Hyperbola

Original article: w:Hyperbola

This article is about a geometric curve. For the term used in rhetoric, see Hyperbole.

A hyperbola is an open curve with two branches, the intersection of a plane with both halves of a double cone. The plane does not have to be parallel to the axis of the cone; the hyperbola will be symmetrical in any case.

Hyperbola (red): features

수학(mathematics)에서, 쌍곡선(hyperbola, 복수형 hyperbolas 또는 hyperbolae)은, 그의 기하학적 특성 또는 그것의 해집합에 대해 방정식에 의해 정의되는, 평면에 놓이는 매끄러운(smooth) 곡선(plane curve)의 한 유형입니다. 쌍곡선은, 서로 사이에 대칭 이미지이고 두 개의 무한한 활(bows)을 닮은, 연결된 성분(connected component) 또는 가지라고 불리는, 두 조각을 가집니다. 쌍곡선은, 평면(plane)과 이중 원뿔(cone)의 교차점에 의해 형성되는, 원뿔 단면(conic section)의 세 종류 중 하나입니다. (다른 원뿔 단면은 포물선(parabola)과 타원(ellipse)입니다. 원(circle)은 타원의 특별한 경우입니다.) 만약 그 평면이 이중 원뿔의 양쪽 반쪽을 교차하지만 원뿔의 꼭대기을 통과하지 않으면, 원뿔 단면은 쌍곡선입니다.

쌍곡선은 많은 방법으로 발생합니다:

• 데카르트 평면(Cartesian plane)에서 함수 $f(x)=1/x$를 나타내는 곡선으로,
• 해시계(sundial)의 끝의 그림자를 뒤따른 경로로,
• 행성의 중력 도움(gravity assist)된 흔들거리는 우주선(spacecraft)의 궤도 또는, 보다 일반적으로, 가장-가까운 행성의 탈출 속도(escape velocity)를 초과하는 임의의 우주선의 궤도와 같은, (닫힌 타원 궤도와 구별되는) 열린 궤도(open orbit)의 모양으로,
• (너무 빨리 태양계로 돌아가기 위해서 여행하는 혜성) 단일-환영 혜성(comet)의 경로로,
• 아원자 입자(subatomic particle)의 산란 궤적(scattering trajectory)으로 (끄는 힘 대신에 미는 힘에 작용하지만 원리는 같습니다),
• 라디오 항법(radio navigation)에서, 거리 자체가 아니지만, 두 점까지의 거리 사이의 차이가 결정될 수 있을 때,

기타 등등.

쌍곡선의 각 가지(branch)는 쌍곡선의 중심으로부터 (더 낮은 곡률) 더 곧게 뻗어나가는 두 개의 팔을 가집니다. 대각선으로 반대편에 있는 팔은, 각 가지에서 한 개씩 나오는데, 그들 두 팔의 점근선(asymptote)이라고 불리는, 공통된 직선에 대한 극한으로 향합니다. 그래서 두 개의 점근선이 있는데, 그 교차점은 쌍곡선의 대칭(symmetry)의 중심에 있으며, 이것은 각 가지가 다른 가지를 형성하기 위해 반사하는 것에 대한 거울 점으로 생각될 수 있습니다. 곡선 $f(x)=1/x$의 경우에서, 점근선은 두 좌표 축(coordinate axes)입니다.

쌍곡선은 이심률(eccentricity), 초점(focus), 및 방향선(directrix)과 같은 많은 타원의 해석적 속성을 공유합니다. 전형적으로 상응은 어떤 항에서 부호의 변화만으로 만들어질 수 있습니다. 많은 다른 수학적 대상(mathematical object)은, 쌍곡형 포물면체(hyperbolic paraboloid) (안장 표면), 쌍곡면체(hyperboloid) ("쓰레기통"), 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry) (로바쳅스키(Lobachevsky)의 유명한 비-유클리드 기하학(non-Euclidean geometry)), 쌍곡선 함수(hyperbolic function) (sinh, cosh, tanh, 등.), 및 자이로벡터 공간(gyrovector space) (유클리드(Euclidean geometry)가 아닌 상대성(relativity)과 양자 역학(quantum mechanics) 둘 다에서 사용에 대해 제안된 기하학)과 같은, 쌍곡선에서 그들의 기원을 가집니다.

Etymology and history

단어 "hyperbola"는, "지나치게-던져진"를 의미하는, 그리스어(Greek) ὑπερβολή에서 파생된 것으로, 또는 영어로부터, "과도한"을 의미하는, 용어 hyperbole 역시 파생됩니다. 쌍곡선은 정육면체 두 배(doubling the cube)의 문제의 조사에서 메나이크모스(Menaechmus)에 의해 발견되었지만, 그 때에는 둔각 원뿔의 단면으로 불렸습니다. 용어 쌍곡선은 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga) (기원전 c. 262–c. 190)에 의해 원뿔 단면(conic section)의 결정적인 연구, Conics에서 만들어낸 것으로 믿어집니다. 다른 두 일반적인 원뿔 단면의 이름, 타원(ellipse) 및 포물선(parabola)은 "부족한" 및 "적용된"이라는 해당 그리스어 단어에서 파생됩니다; 모든 세 이름은 초기 피타고라스 용어에서 빌려온 것으로 주어진 선분과 함께 고정된 넓이의 직사각형의 변의 비교를 참조했습니다. 직사각형은 부분에 (같은 길이를 가짐을 의미하는) "적용될" 수 있는 것, 부분보다 더 짧은 것 또는 부분보다 더 큰 것일 수 있습니다.

