대수학(algebra) 에서, 유리 함수(rational function) (즉, 분자와 분모 둘 다가 다항식(polynomial) 을 만족하는 분수(fraction) )의 부분 분수 분해 (partial fraction decomposition ) 또는 부분 분수 전개 (partial fraction expansion )는 분수를 다항식 (영도 가능함) 및 더 단순한 분모를 갖는 하나 또는 여러 분수의 합으로 표현을 구성하는 연산입니다.[1]
부분 분수 분해의 중요성은 역도함수(antiderivative) ,[2] 테일러 급수 전개(Taylor series expansions) , 역 Z-변환(inverse Z-transform) , 역 라플라스 변환(inverse Laplace transform) 의 명시적 계산을 포함하는 유리 함수(rational function) 를 갖는 다양한 계산에 대해 알고리듬(algorithm) 을 제공한다는 사실에 있습니다. 그 개념은 요한 베르누이(Johann Bernoulli) 와 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz) 둘 다에 의해 1702년에 독립적으로 발견되었습니다.[3]
기호에서, 우리는 다음 형식에서
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}
다음 형식으로 유리 분수를 변경하기 위해 부분 분수 전개 를 사용할 수 있습니다:
∑
j
f
j
(
x
)
g
j
(
x
)
{\displaystyle \sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}}
여기서 f g
다항식의 인수-분해(factorization of polynomials) 가 어려울 수 있기 때문에, 거친 분해가 종종 선호되며, 이것은 인수-분해를 제곱-없는 인수-분해(square-free factorization) 로 대체하여 구성합니다. 이것은 결과의 앞의 설명에서 "기약"을 "제곱-없는"으로 대체해서 이릅니다.
Basic principles 만약 하나의 불확정(indeterminate) x
R
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle R(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}
필드(field) K 분모(denominator) 를 가집니다.
g
(
x
)
=
P
(
x
)
⋅
Q
(
x
)
{\displaystyle g(x)=P(x)\cdot Q(x)}
여기서 필드(field) K 실수(real number) , 또는 복소수(complex number) 로 취할 수 있습니다. 게다가 만약 P Q
deg
(
C
)
<
deg
(
Q
)
{\displaystyle \deg(C)<\deg(Q)}
deg
(
D
)
<
deg
(
P
)
{\displaystyle \deg(D)<\deg(P)}
C (x )D (x )
C
P
+
D
Q
=
1
{\displaystyle CP+DQ=1}
따라서
1
g
(
x
)
=
C
P
+
D
Q
P
Q
=
C
Q
+
D
P
{\displaystyle {\frac {1}{g(x)}}={\frac {CP+DQ}{PQ}}={\frac {C}{Q}}+{\frac {D}{P}}}
및 그러므로 R
R
=
f
(
x
)
g
(
x
)
=
D
f
(
x
)
P
+
C
f
(
x
)
Q
,
{\displaystyle R={\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {Df(x)}{P}}+{\frac {Cf(x)}{Q}},}
여기서 모든 분자는 다항식입니다.
이 아이디어를 귀납적으로 사용하면, 유리 함수 R (x )기약 다항식(irreducible polynomial) 의 거듭-제곱을 갖는 합으로 쓸 수 있습니다. 나아가서 이것을 취하기 위해, 만약 필요하다면, F F
G
(
x
)
F
(
x
)
n
{\displaystyle {\frac {G(x)}{F(x)^{n}}}}
이것은 다항식에 대해 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm for polynomials) 에 의해 행해질 수 있습니다. 그 결과는 다음 정리(theorem) 입니다.
정리 — f g K g
g
=
∏
i
=
1
k
p
i
n
i
.
{\displaystyle g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.}
다음
f
g
=
b
+
∑
i
=
1
k
∑
j
=
1
n
i
a
i
j
p
i
j
{\displaystyle {\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {a_{ij}}{p_{i}^{j}}}}
을 만족하는 (고유한) 다항식 b deg a ij p i 를 갖는 a ij
만약 deg f < deg g 이면, b = 0
입니다.
만약 K 복소수(complex number) 의 필드이면, 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra) 는, 모든 p i
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
K 실수(real number) 의 필드일 때, p i
이전 정리에서, 우리는 "구별되는 기약 다항식"을 "그들의 도함수를 갖는 서로소인 쌍별 서로소(pairwise coprime) 다항식"으로 대체할 수 있습니다. 예를 들어, p i g 제곱-없는 인수-분해(square-free factorization) 의 인수일 수 있을 것입니다. K 유리수(rational number) 의 필드일 때, 그것이 전형적으로 컴퓨터 대수학에서 경우이므로, 이것은 인수-분해를 부분 분수 분해를 계산하는 것에 대해 최대 공통 약수(greatest common divisor) 로 대체를 허용합니다.
