Arc length

Original article: w:Arc length

When rectified, the curve gives a straight line segment with the same length as the curve's arc length.

Arc length s of a logarithmic spiral as a function of its parameter θ.

호 길이는 곡선(curve)의 단면을 따라 있는 두 점 사이의 거리입니다.

불규칙한 호 분절의 길이를 결정하는 것은 역시 곡선의 정류라고 불립니다. 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)의 출현은 일부 경우에서 닫힌-형식 해(closed-form solutions)를 제공하는 일반적인 공식으로 이어졌습니다.

General approach

Approximation by multiple linear segments

평면(plane)에서 곡선(curve)은 선분(line segment)을 사용하여 곡선 위의 유한한(finite) 숫자의 점(points)을 다각형 경로(polygonal path)를 생성하기 위해 연결함으로써 근사화될 수 있습니다. 각 선형 분절의 길이(length)를 계산하는 것은 (예를 들어, 유클리드 공간에서 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 사용하여) 간단하기 때문에, 근사의 전체 길이는 각 선형 분절의 길이의 합계(summation)에 의해 구할 수 있습니다; 그 근삿값은 (누적) 현의(chordal) 거리로 알려져 있습니다.

만약 곡선이 이미 다각형 경로가 아니면, 더 작은 길이의 분절로 점진적으로 더 많이 사용하면 더 나은 근삿값을 초래할 것입니다. 연속적인 근삿값의 길이는 줄어들지 않을 것이고 무한정 증가할 수 있지만, 매끄러운 곡선에 대해 그것들은 분절의 길이가 임의적으로 작아짐(arbitrarily small)에 따라 유한한 극한으로 경향일 것입니다.

일부 곡선에 대해, 모든 다각형 근사의 길이에 대한 위쪽 경계인 가장 작은 숫자 $L$이 있습니다. 이들 곡선은 정규-가능이라고 불리고 호 길이는 숫자 $L$로 정의됩니다.

Formula for a smooth curve

See also: Curve § Length of a curve

$f\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$를 단사(injective)이고 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable) 함수라고 놓습니다. $f$에 의해 정의된 곡선의 길이는 분절의 개수가 무한대로 접근할 때 $[a,b]$의 정규 분할에 대해 선분 길이의 합의 극한(limit)으로 정의될 수 있습니다. 이것은 다음임을 의미합니다: $$L(f)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}$$

여기서 $i=0,1,\dotsc ,N$에 대해 $t_{i}=a+i(b-a)/N=a+i\Delta t$입니다. 이 정의는 다음 적분으로 호 길이의 표준 정의와 동등합니다: $$\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt.$$

위의 마지막 상등은 다음때문에 참입니다: (i) 미적분학의 기본 정리에 의해, $f(t_{i})-f(t_{i-1})=\Delta t\int _{0}^{1}f'(\theta t_{i}+(1-\theta )t_{i-1})\ d\theta$; (ii) 함수 $\left|f'\right|$가 연속이고, 따라서 그것은 균등하게 연속이므로, $\Delta t<\delta (\varepsilon )$가 $\left|\left|f'(t_{i-1}+\theta _{i}(t_{i}-t_{i-1}))\right|-\left|f'(t_{i})\right|\right|<\varepsilon$를 의미함을 만족하는 양의 실수 $\varepsilon$의 양의 실수 함수 $\delta (\varepsilon )$가 있습니다. 이것은 다음이 $N>(b-a)/\delta (\varepsilon )$에 대해 $\varepsilon (b-a)$보다 작은 절댓값을 가짐을 의미합니다: $$\sum _{i=1}^{N}\left|{\frac {f(t_{i})-f(t_{i-1})}{\Delta t}}\right|\Delta t-\sum _{i=1}^{N}{\Big |}f'(t_{i}){\Big |}\Delta t$$

이것은 극한 $N\to \infty$에서, 위의 왼쪽 항이 오른쪽 항과 같으며, 이것은 바로 $[a,b]$ 위에 $\left|f'(t)\right|$의 리만 적분(Riemann integral)임을 의미합니다. 호 길이의 이 정의는 $[a,b]$ 위에 연속적으로 미분-가능 곡선 $f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$의 길이가 항상 유한임을 의미합니다. 다시 말해서, 그 곡선은 항상 정류-가능입니다.