Definition of a hyperbola as locus of points

Hyperbola: definition by the distances of points to two fixed points (foci)

Hyperbola: definition with circular directrix

쌍곡선은 유클리드 평면에서 점의 집합 (점의 자취(locus of points))로 기하학적으로 정의될 수 있습니다.

쌍곡선은, 점의 집합으로써, 그 집합의 임의의 점 $P$에 대해 다음을 만족합니다: 고정된 점 $F_{1},F_{2}$ (초점)에 대한 거리 $|PF_{1}|,\ |PF_{2}|$의 차이의 절댓값이 상수이며, 보통 $2a,\ a>0\$로 표시됩니다:

$H=\{P\mid ||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a\}\ .$

초점이 결합되는 선분의 중점 $M$은 쌍곡선의 중심으로 불립니다. 초점을 통과하는 직선은 주요 축으로 불립니다. 그것은 꼭짓점 $V_{1},V_{2}$를 포함하며, 꼭짓점은 중심에서 거리 $a$를 가집니다. 중심에 대한 초점의 거리 $c$는 초점 거리 또는 선형 이심률로 불립니다. 몫 ${\tfrac {c}{a}}$은 이심률 $e$입니다.

방정식 $||PF_{2}|-|PF_{1}||=2a$는 다른 방법으로 보일 수 있습니다 (그림을 참조하십시오):
만약 $c_{2}$가 중심 $F_{2}$ 와 반지름 $2a$를 가진 원이며, 원 $c_{2}$에 대한 오른쪽 가지의 점 $P$의 거리는 초점 $F_{1}$에 대한 거리와 같습니다:

$|PF_{1}|=|Pc_{2}|.$

$c_{2}$는 쌍곡선의 (초점 $F_{2}$에 관련된) 원형 방향선(circular directrix)으로 불립니다. 포물선의 왼쪽 가지를 얻기 위해, 우리는 $F_{1}$에 관련된 원형 방향선을 사용해야 합니다. 이 속성은 아래의 방향선 (직선)의 도움과 함께 쌍곡선의 정의와 혼동되어서는 안됩니다.

Hyperbola in Cartesian coordinates

Equation

만약 데카르트 좌표가, 원점이 쌍곡선의 중심이고 x-축이 주요 축을 만족하는 것으로 도입되면, 쌍곡선은 동쪽-서쪽-열린(east-west-opening) 것으로 불리고,

초점은 점 $F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)$이고,

꼭짓점은 $V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)$입니다.

임의의 점 $(x,y)$에 대해, 초점 $(c,0)$에 대한 거리는 ${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$이고 두 번째 초점에 대해 ${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$입니다. 그러므로 점 $(x,y)$이, 만약 다음 조건이 달성되면, 쌍곡선 위에 있습니다:

${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ .$

쌍곡선의 방정식을 얻기 위해, 적절한 제곱에 의해 제곱근을 제거하고 관계 $b^{2}=c^{2}-a^{2}$를 사용하십시오:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .$

이 방정식은 쌍곡선의 정식 형식(canonical form)으로 불리는데, 왜냐하면 임의의 쌍곡선은, 데카르트 축에 대한 방향에 관계없이 및 그의 중심의 위치에 관계없이, 변수의 변경에 의해 이 형식으로 변형될 수 있기 때문에, 원래와 일치(congruent)하는 쌍곡선을 제공합니다 (아래(below)를 참조하십시오).

대칭(symmetry)의 축 또는 주축(principal axes)은 (꼭짓점에서 끝점을 가진 길이 2a의 선분을 포함하는) 횡단 축(transverse axis) 및 (횡단 축에 직각이고 쌍곡선의 중심에서 중점을 가진 길이 2b의 선분을 포함하는) 켤레 축(conjugate axis)입니다. 타원과 달리, 쌍곡선은 오직 두 꼭짓점: $(a,0),\;(-a,0)$을 가집니다. 켤레 축 위의 두 점 $(0,b),\;(0,-b)$은 쌍곡선 위에 있지 않습니다.

그것은 방정식으로부터 따르는데, 쌍곡선은 좌표 축의 둘 다에 관한 대칭이고 그러므로 원점에 관한 대칭입니다.

Eccentricity

쌍곡선에 대해 위의 정식 형식에서, 이심률(eccentricity)은 다음으로 제공됩니다:

${\textstyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$

두 쌍곡선은 서로에게 기하학적으로 닮은(geometrically similar) 것과 – 그들은 같은 모양을 가지므로, 하나는 강성 왼쪽과 오른쪽 이동(rigid left and right movements), 회전(rotation), 거울 이미지를 취하는 것(taking a mirror image), 및 스케일링 (확대)에 의해 다른 것으로 변환될 수 있음을 의미합니다 – 그들이 같은 이심률을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.

