Euler's identity

수학(mathematics)에서, 오일러의 항등식(Euler's identity)^{[note 1]} (오일러 방정식이라고도 함)은 다음 상등입니다: $e^{i\pi }+1=0$ 여기서

e

는 오일러의 숫자(Euler's number), 자연 로그(natural logarithms)의 밑수입니다.

i

는 허수 단위(imaginary unit)이며, 정의에 의해

i 2 = -1

을 만족합니다. 그리고

π

는 파이(pi), 원(circle)의 지름(diameter)에 대한 그것의 원주(circumference)의 비율(ratio)입니다.

오일러의 항등식은 스위스 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 이름을 따서 지었습니다. 그것은 $x = π$ 에 대해 평가될 때 오일러 공식(Euler's formula) $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 의 특별한 경우입니다. 오일러의 항등식은 수학에서 가장 기본적인 숫자 사이의 깊은 연결을 보여주기 때문에 수학적 아름다움(mathematical beauty)의 표본으로 여겨집니다. 게다가, 그것은 $π$ 가 초월적(transcendental)이라는 증명(a proof)에서 직접 사용되며,^[3]^[4] 이는 원을 정사각형화(squaring the circle)의 불가능함을 의미합니다.

Mathematical beauty

오일러의 항등식은 깊은 수학적 아름다움(mathematical beauty)의 예로 자주 인용됩니다.^[5] 기본 산술(arithmetic) 연산 중 세 가지: 덧셈(addition), 곱셈(multiplication), 및 지수(exponentiation)가 각각 정확하게 한 번씩 발생합니다. 그 항등식은 역시 다섯 개의 기본 수학 상수(mathematical constants)를 연결합니다:^[6]

숫자(number) 0, 덧셈의 항등식(additive identity).
숫자(number) 1, 곱셈의 항등식(multiplicative identity).
숫자(number) $π$ ( $π$ = 3.1415...), 기본 원(circle) 상수.
숫자(number) $e$ ( $e$ = 2.718...), 역시 오일러 숫자로 알려져 있으며, 수학적 해석학(mathematical analysis)에서 널리 발생합니다.
숫자(number) $i$ , 복소수(complex numbers)의 허수 단위.

게다가, 그 방정식은 수학의 여러 영역에서 공통적인 관행인 영과 같게 설정된 표현의 형식에서 제공됩니다.

스탠포드 대학(Stanford University)의 수학 교수 키스 데블린(Keith Devlin)은 "사랑의 본질을 고스란히 담아낸 셰익스피어의 소네트처럼, 또는 피부 깊숙이 있는 것보다 훨씬 더 인간의 아름다움을 끌어내는 그림처럼, 오일러의 방정식은 존재의 가장 깊이 곳까지 도달합니다"라고 말했습니다.^[7] 그리고 오일러 공식(Euler's formula)과 푸리에 해석(Fourier analysis)에서의 그것의 용용에 관한 책을 저술한 뉴 햄프셔 대학교(University of New Hampshire)의 명예 교수, 폴 나힌(Paul Nahin)은 오일러의 항등식을 "절묘한 아름다움의" 존재라고 묘사합니다.^[8]

수학 작가 콘스탄스 리드(Constance Reid)는 오일러의 항등식이 "모든 수학에서 가장 유명한 공식"이라는 의견을 내세웠습니다.^[9] 그리고 19세기 미국 철학자(philosopher), 수학자, 및 하버드 대학교(Harvard University) 교수, 벤저민 퍼스(Benjamin Peirce)는 강의에서 오일러의 항등식을 증명한 후, 그 항등식은 "절대적으로 역설적입니다; 우리는 그것을 이해할 수 없고, 그것이 무엇을 의미하는지 알지 못하지만, 우리는 그것을 증명해 왔고, 따라서 우리는 그것이 진실임이 틀림없다는 것을 압니다"라고 언급합니다.^[10]

1990년 The Mathematical Intelligencer에 의해 실시된 독자 설문조사에서 오일러의 항등식을 "수학에서 가장 아름다운 정리(theorem)"로 선정했습니다.^[11] 2004년 Physics World에 의해 실시된 또 다른 독자 설문조사에서 오일러의 항등식은 "가장 위대한 방정식"으로 (전자기학(electromagnetism)의) 맥스웰의 방정식(Maxwell's equations)과 연결되어 있습니다.^[12]

대중 수학(popular mathematics)에서 오일러의 항등식에 대한 적어도 세 권의 책이 출판되었습니다:

Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, by Paul Nahin (2011)^[13]
A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, by David Stipp (2017)^[14]
Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, by Robin Wilson (2018).^[15]

Explanations

Imaginary exponents

In this animation $N$ takes various increasing values from 1 to 100. The computation of $(1 + iπ / N) N$ is displayed as the combined effect of $N$ repeated multiplications in the complex plane, with the final point being the actual value of $(1 + iπ / N) N$ . It can be seen that as $N$ gets larger $(1 + iπ / N) N$ approaches a limit of −1.