Application to symbolic integration 기호적 적분화(symbolic integration) 의 목적에 대해, 이전 결과는 다음으로 개량될 수 있을 것입니다:
정리 — f 와 g 를 필드 K 에 걸쳐 비-영 다항식으로 놓습니다. g 를 대수적으로 닫힌 필드에서 중복 근을 가지지 않는 쌍별 서로소 다항식의 거듭제곱의 곱으로 씁니다:
g
=
∏
i
=
1
k
p
i
n
i
.
{\displaystyle g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.}
다음
f
g
=
b
+
∑
i
=
1
k
∑
j
=
2
n
i
(
c
i
j
p
i
j
−
1
)
′
+
∑
i
=
1
k
c
i
1
p
i
{\displaystyle {\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=2}^{n_{i}}\left({\frac {c_{ij}}{p_{i}^{j-1}}}\right)'+\sum _{i=1}^{k}{\frac {c_{i1}}{p_{i}}}}
을 만족하는 (고유한) 다항식 b 와 deg c ij p i c ij
X
′
{\displaystyle X'}
X
{\displaystyle X}
이것은 마지막 합의 적분화에 대한 유리 함수의 역도함수(antiderivative) 의 계산을 줄이며, 이것은 로그 부분 으로 불리는데, 왜냐하면 그의 역도함수가 로그의 선형 조합이기 때문입니다. 우리는 다음을 가집니다:
c
i
1
p
i
=
∑
α
j
:
p
i
(
α
j
)
=
0
c
i
1
(
α
j
)
p
i
′
(
α
j
)
1
x
−
α
j
.
{\displaystyle {\frac {c_{i1}}{p_{i}}}=\sum _{\alpha _{j}:p_{i}(\alpha _{j})=0}{\frac {c_{i1}(\alpha _{j})}{p'_{i}(\alpha _{j})}}{\frac {1}{x-\alpha _{j}}}.}
위의 분해를 계산하기 위한 다양한 방법이 있습니다. 설명하기 위한 가장 간단한 것 중 하나는 아마도 소위 에르미트(Hermite) 의 방법입니다. c ij p i b 의 차수는 f 와 g 의 차수의 차이 (만약 이 차이가 비-음이면; 그렇지 않으면 b =0)이므로, 우리는 이들 미지수 다항식을 미지수 계수를 갖는 다항식으로 쓸 수 있을 것입니다. 위 공식의 두 구성원을 같은 분모로 줄이고 x 의 각 거듭제곱의 계수가 두 분자에서 같은 것으로 쓰면, 우리는 미지수 계수에 대해 원했던 값을 얻기 위해 해결될 수 있는 선형 방정식의 시스템(system of linear equations) 을 얻습니다.
Procedure 두 다항식
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
Q
(
x
)
=
(
x
−
α
1
)
(
x
−
α
2
)
⋯
(
x
−
α
n
)
{\displaystyle Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}
α i P < n 이며, 부분 분수는 다음
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
c
1
x
−
α
1
+
c
2
x
−
α
2
+
⋯
+
c
n
x
−
α
n
{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}}
임을 가정하고 c i x 의 거듭제곱을 포함하는 항의 계수의 동일화(equating the coefficients) 에 의해, 또는 다른 것에 의해 풂으로써 일반적으로 얻습니다. (이것은 미결정 계수의 방법(method of undetermined coefficients) 의 변형입니다.)
보다 직접적인 계산, 이것은 다음으로 쓰이는 것으로 구성하는 라그랑주 보간(Lagrange interpolation) 과 강하게 관련됩니다:
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
P
(
α
i
)
Q
′
(
α
i
)
1
(
x
−
α
i
)
{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(\alpha _{i})}{Q'(\alpha _{i})}}{\frac {1}{(x-\alpha _{i})}}}
여기서
Q
′
{\displaystyle Q'}
Q
{\displaystyle Q}
이 접근은 여러 다른 경우를 설명하지 않지만, 적절히 수정될 수 있습니다:
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
E
(
x
)
+
R
(
x
)
Q
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}},}
그런-다음 나머지 분수에 대해 부분 분수를 찾습니다 (이것은 정의에 의해 deg R < deg Q 를 만족시킵니다). 만약 Q (x )가 주어진 필드에 걸쳐 기약인 인수를 포함하면, 분모에서 그러한 인수 F (x )를 갖는 각 부분 분수의 분자 N (x )는 상수가 아닌 deg N < deg F 를 갖는 다항식으로 구해져야 합니다. 예를 들어, R 에 걸쳐 다음 분해를 취하십시오:
x
2
+
1
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
=
a
x
+
2
+
b
x
−
1
+
c
x
+
d
x
2
+
x
+
1
.
{\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{(x+2)(x-1)\color {Blue}(x^{2}+x+1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}}.}
Q (x ) = (x − α )r S (x ) 및 S (α ) ≠ 0을 가정합니다. 그런-다음 Q (x )는 중복도(multiplicity) r 의 영 α 를 가지고, 부분 분수 분해에서, 부분 분수의 r 은 (x − α )의 거듭제곱을 포함할 것입니다. 예를 들어, 다음 분해를 얻기 위해 S (x ) = 1을 취하십시오:
P
(
x
)
Q
(
x
)
=
P
(
x
)
(
x
−
α
)
r
=
c
1
x
−
α
+
c
2
(
x
−
α
)
2
+
⋯
+
c
r
(
x
−
α
)
r
.