도함수의 노름의 적분으로 매끄러운 곡선의 호 길이의 정의는 다음 정의와 동등합니다: $$L(f)=\sup \sum _{i=1}^{N}{\bigg |}f(t_{i})-f(t_{i-1}){\bigg |}$$

여기서 상한(supremum)은 $[a,b]$의 모든 가능한 분할 $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{N-1}<t_{N}=b$에 걸쳐 취합니다. 이 정의는 역시 만약 $f$가 단지 연속이고, 미분-가능이 아닌 것이면 유효합니다.

곡선은 무한하게 많은 방법에서 매개변수화될 수 있습니다. $\varphi :[a,b]\to [c,d]$를 임의의 연속적으로 미분-가능 전단사(bijection)로 놓습니다. 그런-다음 $g=f\circ \varphi ^{-1}:[c,d]\to \mathbb {R} ^{n}$는 원래 $f$에 의해 정의된 곡선의 또 다른 연속적으로 미분-가능 매개변수입니다. 곡선의 호 길이는 곡선을 정의하기 위해 사용된 매개변수에 관계없이 같습니다: $${\begin{aligned}L(f)&=\int _{a}^{b}{\Big |}f'(t){\Big |}\ dt=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t))\varphi '(t){\Big |}\ dt\\&=\int _{a}^{b}{\Big |}g'(\varphi (t)){\Big |}\varphi '(t)\ dt\quad {\text{in the case of }}\varphi {\text{ being non-decreasing}}\\&=\int _{c}^{d}{\Big |}g'(u){\Big |}\ du\quad {\text{using integration by substitution}}\\&=L(g).\end{aligned}}$$

Finding arc lengths by integrating

See also: Differential geometry of curves

Quarter circle

만약 $\mathbb {R} ^{2}$에서 평면 곡선(planar curve)이 방정식 $y=f(x)$에 의해 정의되면, 여기서 $f$는 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이며, 그것은 단순히 $x=t$와 $y=f(t)$인 매개변수 방정식의 특별한 경우입니다. 호의 각 무한소 분절의 유클리드 거리(Euclidean distance)는 다음에 의해 제공될 수 있습니다: $${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.$$

호 길이는 그런-다음 다음에 의해 제공됩니다: $$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\,}}dx.$$

호 길이에 대해 닫힌-형식 해(closed-form solutions)를 갖는 곡선은 캐트너리(catenary), 원(circle), 사이클로이드(cycloid), 로그 나선(logarithmic spiral), 포물선(parabola), 반-삼차 포물선(semicubical parabola), 및 직선(straight line)을 포함합니다. 타원(elliptic)과 쌍곡선(hyperbolic) 호의 호 길이에 대해 닫힌-형식 해의 부재는 타원 적분(elliptic integral)의 개발로 이어졌습니다.

Numerical integration

심지어 단순 곡선을 포함하여 대부분 경우에서, 호 길이에 대해 닫힌-형식 해가 없고 수치적 적분(numerical integration)이 필요합니다. 호 길이 적분의 수치적 적분은 보통 매우 효율적입니다. 예를 들어, 호 길이 적분을 수치적으로 적분함으로써 단위 원의 사분의 일의 길이를 찾는 문제를 생각해 보십시오. 단위 원의 위쪽 절반은 $y={\sqrt {1-x^{2}}}$으로 매개변수화될 수 있습니다. 구간 $x\in \left[-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2\right]$은 원의 사분의 일에 해당합니다. ${\textstyle dy/dx=-x/{\sqrt {1-x^{2}}}}$와 $1+(dy/dx)^{2}=1/\left(1-x^{2}\right)$이기 때문에, 단위 원의 사분의 일의 길이는 다음입니다: $$\int _{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$$