기본적으로, 오일러의 항등식은 $e^{i\pi }$ 가 −1과 같다고 주장합니다. 표현식 $e^{i\pi }$ 는 표현 $e^{z}$ 의 특수한 경우이며, 여기서 $z$ 는 임의의 복소수입니다. 일반적으로, $e^{z}$ 는 지수 함수의 정의(definitions of the exponential function) 중 하나를 실수 지수에서 복소 지수로 확장함으로써 복소수 $z$ 에 대해 정의됩니다. 예를 들어, 한 가지 공통적인 정의는 다음과 같습니다:

e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.

오일러의 항등식은 따라서 $n$ 이 무한대에 접근함에 따라 $(1+i\pi /n)^{n}$ 의 극한이 −1과 같음을 말합니다. 이 극한은 오른쪽 애니메이션에 나와 있습니다.

오일러의 항등식은 임의의 실수(real number) $x$ 에 대해 다음과 같은 오일러 공식(Euler's formula)의 특별한 경우(special case)입니다:

e^{ix}=\cos x+i\sin x

여기서 삼각 함수(trigonometric functions) 사인과 코사인의 입력은 라디안(radians)에서 제공됩니다.

특히, $x = π$ 일 때,

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .

다음과

\cos \pi =-1

다음때문에,

\sin \pi =0,

다음임이 따릅니다:

e^{i\pi }=-1+0i,

이것은 오일러의 항등식을 산출합니다:

e^{i\pi }+1=0.

Geometric interpretation

임의의 복소수 $z=x+iy$ 는 복소 평면(complex plane) 위에 점 $(x,y)$ 에 의해 표현될 수 있습니다. 이 점은 역시 극 좌표(polar coordinates)에서 $(r,\theta )$ 로 표현될 수 있으며, $r$ 은 $z$ 의 절댓값 (원점에서 거리)이고, $\theta$ 는 $z$ 의 편각 (양의 $x$ -축에서 반-시계방향의 각도)입니다. 사인과 코사인의 정의에 의해, 이 점은 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ 임을 의미하는 $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ 의 데카르트 좌표를 가집니다. 오일러의 공식에 따르면, 이것은 $z=re^{i\theta }$ 임을 말하는 것과 동등합니다.

오일러의 항등식은 $-1=e^{i\pi }$ 임을 말합니다. $e^{i\pi }$ 가 $r=1$ 과 $\theta =\pi$ 에 대해 $re^{i\theta }$ 이기 때문에, 이것은 복소 평면 위에 숫자 −1에 대한 하나의 사실로 해석될 수 있습니다: 원점에서 그것의 거리는 1이고, 양의 $x$ -축에서 그것의 각도가 $\pi$ 라디안입니다.

추가적으로, 임의의 복소수 $z$ 는 $e^{i\theta }$ 에 의해 곱할 때, 그것은 복소 평면 위에 $\theta$ 각도만큼 $z$ 를 반-시계방향으로 회전시키는 효과를 가집니다. −1에 의한 곱셈은 한 점을 원점을 가로질러 반사하므로, 오일러의 항등식은 원점을 중심으로 임의의 점을 $\pi$ 라디안만큼 회전하는 것이 그 점을 원점을 가로질러 반사하는 것과 같은 효과를 가진다고 말하는 것으로 해석될 수 있습니다. 마찬가지로, $\theta$ 를 $2\pi$ 로 설정하면 관련된 방정식 $e^{2\pi i}=1$ 을 산출하며, 어떤 점이든 원점을 중심으로 한 바퀴(turn) 회전하면 원래 위치로 돌아간다고 해석될 수 있습니다.

Generalizations

오일러의 항등식은 역시 $n > 1$ 에 대해 $n$ 번째 단위의 근(roots of unity)이 합해져서 0이 되는 보다 일반적인 항등식의 특별한 경우입니다:

\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.

오일러의 항등식은 $n = 2$ 인 경우입니다.

수학의 또 다른 영역에서, 쿼터니언(quaternion) 지수를 사용함으로써, 유사한 항등식이 쿼터니언에도 적용된다는 것을 보여줄 수 있습니다. ${i, j, k}$ 를 기본 원소라고 놓습니다; 그런-다음,

e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.

