Perimeter

Perimeter is the distance around a two dimensional shape, a measurement of the distance around something; the length of the boundary.

둘레(perimeter)는 (이-차원에서) 모양(shape)을 둘러싸는/에워싸는/윤곽을-그리는 경로(path) 또는 (일-차원에서) 그것의 길이(length)입니다. 원(circle) 또는 타원(ellipse)의 둘레는 그것의 원주(circumference)라고 불립니다.

둘레를 계산하는 것은 여러 가지 실용적인 응용을 가집니다. 계산된 둘레는 마당 또는 정원을 둘러쌀 필요가 있는 담장의 길이입니다. 바퀴/원의 둘레 (그의 원주)는 일 회전(revolution)이 얼마나 멀리 굴러갈 것인지를 설명합니다. 유사하게, 실패 주위에 감긴 끈의 양은 실패의 둘레와 관련이 있습니다; 만약 끈의 길이가 정확했다면, 그것은 둘레와 같았을 것입니다.

Formulas


모양	공식	변수
원	$2\pi r=\pi d$	여기서 $r$ 은 원의 반지름이고 $d$ 는 지름입니다.
삼각형	$a+b+c\,$	여기서 $a$ , $b$ 및 $c$ 는 삼각형의 변의 길이입니다.
정사각형/마름모	$4a$	여기서 $a$ 는 변 길이입니다.
직사각형	$2(l+w)$	여기서 $l$ 은 길이이고 $w$ 는 너비입니다.
등변 다각형	$n\times a\,$	여기서 $n$ 은 변의 숫자이고 $a$ 는 변 중 하나의 길이입니다.
정규 다각형	$2nb\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)$	여기서 $n$ 은 변의 숫자이고 $b$ 는 다각형의 중심과 다각형의 꼭짓점(vertices) 중 하나 사이의 거리입니다.
일반적인 다각형	$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$	여기서 $a_{i}$ 는 n-변 다각형의 $i$ -번째 (첫 번째, 두 번째, 세 번째 ... n번째) 변의 길이입니다.

cardoid $\gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$
(drawing with $a=1$ )
$x(t)=2a\cos(t)(1+\cos(t))$
$y(t)=2a\sin(t)(1+\cos(t))$
$L=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t=16a$

둘레는 모양 주위에 거리입니다. 보다 일반적인 모양에 대해 둘레는 임의의 경로로, $\int _{0}^{L}\mathrm {d} s$ 와 함께 계산될 수 있으며, 여기서 $L$ 은 경로의 길이이고 $ds$ 는 무한소 직선 요소입니다. 이것들 두 가지 모두는 실제적으로 계산되기 위해 대수적 형식에 의해 대체되어야 합니다. 만약 둘레가 다음과 함께 닫힌 조각별 매끄러운 평면 곡선(piecewise smooth plane curve) $\gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ 으로 주어지면,

\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}

그것의 길이 $L$ 은 다음처럼 계산될 수 있습니다:

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t

$n$ -차원(dimensional) 유클리드 공간(Euclidean space)에서 부피를 경계짓는 초표면(hypersurface)을 포함하는 둘레의 일반화된 개념은 카치오폴리 집합(Caccioppoli set)의 이론에 의해 설명됩니다.

Polygons

다각형(Polygon)은 가장 단순한 모양이기 때문일뿐만 아니라 많은 모양의 둘레가 이들 모양으로 향하는 다각형의 수열(sequences)을 갖는 이들을 근사함(approximating)으로써 계산되기 때문에 둘레를 결정하는 것에 기본적입니다. 이런 종류의 추론을 사용했었던 것으로 알려진 최초의 수학자는 아르키메데스(Archimedes)이며, 그는 정규 다각형(regular polygon)으로 원을 둘러쌈으로써 원의 둘레를 근사화했습니다.

다각형의 둘레는 그것의 변 (가장자리)의 길이의 합(sum)과 같습니다. 특히, 너비 $w$ 와 길이 $\ell$ 의 직사각형(rectangle)의 둘레는 $2w+2\ell$ 과 같습니다.

등변 다각형(equilateral polygon)은 같은 길이의 모든 변을 가지는 다각형입니다 (예를 들어, 마름모(rhombus)는 4-변 등변 다각형입니다). 등변 다각형의 둘레를 계산하기 위해, 우리는 변의 공통 길이에 변의 숫자를 곱해야 합니다.

정규 다각형(regular polygon)은 그것의 변의 숫자와 그것의 둘레-반지름(circumradius), 다시 말해서, 그것의 중심(centre)과 그것의 꼭짓점(vertices)의 각각 사이의 상수 거리에 의해 특성화될 수 있습니다. 그것의 변의 길이는 삼각법(trigonometry)을 사용하여 계산될 수 있습니다. 만약 $R$ 이 정규 다각형의 반지름이고 $n$ 이 그것의 변의 숫자이면, 그것의 둘레는 다음입니다:

2nR\sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right).

삼각형(triangle)의 스플리터(splitter)는 둘레를 둘의 같은 길이로 나누는 체바선(cevian) (꼭짓점에서 반대쪽 변까지의 선분)이며, 이 공통적인 길이는 삼각형의 반둘레(semiperimeter)라고 불립니다. 삼각형의 셋의 스플리터 모두는 삼각형의 나겔 점(Nagel point)에서 서로 교차합니다.

삼각형의 클리버(cleaver)는 둘레가 둘의 같은 길이로 나뉘는 것을 만족하는 삼각형의 한 변의 중간점에서 반대쪽 변까지의 선분입니다. 삼각형의 셋의 클리버 모두는 삼각형의 슈피커 중심(Spieker center)에서 서로 교차합니다.