{\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.}
Illustration 이 절차의 예제 응용에서, (3x + 5)/(1 − 2x )2 는 다음 형식으로 분해될 수 있습니다:
3
x
+
5
(
1
−
2
x
)
2
=
A
(
1
−
2
x
)
2
+
B
(
1
−
2
x
)
.
{\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.}
분모 제거(Clearing denominators) 는 3x + 5 = A + B (1 − 2x ) 임을 보입니다. 전개하고 x 의 거듭제곱의 계수를 동일화하면 다음을 제공합니다:
5 = A + B 및 3x = −2Bx A 와 B 에 대해 풀면 A = 13/2 및 B = −3/2를 산출합니다. 그러므로,
3
x
+
5
(
1
−
2
x
)
2
=
13
/
2
(
1
−
2
x
)
2
+
−
3
/
2
(
1
−
2
x
)
.
{\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.}
Residue method 복소수에 걸쳐, f (x )는 유리 적절한 분수이고, 다음으로 분해될 수 있음을 가정합니다:
f
(
x
)
=
∑
i
(
a
i
1
x
−
x
i
+
a
i
2
(
x
−
x
i
)
2
+
⋯
+
a
i
k
i
(
x
−
x
i
)
k
i
)
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{i}\left({\frac {a_{i1}}{x-x_{i}}}+{\frac {a_{i2}}{(x-x_{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{ik_{i}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}}}\right).}
다음
g
i
j
(
x
)
=
(
x
−
x
i
)
j
−
1
f
(
x
)
,
{\displaystyle g_{ij}(x)=(x-x_{i})^{j-1}f(x),}
을 놓으면 로랑 급수의 유일성(uniqueness of Laurent series) 에 따라, a ij x i g ij x )의 로랑 전개에서 항 (x − x i −1 의 계수, 즉 그의 잔여(residue) 입니다:
a
i
j
=
Res
(
g
i
j
,
x
i
)
.
{\displaystyle a_{ij}=\operatorname {Res} (g_{ij},x_{i}).}
이것은 다음 공식에 의해 직접적으로 제공됩니다:
a
i
j
=
1
(
k
i
−
j
)
!
lim
x
→
x
i
d
k
i
−
j
d
x
k
i
−
j
(
(
x
−
x
i
)
k
i
f
(
x
)
)
,
{\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}}{dx^{k_{i}-j}}}\left((x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),}
또는 특별한 경우에서 x i
a
i
1
=
P
(
x
i
)
Q
′
(
x
i
)
,
{\displaystyle a_{i1}={\frac {P(x_{i})}{Q'(x_{i})}},}
이것은 다음일 때입니다:
f
(
x
)
=
P
(
x
)
Q
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.}
Over the reals 부분 분수는 유리 함수(rational function) 의 실수-값 역도함수(antiderivative) 를 찾기 위해 실수-변수(real-variable) 적분 미적분학(integral calculus) 에 사용됩니다. 실수 유리 함수(rational function) 의 부분 분수 분해는 그들의 역 라플라스 변환(Inverse Laplace transform) 을 찾기 위해 역시 사용됩니다. 실수에 걸쳐 부분 분수 분해 (partial fraction decomposition over the reals )의 적용에 대해, 다음을 압니다:
General result f (x )를 실수에 걸쳐 유리 함수로 놓습니다. 다시 말해, 다음을 만족하는
f
(
x
)
=
p
(
x
)
q
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}}
실수 다항식 함수 p (x ) 및 q (x )≠ 0가 있음을 가정합니다:
분자와 분모 둘 다를 q (x )의 선행 계수로 나눔으로써, 우리는 일반성의 손실 없이(without loss of generality) q (x )가 일계수(monic) 임을 가정할 수 있습니다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra) 를 통해, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:
q
(
x
)
=
(
x
−
a
1
)
j
1
⋯
(
x
−
a
m
)
j
m
(
x
2
+
b
1
x
+
c
1
)
k
1
⋯
(
x
2
+
b
n
x
+
c
n
)
k
n
{\displaystyle q(x)=(x-a_{1})^{j_{1}}\cdots (x-a_{m})^{j_{m}}(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{k_{1}}\cdots (x^{2}+b_{n}x+c_{n})^{k_{n}}}
여기서 a 1 ,..., a m b 1 ,..., b n c 1 ,..., c n b i 2 − 4c i j 1 ,..., j m k 1 ,..., k n x − a i q (x )의 실수 근에 해당하는 q (x )의 선형 인수 이고, 항 (x i 2 + b i x + c i q (x )의 복소(complex) 켤레 근의 쌍에 해당하는 q (x )의 기약 이차 인수 입니다.