Asymptotes

Hyperbola: semi-axes a,b, linear eccentricity c, semi latus rectum p

Hyperbola: 3 properties

쌍곡선의 (위의) 방정식을 $y$에 대해 풀면 다음을 산출합니다:

$y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}.$

그것은 이것으로부터 따르는데 쌍곡선은, $|x|$의 큰 값에 대해, 다음 두 직선에 접근합니다:

$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

이들 두 직선은 중심 (원점)에서 교차하고 쌍곡선 ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\$의 점근선(asymptotes)으로 불립니다.

두 번째 그림의 도움과 함께 우리는 다음임을 알 수 있습니다:

${\color {blue}{(1)}}$ 초점으로부터 두 점근선까지 수직 거리는 $b$입니다 (반-보조 축).

쌍곡선의 헤세 법선 형식(Hesse normal form) ${\tfrac {bx\pm ay}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0$ 및 쌍곡선의 방정식으로부터, 우리는 다음을 얻습니다:

${\color {magenta}{(2)}}$ 쌍곡선 위의 한 점으로부터 두 점근선까지 거리의 곱은 상수 ${\tfrac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\$이며, 이것은 $\left({\tfrac {b}{e}}\right)^{2}$로 이심률 e에 관해 역시 쓸 수 있습니다.

(위의) 쌍곡선의 방정식 $y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$으로부터, 우리는 다음을 도출할 수 있습니다:

${\color {green}{(3)}}$ 한 점 P로부터 두 꼭짓점까지 직선의 기울기의 곱은 상수 $b^{2}/a^{2}\$입니다.

게다가, 위의 (2)로부터, 그것은 다음임을 보일 수 있습니다:

${\color {red}{(4)}}$ 쌍곡선 위의 한 점으로부터 점근선에 평행한 직선을 따라 점근선까지 거리의 곱은 상수 ${\tfrac {a^{2}+b^{2}}{4}}$입니다.

Semi-latus rectum

쌍곡선의 주요 축에 수직, 초점의 하나를 통과하는 현의 길이는 래투스 렉텀이라고 불립니다. 그것의 절반은 반-래투스 렉텀 $p$입니다. 계산은 다음을 보입니다:

$p={\frac {b^{2}}{a}}.$

반-래투스 렉텀 $p$는 꼭짓점에서 진동하는 원(osculating circle)의 곡률의 반지름(radius of curvature)으로 역시 보일 수 있습니다.

Tangent

점 $(x_{0},y_{0})$에서 접선의 방정식을 결정하기 위한 가장-간단한 방법은 쌍곡선의 방정식 ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$을 암시적으로 미분(implicitly differentiate)하는 것입니다. dy/dx를 y′로 나타내면, 이것은 다음을 생산합니다:

${\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \Rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \Rightarrow \ y={\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.$

${\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$에 관해, 점 $(x_{0},y_{0})$에서 접선의 방정식은 다음입니다:

${\frac {x_{0}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1.$

특별한 접선은 다른 원뿔 단면으로부터 쌍곡선을 구별합니다. f를 (두 쌍곡선과 두 초점을 통과하는 그의 축 위에) 꼭짓점 V로부터 더 가까운 초점까지 거리로 놓습니다. 그런-다음, 그 축에 수직인 직선을 따라, 그 초점으로부터 쌍곡선 위의 한 점 P까지 거리는 2f보다 큽니다. P에서 쌍곡선의 접선은 45°보다 큰 각도 ∠PQV에서 점 Q에 축과 교차합니다.

Rectangular hyperbola

경우 $a=b$에서 쌍곡선은 직교(rectangular) (또는 등변(equilateral))으로 불리는데, 왜냐하면 그의 점근선은 직교적으로 교차합니다 (즉, 수직입니다). 이 경우에 대해, 선형 이심률은 $c={\sqrt {2}}a$, 이심률 $e={\sqrt {2}}$ 및 반-래투스 렉텀 $p=a$입니다.

Parametric representation with hyperbolic sine/cosine

쌍곡 사인 및 코사인 함수(hyperbolic sine and cosine functions) $\cosh ,\sinh$를 사용하면, 쌍곡선 ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$의 매개-변수 표현은 획득되어지며, 이것은 타원의 매개-변수 표현과 비슷합니다:

$(\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} \ ,$

이것은 $\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1$이기 때문에 데카르트 방정식을 만족시킵니다.

추가 매개-변수 표현은 아래의 섹션 매개-변수 방정식(Parametric equations)에서 제공됩니다.

Here a = b = 1 giving the unit hyperbola in blue and its conjugate hyperbola in green, sharing the same red asymptotes.

Conjugate hyperbola

켤레 쌍곡선(conjugate hyperbola)의 방정식을 얻기 위해 $x$ 및 $y$를 서로 바꾸십시오 (그림을 참조하십시오).

