Periodic function

수학(mathematics)에서, 주기 함수(periodic function)는 규칙적인 구간에서 그의 값을 반복하는 함수(function)이며, 예를 들어, 2π 라디안(radian)의 구간에서 반복되는, 삼각 함수(trigonometric functions)가 있습니다. 주기 함수는 진동(oscillation), 파동(wave), 및 주기성(periodicity)을 나타내는 다른 현상을 묘사하기 위해 과학 전반에 걸쳐 사용됩니다. 주기적이지 않은 임의의 함수는 비주기적(aperiodic)이라고 불립니다.

Definition

함수 $f$ 는, 만약 어떤 비-영 상수 $P$ 에 대해, 도메인에서 모든 $x$ 의 값에 대해 다음과 같은 경우이면, 주기적(periodic)이라고 말합니다:

f(x+P)=f(x)

.

이 경우에 대해 비-영 상수 $P$ 는 함수의 주기라고 불립니다. 만약 이 속성을 가진 최소 양의^[1] 상수 $P$ 가 존재하면, 기본 주기(fundamental period, 또는 primitive period, basic period, 또는 prime period)이라고 불립니다. 종종 함수의 "그" 주기는 그것의 기본 주기를 의미하기 위해 사용됩니다. 주기 $P$ 를 갖는 함수는 길이 $P$ 의 구간마다 반복될 것이고, 이들 구간은 함수의 주기로 역시 참조됩니다.

기하학적으로, 주기 함수는 그것의 그래프가 평행이동적 대칭(translational symmetry)을 나타내는 함수로 정의될 수 있습니다. 즉, 함수 $f$ 는 만약 $f$ 의 그래프가 $P$ 의 거리만큼 $x$ -방향으로 평행이동(translation) 아래에서 불변(invariant)이면, 주기 $P$ 를 갖는 주기적입니다. 주기성의 이 정의는 다른 기하학적 모양과 패턴으로 확장될 수 있으며, 마찬가지로 평면의 주기적 테셀레이션(tessellation)과 같이 더 높은 차원으로 일반화될 수 있습니다. 수열(sequence)은 자연수(natural number) 위에 정의된 함수로 역시 보일 수 있고, 주기적 수열(periodic sequence)에 대해 이들 개념은 그에 따라 정의됩니다.

Examples

A graph of the sine function, showing two complete periods

Real number examples

사인 함수(sine function)는 주기 $2\pi$ 를 갖는 주기적인데, 왜냐하면 모든 $x$ 의 값에 대해, 다음이기 때문입니다:

\sin(x+2\pi )=\sin x

.

이 함수는 길이 $2\pi$ 의 구간에서 반복됩니다 (오른쪽 그래프를 참조하십시오).

실생활 예제는 변수가 시간일 때 볼 수 있습니다; 예를 들어 시계(clock)의 바늘 또는 달(moon)의 위상은 주기적으로 행동을 보여줍니다. 주기적 운동(Periodic motion)은 시스템의 위치(들)가 같은 주기를 가진 주기적 함수, 모두로 표현될 수 있는 운동입니다.

실수(real number) 또는 정수(integer)에 대한 함수에 대해, 그것은 전체 그래프(graph)가 일정한 구간으로 반복된 하나의 특정 부분의 사본으로 형성될 수 있음을 의미합니다.

주기적 함수의 간단한 예제는 그것의 인수의 "분수 부분(fractional part)"을 제공하는 함수 $f$ 입니다. 기간은 1입니다. 그것의 주기는 1입니다. 특히,

f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5

함수 $f$ 의 그래프는 톱니 파동(sawtooth wave)입니다.

삼각 함수(trigonometric function) 사인 및 코사인은 주기가 2π를 갖는 공통 주기적 함수입니다 (오른쪽 그림을 참조하십시오). 푸리에 급수(Fourier series)의 주제는 '임의의' 주기적 함수가 주기를 일치시킨 삼각 함수의 합이라는 아이디어를 조사합니다.

위의 정의에 따르면, 일부 이국적 함수, 예를 들어 디리클레 함수(Dirichlet function)는 역시 주기적입니다; 디리클레 함수의 경우에서, 임의의 비-영 유리수는 주기입니다.

Complex number examples

복소 변수(complex variables)를 사용하면, 우리는 공통 주기 함수를 가집니다:

e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx.

코사인 함수와 사인 함수는 모두 주기 2π에서 주기적이므로, 복소 지수는 코사인과 사인파로 구성됩니다. 이것은 (위의) 오일러의 공식(Euler's formula)은 만약 L이 함수의 주기이면, 다음을 만족하는 속성을 가짐을 의미합니다:

L={\frac {2\pi }{k}}.

복소 함수는 복소 평면에서 한 직선 또는 축을 따라 주기적일 수 있지만, 다른 직선은 그렇지 않습니다. 예를 들어, $e^{z}$ 는 허수 축을 따라 주기적이지만, 실제 축은 그렇지 않습니다.

Double-periodic functions

그의 도메인이 복소수(complex number)인 함수는 상수가 되는 것없이 두 개의 어울리지-않는 주기를 가질 수 있습니다. 타원형 함수(elliptic function)가 그러한 함수입니다. (이 문맥에서 "어울리지-않는"은 서로의 실제 배수가 아님을 의미합니다.)

