 위치에서, 리사주 곡선은 다음에 의해 제공됩니다:

{\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}

여기서 $k_{x}$ 와 $k_{y}$ 는 그림의 돌출부의 개수를 나타내는 상수입니다.

Hyperbola

동쪽-서쪽 열린 쌍곡선(hyperbola)은 다음에 의해 매개변수적으로 표현될 수 있습니다:

{\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\end{aligned}}\quad

or, 유리적으로

\quad {\begin{aligned}x&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\end{aligned}}

북쪽-남쪽 열린 쌍곡선은 다음으로 매개변수적으로 표현될 수 있습니다:

{\begin{matrix}x=b\tan t+h\\y=a\sec t+k\\\end{matrix}}\quad

or, rationally

\quad {\begin{matrix}x=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\\\end{matrix}}

모든 이들 공식에서, (h, k)는 쌍곡선의 중심 좌표이고, a는 반-주요 축의 길이, b는 반-보조 축의 길이입니다.

Hypotrochoid

하이포트로초이드(Hypotrochoid)는 반지름이 R의 고정된 원의 내부 주위를 회전하는 반지름 r의 원에 부착된 점에 의해 추적되는 곡선이며, 여기서 그 점은 내부 원의 중심에서 거리 d에 있습니다.

A hypotrochoid for which r = d
A hypotrochoid for which R = 5, r = 3, d = 5

하이포트로초이드에 대해 매개변수 방정식은 다음입니다:

{\begin{aligned}x(\theta )&=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\y(\theta )&=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\end{aligned}}

Some sophisticated functions

다른 예제는 아래에 보입니다:

{\begin{aligned}x&=[a-b]\cos(t)\ +b\cos \left[t\left({\frac {a}{b}}-1\right)\right]\\y&=[a-b]\sin(t)\ -b\sin \left[t\left({\frac {a}{b}}-1\right)\right],\ k={\frac {a}{b}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}x&=\cos(at)-\cos(bt)^{j}\\y&=\sin(ct)-\sin(dt)^{k}\end{aligned}}

j = 3, k = 3
j = 3, k = 3
j = 3, k = 4
j = 3, k = 4
j = 3, k = 4

{\begin{aligned}x&=i\cos(at)-\cos(bt)\sin(ct)\\y&=j\sin(dt)-\sin(et)\end{aligned}}

i = 1, j = 2

Examples in three dimensions

Animated Parametric helix

Helix

매개변수 방정식은 고-차원 공간에서 곡선(curve)을 설명하는 데 편리합니다. 예를 들어: 다음은

{\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}

삼-차원 곡선, a의 반지름과 회전당 2πb 단위로 상승하는 나선(helix)을 설명합니다. 그 방정식은 평면(plane)에서 원에 대한 방정식과 동일합니다. 위와 같은 그러한 표현은 공통적으로 다음과 같이 작성됩니다:

\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt),

여기서 r은 삼-차원 벡터입니다.

Parametric surfaces

주요 반지름 R과 보조 반지름 r을 갖는 토러스(torus)는 다음처럼 매개변수적으로 정의될 수 있습니다:

{\begin{aligned}x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\y&=\sin(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\z&=r\sin(u).\end{aligned}}

여기서 두 매개변수 t와 u 둘 다는 0과 2π 사이에서 변합니다.

R = 2, r = 1/2

u가 0에서 2π까지 변할 때, 표면 위의 그 점은 토러스에서 구멍을 통과하는 짧은 원을 중심으로 움직입니다. t가 0에서 2π까지 변할 때, 표면 위의 그 점은 토러스에서 구멍 주위로 긴 원을 중심으로 움직입니다.

Examples with vectors

점 $\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ 을 통과하고 벡터 $a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}$ 에 평행한 직선의 매개변수 방정식은 다음입니다:^[7]

{\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}

Notes

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Parametric Equations". MathWorld.
^ Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979). Calculus and Analytic Geometry (fifth ed.). Addison-Wesley. p. 91.
^ Nykamp, Duane. "Plane parametrization example". mathinsight.org. Retrieved 2017-04-14.
^ Spitzbart, Abraham (1975). Calculus with Analytic Geometry. Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Retrieved August 30, 2015.
^ Stewart, James (2003). Calculus (5th ed.). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. pp. 687–689. ISBN 0-534-39339-X.
^ Shah, Jami J.; Martti Mantyla (1995). Parametric and feature-based CAD/CAM: concepts, techniques, and applications. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. pp. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.
^ Calculus: Single and Multivariable. John Wiley. 2012-10-29. p. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.

External links

[MathWorld-1] Weisstein, Eric W. "Parametric Equations". MathWorld.

[2] Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979). Calculus and Analytic Geometry (fifth ed.). Addison-Wesley. p. 91.

[3] Nykamp, Duane. "Plane parametrization example". mathinsight.org. Retrieved 2017-04-14.

[4] Spitzbart, Abraham (1975). Calculus with Analytic Geometry. Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Retrieved August 30, 2015.

[5] Stewart, James (2003). Calculus (5th ed.). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. pp. 687–689. ISBN 0-534-39339-X.

[6] Shah, Jami J.; Martti Mantyla (1995). Parametric and feature-based CAD/CAM: concepts, techniques, and applications. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. pp. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.

[7] Calculus: Single and Multivariable. John Wiley. 2012-10-29. p. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.

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