${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1\ ,$ 역시 다음으로 쓰입니다:

${\frac {x^{2}}{b^{2}}}-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=-1\ .$

Hyperbolic functions

Main article: Hyperbolic functions

A ray through the unit hyperbola $x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ at the point $(\cosh \,a,\,\sinh \,a)$, where $a$ is twice the area between the ray, the hyperbola, and the $x$-axis. For points on the hyperbola below the $x$-axis, the area is considered negative.

삼각 함수(trigonometric function)가 단위 원(unit circle)의 관점에서 정의된 것처럼, 쌍곡선 함수(hyperbolic function) 역시, 이 그림에 표시된 것처럼, 단위 쌍곡선(unit hyperbola)의 관점에서 정의됩니다. 단위 원에서, (라디안에서) 각도는 해당 각도가 속하는 원형 부채꼴(circular sector)의 영역의 두 배와 같습니다. 유사한 쌍곡선 각도(hyperbolic angle)는 쌍곡형 부채꼴(hyperbolic sector)의 영역의 두 배로 마찬가지로 정의됩니다.

$a$를 $x$-축과 단위 쌍곡선과 교차하는 원점을 통과하는 반직선 사이의 두 배 넓이로 놓고, 교점의 좌표로 ${\textstyle (x,y)=(\cosh a,\sinh a)=(x,{\sqrt {x^{2}-1}})}$를 정의합니다. 그런-다음 쌍곡선 부채꼴의 넓이는 $(1,0)$에서 꼭짓점을 지나는 곡선 영역을 뺀 것입니다:

${\begin{aligned}{\frac {a}{2}}&={\frac {xy}{2}}-\displaystyle \int _{1}^{x}{\sqrt {t^{2}-1}}\,dt\\&={\frac {x{\sqrt {x^{2}-1}}}{2}}-{\frac {x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}{2}},\end{aligned}}$

이것은 쌍곡 코사인의 넓이(area hyperbolic cosine)를 단순화한 것입니다:

$a=\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right).$

$x$에 대해 풀면 쌍곡 코사인의 지수 형식을 산출합니다:

$x=\cosh a={\frac {e^{a}+e^{-a}}{2}}.$

$x^{2}-y^{2}=1$로부터 우리는 다음을 얻습니다:

$y=\sinh a={\sqrt {\cosh ^{2}a-1}}={\frac {e^{a}-e^{-a}}{2}},$

그리고 그의 역 쌍곡 사인의 넓이(area hyperbolic sine)는 다음입니다:

$a=\operatorname {arsinh} y=\ln \left(y+{\sqrt {y^{2}+1}}\right).$

다른 쌍곡선 함수는 쌍곡 코사인 및 쌍곡 사인에 따라 정의되므로, 예를 들어,

$\operatorname {tanh} a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {e^{2a}-1}{e^{2a}+1}}.$

Hyperbola with equation y = A/x

Rotating the coordinate system in order to describe a rectangular hyperbola as graph of a function

Three rectangular hyperbolas $y=A/x$ with the coordinate axes as asymptotes
red: A = 1; magenta: A = 4; blue: A = 9

만약 xy-좌표 시스템이 각도 $-45^{\circ }$로 원점을 중심으로 회전(rotated)되고 새로운 좌표 $\xi ,\eta$가 할당되면, $x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}$입니다.
직교 쌍곡선 ${\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1$ (그의 반-축은 같습니다)은 새로운 방정식 ${\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1$을 가집니다. $\eta$에 대해 풀면 $\eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\$을 산출합니다.

따라서, xy-좌표 시스템에서 다음 방정식과 함께 함수 $f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;$의 그래프는

$y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,$ 다음과 함께 첫 번째와 세 번째 사분면(quadrant)에서 전적으로 직교 쌍곡선(rectangular hyperbola)입니다.

• 점근선으로 좌표 축,
• 주요 축으로 직선 $y=x$,
• 중심 $(0,0)$이고 반-축 $a=b={\sqrt {2A}}\;,$
• 꼭짓점 $\left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,$
• 꼭짓점 $p=a={\sqrt {2A}}\;$에서 반-래투스 렉텀 및 곡률의 반지름,
• 선형 이심률 $c=2{\sqrt {A}}$ 및 이심률 $e={\sqrt {2}}\;,$
• $(x_{0},A/x_{0})\;$에서 접선 $y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}$.

$+45^{\circ }$에 의한 원래 쌍곡선의 회전은 같은 점근선, 중심, 반-래투스 렉점, 꼭짓점에서 곡률의 반지름, 선형 이심률, 및 다음 방정식을 갖는, $-45^{\circ }$ 회전의 경우와 같은 이심률과 함께, 두 번째와 네 번째 사분면에서 전적으로 직교 쌍곡선으로 나타납니다:

$y={\frac {-A}{x}}\;,A>0\;,$

• 반-축 $a=b={\sqrt {2A}}\;,$
• 주요 축으로 직선 $y=-x$,
• 꼭짓점 $\left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.$

방정식 $y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\$을 가진 쌍곡선을 새로운 중심이 $(c_{0},d_{0})$가 되도록 이동하면, 다음 새로운 방정식을 산출합니다:

$y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,$

그리고 새로운 점근선은 $x=c_{0}$ 및 $y=d_{0}$입니다.
모양 매개-변수 $a,b,p,c,e$는 바뀌지 않은 채로 남습니다.

