Pole and polar
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Pole_and_polar.svg/220px-Pole_and_polar.svg.png)
기하학(geometry)에서 극점(pole)과 극선(polar)은 각각 주어진 원뿔 단면(conic section)에 관한 고유한 역수 관계를 가지는 점과 직선입니다.
주어진 원에서 극 역화(Polar reciprocation)는 평면에서 각 점을 그것의 극선으로의 변환이고 평면에서 각 직선을 그것의 극으로의 변환입니다.
Properties
극점과 극선은 몇 가지 유용한 속성을 가지고 있습니다:
- 만약 점 P가 직선 l 위에 놓이면, 직선 l의 극점 L은 점 P의 극선 p 위에 놓입니다.
- 만약 점 P가 직선 l을 따라 이동하면, 그것의 극선 p는 직선 l의 극점 L을 중심으로 회전합니다.
- 만약 두 개의 접선이 극점에서 원뿔 단면까지 그려질 수 있으면, 그것의 극선은 두 접점을 통과합니다.
- 만약 한 점이 원뿔 단면 위에 놓이면, 그것의 극선은 이 점을 통과해 원뿔 단면에 접합니다.
- 만약 점 P가 자신의 극선 위에 놓이면, P는 원뿔 단면 위에 있습니다.
- 각 직선은, 비-퇴화 원뿔 단면에 관해, 정확하게 하나의 극점을 가집니다.
Special case of circles
원(circle) C에서 직선 L의 극점은 원의 중심에 가장 가까운 L 위의 점 P의 C에서 반전(inversion)인 점 Q입니다. 반대로, 원 C에서 점 Q의 극선(polar line 또는 polar)은 원의 중심에 가장 가까운 점 P가 C에서 Q의 반전(inversion)임을 만족하는 직선 L입니다.
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Conjugate_points_and_lines.svg/220px-Conjugate_points_and_lines.svg.png)
극점과 극선 사이의 관계는 역수적(reciprocal)입니다. 따라서, 만약 점 A가 점 Q의 극선 q 위에 놓이면, 점 Q는 점 A의 극선 a 위에 놓여야 합니다. 두 극선 a와 q는 평행할 필요는 없습니다.
점 P가 원 C 밖에 놓이는 경우에서 점 P의 극선의 또 다른 설명이 있습니다. 이 경우에서, P를 통과하는 그 원에 접하는 두 개의 직선이 있고, P의 극선은 두 접하는 점을 연결하는 직선입니다 (여기에는 표시되지 않습니다). 이것은 극점과 극선이 평면의 투영 기하학(projective geometry)에서 개념이고 원 C의 자리에 임의의 비-특이 원뿔형(nonsingular conic)으로 일반화됨을 보여줍니다.
Polar reciprocation
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하나의 극점이 있고 그것의 극선(a pole is and its polar line)이라는 개념은 투영 기하학(projective geometry)에서 발전했습니다. 예를 들어, 극선은 원뿔형에 관한 주어진 점, 극점의 투영 조화 켤레(projective harmonic conjugates)의 집합으로 볼 수 있습니다. 모든 각 점을 그것의 극선으로 교체하거나 그 반대로 교체하는 연산은 극성(polarity)이라고 불립니다.
극성(polarity)은 인볼루션(involution)이기도 한 상관관계(correlation)입니다.
어떤 점 P와 그 극선 p에 대해, p 위의 임의의 다른 점 Q는 P를 통과하는 직선 q의 극점입니다. 이것은 역수 관계를 구성하고, 투사가 보존되는 점입니다.[1]
General conic sections
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/Pool_poollijn.svg/220px-Pool_poollijn.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Pool_poollijn_eig.svg/220px-Pool_poollijn_eig.svg.png)
극점, 극선 및 역화의 개념은 원에서 타원(ellipse), 쌍곡선(hyperbola) 및 포물선(parabola)인 다른 원뿔 단면(conic sections)으로 일반화될 수 있습니다. 이 일반화는 원뿔 단면이 또 다른 원에서 원의 역화로 인해 발생하고, 투사(incidence) 및 교차-비율(cross-ratio)과 같은 관련된 속성이 모든 투영 변환(projective transformations) 아래에서 보존되기 때문에 가능합니다.