1.570796326808177의 이 적분에 대해 15-점 가우스–크론로드(Gauss–Kronrod) 규칙 추정은 다음의 참 길이에서 1.3×10⁻¹¹ 만큼 차이가 나고 $${\Big [}\arcsin x{\Big ]}_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}$$

1.570796326794727의 16-점 가우스 구적법(Gaussian quadrature) 규칙 추정은 오직 1.7×10⁻¹³ 만큼 참 길이와 다릅니다. 이것은 오직 16 피적분 평가를 갖는 이 적분을 거의 기계 정밀도(machine precision)로 평가할 수 있음을 의미합니다.

Curve on a surface

$\mathbf {x} (u,v)$를 표면 매핑으로 놓고 $\mathbf {C} (t)=(u(t),v(t))$를 이 표면 위이 곡선으로 놓습니다. 호 길이 적분의 피적분은 $\left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|$입니다. 도함수를 평가하면 벡터 필드에 대해 체인 규칙(chain rule)을 요구합니다: $$D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {x} _{u}\ \mathbf {x} _{v}){\binom {u'}{v'}}=\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'.$$

이 벡터의 제곱된 노름은 다음입니다: $$\left(\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v'\right)\cdot (\mathbf {x} _{u}u'+\mathbf {x} _{v}v')=g_{11}\left(u'\right)^{2}+2g_{12}u'v'+g_{22}\left(v'\right)^{2}$$ (여기서 $g_{ij}$는 첫 번째 기본 형식 계수입니다), 따라서 호 길이 적분의 피적분은 ${\sqrt {g_{ab}\left(u^{a}\right)'\left(u^{b}\right)'\,}}$으로 쓸 수 있습니다 (여기서 $u^{1}=u$ and $u^{2}=v$).

Other coordinate systems

$\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))$를 극 좌표에서 표현된 곡선으로 놓습니다. 극 좌표를 직교 좌표로 변환하는 매핑은 다음입니다: $$\mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta ).$$

호 길이 적분의 피적분은 $\left|\left(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} \right)'(t)\right|$입니다. 벡터 필드에 대해 체인 규칙은 $D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '$임을 보여줍니다. 따라서 호 길이 적분의 제곱된 피적분은 다음입니다: $$\left(\mathbf {x_{r}} \cdot \mathbf {x_{r}} \right)\left(r'\right)^{2}+2\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)r'\theta '+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}.$$

따라서 극 좌표에서 표현된 곡선에 대해, 호 길이는 다음입니다: $$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}\,}}dt=\int _{\theta (t_{1})}^{\theta (t_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}\,}}d\theta .$$

이제 $\mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))$를 구형 좌표에서 표현된 곡선으로 놓으며, 여기서 $\theta$는 양의 $z$-축에서 측정된 극 각도이고 $\phi$는 방위 각도입니다. 구형 좌표를 직교 좌표로 변환하는 매핑은 다음입니다: $$\mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta ).$$

다시 체인 규칙을 사용하면 $D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} _{r}r'+\mathbf {x} _{\theta }\theta '+\mathbf {x} _{\phi }\phi '$임을 보여줍니다. $i$와 $j$가 다른 모든 점 곱 $\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} _{j}$은 영이므로, 이 벡터의 제곱된 노름은 다음입니다: $$\left(\mathbf {x} _{r}\cdot \mathbf {x} _{r}\right)\left(r'^{2}\right)+\left(\mathbf {x} _{\theta }\cdot \mathbf {x} _{\theta }\right)\left(\theta '\right)^{2}+\left(\mathbf {x} _{\phi }\cdot \mathbf {x} _{\phi }\right)\left(\phi '\right)^{2}=\left(r'\right)^{2}+r^{2}\left(\theta '\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left(\phi '\right)^{2}.$$

따라서 구형 좌표에서 표현된 곡선에 대해, 호 길이는 다음입니다: $$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}\,}}dt.$$

매우 유사한 계산은 원통형 좌표에서 표현된 곡선의 호 길이가 다음임을 보여줍니다: $$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\,}}dt.$$

Simple cases

Arcs of circles

Further information: Circumference § Circle

호 길이는 s에 의해 표시되는데, 왜냐하면 길이 (또는 크기)에 대해 라틴어 단어는 spatium이기 때문입니다.