Definition of a hyperbola by the directrix property

Hyperbola: directrix property

Hyperbola: definition with directrix property

거리 ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$ 및 보조 축에 평행한 두 직선은 쌍곡선의 방향선(directrices)이라고 불립니다 (그림을 참조하십시오).

쌍곡선의 임의의 점 $P$에 대해, 한 초점에 대한 거리와 대응하는 방향선에 대한 거리의 몫은 이심률과 같습니다 (그림을 참조하십시오):

${\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\ .$

쌍 $F_{1},l_{1}$에 대해 증명은 $|PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}$ 및 $y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}$은 다음 방정식을 만족시킨다는 사실로부터 따릅니다:

$|PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .$

두 번째 경우는 유사하게 입증됩니다.

Pencil of conics with a common vertex and common semi latus rectum

역 명제는 역시 참이고 (쌍곡선의 정의와 유사한 방식으로) 쌍곡선을 정의하기 위해 사용될 수 있습니다:

임의의 점 $F$ (초점), $F$를 통과하지 않는 임의의 직선 $l$ (방향선) 및 $e>1$와 함께 임의의 실수 $e$에 대해, 그 점과 그 직선에 대한 거리의 몫이 $e$인 것에 대해:

$H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}$

는 쌍곡선입니다.

(선택 $e=1$는 포물선(parabola)을 산출하고 만약 $e<1$이면 타원(ellipse)입니다.)

증명

$F=(f,0),\ e>0$로 놓고 $(0,0)$은 곡선 위의 점으로 가정합니다. 방향선 $l$가 방정식 $x=-{\tfrac {f}{e}}$을 가집니다. $P=(x,y)$와 함께, 관계 $|PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}$는 다음 방정식을 산출합니다:

$(x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}$ and $x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.$

치환 $p=f(1+e)$은 다음을 산출합니다:

$x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.$

이것은 타원 ($e<1$) 또는 포물선 ($e=1$) 또는 쌍곡선 ($e>1$)의 방정식입니다. 이들 비-퇴화 원뿔형의 모두는, 공통으로, 꼭짓점으로 원점을 가집니다 (그림을 참조하십시오).

만약 $e>1$이면, 새로운 매개변수 $a,b$를 도임함으로써, $e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}$, 그리고 그때에 방정식은 위와 같이 됩니다:

${\tfrac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,$

이것은 중심 $(-a,0)$, 주요 축으로 x-축 및 주요/보조 반-축 $a,b$를 가진 쌍곡선의 방정식입니다.

Hyperbola as plane section of a cone

Hyperbola (red): two views of a cone and two Dandelin spheres d₁, d₂

원뿔 위의 직선의 기울기보다 더 큰 기울기를 가진 꼭짓점을 통과하지 않는 평면에 의한 똑바른 이중 원뿔의 교차는 쌍곡선입니다 (그림을 참조하십시오: 빨간색 곡선). 쌍곡선의 정의하는 속성을 입증하기 위해 (위의 참조하십시오), 우리는 두 당들랭 구(Dandelin spheres) 구 $d_{1},d_{2}$를 사용하며, 그것은 원 $c_{1}$ , $c_{2}$ 따라 원뿔에 접하고 점 $F_{1}$ and $F_{2}$에서 평면 (쌍곡선)을 교차하는 구입니다. 그것은 $F_{1},F_{2}$는 쌍곡선의 초점임을 밝혀줍니다.

1. $P$를 교차하는 고선의 임의의 점으로 놓습니다.
2. $P$를 포함하는 원뿔의 생성선(generatrix)은 점 $A$에서 원 $c_{1}$ 및 점 $B$에서 원 $c_{2}$와 교차합니다.
3. 선분 ${\overline {PF_{1}}}$ 및 ${\overline {PA}}$는 구 $d_{1}$에 접하고, 그러므로, 같은 길이입니다.
4. 선분 ${\overline {PF_{2}}}$ 및 ${\overline {PB}}$는 구 $d_{2}$에 접하고, 그러므로, 같은 길이입니다.
5. 결과는 다음입니다: $|PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|$는 쌍곡선 점 $P$와 독립인데, 왜냐하면 점 $P$가 어디에 있든지, $A,B$는 원 $c_{1}$ , $c_{2}$ 위에 있어야 하고, 선분 $AB$는 꼭대기를 가로-질러야 하기 때문입니다. 그러므로, 점 $P$가 빨간색 곡선 (쌍곡선)을 따라 움직일 때, 선분 ${\overline {AB}}$는 그의 길이를 바꾸지 않고 꼭대기를 중심으로 단순히 회전합니다.