그런-다음 f (x )의 부분 분수 분해는 다음입니다:
f
(
x
)
=
p
(
x
)
q
(
x
)
=
P
(
x
)
+
∑
i
=
1
m
∑
r
=
1
j
i
A
i
r
(
x
−
a
i
)
r
+
∑
i
=
1
n
∑
r
=
1
k
i
B
i
r
x
+
C
i
r
(
x
2
+
b
i
x
+
c
i
)
r
{\displaystyle f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}}
여기서, P (x )는 영 다항식이고, A ir B ir C ir
가장 간단한 방법은 공통 분모 q (x )를 곱하는 것입니다. 우리는 그런-다음 그의 왼쪽 변이 단순히 p (x )이고 그의 오른쪽 변이 상수 A ir B ir C ir 선형 대수(linear algebra) 의 임의의 표준 방법을 사용하여 구할 수 있습니다. 그것은 역시 극한(limits) 과 함께 구할 수 있습니다 (예제 5 를 참조하십시오).
Examples Example 1
f
(
x
)
=
1
x
2
+
2
x
−
3
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}}
여기서, 분모는 두 별개의 선형 인수로 나누어집니다:
q
(
x
)
=
x
2
+
2
x
−
3
=
(
x
+
3
)
(
x
−
1
)
{\displaystyle q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)}
그래수 우리는 부분 분수 분해를 가집니다:
f
(
x
)
=
1
x
2
+
2
x
−
3
=
A
x
+
3
+
B
x
−
1
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}}
왼쪽 변에 대한 분모로 전체를 곱함으로써 다항 항등식을 제공합니다:
1
=
A
(
x
−
1
)
+
B
(
x
+
3
)
{\displaystyle 1=A(x-1)+B(x+3)}
이 방정식에 x = −3을 대입하면 A = −1/4를 제공하고, x = 1를 대입하면 B = 1/4를 제공하므로, 다음입니다:
f
(
x
)
=
1
x
2
+
2
x
−
3
=
1
4
(
−
1
x
+
3
+
1
x
−
1
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)}
Example 2
f
(
x
)
=
x
3
+
16
x
3
−
4
x
2
+
8
x
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}}
긴-나눗셈(long-division) 후에, 우리는 다음을 가집니다:
f
(
x
)
=
1
+
4
x
2
−
8
x
+
16
x
3
−
4
x
2
+
8
x
=
1
+
4
x
2
−
8
x
+
16
x
(
x
2
−
4
x
+
8
)
{\displaystyle f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}}
인수 x 2 − 4x + 8는 실수에 걸쳐 기약인데, 왜냐하면 그의 판별식(discriminant) (−4)2 − 4×8 = − 16 이 음수이기 때문입니다. 따라서 실수에 걸쳐 부분 분수 분해는 다음 모양을 가집니다:
4
x
2
−
8
x
+
16
x
(
x
2
−
4
x
+
8
)
=
A
x
+
B
x
+
C
x
2
−
4
x
+
8
{\displaystyle {\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}}
x 3 − 4x 2 + 8x 을 전체에 곱하면, 우리는 다항 항등식을 가집니다:
4
x
2
−
8
x
+
16
=
A
(
x
2
−
4
x
+
8
)
+
(
B
x
+
C
)
x
{\displaystyle 4x^{2}-8x+16=A(x^{2}-4x+8)+(Bx+C)x}
x = 0을 취하여, 우리는 16 = 8A 이므로, A = 2임을 압니다. x 2 계수를 비교하여, 우리는 4 = A + B = 2 + B 이므로, B = 2임을 압니다. 선형 계수를 비교하여, 우리는 −8 = −4A + C = −8 + C 이므로, C = 0임을 압니다. 모두 함께,
f
(
x
)
=
1
+
2
(
1
x
+
x
x
2
−
4
x
+
8
)
{\displaystyle f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)}
분수는 복소수(complex numbers) 를 사용하여 완전하게 분해될 수 있습니다. 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra) 에 따르면, 차수 n 의 모든 각 복소 다항식은 n (복소) 근을 가집니다 (그것의 일부는 반복될 수 있습니다). 이차 분수는 다음으로 분해될 수 있습니다:
x
x
2
−
4
x
+
8
=
D
x
−
(
2
+
2
i
)
+
E
x
−
(
2
−
2
i
)
{\displaystyle {\frac {x}{x^{2}-4x+8}}={\frac {D}{x-(2+2i)}}+{\frac {E}{x-(2-2i)}}}
분모를 전체에 곱하면 다음을 제공합니다:
x
=
D
(
x
−
(
2
−
2
i
)
)
+
E
(
x
−
(
2
+
2
i
)
)
{\displaystyle x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))}
이 방정식의 양쪽 변의 x x D E
D
=
1
+
i
2
i
=
1
−
i
2
,
E
=
1
−
i
−
2
i
=
1
+
i
2
.