아래 줄에서, $r$이 원(circle)의 반지름(radius)를 나타내고, $d$는 그것의 지름(diameter)이고, $C$는 그것의 원의-둘레(circumference)이고, $s$는 원의 호의 길이이고, $\theta$는 호가 원의 중심(center)에 끼워진 각도입니다. 거리 $r,d,C,$ 및 $s$는 같은 단위에 있습니다.

• $C=2\pi r,$ 이것은 $C=\pi d$와 같습니다. 이 방정식은 $\pi$의 정의입니다.
• 만약 호가 반원(semicircle)이면, $s=\pi r$입니다.
• 임의적인 원형 호에 대해:
  • 만약 $\theta$가 라디안(radian)에 있으면, $s=r\theta$입니다. 이것은 라디안의 정의입니다.
  • 만약 $\theta$가 각도(degrees)에 있으면, $s={\frac {\pi r\theta }{180^{\circ }}}$이며, 이것은 $s={\frac {C\theta }{360^{\circ }}}$와 같습니다.
  • 만약 $\theta$가 그라디안(grads)에 있으면 (100 그라디안, 또는 grades, 또는 gradians이 하나의 직각(right-angle)에 있으면), $s={\frac {\pi r\theta }{200{\text{ grad}}}}$이며, 이것은 $s={\frac {C\theta }{400{\text{ grad}}}}$와 같습니다.
  • 만약 $\theta$가 회전(turns)에 있으면 (하나의 회전은 완전 회전, 또는 360°, 또는 400 그라디안, 또는 $2\pi$입니다), $s=C\theta /1{\text{ turn}}$입니다.

Great circles on Earth

Main article: Great-circle distance

Further information: Geodesics on an ellipsoid

See also: Length of a degree and Gradian § Metre

길이의 두 단위, 항해의 마일(nautical mile)와 미터(metre) (또는 킬로미터)는 원래 정의된 것이므로 지구의 표면 위에 큰 원의 호 길이가 그것들이 중심에 끼워진 각도와 간단히 수치적으로 관련이 있습니다. 간단한 방정식 $s=\theta$는 다음 상황에 적용됩니다:

• 만약 $s$가 항해의 마일에 있고, $\theta$가 호분(arcminute) (1⁄60 각도(degree))에 있거나,
• 만약 $s$가 킬로미터에 있고, $\theta$가 센티그라디안(centigrades) (1⁄100 그라디안(grad))에 있으면.

거리 단위의 길이는 지구의 둘레가 40000 킬로미터, 또는 21600 항해의 마일과 같도록 선택되었습니다. 그것들은 한 번의 완전한 회전에서 해당하는 각도 단위의 숫자입니다.

미터와 항행의 마일의 그것들 정의는 보다 정확한 정의로 대체되어 왔지만, 원래 정의는 여전히 개념적 목적과 일부 계산에 충분히 정확합니다. 예를 들어, 그것들은 일 킬로미터가 정확하게 0.54 항해의 마일임을 암시합니다. 공식적 현대 정의를 사용하면 일 항해의 마일은 정확하게 1.852 킬로미터이며, 이것은 1 킬로미터가 약 0.53995680 항해의 마일임을 의미합니다. 이 현대 비율은 원래 정의에서 계산된 비율과 10,000분의 1 미만만큼 다릅니다.