일반적으로, $a 12 + a 22 + a 32 = 1$ 를 만족하는 실수(real) $a 1$ , $a 2$ , 및 $a 3$ 가 주어지면,

e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.

옥토니언(octonions)에 대해, $a 12 + a 22 + ... + a 72 = 1$ 를 만족하는 실수 $a n$ 을 갖고, 옥토니언 기저 원소 ${i 1, i 2, ..., i 7}$ 를 가지면,

e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\dots +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.

History

오일러의 항등식은 1748년 수학적 해석학의 그의 기념비적 연구, Introductio in analysin infinitorum에서 출판된,^[16] 오일러 공식(Euler's formula)의 직접 결과이지만, 간결한 형식에서 다섯 기본 상수를 연결하는 특정 개념이 오일러 자신에게 귀속될 수 있는지는 의문을 가졌는데, 왜냐하면 그는 결코 그것을 표현하지 않았을 수도 있기 때문입니다.^[17]

로빈 윌슨(Robin Wilson)은 다음과 같이 말합니다.^[18]

우리는 요한 베르누이(Johann Bernoulli)와 로저 코츠(Roger Cotes)의 결과에서 [오일러의 항등식]이 어떻게 쉽게 추론될 수 있는지 보았지만, 그들 중 누구도 그렇게 하지 않은 것으로 보입니다. 오일러조차도 그것을 명시적으로 기록하지 않은 것으로 보이지만 – 그리고 확실히 그것은 그의 어떤 출판물에도 나타나지 않습니다 – 그는 그것이 그의 항등식 [즉, 오일러의 공식], $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 에서 즉시 따른다는 것을 분명히 깨달았을 것입니다. 게다가, 누가 먼저 그 결과를 명시적으로 진술했는지는 알 수 없는 것으로 보입니다….

Notes

^ The term "Euler's identity" (or "Euler identity") is also used elsewhere to refer to other concepts, including the related general formula $e ix = cos x + i sin x$ ,^[1] and the Euler product formula.^[2] See also List of things named after Leonhard Euler.

References

^ Dunham, 1999, p. xxiv.
^ Stepanov, S.A. (2001) [1994], "Euler identity", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
^ Milla, Lorenz (2020), The Transcendence of π and the Squaring of the Circle, arXiv:2003.14035
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^ Gallagher, James (13 February 2014). "Mathematics: Why the brain sees maths as beauty". BBC News Online. Retrieved 26 December 2017.
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^ Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.
^ Conway & Guy, p. 254–255.
^ Sandifer, p. 4.
^ Wilson, p. 151-152.

Sources

Conway, John H., and Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer ISBN 978-0-387-97993-9
Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-328-3
Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
Kasner, E., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
Maor, Eli (1998), $e$ : The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7
Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2
Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books ISBN 0-14-014574-5
Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-563-8
Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books
Wells, David (1990). "Are these the most beautiful?". The Mathematical Intelligencer. 12 (3): 37–41. doi:10.1007/BF03024015. S2CID 121503263.
Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-192-51406-6
Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), "The experience of mathematical beauty and its neural correlates", Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150, PMID 24592230

External links

Intuitive understanding of Euler's formula

[3] The term "Euler's identity" (or "Euler identity") is also used elsewhere to refer to other concepts, including the related general formula $e ix = cos x + i sin x$ ,^[1] and the Euler product formula.^[2] See also List of things named after Leonhard Euler.

[1] Dunham, 1999, p. xxiv.

[EOM-2] Stepanov, S.A. (2001) [1994], "Euler identity", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[4] Milla, Lorenz (2020), The Transcendence of π and the Squaring of the Circle, arXiv:2003.14035

[5] Hines, Robert. "e is transcendental" (PDF). University of Colorado.

[Gallagher2014-6] Gallagher, James (13 February 2014). "Mathematics: Why the brain sees maths as beauty". BBC News Online. Retrieved 26 December 2017.

[7] Paulos, 1992, p. 117.

[8] Nahin, 2006, p. 1.

[9] Nahin, 2006, p. xxxii.

[10] Reid, chapter e.

[11] Maor, p. 160, and Kasner & Newman, p. 103–104.

[12] Wells, 1990.

[13] Crease, 2004.

[14] Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills. Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.

[15] Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (First ed.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.

[16] Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.

[17] Conway & Guy, p. 254–255.

[Sandifer2007-18] Sandifer, p. 4.

[19] Wilson, p. 151-152.

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