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Philosophy of mathematics

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Original article: w:Philosophy of mathematics
This article is about philosophical issues raised by the nature of mathematics. For influences of mathematical studies and methods on philosophy, see Mathematical philosophy.

수학의 철학(philosophy of mathematics)은 수학의 가정, 토대, 및 함축을 연구하는 철학(philosophy)의 가지(branch)입니다. 그것은 수학의 본질과 방법론(methods)을 이해하고, 사람들의 삶에서 수학의 위치를 찾는 것을 목표로 합니다. 수학 자체의 논리적이고 구조적인 본성은 이 연구를 그의 철학적 대응 중에서 광범위하고 고유하게 만듭니다.

수학의 철학은 수학적 실재론과 수학적 반-실재론이라는 두 가지 주요 주제를 가집니다.

History

Pythagoras is considered the father of mathematics and geometry as he set the foundation for Euclid and Euclidean Geometry. Pythagoras was the founder of Pythagoreanism: a mathematical and philosophical model to map the universe.

수학의 기원은 논증과 불일치의 주제입니다. 수학의 탄생이 우연한 것인지 아니면 물리학과 같은 다른 과목의 발전 과정에서 필연적으로 유발된 것인지는 여전히 많은 논쟁거리가 되고 있습니다.[1][2]

많은 사상가들이 수학의 본성에 관하여 그들의 아이디어를 공헌해 왔습니다. 오늘날, 수학의 일부 철학자는[who?] 그들이 세운 것과 같은 탐구의 이 형태와 그들 산물의 설명을 제공하는 것을 목표로 삼고 있지만, 다른 사람들은 단순한 해석을 넘어 비판적 해석으로 나아갈 수 있는 그들 자신의 역할을 강조합니다. 서양 철학(Western philosophy)과 동양 철학(Eastern philosophy) 모두에서 수학적 철학의 전통이 있습니다. 수학의 서양 철학은, "모든 것이 수학이다" (수학론자(mathematicism))라는 이론을 묘사한 티파고라스(Pythagoras), 파티고라스의 주장을 알기 쉽게 재해석하고, 수학적 대상의 존재론적 지위(ontological status)를 연구한 플라톤(Plato), 및 무한대(infinity) (실제 대 잠재)와 관련된 논리(logic)와 문제를 연구한 아리스토텔레스(Aristotle)에 이르기까지 멀리 거슬러 올라갑니다.

수학에 대한 그리스 철학(Greek philosophy)은 기하학(geometry)의 그들 연구에 큰 영향을 받았습니다. 예를 들어, 한때, 그리스인들은 1 (일)이 숫자(number)가 아니라 임의적인 길이의 단위라는 견해를 고수했습니다. 하나의 숫자는 하나의 다수로 정의되었습니다. 그러므로, 3은, 예를 들어, 특정 단위의 다수를 나타내었고, 따라서 "진정한" 숫자가 아니었습니다. 또 다른 지점에서, 2는 숫자가 아니라 쌍의 기본 개념이라는 유사한 논증이 제기되었습니다. 이들 견해는 그리스인의 매우 기하학적 직선자-와-나침반의 관점에서 나온 것입니다: 기하학적 문제에서 그려진 직선이 임의적인 첫 번째 직선에 비례하여 측정되는 것처럼 숫자 직선의 숫자도 비례하여 측정되므로, 임의적인 첫 번째 "숫자" 또는 "일"에 비례하여 측정된 숫자 직선의 숫자도 마찬가지입니다.[citation needed]

이들 초기 그리스의 숫자 아이디어는 나중에 2의 제곱근의 무리성(irrationality)의 발견에 의해 뒤집혔습니다. 피타고라스(Pythagoras)의 제자, 히파수스(Hippasus)는 단위 정사각형의 대각선이 그것의 (단위-길이) 모서리와 비-정수-비율-가능(incommensurable)임을 보여주었습니다: 다시 말해서 그는 단위 정사각형의 대각선과 그것의 가장자리의 비율을 정확하게 나타내는 기존의 (유리) 숫자가 없음을 입증했습니다. 이것은 수학의 그리스 철학의 중요한 재평가를 일으켰습니다. 전설에 따르면, 동료 피타고라스 학파는 이 발견으로 인해 너무 큰 충격을 받아 그들이 히파수스의 이단적 아이디어를 퍼뜨리는 것을 막기 위해 그를 살해했습니다.[citation needed] 사이먼 스테빈(Simon Stevin)은 16세기에 그리스 사상에 도전한 유럽 최초의 사람 중 한 명입니다. 라이프니츠(Leibniz)를 시작으로, 수학과 논리 사이의 관계로 초점이 크게 바뀌었습니다. 이 관점은 프레게(Frege)와 러셀(Russell) 시대를 통해 수학의 철학을 지배했지만, 19세기 후반과 20세기 초반의 발전으로 인해 문제가 제기되었습니다.

Contemporary philosophy

수학의 철학에서 영원한 문제는 그것들의 결합 토대에서 논리와 수학 사이의 관계에 관한 것입니다. 20세기 철학자들이 이 글의 서두에서 언급한 질문들을 계속해서 던졌지만, 20세기에서 수학의 철학은 형식 논리(formal logic), 집합 이론(set theory) (소박한 집합 이론(naive set theory)과 공리적 집합 이론(axiomatic set theory) 모두), 및 토대적 문제에 대한 지배적인 관심에 의해 특징짓습니다.

한편으로는 수학적 진리가 강력한 필연성을 가지고 있는 것처럼 보이지만, 다른 한편으로는 그 "진실성"의 근원이 파악하기 어려운 상태로 남아 있다는 것은 심오한 수수께끼입니다. 이 문제로의 조사는 수학의 토대(foundations of mathematics) 프로그램으로 알려져 있습니다.

20세기 초에, 수학의 철학자들은 이미 수학적 인식론(epistemology)과 존재론(ontology)에 대한 그들의 그림에 의해 광범위하게 구별되는 모든 이들 질문에 대한 다양한 사고의 학파로 분열되기 시작했습니다. 형식주의(formalism), 직관주의(intuitionism), 및 논리주의(logicism)라는 세 개의 학파가 이 시기에 등장했으며, 부분적으로는 현재의 수학, 특히 해석학이 당연하게 여겨왔던 확실성(certainty)과 엄격함(rigor)의 표준에 미치지 못한다는 점점 더 널리 퍼진 우려에 대한 응답으로 나타났습니다. 각 학파는 문제를 해결하려고 시도하거나 수학이 우리가 가장 신뢰하는 지식으로 인정받을 자격이 없다고 주장하면서 당시 전면에 나온 문제를 해결했습니다.

20세기 초 형식 논리와 집합 이론에서 놀랍고 반-직관적인 발전은 전통적으로 수학의 토대라고 불렸던 것에 관한 새로운 질문으로 이어졌습니다. 세기가 진행됨에 따라, 관심의 초기 초점은 수학의 기본 공리의 열린 탐구로 확장되었으며, 공리적 접근은 기원전 300년경 유클리드(Euclid) 시대부터 수학에 대해 자연적 기초로 당연시되어 왔습니다. 공리(axiom), 제안(proposition), 및 증명(proof)의 개념은 물론 수학적 대상의 참인 제안이라는 개념 (Assignment 참조)이 공식화되어, 수학적으로 그것들을 다루는 것을 허용합니다. 집합 이론에 대한 체르멜로–프랭켈(Zermelo–Fraenkel) 공리가 공식화되어 많은 수학적 담론을 해석할 수 있는 개념적 틀을 제공했습니다. 물리학에서와 마찬가지로 수학에서도 새롭고 예상치 못한 아이디어가 생겨져 왔고 중요한 변화가 일어나고 있었습니다. 괴델 번호-매기기(Gödel numbering)와 함께, 제안은 자신이나 다른 제안을 참조하는 것으로 해석될 수 있으며, 수학적 이론의 일관성(consistency)에 대한 조사를 활성화합니다. 검토 중인 이론이 "수학적 연구의 대상이 된다"는 이러한 반성적 비판은 힐베르트(Hilbert)가 그러한 연구를 메타-수학(metamathematics) 또는 증명 이론(proof theory)이라고 부르도록 이끌었습니다.[3]

세기 중반에. 사무엘 아일렌버그(Samuel Eilenberg)와 손더스 맥 레인(Saunders Mac Lane)에 의해 카테고리 이론(category theory)으로 알려진 새로운 수학적 이론이 만들어졌고, 수학적 사고의 자연 언어에 대해 새로운 경쟁자가 되었습니다.[4] 20세기가 진행되면서, 어쨌든, 20세기 초에 제기되었던 토대에 대한 질문이 얼마나 근거가 있는지에 대한 철학적 견해가 갈라졌습니다. 힐러리 퍼트넘(Hilary Putnam)은 세기의 마지막 3분의 1의 상황에 대한 공통적인 견해를 다음과 같이 요약했습니다:

철학이 과학에서 어떤 잘못된 것을 발견할 때, 때때로 과학은 변경되어야 했지만—실제 무한소에 대한 버클리(Berkeley)의 공격처럼 러셀의 역설(Russell's paradox)이 마음에 떠오릅니다—더 자주 변경해야 하는 것은 철학입니다. 나는 철학이 오늘날 고전 수학에서 발견하는 어려움이 진정한 어려움이라고 생각하지 않습니다; 그리고 나는 우리가 사방에서 제공되고 있는 수학의 철학적 해석이 잘못된 것이고, "철학적 해석"은 단지 수학이 필요로 하지 않는 것이라고 생각합니다.[5]: 169–170 

오늘날 수학 철학은 수학 철학자, 논리학자, 및 수학자에 의해 여러 다른 탐구 선을 따라 진행되고, 그 주제에 대한 많은 사상 학파가 있습니다. 학파는 다음 섹션에서 별도로 다루고, 그것들의 가정이 설명됩니다.