Other simple cases

• Archimedean spiral § Arc length
• Cycloid § Arc length
• Ellipse § Arc length
• Helix § Arc length
• Parabola § Arc length
• Sine and cosine § Arc length
• Triangle wave § Arc length

Historical methods

Antiquity

수학 역사(history of mathematics)의 상당 부분에서, 가장 위대한 사상가조차도 불규칙한 호의 길이를 계산하는 것이 불가능하다고 생각했습니다. 비록 아르키메데스(Archimedes)가 그의 "소진의 방법(method of exhaustion)"으로 곡선 아래 넓이를 찾는 방법을 개척했을지라도, 직선에서 한 것처럼 곡선에 대해 명확한 길이를 갖는 것이 가능하다고 믿는 사람은 거의 없었습니다. 미적분학(calculus)에서 종종 있었던 것처럼, 근사(approximation)에 의해 이 분야에서 첫 번째 근거가 깨졌습니다. 사람들은 곡선 안에 다각형(polygon)을 새기고 길이를 어느 정도 정확하게 측정하기 위해 변의 길이를 계산하기 시작했습니다. 더 많은 분절을 사용하고, 각 분절의 길이를 줄임으로써, 그들은 점점 더 정확한 근사를 얻을 수 있었습니다. 특히, 여러 변의 다각형을 원에 내접함으로써, 그들은 π의 근사를 찾을 수 있었습니다.

17th century

17세기에, 소진의 방법은 몇 개의 초월적 곡선(transcendental curve): 1645년에 에반젤리스타 토리첼리(Evangelista Torricelli)에 의한 로그 나선(logarithmic spiral) (일부 출처는 1650년대에 존 월리스(John Wallis)라고 말함), 1658년에 크리스토퍼 렌(Christopher Wren)에 의한 사이클로이드(cycloid), 및 1691년에 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에 의한 캐트너리(catenary)의 기하학적 방법에 의한 정류로 이어졌습니다.

1659년에, 월리스는 비-자명한 대수적 곡선(algebraic curve), 반삼차 포물선(semicubical parabola)의 첫 번째 정류의 윌리엄 닐(William Neile)의 발견을 공인했습니다. 동반하는 그림은 145 페이지에 나와 있습니다. 91 페이지에, 윌리엄 닐은 Gulielmus Nelius로 언급되어 있습니다.

Integral form

미적분학의 완전한 형식적 발전 전에, 호 길이에 대해 현대 적분 형식에 대한 기초는 헨드리크 폰 후우랏(Hendrik van Heuraet)과 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)에 의해 독립적으로 발견되었습니다.

1659년에, 폰 후우랏은 호 길이를 결정하는 문제가 곡선 아래의 넓이 (즉, 적분)을 결정하는 문제로 변환될 수 있음을 보여주는 구성을 발표했습니다. 그의 방법의 예제로, 그는 반-삼차 포물선의 호 길이를 결정했으며, 이것은 포물선(parabola) 아래의 넓이를 찾는 것을 요구했습니다. 1660년에, 페르마는 그의 De linearum curvarum cum lineis rectis comparatione dissertatio geometrica (직선과 비교에서 곡선화된 곡선에 대한 기하학적 논문)에서 같은 결과를 포함하는 보다 일반적인 이론을 발표했습니다.

Fermat's method of determining arc length

접선에 대한 이전 작업을 기반으로, 페르마는 다음 곡선을 사용했습니다:

$y=x^{\frac {3}{2}}\,$

x = a에서 그것의 접선(tangent)은 다음의 기울기(slope)를 가지므로,

${3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}$

접선은 다음 방정식을 가질 것입니다:

$y={3 \over 2}a^{\frac {1}{2}}(x-a)+f(a).$

다음으로, 그는 a를 a + ε만큼 약간 증가하여, A에서 D까지의 곡선의 길이에 대해 선분 AC를 비교적 좋은 근사로 만들었습니다. 선분 AC의 길이를 찾기 위해, 그는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 사용했습니다:

${\begin{aligned}AC^{2}&=AB^{2}+BC^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{9 \over 4}a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{9 \over 4}a\right)\end{aligned}}$

이것은, 풀릴 때, 다음을 산출합니다:

$AC=\varepsilon {\sqrt {1+{9 \over 4}a\,}}.$

길이를 근사화하기 위해, 페르마는 짧은 선분의 수열을 합계합니다.