Pin and string construction

Hyperbola: Pin and string construction

초점과 원형 방향선에 의한 쌍곡선의 정의 (위를 참조하십시오)는 압정, 끈 및 직선자의 도움으로 그것의 호를 그리기 위해 사용될 수 있습니다:

(0) 초점 $F_{1},F_{2}$, 꼭짓점 $V_{1},V_{2}$ 및 원형 방향선의 하나, 예를 들어 $c_{2}$ (반지름 $2a$를 가진 원)를 선택하십시오
(1) 직선자는 $F_{2}$를 중심으로 자유롭게 회전하기 위해 점 $F_{2}$에 고정됩니다. 점 Point $B$는 거리 $2a$에 표시됩니다.
(2) 길이 $|AB|$를 가진 끈이 준비됩니다.
(3) 끈의 한 끝은 직선 위의 점 $A$에 압정으로 고정하며, 다른 끝은 점 $F_{1}$에 압정으로 고정됩니다.
(4) 연필을 쥐고 직선자의 끝에 끈이 팽팽해지도록 유지하십시오.
(5) 직선자를 $F_{2}$를 중심으로 회전시키면, 연필은 쌍곡선의 오른쪽 가지의 호를 그릴 것인데, 왜냐하면 $|PF_{1}|=|PB|$이기 때문입니다 (원형 방향선에 의한 쌍곡선의 정의를 참조하십시오).

The tangent bisects the angle between the lines to the foci

Hyperbola: the tangent bisects the lines through the foci

점 $P$에서 접선은 직선 ${\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}$ 사이의 각도를 이등분합니다.

증명

$L$를 초점 $F_{2}$에 대한 거리 $2a$를 가진 직선 ${\overline {PF_{2}}}$ 위의 점으로 놓습니다 (그림을 참조하십시오, 여기서 $a$는 쌍곡선의 반-주요 축입니다). 직선 $w$는 직선 ${\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}$ 사이의 각도의 이등분선입니다. $w$가 점 $P$에서 접선임을 입증하기 위해, 우리는 $P$와 다른 직선 $w$ 위의 임의의 점 $Q$는 쌍곡선 위에 절대 놓이지 않음을 검사합니다. 그러므로 $w$는 쌍곡선과 공통으로 오직 점 $P$를 가지고, 그러므로, 점 $P$에서 접선입니다.
그림 및 삼각형 부등식(triangle inequality)으로부터, 우리는 $|QF_{2}|<|LF_{2}|+|QL|=2a+|QF_{1}|$가 유지됨을 인식하며, 이것은 $|QF_{2}|-|QF_{1}|<2a$임을 의미합니다. 그러나 만약 $Q$가 쌍곡선의 점이 아니면, 차이는 $2a$일 것입니다.

Midpoints of parallel chords

Hyperbola: the midpoints of parallel chords lie on a line.

Hyperbola: the midpoint of a chord is the midpoint of the corresponding chord of the asymptotes.

쌍곡선의 평행 현의 중점은 중심을 통과하는 직선 위에 놓입니다 (그림을 참조하십시오).

임의의 현의 점은 쌍곡선의 다른 가지 위에 놓일 수 있습니다.

중점 위의 속성의 증명은 쌍곡선 $y=1/x$에 대해 가장 적합합니다. 임의의 쌍곡선은 쌍곡선 $y=1/x$의 아핀 이미지이고 (아래 섹션을 참조하십시오) 아핀 변환은 선분의 평행사변형과 중점을 보존하기 때문에, 속성은 모든 쌍곡선에 대해 참입니다:
쌍곡선 $y=1/x$의 두 점 $P=\left(x_{1},{\tfrac {1}{x_{1}}}\right),\ Q=\left(x_{2},{\tfrac {1}{x_{2}}}\right)$에 대해

현의 중점은 $M=\left({\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},\cdots \right)=\cdots ={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}\;\left(1,{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)\$입니다;

현의 기울기는 ${\frac {{\tfrac {1}{x_{2}}}-{\tfrac {1}{x_{1}}}}{x_{2}-x_{1}}}=\cdots =-{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\$입니다.

평행 현에 대해, 기울기는 상수이고 평행 현의 중점은 직선 $y={\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\;x\$위에 놓입니다.

결론: 현의 점 $P,Q$의 임의의 쌍에 대해, 쌍곡선의 중심을 통과하는 (고정된 점의 집합) 축을 갖는 비스듬한 반사(skew reflection)가 존재하며, 이것은 점 $P,Q$를 서로-바꾸고 쌍곡선 (전체로서)을 고정된 채로 남겨둡니다. 스기울어진 반사는 직선 $m$에 걸친 보통의 반사의 일반화이며, 여기서 모든 점-이미지 쌍은 $m$에 수직인 직선 위에 있습니다.

비스듬한 반사는 고정된 쌍곡선을 남기기 때문에, 점근선의 쌍은 역시 고정됩니다. 그러므로 현 $PQ$의 중점 $M$은 점근선 사이의 관련된 선분 ${\overline {P}}\,{\overline {Q}}$을 반으로 역시 나눕니다. 이것은 $|P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|$임을 의미합니다. 이 속성은 만약 점 $P$와 점근선이 주어지면 쌍곡선의 추가 점 $Q$를 구성에 대해 사용될 수 있습니다.

만약 현이 접선으로 퇴화하면, 접촉하는 점은 두 점근선 사이의 선분을 두 절반으로 나눕니다.