Major themes

Mathematical realism

수학적 실재론(Mathematical realism)은, 일반 실재론(realism)과 마찬가지로, 수학적 실체가 인간의 마음(mind)과 독립적으로 존재한다고 주장합니다. 따라서, 인간은 수학을 발명한 것이 아니라, 오히려 그것을 발견했고, 우주에서 임의의 다른 지적 존재도 마찬가지일 것입니다. 이러한 관점에서, 발견될 수 있는 수학의 실제로 한 종류가 있습니다; 삼각형(triangles)은, 예를 들어, 인간 정신의 창조물이 아니라 실제 본체입니다.

많은 연구하는 수학자들은 수학적 현실주의자였습니다; 그들은 스스로를 자연적으로 발생하는 대상의 발견자로 봅니다. 예로는 폴 에르되시(Paul Erdős)와 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)을 포함합니다. 괴델은 감각 지각과 유사한 방식으로 지각될 수 있는 객관적인 수학적 사실을 믿었습니다. 특정 원칙 (예를 들어, 어떤 두 대상에 대해, 정확히 그 두 대상으로 구성된 대상의 모음이 있음)은 직접적으로 참으로 보일 수 있지만, 연속체 가설(continuum hypothesis) 추측은 단지 그러한 원칙에 기초하여 결정할 수 없는 것으로 판명될 수 있습니다. 괴델은 그러한 추측을 합리적으로 가정할 수 있는 충분한 증거를 제공하기 위해 준-경험적 방법론을 사용할 수 있다고 제안했습니다.

실재론 내에서는, 수학적 실체를 어떤 종류의 존재로 취하고, 우리가 그것들에 대해 어떻게 아는지에 따라 구별이 있습니다. 수학적 실재론의 주요 형식은 플라톤주의(Platonism)와 아리스토텔레스주의(Aristotelianism)를 포함합니다.

Mathematical anti-realism

See also: Post rem structuralism

수학적 반-실재론(Mathematical anti-realism)은 일반적으로 수학적 명제가 진리값을 가지지만, 비-물질적이거나 비-경험적인 실체의 특수한 영역에 대응(corresponding)함으로써 그렇게 하지 않는다고 주장합니다. 수학적 반-실재론의 주요 형식은 형식주의(formalism)와 허구주의(fictionalism)를 포함합니다.

Contemporary schools of thought

Artistic

수학(mathematics)은 가정의 미학적(aesthetic) 조합이라고 주장하는 관점이고, 그런-다음 수학은 역시 예술(art)이라고 주장합니다. 그것을 주장하는 유명한 수학자는 영국의 G. H. Hardy입니다.[6] 하디를 위해, 그의 책 A Mathematician's Apology에서, 수학의 정의는 개념의 미학적 조합에 가깝습니다.[7]

Platonism

Main article: Platonism
See also: Modern Platonism

수학적 플라톤주의(Mathematical Platonism)는 수학적 실체가 추상적이며, 시공간적 또는 인과적 속성을 가지지 않고, 영원하고 불변함을 시사하는 실재론의 한 형식입니다. 이것은 대부분의 사람들이 숫자에 대해 가지고 있는 견해라고 종종 주장됩니다. 플라톤주의(Platonism)라는 용어는 그러한 견해가 플라톤의 동굴의 비유(allegory of the cave)에서 묘사된 플라톤(Plato)의 형식의 이론(Theory of Forms)과 "관념의 세계" (그리스어: eidos (εἶδος))와 평행을 이루기 때문에 사용되었습니다: 일상 세계는 불변하고 궁극적인 현실을 불완전하게만 근사할 수 있을 뿐입니다. 플라톤의 동굴과 플라톤주의는 둘 다 피상적인 연결뿐만 아니라 의미 있는 연관성을 가지고 있는데, 왜냐하면 플라톤의 아이디어는 세계가, 말 그대로, 숫자(numbers)에 의해 생성된다고 믿었던 고대 그리스의 엄청나게 인기 있는 피타고라스 학파(Pythagoreans)를 뒤이어 나왔고 그 영향을 받았을 가능성이 있기 때문입니다.

수학적 플라톤주의에서 고려되는 주요 질문은 다음과 같습니다: 수학적 실체가 정확히 어디에 어떻게 존재하고, 우리는 그것들에 대해 어떻게 알 수 있습니까? 우리의 물리적 세계와 완전히 분리된 수학적 실체가 차지하는 세계가 있습니까? 어떻게 하면 이 분리된 세계에 접근하고 실체에 대한 진실을 발견할 수 있을까요? 제안된 답변 중 하나는 수학적으로 존재하는 모든 구조가 자체 우주에도 물리적으로 존재한다고 가정하는 이론인 궁극적 앙상블(Ultimate Ensemble)입니다.

Kurt Gödel

쿠르트 괴델(Kurt Gödel)의 플라톤주의는[8] 우리가 수학적 대상을 직접 인식할 수 있도록 하는 특별한 종류의 수학적 직관을 가정합니다. (이 견해는 후설(Husserl)이 수학에 대해 말한 많은 것들과 유사하고, 수학은 종합적(synthetic)이라는 칸트(Kant)의 아이디어 선험(a priori)을 지지합니다.) 데이비스(Davis)와 허쉬(Hersh)는 1999년 그들의 책 The Mathematical Experience에서 대부분의 수학자들은 자신이 플라톤주의자인 것처럼 행동하지만, 그 입장을 신중하게 옹호해야 하면 형식주의(formalism)로 후퇴할 수도 있습니다. 수학자 알렉산더 그로텐디크(Alexander Grothendieck)도 플라톤주의자였습니다.

순-혈종 플라톤주의(Full-blooded Platonism)는 플라톤주의의 현대적 변형으로, 사용된 공리와 추론 규칙 (예를 들어 제외된 중간(excluded middle)의 법칙, 및 선택의 공리(axiom of choice))에 따라 다른 수학적 실체의 집합이 존재하는 것으로 입증될 수 있다는 사실에 대한 반응입니다. 그것은 모든 수학적 실체가 존재한다고 주장합니다. 그것들이 하나의 일관된 공리 집합에서 모두 파생될 수 없더라도 그것들은 증명될 수 있습니다.[9]

집합-이론적 실재론(Set-theoretic realism) (역시 집합-이론적 플라톤주의)[10] 페넬로페 매디(Penelope Maddy)에 의해 옹호된 입장은 집합 이론(set theory)이 집합의 단일 우주에 관한 것이라는 견해입니다.[11] 이 입장 (수학적 플라톤주의의 귀화(naturalized) 버전이기 때문에 귀화 플라톤주의(naturalized Platonism)라고도 알려져 있음)은 폴 베나세라프(Paul Benacerraf)의 인식론적 문제(epistemological problem)를 근거로 마크 발라게르에 의해 비판을 받아 왔습니다.[12] 플라톤화된 자연주의(Platonized naturalism)이라는 유사한 견해가 나중에 Stanford–Edmonton School에 의해 옹호되었습니다: 이 견해에 따르면, 보다 전통적인 종류의 플라톤주의는 자연주의(naturalism)와 일치합니다; 그들이 옹호하는 보다 전통적인 종류의 플라톤주의는 추상적 대상(abstract objects)의 존재를 주장하는 일반 원칙으로 구별됩니다.[13]

Mathematicism

Main article: Mathematicism

맥스 테그마크(Max Tegmark)의 수학적 우주 가설(mathematical universe hypothesis) (또는 수학주의(mathematicism))은 모든 수학적 대상이 존재할 뿐만 아니라 다른 어떤 것도 존재하지 않는다는 주장에서 플라톤주의보다 더 나아갑니다. 테그마크의 유일한 가정은 수학적으로 존재하는 모든 구조는 물리적으로도 존재한다는 것입니다. 즉, "자기-인식 하위-구조를 포함할 만큼 충분히 복잡한 그들 [세계]에서 [그들은] 물리적으로 '실제' 세계에 존재하는 것으로 주관적으로 인식할 것"이라는 의미에서 그렇게 주장합니다.[14][15]

Logicism

Main article: Logicism

논리주의(Logicism)는 수학이 논리로 줄어들 수 있고, 따라서 논리의 일부일 뿐이라는 테제입니다.[16]: 41  논리학자들은 수학이 선험(a priori)으로 알려질 수 있다고 주장하지만, 수학의 우리 지식은 일반적으로 논리의 우리 지식의 일부일 뿐이라고 제안하고, 따라서 해석적(analytic)이며, 임의의 특별한 수학적 직관의 능력을 요구하지 않습니다. 이 관점에서, 논리(logic)는 수학의 적절한 토대이고, 모든 수학적 명제는 필요한 논리적 진리(logical truths)입니다.

루돌프 카르납(Rudolf Carnap) (1931)은 논리주의 테제를 두 부분으로 나누어 제시합니다:[16]

  1. 수학의 개념(concepts)은 명시적 정의를 통해 논리적 개념에서 유도될 수 있습니다.
  2. 수학의 정리(theorems)는 순수하게 논리적 추론을 통해 논리적 공리에서 유도될 수 있습니다.

고틀롭 프레게(Gottlob Frege)는 논리주의의 창시자입니다. 그의 저서인 Die Grundgesetze der Arithmetik (산술의 기본 법칙)에서 그는 이해의 일반 원리를 갖는 논리 시스템에서 산술(arithmetic)을 구축했으며, 이를 그는 "기본 법칙 V" (개념 F와 G에 대해, F의 확장이 G의 확장과 같은 것은 모든 대상 a에 대해, Fa와 Ga와 같은 것은 필요충분 조건)라고 불렀으며, 그가 논리의 일부로 받아들일 수 있는 원칙입니다.