{\displaystyle D={\frac {1+i}{2i}}={\frac {1-i}{2}},\qquad E={\frac {1-i}{-2i}}={\frac {1+i}{2}}.}
따라서 우리는 완전한 분해를 가집니다:
f
(
x
)
=
x
3
+
16
x
3
−
4
x
2
+
8
x
=
1
+
2
x
+
1
−
i
x
−
(
2
+
2
i
)
+
1
+
i
x
−
(
2
−
2
i
)
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {2}{x}}+{\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{\frac {1+i}{x-(2-2i)}}}
우리는 유수 방법과 함께 직접 A , D E 예제 4 를 역시 참조하십시오).
Example 3 이 예제는 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system) 을 참고하지 않고, 우리가 사용할 필요가 있는 거의 모든 "트릭"을 묘사합니다.
f
(
x
)
=
x
9
−
2
x
6
+
2
x
5
−
7
x
4
+
13
x
3
−
11
x
2
+
12
x
−
4
x
7
−
3
x
6
+
5
x
5
−
7
x
4
+
7
x
3
−
5
x
2
+
3
x
−
1
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}}
분모를 긴-나눗셈(long-division) 과 인수화(factoring) 후에, 우리는 다음을 가집니다:
f
(
x
)
=
x
2
+
3
x
+
4
+
2
x
6
−
4
x
5
+
5
x
4
−
3
x
3
+
x
2
+
3
x
(
x
−
1
)
3
(
x
2
+
1
)
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}}
부분 분수 분해는 다음 형식을 취합니다:
2
x
6
−
4
x
5
+
5
x
4
−
3
x
3
+
x
2
+
3
x
(
x
−
1
)
3
(
x
2
+
1
)
2
=
A
x
−
1
+
B
(
x
−
1
)
2
+
C
(
x
−
1
)
3
+
D
x
+
E
x
2
+
1
+
F
x
+
G
(
x
2
+
1
)
2
.
{\displaystyle {\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}.}
왼쪽 변에 대한 분모를 전체에 곱하면 우리는 다항 항등식을 가집니다:
2
x
6
−
4
x
5
+
5
x
4
−
3
x
3
+
x
2
+
3
x
=
=
A
(
x
−
1
)
2
(
x
2
+
1
)
2
+
B
(
x
−
1
)
(
x
2
+
1
)
2
+
C
(
x
2
+
1
)
2
+
(
D
x
+
E
)
(
x
−
1
)
3
(
x
2
+
1
)
+
(
F
x
+
G
)
(
x
−
1
)
3
{\displaystyle {\begin{aligned}2x^{6}-4x^{5}&+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=\\[4pt]&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+C(x^{2}+1)^{2}+(Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(Fx+G)(x-1)^{3}\end{aligned}}}
이제 우리는 계수를 계산하기 위헤 x 의 다른 값을 사용합니다:
{
4
=
4
C
x
=
1
2
+
2
i
=
(
F
i
+
G
)
(
2
+
2
i
)
x
=
i
0
=
A
−
B
+
C
−
E
−
G
x
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}4=4C&x=1\\2+2i=(Fi+G)(2+2i)&x=i\\0=A-B+C-E-G&x=0\end{cases}}}
이것을 풀면 우리는 다음을 가집니다:
{
C
=
1
F
=
0
,
G
=
1
E
=
A
−
B
{\displaystyle {\begin{cases}C=1\\F=0,G=1\\E=A-B\end{cases}}}
이들 값을 사용하여 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:
2
x
6
−
4
x
5
+
5
x
4
−
3
x
3
+
x
2
+
3
x
=
=
A
(
x
−
1
)
2
(
x
2
+
1
)
2
+
B
(
x
−
1
)
(
x
2
+
1
)
2
+
(
x
2
+
1
)
2
+
(
D
x
+
(
A
−
B
)
)
(
x
−
1
)
3
(
x
2
+
1
)
+
(
x
−
1
)
3
=
(
A
+
D
)
x
6
+
(
−
A
−
3
D
)
x
5
+
(
2
B
+
4
D
+
1
)
x
4
+
(
−
2
B
−
4
D
+
1
)
x
3
+
(
−
A
+
2
B
+
3
D
−
1
)
x
2
+
(
A
−
2
B
−
D
+
3
)
x
{\displaystyle {\begin{aligned}2x^{6}-4x^{5}&+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=\\[4pt]&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+1)^{2}+(Dx+(A-B))(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\\[4pt]&=(A+D)x^{6}+(-A-3D)x^{5}+(2B+4D+1)x^{4}+(-2B-4D+1)x^{3}+(-A+2B+3D-1)x^{2}+(A-2B-D+3)x\end{aligned}}}
우리는 양쪽 변에 대한 x 6 및 x 5 의 계수를 비교하고 우리는 다음을 가집니다:
{
A
+
D
=
2
−
A
−
3
D
=
−
4
⇒
A
=
D
=
1.