Circumference of a circle

If the diameter of a circle is 1, its circumference equals $π$ .

원(circle)의 둘레는, 종종 원주라고 불리며, 그것의 지름(diameter)과 반지름(radius)에 비례합니다. 다시 말해서, 만약 $P$ 가 원의 둘레이고 $D$ 가 그것의 지름이면, 다음임을 만족하는 상수 파이, $π$ (둘레에 대해 그리스어(Greek) p)가 있습니다:

P=\pi \cdot {D}.\!

원의 반지름의 관점에서, 이 공식은 다음이 됩니다:

P=2\pi \cdot r.

원의 둘레를 계산하기 위해, 그것의 지름 또는 반지름과 숫자 $π$ 를 아는 것으로 충분합니다. 문제는 $π$ 가 유리수(rational)가 아니고 (두 정수(integer)의 몫(quotient)으로 표현될 수 없음), 대수적(algebraic)도 아니라는 것입니다 (유리 계수를 갖는 다항 방정식의 근이 아닙니다). 따라서, $π$ 의 정확한 근사를 얻는 것이 계산에 중요합니다. $π$ 의 자릿수의 계산은 수학적 해석학(mathematical analysis), 알고리듬(algorithmics) 및 컴퓨터 과학(computer science)과 같은 많은 분야와 관련이 있습니다.

Perception of perimeter

The more one cuts this shape, the lesser the area and the greater the perimeter. The convex hull remains the same.

둘레와 넓이(area)는 기하학적 그림의 두 가지 주요 측정입니다. 그것들을 혼동하는 것은 공통적인 오류이며, 마찬가지로 그중 하나가 클수록 다른 하나가 더 커야 한다고 믿는 것입니다. 사실, 평범한 관찰은 모양의 확대 (또는 축소)가 그것의 넓이와 마찬가지로 둘레를 성장하게 (또는 축소하게) 만듭니다. 예를 들어, 만약 들판가 1/10,000 스케일 지도에 그려지면, 실제 들판 둘레는 그려지는 둘레에 10,000를 곱하여 계산될 수 있습니다. 실제 넓이는 지도 위에 모양의 넓이 10,000²배입니다. 그럼에도 불구하고, 보통 모양의 넓이와 둘레 사이에 관계는 없습니다. 예를 들어, 너비 0.001과 길이 1000를 갖는 직사각형의 둘레는 2000보다 약간 높고, 반면에 너비 0.5와 길이 2을 갖는 직사각형의 둘레는 5입니다. 넓이 둘 다는 1과 같습니다.

프로크로스(Proclus) (5 세기)는 그리스 농민들이 그것들의 둘레에 의존하여 들판을 "공정하게" 분리했다고 기록했습니다.^[1] 어쨌든, 들판의 생산물은 그것의 둘레가 아니라 그것의 넓이에 비례하므로, 많은 순진한 농부들은 긴 둘레지만 작은 넓이를 갖는 들판을 얻었을 수 있습니다 (따라서, 작물이 거의 없음).

만약 우리가 그림에서 조각을 제거하면, 그것의 넓이는 줄어들지만 그것의 둘레는 줄어들지 않을 수 있습니다. 매우 불규칙한 모양의 경우에서, 둘레와 볼록 껍질(convex hull) 사이에 혼동이 발생할 수 있습니다. 그림의 볼록 껍질은 그것의 주변에 펴져있는 고무줄에 의해 형성된 모양으로 시각화될 수 있습니다. 왼쪽의 움직이는 그림에서, 모든 그림은 같은 볼록 껍질; 가장 큰, 첫 번째 육각형(hexagon)을 가집니다.

Isoperimetry

등둘레 문제는 주어진 둘레를 가진 그림 중에서 가장 큰 넓이를 갖는 그림을 결정하는 것입니다. 그 해는 직관적입니다; 그것은 원(circle)입니다. 특히, 이것은 육수(broth) 표면의 지방 방울이 원형인 이유를 설명하기 위해 사용될 수 있습니다.

이 문제는 간단해 보일 수 있지만, 그것의 수학적 증명은 어떤 정교한 정리를 요구합니다. 등둘레 문제는 사용되려는 그림의 유형을 제한함으로써 단순화됩니다. 특히, 주어진 둘레를 가진 같은 모양을 갖는 그림들 중에서 가장 큰 넓이를 가진 사변형(quadrilateral), 또는 삼각형, 또는 또 다른 특정 그림을 찾는 것입니다. 사변형 등둘레 문제에 대한 해는 정사각형(square)이고, 삼각형 문제에 대한 해는 등변 삼각형(equilateral triangle)입니다. 일반적으로, 가장 큰 넓이와 주어진 둘레를 갖는 $n$ 변을 갖는 다각형은 정규 다각형(regular polygon)이며, 이것은 같은 변의 숫자를 갖는 임의의 불규칙한 다각형인 것보다 원에 더 가깝습니다.

Etymology

그 단어는 περί peri "주위로" 및 μέτρον metron "측정"의 그리스어(Greek) περίμετρος perimetros에서 유래했습니다.

References

^ Heath, T. (1981). A History of Greek Mathematics. Vol. 2. Dover Publications. p. 206. ISBN 0-486-24074-6.

External links

[1] Heath, T. (1981). A History of Greek Mathematics. Vol. 2. Dover Publications. p. 206. ISBN 0-486-24074-6.

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