Bertrand Russell

프레게의 구조는 결함이 있었습니다. 버트런드 러셀(Bertrand Russell)은 기본 법칙 V가 일관성이 없음을 발견했습니다 (이것이 러셀의 역설(Russell's paradox)입니다). 프레게는 그 직후 자신의 논리학 프로그램을 포기했지만, 러셀과 화이트헤드(Whitehead)가 이를 계속했습니다. 그들은 그 역설을 "악순환하는 순환성"으로 돌렸고 그것을 다루기 위해 그들이 분기된 유형 이론(ramified type theory)이라고 부르는 것을 구축했습니다. 이 시스템에서, 그들은 결국 현대 수학의 많은 부분을 구축할 수 있었지만, 변형되고 지나치게 복잡한 형태 (예를 들어, 각 유형에 다른 자연수가 있었고, 무한하게 많은 유형이 있음)로 구성되었습니다. 그들은 역시 "감소-가능성 공리(axiom of reducibility)"와 같은 수학의 많은 부분을 발전시키기 위해 몇 가지 타협을 해야 했습니다. 러셀조차도 이 공리는 실제로 논리에 속하지 않는다고 말했습니다.

(Bob Hale, Crispin Wright, 및 아마도 다른 사람들과 같은) 현대 논리학자들은 프레게의 프로그램에 더 가까운 프로그램으로 되돌려 왔습니다. 그들은 흄의 원리(Hume's principle)와 같은 추상화 원리에 찬성하여 기본 법칙 V를 포기해 왔습니다 (개념 F 아래에 떨어지는 대상의 수는 개념 G 아래에 떨어지는 대상의 수와 같은 것은 F의 확장과 G의 확장이 일-대-일 대응(one-to-one correspondence) 관계에 놓일 수 있는 것과 필요충분 조건입니다). 프레게는 기본 법칙 V가 수의 명시적 정의를 제공할 것을 요구했지만, 수의 모든 속성은 흄의 원리에서 유도될 수 있습니다. 이것은 프레게에게 충분하지 않았을 것인데, 왜냐하면 (그를 의역하기 위해) 숫자 3이 실제로 율리우스 카이사르일 가능성을 배제하지 않기 때문입니다. 게다가, 기본 법칙 V를 대체하기 위해 채택해야 했던 많은 약화된 원칙들이 더 이상 그렇게 명백하게 해석적이지 않고, 따라서 순수하게 논리적인 것처럼 보이지 않습니다.

Formalism

Main article: Formalism (philosophy of mathematics)

형식주의는 수학적 명제가 특정 문자열 조작 규칙의 결과에 대한 명제로 생각될 수 있다고 주장합니다. 예를 들어, 유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 "게임" ("공리"라고 하는 일부 문자열과 주어진 문자열에서 새로운 문자열을 생성하기 위한 "추론 규칙"으로 구성된 것으로 봄)에서, 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)가 성립함을 증명할 수 있습니다 (즉, 피타고라스 정리에 해당하는 문자열을 생성할 수 있습니다). 형식주의에 따르면, 수학적 진리는 숫자와 집합과 삼각형, 등에 관한 것이 아닙니다—사실, 그것들은 전혀 어떤 것"에 대한" 것이 아닙니다.

형식주의의 또 다른 버전은 종종 연역주의(deductivism)로 알려져 있습니다. 연역주의에서, 피타고라스의 정리는 절대적인 진리가 아니라 상대적 진리입니다: 만약 게임의 규칙이 참이 되는 그러한 방법으로 문자열에 의미를 할당하면 (즉, 참 명제가 공리에 할당되고, 추론의 규칙은 진실-보존하는 것이면), 그렇다면 우리는 그 정리를 받아들여야 하거나, 오히려, 우리가 그것에 주어 왔던 해석이 참된 명제여야 합니다. 같은 것은 모든 다른 수학적 명제에 대해 참으로 유지됩니다. 따라서, 형식주의가 수학이 무의미한 기호적 게임에 불과하다는 것을 의미할 필요는 없습니다. 보통 게임의 규칙이 유지되는 어떤 해석이 존재하기를 희망합니다. (이 입장을 구조주의(structuralism)와 비교해 보십시오.) 그러나 그것은 연구하는 수학자들에게 자신의 연구를 계속하는 것을 허용하고 그러한 문제를 철학자나 과학자에게 맡기도록 허용합니다. 많은 형식주의자들은 실제로 연구할 공리 시스템은 과학이나 수학의 다른 분야의 요구에 의해 제안될 것이라고 말할 것입니다.

David Hilbert

형식주의의 초기 주요 지지자는 다비트 힐베르트(David Hilbert)였으며, 그의 프로그램(program)은 모든 수학의 완전(complete)하고 일관(consistent)된 공리화를 의도했습니다.[17] 힐베르트는 "유한항 산술" (철학적으로 논쟁의 여지가 없는 것으로 선택된 양의 정수의 보통 산술(arithmetic)의 하위 시스템)이 일관적이라는 가정에서 수학적 시스템의 일관성을 보여주는 것을 목표로 했습니다. 완전하고 일관적 둘 다인 수학 시스템을 만들려는 힐베르트의 목표는 괴델의 불완전성 정리(Gödel's incompleteness theorems) 중 두 번째에 의해 심각하게 훼손되었으며, 이는 충분히 표현 가능한 일관된 공리 시스템이 자신의 일관성을 결코 증명할 수 없다고 말합니다. 임의의 그러한 공리 시스템은 유한항 산술을 하위 시스템으로 포함할 것이기 때문에, 괴델의 정리는 그에 관한 시스템의 일관성을 입증하는 것이 불가능할 것임을 암시했습니다 (그 다음에는 그것 자체의 일관성을 입증할 것이기 때문이며, 그것은 괴델이 보여 왔던 불가능이었습니다). 따라서 수학의 임의의 공리 시스템(axiomatic system)이 실제로 일관성이 있음을 보여주기 위해, 우리는 먼저 일관성이 입증될 시스템보다 더 강력한 의미에 있는 수학의 시스템의 일관성을 먼저 가정해야 합니다.

힐베르트는 초기에 연역론자였지만, 위에서 분명히 알 수 있듯이, 그는 본질적으로 의미 있는 결과를 산출하기 위해 특정 메타수학적 방법을 고려했었고 유한항 산술과 관련하여 실재론자였습니다. 나중에, 그는 해석에 관계없이 다른 의미있는 수학은 없었다는 의견을 유지했습니다.

Rudolf Carnap, Alfred Tarski, 및 Haskell Curry와 같은 다른 형식주의자들은 수학을 형식적 공리 시스템(formal axiom systems)의 조사로 여겼습니다. 수학적 논리학자(Mathematical logicians)는 형식 시스템을 연구하지만 형식주의자만큼이나 실재론자인 경우가 많습니다.

형식주의자들은 상대적으로 관대하고 논리, 비-표준 숫자 시스템, 새로운 집합 이론, 등에 대한 새로운 접근 방식을 선호합니다. 우리가 더 많은 게임을 연구할수록, 더 좋습니다. 어쨌든, 이들 세 가지 예제 모두에서, 동기는 기존의 수학적 또는 철학적 관심에서 비롯됩니다. 그 "게임"은 보통 임의적이지 않습니다.

형식주의에 대한 주요 비판은 수학자들을 점유하고 있는 실제 수학적 아이디어가 위에서 언급한 문자열 조작 게임과 거리가 멀다는 것입니다. 형식주의는 따라서 형식주의적 관점에서 어떤 공리 시스템도 다른 공리 시스템보다 더 의미가 없기 때문에 어떤 공리 시스템을 연구해야 하는지에 대해 침묵합니다.

최근에, 일부[who?] 형식주의 수학자들은 수학적 증명의 자동화된 증명 확인(automated proof checking)과 수학적 이론과 컴퓨터 소프트웨어의 발전에서 대화식 정리 입증의 사용을 용이하게 하기 위해 우리의 모든 형식적인 수학적 지식이 컴퓨터-읽을-수-있는 형식으로 시스템적으로 인코딩되어야 한다고 제안했습니다. 컴퓨터 과학(computer science)과의 그것들의 긴밀한 연결 때문에, 이 아이디어는 역시 "계산 가능성" 전통의 수학적 직관론자와 구성론자도 옹호합니다—일반적인 개요에 대해 QED 프로젝트를 참조하십시오.

Conventionalism

Main articles: Conventionalism and Preintuitionism

프랑스 수학자 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)는 협약주의자(conventionalist) 견해를 처음으로 표현한 사람 중 한 사람입니다. 푸앵카레는 미분 방정식(differential equations)에 대한 그의 연구에서 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometries)을 사용하여 유클리드 기하학(Euclidean geometry)이 선험(a priori) 진리로 고려되어서는 안 된다고 확신했습니다. 그는 기하학에서 공리(axioms)는 물리적 세계에 대한 인간의 직관과의 그들의 명백한 일관성 대한 것이 아니라 그것들이 생산하는 결과에 따라 선택되어야 한다고 주장했습니다.