{\displaystyle {\begin{cases}A+D=2\\-A-3D=-4\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad A=D=1.}
그러므로:
2
x
6
−
4
x
5
+
5
x
4
−
3
x
3
+
x
2
+
3
x
=
2
x
6
−
4
x
5
+
(
2
B
+
5
)
x
4
+
(
−
2
B
−
3
)
x
3
+
(
2
B
+
1
)
x
2
+
(
−
2
B
+
3
)
x
{\displaystyle 2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=2x^{6}-4x^{5}+(2B+5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x}
이것은 B = 0을 제공합니다. 따라서 부분 분수 분해는 다음에 의해 제공됩니다:
f
(
x
)
=
x
2
+
3
x
+
4
+
1
(
x
−
1
)
+
1
(
x
−
1
)
3
+
x
+
1
x
2
+
1
+
1
(
x
2
+
1
)
2
.
{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.}
대안적으로, 전개 대산에, 우리는 위의 다항 항등식에서
x
=
1
,
ı
{\displaystyle x=1,\imath }
x − a )m p (x )의 x = a 에서 도함수는 만약 m > 1이고 m = 1에 대해 단지 p (a )이면 사라짐을 기억해내십시오.) 예를 들어 x = 1에서 일차 도함수는 다음을 제공합니다:
2
⋅
6
−
4
⋅
5
+
5
⋅
4
−
3
⋅
3
+
2
+
3
=
A
⋅
(
0
+
0
)
+
B
⋅
(
4
+
0
)
+
8
+
D
⋅
0
{\displaystyle 2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (4+0)+8+D\cdot 0}
즉 8 = 4B + 8이므로 B = 0입니다.
Example 4 (residue method)
f
(
z
)
=
z
2
−
5
(
z
2
−
1
)
(
z
2
+
1
)
=
z
2
−
5
(
z
+
1
)
(
z
−
1
)
(
z
+
i
)
(
z
−
i
)
{\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}-5}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}={\frac {z^{2}-5}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}}}
따라서, f (z )는 그의 분모가 z +1, z −1, z +i, z −i인 유리 함수로 분해될 수 있습니다. 각 항이 거듭제곱 일의 것이므로, −1, 1, −i 및 i 는 단순 극점입니다.
그러므로, 유수는 각 극점과 결합되며, 다음에 의해 주어지면,
P
(
z
i
)
Q
′
(
z
i
)
=
z
i
2
−
5
4
z
i
3
,
{\displaystyle {\frac {P(z_{i})}{Q'(z_{i})}}={\frac {z_{i}^{2}-5}{4z_{i}^{3}}},}
는, 각각, 다음입니다:
1
,
−
1
,
3
i
2
,
−
3
i
2
,
{\displaystyle 1,-1,{\tfrac {3i}{2}},-{\tfrac {3i}{2}},}
그리고, 다음입니다:
f
(
z
)
=
1
z
+
1
−
1
z
−
1
+
3
i
2
1
z
+
i
−
3
i
2
1
z
−
i
.
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{z+1}}-{\frac {1}{z-1}}+{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z+i}}-{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z-i}}.}
Example 5 (limit method) 극한(Limits) 은 부분 분수 분해를 찾기 위해 사용될 수 있습니다.[4]
1
x
3
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}}
먼저, 분해를 결정하는 분모를 인수화합니다:
1
x
3
−
1
=
1
(
x
−
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
=
A
x
−
1
+
B
x
+
C
x
2
+
x
+
1
.
{\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}.}
모든 것에
x
−
1
{\displaystyle x-1}
x
→
1
{\displaystyle x\to 1}
lim
x
→
1
(
(
x
−
1
)
(
A
x
−
1
+
B
x
+
C
x
2
+
x
+
1
)
)
=
lim
x
→
1
A
+
lim
x
→
1
(
x
−
1
)
(
B
x
+
C
)
x
2
+
x
+
1
=
A
.
{\displaystyle \lim _{x\to 1}\left((x-1)\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)\right)=\lim _{x\to 1}A+\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(Bx+C)}{x^{2}+x+1}}=A.}
다른 한편으로,
lim
x
→
1
(
x
−
1
)
(
x
−
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
=
lim
x
→
1
1
x
2
+
x
+
1
=
1
3
,
{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}={\frac {1}{3}},}
및 따라서:
A
=
1
3
.
{\displaystyle A={\frac {1}{3}}.}
x
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
lim
x
→
∞
x
(
A
x
−
1
+
B
x
+
C
x
2
+
x
+
1
)
=
lim
x
→
∞
A
x
x
−
1
+
lim
x
→
∞
B
x
2
+
C
x
x
2
+
x
+
1
=
A
+
B
,
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {Ax}{x-1}}+\lim _{x\to \infty }{\frac {Bx^{2}+Cx}{x^{2}+x+1}}=A+B,}
및
lim
x
→
∞
x
(
x
−
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
=
0.