Steiner generation of a hyperbola

Hyperbola: Steiner generation

Hyperbola y = 1/x: Steiner generation

쌍곡선의 하나의 점을 구성하기 위해 다음 방법은 비-퇴화 원뿔 단면의 슈타이너 생성(Steiner generation of a non degenerate conic section)에 의존합니다:

두 점에서 $U,\,V$에서 직선 (각각, $U$와 $V$를 포함하는 모든 직선)의 두 연필(pencils) $B(U),\,B(V)$ 및 $B(U)$에서 $B(V)$ 위로의 원근이 아닌 투영 매핑 $\pi$가 주어지면, 대응하는 직선의 교차점은 비-퇴화 투영 원뿔 단면을 형성합니다.

쌍곡선 ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$의 점의 생성에 대해, 우리는 꼭짓점 $V_{1},V_{2}$에서 연필을 사용합니다. $P=(x_{0},y_{0})$를 쌍곡선의 점 및 $A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)$로 놓습니다. 선분 ${\overline {BP}}$은 n 개의 같은-간격 부분으로 나누고 이 나눗셈은 대각선 $AB$를 선분 ${\overline {AP}}$ 위의 방향으로 평행하게 투영됩니다 (그림을 참조하십시오). 평행 투영은 필요한 $V_{1}$ 및 $V_{2}$에서 연필 사이의 투영 매핑의 일부입니다. 임의의 두 관련된 직선 $S_{1}A_{i}$ 및 $S_{2}B_{i}$의 교점은 고유하게 정의된 쌍곡선의 점입니다.

주의: 부분-나눗셈은 더 많은 점을 얻기 위해 점 $A$ 및 $B$를 넘어서 확장될 수 있지만, 교차 점의 결정이 더 부-정확하게 될 것입니다. 더 나은 아이디어는 대칭으로 이미 구성된 점을 확장하는 것입니다 (애니메이션을 참조하십시오).

주의:

1. 슈타이너 생성은 타원 및 포물선에 대해 역시 존재합니다.
2. 슈타이너 생성은 때때로 평행사변형 방법으로 불리는데 왜냐하면 우리는 꼭짓점 이외의 다른 점을 사용할 수 있으며, 직사각형 대신에 평행사변형과 함께 시작하기 때문입니다.

Inscribed angles for hyperbolas y = a/(x − b) + c and the 3-point-form

Hyperbola: inscribed angle theorem

방정식 $y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0$을 가진 쌍곡선은 x- 및 y-좌표를 가진 세 점 $(x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})$에 의해 고유하게 결정됩니다. 모양 매개-변수 $a,b,c$를 결정하기 위해 간단한 방법은 쌍곡선에 대해 내접-각 정리를 사용합니다:

이 문맥에서 방정식 $y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0$을 가진 두 직선 사이의 각을 측정하기 위해, 우리는 다음 몫을 사용합니다:

${\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .$

원에 대해 내접된 각(inscribed angle) 정리와 유사하게 우리는 다음 정리를 얻습니다:

쌍곡선에 대해 내접하는 각 정리:

네 점 $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k$에 대해 (그림을 참조하십시오) 다음 명제는 참입니다:

네 점이 방정식 $y={\tfrac {a}{x-b}}+c$을 가진 쌍곡선 위에 있는 것과 $P_{3}$ 및 $P_{4}$에서 각도가 위의 측정의 의미에서 같은 것은 필요충분 조건입니다. 그것은 다음을 의미합니다:

${\frac {(y_{4}-y_{1})}{(x_{4}-x_{1})}}{\frac {(x_{4}-x_{2})}{(y_{4}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}$

(증명: 직접 계산. 만약 점이 쌍곡선 위에 있으면, 우리는 쌍곡선의 방정식이 $y=a/x$임을 가정할 수 있습니다.)

쌍곡선에 대해 내접된 각 정리의 결론은 다음입니다:

쌍곡선의 방정식의 3-점-형식:

3 점 $P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k$에 의해 결정된 쌍곡선의 방정식은, ${\color {red}y}$에 대해, 다음 방정식의 해입니다:

${\frac {({\color {red}y}-y_{1})}{({\color {green}x}-x_{1})}}{\frac {({\color {green}x}-x_{2})}{({\color {red}y}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}$.

Orthogonal tangents – orthoptic

Hyperbola with its orthoptic (magenta)

Main article: Orthoptic (geometry)

쌍곡선 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b$에 대해, 수직 접선의 교차 점은 원 circle $x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}$ 위에 놓입니다.
이 원은 주어진 쌍곡선의 직교-접선-자취(orthoptic)라고 불립니다.

그 접선은 쌍곡선의 다른 가지 위에 점에 속할 수 있습니다.

$a\leq b$의 경우에서, 직교 접선의 쌍이 없습니다.

Pole-polar relation for a hyperbola

Hyperbola: pole-polar relation

임의의 쌍곡선은 방정식 ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$에 의해 적절한 좌표 시스템에서 묘사될 수 있습니다. 쌍곡선의 점 $P_{0}=(x_{0},y_{0})$에서 접선의 방정식은 ${\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$입니다. 만약 우리가 점 $P_{0}=(x_{0},y_{0})$를 원점과 다른 임의의 점이 되는 것을 허용하면,

점 $P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)$은, 쌍곡선의 중심을 통과하지 않는, 직선 ${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$ 위로 매핑됩니다.