Intuitionism

Main article: Mathematical intuitionism

수학에서, 직관주의는 "경험하지 않은 수학적 진리는 없다" (L. E. J. Brouwer)라는 금언을 가진 방법론적 개혁 프로그램입니다. 이 발판에서, 직관주의자들은 존재, 생성, 직관, 및 지식에 대한 칸트주의의 개념에 따라 수학의 수정 가능한 부분이라고 생각하는 것을 재구성하려고 합니다. 운동의 창시자, 브라우어는 수학적 대상이 경험적 대상의 인식을 알려주는 선험(a priori) 형식의 의지에서 발생한다고 주장했습니다.[18]

직관주의의 배후에 있는 주요 힘은 수학에 대해 임의의 종류의 형식화된 논리의 유용성을 거부한 브라우어(L. E. J. Brouwer)였습니다. 그의 제자, 아런트 헤이팅(Arend Heyting)은 고전 아리스토텔레스주의 논리(Aristotelian logic)와는 다른 직관론적 논리(intuitionistic logic)를 가정했습니다; 이 논리는 제외된 중간의 법칙(law of the excluded middle)을 포함하지 않고 따라서 모순에 의한 증명(proofs by contradiction)에 눈살을 찌푸립니다. 선택 공리(axiom of choice)는 대부분의 직관주의적 집합 이론에서도 거부되지만, 일부 버전에서는 그것을 수용합니다.

직관주의에서는, "명시적 구성"이라는 용어가 명확하게 정의되지 않고, 따라서 비판으로 이어져 왔습니다. 이 틈을 채우기 위해 튜링 기계(Turing machine) 또는 계산-가능한 함수(computable function)의 개념을 사용하려는 시도가 있어 왔으며, 유한 알고리듬(algorithms)의 동작에 관한 질문만 의미가 있고 수학에서 조사되어야 한다는 주장으로 이어집니다. 이것은 앨런 튜링(Alan Turing)에 의해 처음 소개된 계산-가능한 숫자(computable numbers)의 연구로 이어졌습니다. 그런-다음 수학에 대한 이러한 접근 방식이 때때로 이론적인 컴퓨터 과학(computer science)과 관련이 있다는 것은 놀라운 일이 아닙니다.

Constructivism

Main article: Constructivism (philosophy of mathematics)

직관주의와 마찬가지로, 구성주의는 어떤 의미에서 명시적으로 구성될 수 있는 수학적 실체만이 수학적 담론에 허용되어야 한다는 규제 원칙을 포함합니다. 이러한 관점에서, 수학은 무의미한 기호를 가지고 노는 게임이 아니라 인간의 직관의 연습입니다. 대신에, 정신 활동을 통해 직접 만들 수 있는 엔터디에 대한 것입니다. 게다가, 이들 학파의 일부 지지자들은 대상의 존재를 보여주거나 어떤 제안의 참을 입증하려고 할 때 모순에 의한 증명을 사용하는 것과 같은 비-구성적 증명을 거부합니다. 중요한 연구는 에렛 비숍(Errett Bishop)에 의해 수행되었으며, 그는 1967년 그의 Foundations of Constructive Analysis에서 실수 해석학(real analysis)에서 가장 중요한 정리의 버전을 구성 해석학(constructive analysis)으로 증명했습니다.[19]

Finitism

Main article: Finitism
Leopold Kronecker

유한주의(Finitism)는 구성주의(constructivism)의 극단적인 형식으로, 이에 따르면 수학적 대상은 유한(finite) 단계의 수에서 자연수(natural numbers)로 구성될 수 없으면 존재하지 않습니다. 그녀의 책 Philosophy of Set Theory에서, 메리 타일(Mary Tiles)은 셀-수-있는 무한한(countably infinite) 대상을 허용하는 사람들을 고전적 유한주의자로, 셀-수-있는 무한한 대상조차 거부하는 사람들을 엄격한 유한주의자로 규정했습니다.

유한주의의 가장 유명한 지지자는 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)로,[20] 그는 다음과 같이 말했습니다:

신이 자연수를 만들었고, 그 외에는 모두 사람이 만든 것입니다.

극단-유한주의(Ultrafinitism)는 무한대뿐만 아니라 사용할 수 있는 자원으로 실현 가능하게 구성될 수 없는 유한한 양을 거부하는 유한주의의 훨씬 더 극단적인 버전입니다. 유한주의의 또 다른 변형은 존 펜 메이베리(John Penn Mayberry)에 의한 그의 책 The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets에서 개발된 시스템, 유클리드주의 산술(Euclidean arithmetic)입니다.[21] 메이베리의 시스템은 일반적인 영감에서 아리스토텔레스주의이고, 수학의 토대에서 연산주의 또는 실행-가능성에 대해 어떤 역할의 강한 거부에도 불구하고, 예를 들어 초월-지수화가 합법적인 유한항 함수가 아니라는 것과 같은 다소 유사한 결론에 도달합니다.

Structuralism

Main article: Mathematical structuralism

구조주의(Structuralism)는 수학적 이론이 구조를 설명하고, 수학적 대상은 그러한 구조에서 그것들의 위치(places)에 의해 철저하게 정의되어 결과적으로 고유한 속성(intrinsic properties)을 가지지 않는다고 주장하는 입장입니다. 예를 들어, 숫자 1에 대해 알아야 할 모든 것은 0 다음의 첫 번째 정수라는 것입니다. 마찬가지로 모든 다른 정수는 구조, 숫자 직선(number line)에서 그것들의 위치에 의해 정의됩니다. 수학적 대상의 다른 예에는 기하학에서 직선(lines)과 평면(planes), 또는 추상 대수학(abstract algebra)에서 원소와 연산을 포함할 수 있습니다.

구조주의는 수학적 명제가 객관적인 진리 값을 가진다는 점에서 인식론적(epistemologically)으로 실재적(realistic)인 견해입니다. 어쨌든, 그 중심 주장은 단지 수학적 대상이나 구조가 어떤 종류의 존재(existence)를 가지고 있는지가 아니라 (다시 말해서, 그것들의 존재론(ontology)에 대한 것이 아니라), 수학적 대상이 어떤 종류(kind)의 실체인지에 관한 것입니다. 수학적 객체가 가지고 있는 존재의 종류는 그것들이 삽입된 구조의 종류에 분명히 의존할 것입니다; 구조주의의 다른 하위-변종은 이와 관련하여 다른 존재론적 주장을 합니다.[22]

ante rem 구조주의 ("사물 이전")는 플라톤주의(Platonism)와 유사한 존재론을 가지고 있습니다. 구조는 실재를 가지지만 추상적이고 비물질적인 존재를 갖는다고 여겨집니다. 이를테면, 그러한 추상적인 구조와 피-와-육체 수학자 사이의 상호작용을 설명하는 표준 인식론적 문제에 직면해 있습니다 (Benacerraf's identification problem를 참조하십시오).

in re 구조주의 ("사물 안에서")는 아리스토텔레스적 사실주의(Aristotelian realism)와 동등합니다. 구조는 어떤 구체적인 시스템이 그것들을 예시하는 한 존재하는 것으로 고려됩니다. 이것은 일부 완벽하게 합법적인 구조가 우연히 존재하지 않을 수 있고 유한한 물리적 세계가 다른 합법적인 구조를 수용할 만큼 충분히 "크지" 않을 수 있다는 일반적인 문제를 야기합니다.

post rem 구조주의 ("사물 이후")는 명목주의(nominalism)와 나란한 방법으로 구조에 대한 반-실재주의(anti-realist)입니다. 명목주의와 마찬가지로, post rem 접근법은 관계형 구조에서 그것들의 위치가 아닌 속성을 갖는 추상적인 수학적 대상의 존재를 거부합니다. 이 견해에 따르면 수학적 시스템은 존재하고, 공통적인 구조적 특징을 가지고 있습니다. 만약 어떤 것이 구조에 대해 참이라면, 그것은 구조를 예시하는 모든 시스템에도 해당될 것입니다. 어쨌든, 시스템 사이에 "공통으로 유지되는" 구조에 대해 이야기하는 것은 단지 도구일 뿐입니다; 그것들은 실제로는 독립적인 존재를 가지지 않습니다.

Embodied mind theories

체화된 정신(Embodied mind) 이론은 수학적 사고가 우리의 물리적 우주에서 자체로 발견되는 인간 인지 장치의 자연스러운 파생물이라고 주장합니다. 예를 들어, 숫자(number)의 추상적인 개념은 개별 물체를 세는 경험에서 비롯됩니다 (물체를 감지하기 위한 시각, 촉각; 및 뇌의 신호와 같은 인간의 감각을 요구합니다). 수학은 보편적이지 않고 인간의 두뇌 외에는 어떤 실제적인 의미로도 존재하지 않는다고 주장됩니다. 인간은 수학을 구성하지만 발견하지는 못합니다.

패턴을 찾고 대상을 구별하는 인지 과정도 만약 수학이 자연 세계와 관련된 것으로 고려하면 (예를 들어, 순수 유아론(solipsism)과 반대되는 실재론(realism) 또는 그것의 하나의 정도이면); 신경과학(neuroscience)의 대상입니다.

현실과의 실제 관련성은 신뢰할 수 있는 근사치로 받아들여지지만(지각, 신체 및 감각의 진화가 생존을 위해 필요했을 수 있음도 제안됨) 완전한 현실주의에 반드시 정확하지는 않습니다(그리고 여전히 환상, 가정(결과적으로, 수학이 인간에 의해 형성된 기초와 공리), 일반화, 기만, 환각과 같은 결함. 따라서 이것은 또한 일반 수학과의 호환성에 대한 현대 과학적 방법에 대한 질문을 제기할 수 있습니다. 상대적으로 신뢰할 수 있지만 이전에 가정한 것만큼 신뢰할 수 없는 경험론에 의해 측정될 수 있는 것에 의해 여전히 제한됩니다(양자 비국소성 및 원거리에서의 행동과 같은 과학의 '반직관적' 개념 참조).