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=0.}
이것은 A + B = 0
B
=
−
1
3
{\displaystyle B=-{\frac {1}{3}}}
x = 0
−
1
=
−
A
+
C
{\displaystyle -1=-A+C}
C
=
−
2
3
{\displaystyle C=-{\tfrac {2}{3}}}
모두를 함께 놓으면, 우리는 분해를 얻습니다:
1
x
3
−
1
=
1
3
(
1
x
−
1
+
−
x
−
2
x
2
+
x
+
1
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{x-1}}+{\frac {-x-2}{x^{2}+x+1}}\right).}
Example 6 (integral) 우리가 부정 적분(integral) 을 가짐을 가정합니다:
∫
x
4
+
x
3
+
x
2
+
1
x
2
+
x
−
2
d
x
{\displaystyle \int {\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx}
분해를 수행하기 전에, 우리는 다항식 긴 나눗셈을 수행하고 분모를 인수화(factor) 해야 하는 것은 분명합니다. 이것을 하면 다음의 결과를 낳습니다:
∫
x
2
+
3
+
−
3
x
+
7
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
d
x
{\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\,dx}
이것에서, 우리는 이제 부분 분수 분해를 수행할 수 있을 것입니다.
∫
x
2
+
3
+
−
3
x
+
7
(
x
+
2
)
(
x
−
1
)
d
x
=
∫
x
2
+
3
+
A
(
x
+
2
)
+
B
(
x
−
1
)
d
x
{\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\,dx=\int x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\,dx}
그래서:
A
(
x
−
1
)
+
B
(
x
+
2
)
=
−
3
x
+
7
{\displaystyle A(x-1)+B(x+2)=-3x+7}
값을 치환하면, 이 경우에서 B에 대해 풀기 위해 x=1 및 A에 대해 풀기 위해 x=-2를 대입하며, 우리는 다음 결과를 낳습니다:
A
=
−
13
3
,
B
=
4
3
{\displaystyle A={\frac {-13}{3}}\ ,B={\frac {4}{3}}}
이것의 모두를 정분에 다시 넣으면 답을 찾을 수 있습니다.
∫
x
2
+
3
+
−
13
/
3
(
x
+
2
)
+
4
/
3
(
x
−
1
)
d
x
=
x
3
3
+
3
x
−
13
3
ln
(
|
x
+
2
|
)
+
4
3
ln
(
|
x
−
1
|
)
+
C
{\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ln(|x-1|)+C}
The role of the Taylor polynomial 유리 함수의 부분 분수 전개는 다음처럼 테일러의 정리(Taylor's theorem) 와 관련될 수 있습니다. 다음
P
(
x
)
,
Q
(
x
)
,
A
1
(
x
)
,
…
,
A
r
(
x
)
{\displaystyle P(x),Q(x),A_{1}(x),\ldots ,A_{r}(x)}
을 실수 또는 복소수 다항식으로 놓고, 다음
Q
=
∏
j
=
1
r
(
x
−
λ
j
)
ν
j
,
{\displaystyle Q=\prod _{j=1}^{r}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}},}
은 다음을 만족시키는 것으로 가정합니다:
deg
A
1
<
ν
1
,
…
,
deg
A
r
<
ν
r
,
and
deg
(
P
)
<
deg
(
Q
)
=
∑
j
=
1
r
ν
j
.
{\displaystyle \deg A_{1}<\nu _{1},\ldots ,\deg A_{r}<\nu _{r},\quad {\text{and}}\quad \deg(P)<\deg(Q)=\sum _{j=1}^{r}\nu _{j}.}
역시 다음을 정의합니다:
Q
i
=
∏
j
≠
i
(
x
−
λ
j
)
ν
j
=
Q
(
x
−
λ
i
)
ν
i
,
1
⩽
i
⩽
r
.
{\displaystyle Q_{i}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}={\frac {Q}{(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}},\qquad 1\leqslant i\leqslant r.}
그런-다음 우리는 다음
P
Q
=
∑
j
=
1
r
A
j
(
x
−
λ
j
)
ν
j
{\displaystyle {\frac {P}{Q}}=\sum _{j=1}^{r}{\frac {A_{j}}{(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}}}}
을 가지는 것과 각 다항식
A
i
(
x
)
{\displaystyle A_{i}(x)}
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
ν
i
−
1
{\displaystyle \nu _{i}-1}
P
Q
i
{\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}
A
i
(
x
)
:=
∑
k
=
0
ν
i
−
1
1
k
!
(
P
Q
i
)
(
k
)
(
λ
i
)
(
x
−
λ
i
)
k
.
{\displaystyle A_{i}(x):=\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {1}{k!}}\left({\frac {P}{Q_{i}}}\right)^{(k)}(\lambda _{i})\ (x-\lambda _{i})^{k}.}
테일러의 정리는 (실수 또는 복소수 경우에서) 그런-다음 부분 분수 분해의 존재와 유일성의 증명, 및 계수의 특성화를 제공합니다.