Calculating the polar of a point
일반적인 원뿔 단면(conic section)은 다음 평면(plane)의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates) (x, y)에서 이-차 방정식으로 쓸 수 있습니다:
여기서 Axx, Axy, Ayy, Bx, By, 및 C는 방정식을 정의하는 상수입니다. 그러한 원뿔 단면에 대해, 주어진 극점 (ξ, η)에 대한 극선은 다음 방정식에 의해 정의됩니다:
여기서 D, E, 및 F는 마찬가지로 극 좌표 (ξ, η)에 따라 달라지는 상수입니다:
Calculating the pole of a line
다음 비-퇴화 원뿔 단면과 관련된 직선 의 극점은
두 단계에서 계산될 수 있습니다.
먼저, 다음에서 숫자 x, y, 및 z를 계산합니다:
이제, 극점은 좌표 를 갖는 점입니다.
Tables for pole-polar relations
- Pole-polar relation for an ellipse
- Pole-polar relation for a hyperbola
- Pole-polar relation for a parabola
conic | equation | polar of point |
---|---|---|
circle | ||
ellipse | ||
hyperbola | ||
parabola |
conic | equation | pole of line u x + v y = w |
---|---|---|
circle | ||
ellipse | ||
hyperbola | ||
parabola |
Via complete quadrangle
Complete quadrangle을 형성하는 4개의 점이 주어지면, 점을 연결하는 직선은 추가로 3개의 대각 점에서 교차합니다. 원뿔형 C 위가 아닌 점 Z가 주어지면, 점 A, B, D, 및 E에서 교차하는 Z에서 C를 통과하는 두 개의 가름선(secants)을 그립니다. 그런-다음 이들 네 점은 대각 점 중 하나에 Z를 갖는 complete quadrangle을 형성합니다. 다른 두 대각 점을 연결하는 직선은 Z의 극점이고, Z는 이 직선의 극점입니다.[2]
Applications
극점과 극선은 조셉 디아즈 게르곤(Joseph Diaz Gergonne)에 의해 정의되었고 아폴로니우스의 문제(problem of Apollonius)를 해결하는 데 중요한 역할을 합니다.[3]
평면 동역학에서, 극점은 회전 중심이고, 극선은 힘 작용의 직선이고 원뿔형은 질량-관성 행렬입니다.[4] 극점-극선 관계는 평면 강체의 충격의 중심(center of percussion)을 정의하기 위해 사용됩니다. 만약 극점이 돌쩌귀 점이면, 극선은 평면 나사 이론(screw theory)에 설명된 충격 작용의 선입니다.
See also
Bibliography
- Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary treatise on the geometry of the Triangle and the Circle. New York: Dover Publications. pp. 100–105.
- Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). Geometry Revisited. Washington: MAA. pp. 132–136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
- Gray J J (2007). Worlds Out of Nothing: A Course in the history of Geometry in the 19th century. London: Springer Verlag. pp. 21. ISBN 978-1-84628-632-2.
- Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. pp. 43–45. LCCN 59014456. The paperback version published by Dover Publications has the ISBN 978-0-486-41147-7.
- Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 190–191. ISBN 0-14-011813-6.
References
- ^ Edwards, Lawrence; Projective Geometry, 2nd Edn, Floris (2003). pp. 125-6.
- ^ G. B. Halsted (1906) Synthetic Projective Geometry, page 25 via Internet Archive
- ^ "Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections" (PDF). Retrieved 2013-06-04.
- ^ John Alexiou Thesis, Chapter 5, pp. 80–108 Archived 2011-07-19 at the Wayback Machine
External links
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- Interactive animation with multiple poles and polars at Cut-the-Knot
- Interactive animation with one pole and its polar
- Interactive 3D with coloured multiple poles/polars - open source
- Weisstein, Eric W. "Polar". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Reciprocation". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Inversion pole". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Reciprocal curve". MathWorld.
- Tutorial at Math-abundance