현실과의 실제 관련성은, 신뢰할 수 있는 근사로 받아들여지지만 (지각, 신체, 및 감각의 진화(evolution)가 생존을 위해 필요했을 수 있음도 제안됨), 완전한 실재론에 반드시 정확하지는 않습니다 (그리고 여전히 환상(illusion), 가정 (결과적으로; 수학이 인간에 의해 형성되어 온 토대와 공리), 일반화, 기만, 및 환각(hallucinations)과 같은 여전히 결함이 있습니다. 이를테면, 이것은 역시 일반 수학과의 그것의 호환성에 대해 현대 과학적 방법(scientific method)에 대한 질문을 제기할 수 있습니다; 상대적으로 신뢰할 수 있는 것처럼, 그것은 여전히 ​​이전에 가정한 것만큼 신뢰할 수 없는 경험론(empiricism)에 의해 측정될 수 있는 것에 의해 제한됩니다 (역시 참조하십시오: 양자 비-지역성(quantum nonlocality), 및 멀리서의 행동(action at a distance)과 같은 과학의 '반-직관적' 개념).

또 다른 문제는 하나의 숫자-표시 시스템(numeral system)이 문제 해결에 반드시 적용되지 않을 수 있다는 것입니다. 복소수(complex numbers) 또는 허수(imaginary numbers)와 같은 주제는 더 공통적으로 사용되는 수학 공리를 구체적으로 변경해야 합니다; 그렇지 않으면 그것들은 적절하게 이해될 수 없습니다.

대안적으로, 컴퓨터 프로그래머는 십진수가 아닌 이진-코드(binary-coded) 값의 '인간-친화적인' 표현을 위해 십육진수를 사용할 수 있습니다 (인간은 10 개의 손가락을 가지고 있기 때문에 세는 것에 편리합니다). 수학 이면의 공리 또는 논리적 규칙도 시간에 따라 변합니다 (예를 들어 영(zero)의 적응과 발명).

인간 두뇌로부터 지각(perceptions)은 일반적 맥락에서 환상(illusions), 가정, 기만, (유도된) 환각(hallucinations), 인지 오류 또는 가정의 주제이기 때문에, 그것들이 정확한지 또는 엄격하게 진실을 나타내는지 (존재의 철학(philosophy of being)을 역시 참조), 및 우주와 관련하여 경험론(empiricism) 자체의 본성과 그것이 감각과 우주에 독립적인지 여부에 의문을 제기할 수 있습니다.

인간의 정신은 현실에 대한 특별한 주장이나 수학으로 구축된 접근 방식을 갖고 있지 않습니다. 만약 오일러의 항등식(Euler's identity)과 같은 그러한 구성이 참이라면 인간의 정신과 인지(cognition)의 맵으로서 참입니다.

따라서 체화된 정신 이론가들은 수학의 효율성을 설명합니다—수학은 이 우주에서 효과적이기 위해 뇌에 의해 구성되었습니다.

이 관점의 가장 접근하기 쉽고, 유명하고, 악명 높은 취급법은 조지 라코프(George Lakoff)와 라파엘 E. 누네즈(Rafael E. Núñez)에 의한 Where Mathematics Comes From입니다. 게다가, 수학자 키스 데블린(Keith Devlin)은 그의 책 The Math Instinct에서 유사한 개념을 조사해 왔으며, 신경 과학자 스타니슬라스 데하네(Stanislas Dehaene)은 그의 책 The Number Sense에서 조사해 왔습니다. 이 관점에 영감을 준 철학적 아이디어에 대한 자세한 내용에 대해, 수학의 인지 과학(cognitive science of mathematics)을 참조하십시오.

Aristotelian realism

Main article: Aristotelian realist philosophy of mathematics
See also: In re structuralism and Immanent realism

아리스토텔레스주의 실재론은 수학이 물리적 세계 (또는 있을 수 있는 임의의 다른 세계)에서 문자 그대로 실현될 수 있는 대칭, 연속성, 및 순서와 같은 속성을 연구한다고 주장합니다. 그것은 숫자와 같은 수학의 대상이 "추상적인" 세계에 존재하지 않지만 물리적으로 실현될 수 있다고 주장하는 플라톤주의와 대조됩니다. 예를 들어, 숫자 4는 앵무새 무리와 무리를 너무 많은 앵무새로 나누는 보편적인 "앵무새임" 사이의 관계에서 실현됩니다.[23][24] 아리스토텔레스주의 실재론은 수학의 철학에서 제임스 프랭클린(James Franklin)과 시드니 학파(Sydney School)에 의해 옹호되었고 달걀 판지-상자가 열릴 때, 세 개의 달걀의 집합이 지각된다 (즉, 물리적 세계에서 실현되는 수학적 실체)는 페넬로페 매디(Penelope Maddy)의 관점에 가깝습니다.[25] 아리스토텔레스주의 실재론에 대한 문제는 물리적 세계에서 실현될 수 없는 더 높은 무한대를 제공하는 설명입니다.

존 펜 메이베리(John Penn Mayberry)에 의한 그의 저서 The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets에서 개발된 유클리드주의 산술도 아리스토텔레스주의 실재론적 전통에 속합니다.[21] 유클리드를 따르는 메이베리는 숫자를 "런던 심포니 오케스트라의 구성원" 또는 "버남 숲의 나무"와 같이 자연에서 실현되는 단순히 "단위의 확실한 다수"로 고려합니다. 유클리드의 공통 개념 5 (전체는 부분보다 크다)가 실패하고 결과적으로 무한한 것으로 계산되는 단위의 명확한 다수가 있는지 여부는 메이베리에게 본질적으로 자연에 대한 질문이고 어떤 초월적 상상도 수반하지 않습니다.

Psychologism

Main article: Psychologism
See also: Anti-psychologism

수학의 철학에서의 심리주의(Psychologism)는 수학적(mathematical) 개념(concepts) 및/또는 진리가 심리학적 사실 (또는 법칙)에 기초되고, 파생되거나 설명된다는 입장입니다.

존 스튜어트 밀(John Stuart Mill)은 지그와트(Sigwart)와 에르드만(Erdmann)과 같은 많은 19세기 독일 논리학자와 과거와 현재의 많은 심리학자들(psychologists): 예를 들어 구스타브 르 봉(Gustave Le Bon)처럼 일종의 논리적 심리주의를 옹호해 온 것으로 보입니다. 심리주의는 후설(Husserl)의 Philosophy of Arithmetic에 대한 그의 검토를 포함하여 프레게에 의한 그의 The Foundations of Arithmetic, 및 그의 많은 연구와 에세이에서 유명하게 비판을 받았습니다. 에드문트 후설(Edmund Husserl)은 "순수 논리학의 프롤레고메나(Prolegomena of Pure Logic)"라고 불리는 그의 Logical Investigations의 첫 번째 권에서 심리주의를 철저히 비판하고 그것으로부터 그 자신을 거리를 두려고 했습니다. "Prolegomena"는 프레게에 의한 만들어진 비판보다 심리주의의 더 간결하고, 공정하고, 철저한 논박으로 고려되고, 오늘날에도 심리주의에 대한 결정적인 타격으로 기억에 남는 논박으로 많은 사람들에게 고려됩니다. 심리주의는 찰스 샌더스 피어스(Charles Sanders Peirce)와 모리스 메를로-퐁티(Maurice Merleau-Ponty)에 의해 비판받았습니다.

Empiricism

Main articles: Quasi-empiricism in mathematics and Postmodern mathematics

수학적 경험주의(Mathematical empiricism)는 수학이 선험(a priori)으로 알려질 수 있다는 사실을 부정하는 실재론의 한 형식입니다. 그것은 우리가 임의의 다른 과학의 사실과 마찬가지로 경험적 연구(empirical research)를 통해 수학적 사실을 발견한다고 말합니다. 그것은 20세기 초에 옹호된 고전적인 세 가지 입장 중 하나가 아니지만, 주로 세기 중반에 발생했습니다. 어쨌든, 이와 같은 견해의 중요한 초기 지지자는 John Stuart Mill이었습니다. 밀의 견해는 널리 비판을 받았는데, 왜냐하면 A.J. Ayer와 같은 비평가들에 따르면,[26] 그것은 "2 + 2 = 4"와 같은 명제를 불확실하고, 우연한 진실로 나타나게 하며, 우리는 두 쌍이 함께 모여 사중주를 형성하는 사례를 관찰해야만 배울 수 있습니다.

칼 포퍼(Karl Popper)는 수학의 경험적 측면을 지적한 또 다른 철학자로서, "대부분의 수학적 이론은, 물리학과 생물학의 이론과 마찬가지로, 가설-연역적입니다: 순수 수학은 따라서 최근에 본 것보다 가설이 추측인 자연 과학에 훨씬 더 가깝습니다"임을 관찰합니다.[27] 포퍼는 역시 "경험으로 테스트할 수 있는 경우에만 시스템을 경험적이거나 과학적으로 인정할 것"이라고 말했습니다.[28]

W. V. O. Quine과 Hilary Putnam에 의해 공식화된 현대 수학적 경험주의는 주로 필수-불가결성 논증(indispensability argument)에 의해 뒷받침됩니다: 수학은 모든 경험 과학에 필수-불가결한 것이고, 만약 우리가 과학에 의해 기술된 현상의 실재성을 믿고 싶다면, 우리는 이 기술에 필요한 그것들 실체의 실재성을 믿어야 합니다. 즉, 물리학은 전구가 왜 그렇게 행동하는지 말하기 위해 전자(electrons)에 대해 이야기해야 하므로 전자가 존재(exist)해야 합니다. 물리학은 설명을 제공할 때 숫자에 대해 이야기해야 하므로, 숫자가 존재해야 합니다. Quine과 Putnam의 전반적인 철학에 맞춰, 이것은 자연주의적 논증입니다. 그것은 경험에 대해 최선의 설명으로서 수학적 실체의 존재를 주장하며, 따라서 다른 과학과 구별되는 수학을 벗겨냅니다.