Sketch of the proof 위의 부분 분수 전개는, 각 1 ≤ i ≤ r 에 대해, 다음 다항식 전개를 의미하므로,
P
Q
i
=
A
i
+
O
(
(
x
−
λ
i
)
ν
i
)
,
for
x
→
λ
i
,
{\displaystyle {\frac {P}{Q_{i}}}=A_{i}+O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},}
A
i
{\displaystyle A_{i}}
P
Q
i
{\displaystyle {\tfrac {P}{Q_{i}}}}
ν
i
−
1
{\displaystyle \nu _{i}-1}
deg
A
i
<
ν
i
{\displaystyle \deg A_{i}<\nu _{i}}
역으로, 만약
A
i
{\displaystyle A_{i}}
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
P
−
Q
i
A
i
=
O
(
(
x
−
λ
i
)
ν
i
)
,
for
x
→
λ
i
,
{\displaystyle P-Q_{i}A_{i}=O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},}
이것은 다항식
P
−
Q
i
A
i
{\displaystyle P-Q_{i}A_{i}}
(
x
−
λ
i
)
ν
i
{\displaystyle (x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}
j
≠
i
,
Q
j
A
j
{\displaystyle j\neq i,Q_{j}A_{j}}
(
x
−
λ
i
)
ν
i
{\displaystyle (x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}
P
−
∑
j
=
1
r
Q
j
A
j
{\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}}
은
Q
{\displaystyle Q}
deg
(
P
−
∑
j
=
1
r
Q
j
A
j
)
<
deg
(
Q
)
{\displaystyle \deg \left(P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}\right)<\deg(Q)}
우리는 그런-다음 다음을 가지고
P
−
∑
j
=
1
r
Q
j
A
j
=
0
,
{\displaystyle P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}=0,}
우리는
Q
{\displaystyle Q}
Fractions of integers 부분 분수의 아이디어는 다른 정수 도메인(integral domain) , 말하자면 소수(prime number) 가 기약 분모의 역할을 하는 정수(integer) 의 링, 등으로 일반화될 수 있습니다. 예를 들어,
1
18
=
1
2
−
1
3
−
1
3
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{18}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3^{2}}}.}
Notes References Rao, K. R.; Ahmed, N. (1968). "Recursive techniques for obtaining the partial fraction expansion of a rational function". IEEE Trans. Educ . Vol. 11, no. 2. pp. 152–154. doi :10.1109/TE.1968.4320370 . Henrici, Peter (1971). "An algorithm for the incomplete decomposition of a rational function into partial fractions". Z. Angew. Math. Phys . Vol. 22, no. 4. pp. 751–755. doi :10.1007/BF01587772 . Chang, Feng-Cheng (1973). "Recursive formulas for the partial fraction expansion of a rational function with multiple poles". Proc. IEEE . Vol. 61, no. 8. pp. 1139–1140. doi :10.1109/PROC.1973.9216 . Kung, H. T.; Tong, D. M. (1977). "Fast Algorithms for Partial Fraction Decomposition". SIAM Journal on Computing . 6 (3): 582. doi :10.1137/0206042 . Eustice, Dan; Klamkin, M. S. (1979). "On the coefficients of a partial fraction decomposition". American Mathematical Monthly JSTOR 2320421 . Mahoney, J. J.; Sivazlian, B. D. (1983). "Partial fractions expansion: a review of computational methodology and efficiency". J. Comput. Appl. Math . Vol. 9. pp. 247–269. doi :10.1016/0377-0427(83)90018-3 . Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra 364–370 . ISBN 0-673-38638-4 Westreich, David (1991). "partial fraction expansion without derivative evaluation". IEEE Trans. Circ. Syst . Vol. 38, no. 6. pp. 658–660. doi :10.1109/31.81863 . Kudryavtsev, L. D. (2001) [1994], "Undetermined coefficients, method of" , Encyclopedia of Mathematics EMS Press Velleman, Daniel J. (2002). "Partial fractions, binomial coefficients and the integral of an odd power of sec theta". Amer. Math. Monthly . Vol. 109, no. 8. pp. 746–749. JSTOR 3072399 . Slota, Damian; Witula, Roman (2005). "Three brick method of the partial fraction decomposition of some type of rational expression". Lect. Not. Computer Sci. Vol. 33516. pp. 659–662. doi :10.1007/11428862_89 . Kung, Sidney H. (2006). "Partial fraction decomposition by division". Coll. Math. J . 37 (2): 132–134. JSTOR 27646303 . Witula, Roman; Slota, Damian (2008). "Partial fractions decompositions of some rational functions". Appl. Math. Comput . Vol. 197. pp. 328–336. doi :10.1016/j.amc.2007.07.048 . MR 2396331 . External links
![{\displaystyle {\begin{aligned}2x^{6}-4x^{5}&+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=\\[4pt]&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+C(x^{2}+1)^{2}+(Dx+E)(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(Fx+G)(x-1)^{3}\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8053f05f831f184d1f2b9eb52538c35cfe859c11)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2x^{6}-4x^{5}&+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=\\[4pt]&=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)^{2}+B(x-1)(x^{2}+1)^{2}+(x^{2}+1)^{2}+(Dx+(A-B))(x-1)^{3}(x^{2}+1)+(x-1)^{3}\\[4pt]&=(A+D)x^{6}+(-A-3D)x^{5}+(2B+4D+1)x^{4}+(-2B-4D+1)x^{3}+(-A+2B+3D-1)x^{2}+(A-2B-D+3)x\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67da73d8eec156bf25c5319ebf3586c81b0c3fd)