Curves with infinite length

See also: Coastline paradox

The Koch curve.

The graph of xsin(1/x).

위에서 언급했듯이, 일부 곡선은 비-정류가능입니다. 즉, 다각형 근사의 길이에는 위쪽 경계가 없습니다; 그 길이는 임의적으로 크게 만들어질 수 있습니다. 비공식적으로, 그러한 곡선은 무한 길이를 가진다고 말합니다. (단일-점 호 이외의) 모든 각 호가 무한 길이를 가지는 연속 곡선이 있습니다. 그러한 곡선의 예제는 코크 곡선(Koch curve)입니다. 무한 길이를 갖는 곡선의 또 다른 예제는 구분 기호 중 하나로 0을 갖고 f(0) = 0을 갖는 임의의 열린 집합에 대해 f(x) = x sin(1/x)에 의해 정의된 함수의 그래프입니다. 때때로 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)과 하우스도르프 측정(Hausdorff measure)은 그러한 곡선의 크기를 정량화하기 위해 사용됩니다.

Generalization to (pseudo-)Riemannian manifolds

$M$을 (유사-)리만 매니폴드, $\gamma :[0,1]\rightarrow M$을 $M$에서 곡선, 및 $g$를 (유사-)메트릭 텐서(metric tensor)라고 놓습니다.

$\gamma$의 길이는 다음인 것으로 정의됩니다: $$\ell (\gamma )=\int _{0}^{1}{\sqrt {\pm g\left(\gamma '(t),\gamma '(t)\right)\,}}dt,$$

여기서 $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$는 $t$에서 $\gamma$의 접 벡터입니다. 제곱근에서 부호는 제곱근이 실수임을 보장하기 위해 주어진 곡선에 대해 한번 선택됩니다. 양의 부호가 공간-계열 곡선에 대해 선택됩니다; 유사-리만 매니폴드에서, 음의 부호는 시간-계열 곡선에 대해 선택될 수 있습니다. 따라서 곡선의 길이는 비-음의 실수입니다. 보통 곡선은 부분적으로 공간-계열이고 부분적으로 시간-계열인 것으로 고려되지 않습니다.

상대성 이론(theory of relativity)에서, 시간-계열 곡선 (세계선(world line))의 호 길이는 세계선을 따라 경과된 적절한 시간(proper time)이고, 공간-계열 곡선의 호 길이는 곡선을 따라 적절한 거리(proper distance)입니다.

See also

• Arc (geometry)
• Circumference
• Crofton formula
• Elliptic integral
• Geodesics
• Intrinsic equation
• Integral approximations
• Line integral
• Meridian arc
• Multivariable calculus
• Sinuosity

Sources

• Farouki, Rida T. (1999). "Curves from motion, motion from curves". In Laurent, P.-J.; Sablonniere, P.; Schumaker, L. L. (eds.). Curve and Surface Design: Saint-Malo 1999. Vanderbilt Univ. Press. pp. 63–90. ISBN 978-0-8265-1356-4.

External links

• "Rectifiable curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• The History of Curvature
• Weisstein, Eric W. "Arc Length". MathWorld.
• Arc Length by Ed Pegg Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Calculus Study Guide – Arc Length (Rectification)
• Famous Curves Index The MacTutor History of Mathematics archive
• Arc Length Approximation by Chad Pierson, Josh Fritz, and Angela Sharp, The Wolfram Demonstrations Project.
• Length of a Curve Experiment Illustrates numerical solution of finding length of a curve.