Putnam은 "플라톤주의자(Platonist)"라는 용어를 실제 의미에서 수학적 실습(mathematical practice)에 필요하지 않은 지나치게-구체적인 존재론(ontology)을 암시하는 것으로 강력하게 거부했습니다. 그는 진리의 신비주의적 개념을 거부되고 수학에서 많은 유사-경험주의를 수용했던 "순수 실재론"의 한 형식을 옹호했습니다. 이것은 20세기 후반에 어떤 수학의 토대(foundation of mathematics)도 존재한다는 것을 증명할 수 없다는 점점 더 대중적인 주장에서 비롯되었습니다. 해당 용어가 어떤 사람들에게는 과부하로 여겨지고 다른 사람들에게는 모욕적인 것으로 고려되기는 하지만 때때로 "수학에서 포스트모더니즘"이라고도 불립니다. 준-경험주의는 연구를 수행할 때, 수학자들이 정리를 증명할 뿐만 아니라 가설을 테스트한다고 주장합니다. 수학적 논증은 전제에서 결론으로 ​​참을 전달할 수 있는 것처럼 결론에서 전제로 거짓을 전달할 수 있습니다. Putnam은 수학적 실재론의 임의의 이론이 준-경험적 방법을 포함할 것이라고 주장해 왔습니다. 그는 수학을 하는 외계 종이 주로 준-경험적 방법에 의존할 수 있다고 제안했으며, 종종 엄밀하고 공리적인 증명을 기꺼이 포기하고, 아마도 계산 실패의 다소 큰 위험에서 여전히 수학을 하고 있습니다. 그는 New Directions에서 이에 대해 자세한 논증을 제공했습니다.[29] 준-경험주의는 임레 라카토스(Imre Lakatos)에 의해서도 발전되었습니다.

수학의 경험적 견해의 가장 중요한 비판은 밀에 대해 제기된 것과 거의 같습니다. 만약 수학이 단지 다른 과학만큼 경험적이라면, 이것은 그것의 결과가 단지 그것들 결과만큼 오류가 있을 수 있고, 단지 그것만큼 우발적이라는 것을 암시합니다. 밀의 경우에서, 경험적 정당화(empirical justification)가 직접적으로 발생하는 반면, 콰인의 경우에는 우리의 과학 이론 전체의 일관성, 즉 E.O. Wilson 이후 부합(consilience)을 통해 간접적으로 발생합니다. 콰인은 우리의 믿음의 망에서 수학이 하는 역할이 매우 중심적이기 때문에 수학이 완전히 확실해 보이고, 불가능하지는 않지만 수정하는 것이 극히 어려울 것이라고 제안합니다.

각각의 측면을 취함으로써 콰인과 괴델의 접근 방식의 일부 단점을 극복하려고 시도하는 수학 철학에 대해, Penelope Maddy의 Realism in Mathematics를 참조하십시오. 현실주의 이론의 또 다른 예제는 구체화된 마음 이론(embodied mind theory)입니다.

인간 유아가 초등 산술을 할 수 있다는 실험적 증거에 대해, Brian Butterworth를 참조하십시오.

Fictionalism

See also: Fictionalism

수학적 허구주의(Mathematical fictionalism)는 1980년 Hartry Field가 콰인의 필수-불가결성 논증을 거부하고 실제로 뒤집은 Science Without Numbers를 출판했을 때 명성을 얻었습니다.[30] Quin이 수학은 우리의 최고의 과학 이론에 필수 불가결하고, 따라서 독립적으로 존재하는 실체에 대해 이야기하는 진리의 몸체로 받아들여져야 한다고 제안했으며, Field는 수학은 필수 불가결한 것이고, 따라서 현실의 어떤 것도 이야기하지 않는 거짓의 몸체로 고려되어야 한다고 제안했습니다. 그는 숫자나 함수에 대한 어떤 것도 참조 없이 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)의 완전한 공리화를 제공함으로써 이를 수행했습니다. 그는 공간을 좌표화하는 것 없이 그것을 특성화하기 위해 힐베르트의 공리의 "사이(betweenness)"로 시작했고, 그런-다음 이전에 벡터 필드(vector fields)에 의해 수행되었던 연구를 수행하기 위해 점 사이에 여분의 관계를 추가했습니다. 힐베르트의 기하학은 수학적인데, 왜냐하면 그것이 추상적 점에 대해 이야기하기 하기 때문이지만, Field의 이론에서, 이들 점들이 물리적 공간의 구체적인 점이므로, 특별한 수학적 대상이 전혀 필요하지 않습니다.

숫자를 사용 없이 과학을 수행하는 방법을 보여 준, Field는 수학을 일종의 유용한 허구(useful fiction)로 재활성화하는 연구를 진행했습니다. 그는 수학이 그 자체의 명제가 거짓일지라도 물리적 응용이 모두 참인 신뢰할 수 있는 과정이 되도록 수학적 물리학이 그의 비-수학적 물리학의 보수적 확장(conservative extension)임을 보였습니다 (즉, 수학적 물리학에서 입증할 수 있는 모든 각 물리적 사실은 이미 Field의 시스템에서 입증할 수 있습니다). 따라서, 수학을 할 때, 우리는 마치 숫자가 존재하는 것처럼 말하는 일종의 이야기를 하고 있는 우리 자신을 볼 수 있습니다. Field에 대해, "2 + 2 = 4"와 같은 명제는 "셜록 홈즈(Sherlock Holmes)가 221B Baker Street에 살았다"와 마찬가지로 허구적입니다—그러나 둘 다는 관련된 허구에 따르면 사실입니다.

또 다른 소설가, Mary Leng은 수학과 물리적 세계 사이의 연결처럼 보이는 어떤 것을 "행복한 우연의 일치"로 일축함으로써 관점을 간결하게 표현합니다. 이러한 거부는 허구주의를 다른 형식의 반실재론과 분리하며, 이는 수학 자체를 인공적이지만 여전히 어떤 식으로든 현실에 국한되거나 맞게 한다고 봅니다.[31]

이 설명에 따르면, 수학에 특별한 형이상학적 또는 인식론적 문제는 없습니다. 남아 있는 유일한 걱정은 비-수학적 물리학에 대한 일반적인 걱정과, 일반적으로 허구에 대한 것입니다. Field의 접근 방식은 매우 영향력이 있었지만 널리 거부되었습니다. 이것은 부분적으로 그의 축소를 수행하기 위해 이-차 논리(second-order logic)의 강력한 단편이 필요하기 때문이고, 보수성의 명제는 추상적 모델이나 연역에 걸쳐 정량화(quantification)를 요구하는 것처럼 보이기 때문입니다.

Social constructivism

Main article: Social constructivism

사회적 구성주의(Social constructivism)는 수학을 주로 수정과 변화의 대상이 되는 문화의 산물로서 사회적 구성(social construct)으로 봅니다. 다른 과학과 마찬가지로, 수학은 결과가 지속적으로 평가되고 폐기될 수 있는 경험적 노력으로 보입니다. 어쨌든, 경험주의적 관점에서 평가는 일종의 "현실"과의 비교인 반면, 사회 구성주의자는 수학적 연구의 방향이 그것을 수행하는 사회 집단의 유행이나 그것을 재정 지원하는 사회의 필요에 의해 결정된다는 점을 강조합니다. 어쨌든, 그러한 외부의 힘이 일부 수학적 연구의 방향을 바꿀 수 있지만, 역사적으로 정의된 학문을 보존하기 위해 작동하는 강력한 내부 제약—수학자들이 토착화된 수학적 전통, 방법, 문제, 의미, 및 가치—이 있습니다.

이것은 수학이 다소 순수하거나 객관적이라는 연구하는 수학자들의 전통적인 믿음에 반하는 것입니다. 그러나 사회적 구성론자들은 수학이 사실 많은 불확실성에 근거되고 있다고 주장합니다: 수학적 실습(mathematical practice )이 발전함에 따라, 이전 수학의 상태가 의심스러워지고, 현재 수학 공동체에 의해 요구되거나 원하게 되는 정도로 수정됩니다. 이것은 라이프니츠와 뉴턴의 미적분학의 재검토에서 해석학의 발전에서 볼 수 있습니다. 그들은 더 나아가 완료된 수학은 종종 너무 많은 지위를 부여받고, 통속 수학(folk mathematics)은 실천으로서의 공리적 증명과 동료 평가를 지나치게 강조하기 때문에 충분하지 않다고 주장합니다.

수학의 사회적 본성은 부분-문화(subcultures)에서 강조됩니다. 수학의 한 분야에서 주요 발견이 이루어지고 다른 분야와 관련이 있을 수 있지만, 수학자 사이의 사회적 접촉 부족으로 인해 관계가 발견되지 않습니다. 사회 구성주의자들은 각 전문 분야가 자체의 인식론적 공동체(epistemic community)를 형성하고 종종 의사 소통에 큰 어려움을 겪거나, 수학의 다른 영역과 관련될 수 있는 추측을 통합하는 조사를 하도록 동기를 부여한다고 주장합니다. 사회 구성주의자들은 "수학을 하는" 과정을 실제로 의미를 만들어내는 것으로 보는 반면, 사회 현실주의자들은 추상화할 수 있는 인간의 능력이나, 인간의 인지적 편견(cognitive bias), 또는 수학자들의 집단 지성의 결핍을 수학적 대상의 실제 우주의 이해를 방해하는 것으로 봅니다. 사회 구성주의자들은 때때로 수학의 토대를 실패할 수 밖에 없는, 목적-없는 또는 심지어 무의미한 것으로 거부합니다.