Properties

주기 함수는 여러 번 값을 가질 수 있습니다. 보다 구체적으로, 만약 함수 $f$ 가 주기 $P$ 를 갖는 주기적이면, $f$ 도메인에서 모든 $x$ 및 모든 양의 정수 $n$ 에 대해,

f(x+nP)=f(x)

만약 $f(x)$ 가 주기 $P$ 를 갖는 함수이면, $f(ax)$ , 여기서 $a$ 는 $ax$ 가 $f$ 의 도메인 이내에 있는 것을 만족하는 비-영 실수이며, 주기 ${\textstyle {\frac {P}{|a|}}}$ 를 갖는 주기적입니다. 예를 들어, $f(x)=\sin(x)$ 가 주기 $2\pi$ 를 가지며 따라서 $\sin(5x)$ 는 주기 ${\textstyle {\frac {2\pi }{5}}}$ 를 가질 것입니다.

일부 주기 함수는 푸리에 급수(Fourier series)에 의해 설명될 수 있습니다. 예를 들어, L² 함수에 대해, 칼레손의 정리(Carleson's theorem)는 그들이 점별(pointwise) (르베그(Lebesgue)) 거의 모든-곳에서 수렴(almost everywhere convergent)하는 푸리에 급수(Fourier series)를 가진다고 말합니다. 푸리에 급수는 주기 함수에 대해, 또는 경계진 (컴팩트) 구간의 함수에 대해 오직 사용될 수 있습니다. 만약 $f$ 가 푸리에 급수로 설명될 수 있는 주기 $P$ 를 갖는 주기 함수이면, 급수의 계수는 길이 $P$ 의 구간에 걸쳐 적분에 의해 설명될 수 있습니다.

Generalizations

Antiperiodic functions

주기 함수의 하나의 공통적인 부분-집합은 반-주기 함수의 그것입니다. 이것은 모든 x에 대해 f(x + P) = −f(x)를 만족하는 함수 f입니다. (따라서, P-반주기 함수는 2P-주기 함수입니다.) 예를 들어, 사인 및 코사인 함수는 π-반주기적 및 2π-주기적입니다. P-반주기적 함수는 2P-주기적 함수이지만, 그 역은 반드시 참은 아닙니다.

Bloch-periodic functions

추가 일반화는 다양한 주기 미분 방정식의 해를 지배하는, 블로흐 파동(Bloch wave)과 프루케트 이론(Floquet theory)의 문맥에서 나타납니다. 이 문맥에서, (일차원) 해는 전형적으로 다음 형식의 함수입니다:

f(x+P)=e^{ikP}f(x)

여기서 k는 실수 또는 복소수 (블로흐 파동벡터 또는 프루케트 지수)입니다. 이 형식의 함수는 이 문맥에서 블로흐-주기라고 불립니다. 주기 함수는 특수한 경우 k = 0이고, 반주기적 함수는 특수한 경우 k = π/P입니다.

Quotient spaces as domain

신호 처리(signal processing)에서, 푸리에 급수(Fourier series)는 주기 함수를 나타내는 것과 푸리에 급수는 합성곱 정리(convolution theorem)를 충족시키는 것의 문제에 부딪히지만 (즉, 푸리에 급수의 합성곱(convolution)은 표현된 주기 함수의 곱셈에 해당하고 반대도 마찬가지입니다), 주기적 함수는 보통 정의와 합성곱될 수 없는데, 왜냐하면 관련된 적분이 발산하기 때문입니다. 가능한 방법은 경계지지만 주기적 도메인에 대한 주기적 함수를 정의하는 것입니다. 이를 위해, 우리는 몫 공간(quotient space)의 개념을 사용할 수 있습니다:

{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}

.

즉, ${\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ 에서 각 원소는 같은 분수 부분(fractional part)을 공유하는 실수(real number)의 동치 클래스(equivalence class)입니다. 따라서 $f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R}$ 와 같은 함수는 1-주기 함수의 표현입니다.

Calculating period

기본 주파수에 대한 비율로 집합, f: F = 1⁄f [f₁ f₂ f₃ … f_N]에서 표현된, 여기서 모든 비-영 원소 ≥1이고 집합의 원소의 적어도 하나는 1이며, 중첩 주파수로 구성된 실제 파동형식을 생각해 보십시오. 주기, T를 찾기 위해, 먼저 집합에서 모든 원소의 최소 공통 분모를 찾으십시오. 주기는 T = LCD⁄f로 찾아질 수 있습니다. 간단한 정현파에 대해, T = 1⁄f을 생각해 보십시오. 그러므로, LCD는 주기성 배수로 보일 수 있습니다.

서양 주요 음계의 모든 음표를 나타내는 집합에 대해: [1 9⁄8 5⁄4 4⁄3 3⁄2 5⁄3 15⁄8] LCD는 24이며 따라서 T = 24⁄f입니다.
주요 3화음의 모든 음표를 나타내는 집합에 대해: [1 5⁄4 3⁄2] LCD는 4이며 따라서 T = 4⁄f입니다.
보조 3화음의 모든 음표를 나타내는 집합에 대해: [1 6⁄5 3⁄2] LCD는 10이며 따라서 T = 10⁄f입니다.

만약 최소 공통 분모가 존재하지 않으면, 예를 들어 만약 위의 원소 중 하나가 무리수이면, 파동은 주기적이 아닐 것입니다.^[2]

References

^ For some functions, like a constant function or the Dirichlet function (the indicator function of the rational numbers), a least positive period may not exist (the infimum of all positive periods $P$ being zero).
^ https://www.ece.rice.edu/~srs1/files/Lec6.pdf

Ekeland, Ivar (1990). "One". Convexity methods in Hamiltonian mechanics. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Vol. 19. Berlin: Springer-Verlag. pp. x+247. ISBN 3-540-50613-6. MR 1051888. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)

External links

"Periodic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Periodic functions at MathWorld

[1] For some functions, like a constant function or the Dirichlet function (the indicator function of the rational numbers), a least positive period may not exist (the infimum of all positive periods $P$ being zero).

[2] ttps://www.ece.rice.edu/~srs1/files/Lec6.pdf

[1]

[2]