이 학파에 대한 공헌은 Imre Lakatos와 Thomas Tymoczko에 의해 이루어져 왔지만, 둘 중 어느 쪽이 표제를 뒷받침할 것인지는 확실하지 않습니다. 보다 최근에 Paul Ernest는 사회 구성주의 수학의 철학을 명시적으로 공식화했습니다.[32] 일부 사람들은 Paul Erdős의 연구를 전체적으로 이 견해를 발전시킨 것으로 고려하는데 (그는 그것을 개인적으로 거부했지만) 왜냐하면 그의 독특하고 광범위한 공동 연구로 인해, 다른 사람들은 예를 들어 에르되시 숫자(Erdős number)를 통해 "사회 활동으로서의 수학"을 보고 연구하게 되었습니다. Reuben Hersh는 역시 수학에 대한 사회적 관점을 장려해 왔으며, Alvin White와 관련된 것과 유사하지만 완전히 같지는 않은[33] "인본주의적" 접근 방식이라고 부릅니다;[34] Hersh의 공동 저자 중 한 명, Philip J. Davis도 사회적 관점에 대해 공감을 표했습니다.

Beyond the traditional schools

Unreasonable effectiveness

수학적 진리의 참된 본성에 대한 편협한 논쟁이나 증명(proof)과 같은 수학자에게 고유의 실천에 초점을 맞추기보다는, 1960년대에서 1990년대까지 성장하는 운동은 토대를 찾거나 수학이 작동하는 이유에 대한 임의의 하나의 바른 답을 찾는 아이디어에 의문을 제기하기 시작했습니다. 이것의 출발점은 Eugene Wigner의 유명한 1960년 논문 "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences"였으며, 이것에서 그는 수학과 물리학의 행복한 우연의 일치가 너무 잘 일치하는 것은 비합리적이고 설명하기 어려운 것처럼 보인다고 주장했습니다.

Popper's two senses of number statements

현실주의 이론과 구성주의 이론은 통상적으로 반대되는 것으로 취합니다. 어쨌든, 칼 포퍼(Karl Popper)는 "2개의 사과 + 2개의 사과 = 4개의 사과"와 같은 숫자 명제가 두 가지 의미로 받아들일 수 있다고 주장했습니다.[35] 어떤 의미에서, 그것은 반박할 수 없고 논리적으로 사실입니다. 두 번째 의미에서, 그것은 사실적으로 참이 되고 반증할 수 있습니다. 이것을 두는 또 다른 방법은 단일 숫자 명제가 두 가지 제안을 표현할 수 있다고 말하는 것입니다: 그 중 하나는 구성주의 노선에서 설명될 수 있습니다: 다른 하나는 현실주의 노선입니다.[36]

Philosophy of language

Main article: Language of mathematics

20세기 동안 언어 철학에서 혁신은 수학이 흔히 말하듯이 과학의 언어(language)인지에 대한 새로운 관심을 불러일으켰습니다. 일부 수학자들과 철학자들은 "수학은 하나의 언어다(mathematics is a language)"라는 말을 받아들이겠지만, 언어학자들은 그러한 명제의 함축이 고려되어야 한다고 믿습니다. 예를 들어, 언어학의 도구는 일반적으로 수학의 기호 시스템에 적용되지 않습니다. 즉, 수학은 다른 언어와 현저히 다른 방법으로 연구됩니다. 만약 수학이 언어라면, 그것은 자연 언어와 다른 유형의 언어입니다. 실제로, 명확성과 특수성의 필요성 때문에, 수학의 언어는 언어학자들에 의해 연구되는 자연 언어보다 훨씬 더 제한적입니다. 어쨌든, Frege와 Tarski에 의해 수학적 언어 연구를 위해 개발된 방법은 Tarski의 제자 Richard Montague와 형식 의미론에서 연구하는 다른 언어학자에 의해 크게 확장되어 수학적 언어와 자연 언어 사이의 구분이 보이는 것만큼 크지 않을 수 있음을 보여줍니다.

Mohan Ganesalingam은 형식 언어학의 도구를 사용하여 수학적 언어를 해석해 왔습니다.[37] Ganesalingam은 수학 언어를 분석할 때 자연 언어의 일부 기능 (예를 들어 시제)이 필요하지 않지만, 같은 해석적 도구 (예를 들어, 문맥 자유 문법)를 사용할 수 있다고 말합니다. 한 가지 중요한 차이점은 수학적 대상에는 명확하게 정의된 유형이 있다는 것이며, 이 유형은 텍스트에서 명시적으로 정의될 수 있습니다: "효과적으로, 우리는 문장의 한 부분에서 단어를 도입하고, 또 다른 부분에서 그 품사를 선언할 수 있습니다; 그리고 이 작업은 자연 언어에서 유사점을 가지지 않습니다."[37]: 251 

Arguments

Indispensability argument for realism

Main article: Quine–Putnam indispensability argument

Willard Quine과 Hilary Putnam와 관련된 이 논증은 Stephen Yablo에 의해 숫자와 집합과 같은 추상적인 수학적 실체의 존재를 수용하는 데 찬성하는 가장 도전적인 논증 중 하나로 여겨집니다.[38] 그 논증의 형식은 다음과 같습니다.

  1. 우리는 최고의 과학 이론에 필수 불가결한 모든 실체에 대한 것과 오직 그들 실체에 대한 존재론적(ontological) 약속을 가져야 합니다 (공통적으로 "모든과 오직"으로 참조됩니다).
  2. 수학적 실체는 최고의 과학 이론에 없어서는 안될 존재입니다. 그러므로,
  3. 우리는 수학적 실체에 대한 존재론적 약속을 가져야 합니다.[39]

첫 번째 전제에 대해 정당화가 가장 논란의 여지가 있습니다. 퍼트넘과 콰인 둘 다는 모든 비-과학적 실체의 배제를 정당화하고, 따라서 "모든과 오직"의 "오직" 부분을 옹호하기 위해 자연주의(naturalism)를 주장합니다. 숫자를 포함하여 과학 이론에서 공준된 "모든" 실체가 실제로 받아들여져야 한다는 주장은 확증 전체론(confirmation holism)에 의해 정당화됩니다. 이론이 단편적으로 확증되는 것이 아니라 전체적으로 확증되기 때문에, 잘-확증된 이론에서 언급된 임의의 실체를 배제할 정당성이 없습니다. 이것은 집합과 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)의 존재를 배제하고 쿼크(quarks)와 기타 감지할 수 없는 물리학의 실체를 포함하려는 명목론자(nominalist)를 어려운 위치에 놓이게 합니다.[39]

Epistemic argument against realism

플라톤주의에 대항한 반-실재론적 "인식론적 논증"은 Paul Benacerraf와 Hartry Field에 의해 만들어져 왔습니다. 플라톤주의는 수학적 대상이 추상적인(abstract) 실체라고 가정합니다. 일반 동의에 의해, 추상적인 실체는 구체적, 물리적 실체와 인과적(causally)으로 상호 작용할 수 없습니다 ("우리의 수학적 주장의 진리-값은 시간-공간 외부의 영역에 있는 플라톤 실체와 관련된 사실에 의존합니다"[40]). 구체적, 물리적인 대상에 대한 우리의 지식은 그것들을 지각하는 능력과 따라서 그것들과 인과적으로 상호 작용하는 능력에 기반을 두고 있지만, 수학자들이 추상적인 대상에 대한 지식을 갖게 된 방법에 대한 평행 설명은 없습니다.[41][42][43] 요점을 만드는 또 다른 방법은 플라톤의 세계가 사라진다면 수학자들이 증명 등을 생성하는 능력에 차이가 없을 것이라는 점이며, 이는 이미 그들 뇌에서 물리적 과정의 측면에서 완전히 설명될 수 있습니다.

Field는 자신의 견해를 허구주의(fictionalism)로 발전시켰습니다. Benacerraf는 역시 수학적 대상이 없다는 것에 따르는 수학적 구조주의(mathematical structuralism) 철학을 개발했습니다. 그럼에도 불구하고, 구조주의의 일부 버전은 사실주의의 일부 버전과 호환됩니다.

논증은 뇌 과정의 측면에서 사고 과정에 대한 만족스러운 자연주의적 설명이 다른 모든 것과 함께 수학적 추론을 위해 주어질 수 있다는 생각에 달려 있습니다. 한 가지 방어선은 이것이 수학적 추론이 플라톤 영역과의 접촉을 포함하는 몇 가지 특별한 직관을 사용하도록 거짓임을 유지하는 것입니다. 이 주장의 현대적 형식은 Sir Roger Penrose에 의해 제공됩니다.[44]

또 다른 방어선은 추상적 대상이 인지와 유사하지 않고 인과적이지 않은 방법에서 수학적 추론과 관련이 있다고 유지하는 것입니다. 이 논증은 Jerrold Katz에 의해 2000년에 저술한 Realistic Rationalism에서 발전되었습니다.

보다 근본적인 방어는 물리적 현실, 즉 수학적 우주 가설(mathematical universe hypothesis)을 부정하는 것입니다. 이 경우에서, 수학자의 수학 지식은 하나의 수학적 대상이 다른 것과 접촉하는 것입니다.

Aesthetics

많은 실제 수학자들은 주제에서 인식하는 아름다움(beauty)의 감각 때문에 주제에 끌려 왔습니다. 때로는 수학자들이 철학을 철학자들에게 맡기고 아마도 아름다움이 있는 곳인 수학으로 돌아가고 싶다는 감정을 듣습니다.

신성한 비율(divine proportion)에 대한 그의 연구에서, H.E. Huntley는 수학의 정리에 대한 다른 사람의 증명을 읽고 이해하는 느낌을 예술의 걸작을 보는 사람의 느낌과 연관시킵니다—증명을 읽는 사림은 그 증명의 원저자와 유사한 이해에 대한 희열감을 갖고 있으며, 걸작의 관람자는 원래 화가나 조각가와 유사한 희열감을 가지고 있다고 주장합니다. 실제로 수학과 과학 저술을 문학으로 연구할 수 있습니다.

Philip J. Davis와 Reuben Hersh는 수학적 아름다움에 대한 감각이 실제 수학자들 사이에서 보편적이라고 언급했습니다. 예를 들어, 그들은 √2의 무리성에 대한 두 가지 증명을 제공합니다. 첫 번째는 유클리드에 기인한 모순에 의한 전통적인 증명입니다. 두 번째는 문제의 핵심에 도달하는 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)를 포함하는 보다 직접적인 증명입니다. Davis와 Hersh는 수학자들이 두 번째 증명이 문제의 본질에 더 가까워지기 때문에 미학적으로 더 매력적이라고 생각한다고 주장합니다.

폴 에르되시(Paul Erdős)는 가장 우아하거나 아름다운 수학적 증명을 포함하는 가상의 "책"이라는 그의 개념으로 잘 알려져 있습니다. 한 결과가 하나의 "가장 우아한" 증명을 가진다는 보편적인 동의는 없습니다; Gregory Chaitin은 이 아이디어에 반대했습니다.

철학자들은 때때로 수학자들의 아름다움의 감각이나 우아함이 기껏해야 모호하게 표현된 것이라고 비판해 왔습니다. 어쨌든, 같은 이유로, 수학 철학자들은 둘 다 논리적으로 타당할 때 한 증명이 다른 증명보다 더 바람직한 이유를 특성화하려고 노력해 왔습니다.

수학에 관한 미학의 또 다른 측면은 비윤리적이거나 부적절한 것으로 고려되는 목적으로 수학을 사용할 수 있다는 수학자의 견해입니다. 이 견해에 대한 가장 잘 알려진 설명은 G. H. Hardy의 책 A Mathematician's Apology에서 나타나며, 이것에서 Hardy는 순수 수학이 전쟁과 유사한 목적에 사용될 수 없기 때문에 응용 수학(applied mathematics)보다 아름다움이 더 우수하다고 주장합니다.

Journals

See also

Related works

Historical topics

Notes

  1. ^ "Is mathematics discovered or invented?". University of Exeter. Retrieved 28 March 2018.
  2. ^ "Math: Discovered, Invented, or Both?". pbs.org. Retrieved 28 March 2018.
  3. ^ Kleene, Stephen (1971). Introduction to Metamathematics. Amsterdam, Netherlands: North-Holland Publishing Company. p. 5.
  4. ^ Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, NY.
  5. ^ *Putnam, Hilary (1967), "Mathematics Without Foundations", Journal of Philosophy 64/1, 5-22. Reprinted, pp. 168–184 in W.D. Hart (ed., 1996).
  6. ^ "A Mathematician's Apology Quotes by G.H. Hardy".
  7. ^ S, F. (January 1941). "A Mathematician's Apology". Nature. 147 (3714): 3–5. Bibcode:1941Natur.147....3S. doi:10.1038/147003a0. S2CID 4212863.
  8. ^ "Platonism in Metaphysics". Platonism in Metaphysics (Stanford Encyclopedia of Philosophy). Metaphysics Research Lab, Stanford University. 2016.
  9. ^ "Platonism in the Philosophy of Mathematics". "Platonism in the Philosophy of Mathematics", (Stanford Encyclopedia of Philosophy). Metaphysics Research Lab, Stanford University. 2018.
  10. ^ Ivor Grattan-Guinness (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, Routledge, 2002, p. 681.
  11. ^ "Naturalism in the Philosophy of Mathematics". Naturalism in the Philosophy of Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy). Metaphysics Research Lab, Stanford University. 2016.
  12. ^ Balaguer, Mark (1994). "Against (Maddian) naturalized Platonism". Philosophia Mathematica. 2: 97–108.
  13. ^ Linsky, B.; Zalta, E. (1995). "Naturalized Platonism vs. Platonized Naturalism". The Journal of Philosophy. 92 (10): 525–555.
  14. ^ Tegmark, Max (February 2008). "The Mathematical Universe". Foundations of Physics. 38 (2): 101–150. arXiv:0704.0646. Bibcode:2008FoPh...38..101T. doi:10.1007/s10701-007-9186-9. S2CID 9890455.
  15. ^ Tegmark (1998), p. 1.
  16. ^ a b Carnap, Rudolf (1931), "Die logizistische Grundlegung der Mathematik", Erkenntnis 2, 91-121. Republished, "The Logicist Foundations of Mathematics", E. Putnam and G.J. Massey (trans.), in Benacerraf and Putnam (1964). Reprinted, pp. 41–52 in Benacerraf and Putnam (1983).
  17. ^ Zach, Richard (2019), "Hilbert's Program", in Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2019 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-05-25
  18. ^ Audi, Robert (1999), The Cambridge Dictionary of Philosophy, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1995. 2nd edition. Page 542.
  19. ^ Bishop, Errett (2012) [1967], Foundations of Constructive Analysis (Paperback ed.), New York: Ishi Press, ISBN 978-4-87187-714-5
  20. ^ From an 1886 lecture at the 'Berliner Naturforscher-Versammlung', according to H. M. Weber's memorial article, as quoted and translated in Gonzalez Cabillon, Julio (2000-02-03). "FOM: What were Kronecker's f.o.m.?". Retrieved 2008-07-19. Gonzalez gives as the sources for the memorial article, the following: Weber, H: "Leopold Kronecker", Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereinigung, vol ii (1893), pp. 5-31. Cf. page 19. See also Mathematische Annalen vol. xliii (1893), pp. 1-25.
  21. ^ a b Mayberry, J.P. (2001). The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets. Cambridge University Press.
  22. ^ Brown, James (2008). Philosophy of Mathematics. New York: Routledge. ISBN 978-0-415-96047-2.
  23. ^ Franklin, James (2014). [[[:Template:GBurl]] An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics: Mathematics as the Science of Quantity and Structure]. Palgrave Macmillan. ISBN 9781137400727. {{cite book}}: Check |url= value (help)
  24. ^ Franklin, James (2022). "Mathematics as a science of non-abstract reality: Aristotelian realist philosophies of mathematics". Foundations of Science. 27 (2): 327–344. doi:10.1007/s10699-021-09786-1. S2CID 233658181. Retrieved 30 June 2021.
  25. ^ Maddy, Penelope (1990), Realism in Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
  26. ^ Ayer, Alfred Jules (1952). Language, Truth, & Logic. New York: Dover Publications, Inc. p. 74 ff. ISBN 978-0-486-20010-1.
  27. ^ Popper, Karl R. (1995). "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. New York: Routledge. p. 56. Bibcode:1992sbwl.book.....P. ISBN 978-0-415-13548-1.
  28. ^ Popper, Karl (2002) [1959]. The Logic of Scientific Discovery. Abingdon-on-Thames: Routledge. p. 18. ISBN 978-0-415-27843-0.
  29. ^ Tymoczko, Thomas (1998), New Directions in the Philosophy of Mathematics. ISBN 978-0691034980.
  30. ^ Field, Hartry, Science Without Numbers, Blackwell, 1980.
  31. ^ Leng, Mary (2010). Mathematics and Reality. Oxford University Press. p. 239. ISBN 978-0199280797.
  32. ^ Ernest, Paul. "Is Mathematics Discovered or Invented?". University of Exeter. Retrieved 2008-12-26.
  33. ^ "Humanism and Mathematics Education". Math Forum. Humanistic Mathematics Network Journal. Retrieved 2008-12-26.
  34. ^ Hersh, Reuben (February 10, 1997). "What Kind of a Thing is a Number?" (Interview). Interviewed by John Brockman. Edge Foundation. Archived from the original on May 16, 2008. Retrieved 2008-12-26.
  35. ^ Popper, Karl Raimund (1946) Aristotelian Society Supplementary Volume XX.
  36. ^ Gregory, Frank Hutson (1996) "Arithmetic and Reality: A Development of Popper's Ideas". City University of Hong Kong. Republished in Philosophy of Mathematics Education Journal No. 26 (December 2011)
  37. ^ a b Ganesalingam, Mohan (2013). The Language of Mathematics: A Linguistic and Philosophical Investigation. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 7805. Springer. doi:10.1007/978-3-642-37012-0. ISBN 978-3-642-37011-3. S2CID 14260721.
  38. ^ Yablo, S. (November 8, 1998). "A Paradox of Existence".
  39. ^ a b Putnam, H. Mathematics, Matter and Method. Philosophical Papers, vol. 1. Cambridge: Cambridge University Press, 1975. 2nd. ed., 1985.
  40. ^ Field, Hartry, 1989, Realism, Mathematics, and Modality, Oxford: Blackwell, p. 68
  41. ^ "Since abstract objects are outside the nexus of causes and effects, and thus perceptually inaccessible, they cannot be known through their effects on us" — Katz, J. Realistic Rationalism, 2000, p. 15
  42. ^ "Philosophy Now: "Mathematical Knowledge: A dilemma"". Archived from the original on February 7, 2011.
  43. ^ "Platonism in the Philosophy of Mathematics". Standard Encyclopaedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. 2018.
  44. ^ Review of The Emperor's New Mind.

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