점과 직선 사이의 이 관계는 전단사(bijection)입니다.

역 함수(inverse function)는

직선 $y=mx+d,\ d\neq 0$을 점 $\left(-{\frac {ma^{2}}{d}},-{\frac {b^{2}}{d}}\right)$ 위로 매핑하고

직선 $x=c,\ c\neq 0$을 점 $\left({\frac {a^{2}}{c}},0\right)\$ 위로 매핑합니다.

원뿔형에 의해 생성된 점과 직선 사이의 그러한 관계는 극점-극선 관계(pole-polar relation) 또는 단지 극성(polarity)으로 불립니다. 극점은 그 점이고, 극선은 그 직선입니다. 극점과 극선(Pole and polar)을 참조하십시오.

계산에 의해 우리는 쌍곡선의 극점-극선 관계의 다음 속성을 검사합니다:

• 쌍곡선 위의 점 (극점)에 대해, 극선은 이 점에서 접선입니다 (그림을 참조하십시오: $P_{1},\ p_{1}$).
• 쌍곡선 밖의 극점 $P$에 대해, 쌍곡선과 함께 그의 극선의 교차 점은 $P$를 통과하는 두 접점의 접점입니다 (그림을 참조하십시오: $P_{2},\ p_{2},\ P_{3},\ p_{3}$).
• 쌍곡선 안의 점에 대해 극선은 쌍곡선과 공통으로 점을 가지지 않습니다. (그림을 참조하십시오: $P_{4},\ p_{4}$).

주의:

1. 두 극선의 교점 (예를 들어: $p_{2},p_{3}$)은 그들 극점을 통과하는 직선의 극점입니다 (여기서 $P_{2},P_{3}$).
2. 초점 $(c,0),$와 $(-c,0)$ 각각 및 방향선 $x={\tfrac {a^{2}}{c}}$와 $x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}$ 각각은 극점과 극선의 쌍에 속합니다.

극선-극점 관계는 타원과 포물선에 대해 역시 존재합니다.

Hyperbola as an affine image of the unit hyperbola x² − y² = 1

Hyperbola as an affine image of the unit hyperbola

쌍곡선의 또 다른 정의는 아핀 변한(affine transformation)을 사용합니다:

임의의 쌍곡선은 방정식 $x^{2}-y^{2}=1$을 가진 단위 쌍곡선의 아핀 이미지입니다.

매개-변수 표현

유클리드 평면의 아핀 변환은 형식 ${\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}$을 가지며, 여기서 $A$는 정규 행렬(matrix) (그의 행렬식(determinant)이 0이 아닙니다) 및 ${\vec {f}}_{0}$는 임의의 벡터입니다. 만약 ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$가 행렬 $A$의 열 벡터이고, 단위 쌍곡선 $(\pm \cosh(t),\sinh(t)),t\in \mathbb {R} ,$은 다음 쌍곡선 위로 매핑됩니다:

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\ .$

${\vec {f}}_{0}$는 중심, ${\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}$는 쌍곡선의 한 점 및 ${\vec {f}}_{2}$는 이 점에서 접 벡터입니다.

꼭짓점

일반적으로 벡터 ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$는 수직이 아닙니다. 그것은, 일반적으로, ${\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}$는 쌍곡선의 꼭짓점이 아니다라는 의미입니다. 그러나 ${\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}$는 점근선의 방향을 가리킵니다. 점 ${\vec {p}}(t)$에서 접 벡터는 다음입니다:

${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\ .$

벡터에서 접선은 쌍곡선의 주요 축에 수직이기 때문에, 우리는 다음 방정식으로부터 꼭짓점의 매개-변수 $t_{0}$를 얻습니다:

${\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\right)=0$

그러므로 다음으로부터

$\coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\ ,$

이것은 다음을 산출합니다:

$t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}{\left({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}}.$

(공식 $\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x,\ 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x,\ \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}$이 사용됩니다.)

쌍곡선의 두 꼭짓점은 ${\vec {f}}_{0}\pm \left({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}\right)$입니다.

암시적 표현

크라메르의 규칙(Cramer's rule)에 의한 $\;\cosh t,\sinh t\;$에 대해 매개-변수 표현을 풀고 $\;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;$를 사용하면, 우리는 암시적 표현을 얻습니다:

$\det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})^{2}=0$.

공간에서 쌍곡선

이 섹션에서 쌍곡선의 정의는, 심지어 공간에서, 만약 우리가 ${\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}$를 공간에서 벡터인 것으로 허용하면, 임의의 쌍곡선의 매개-변수 표현을 제공합니다.

Hyperbola as an affine image of the hyperbola y = 1/x

Hyperbola as affine image of y = 1/x

단위 쌍곡선 $x^{2}-y^{2}=1$은 쌍곡선 $y=1/x$과 아핀적으로 동등하기 때문에, 임의의 쌍곡선은 쌍곡선 $y=1/x\$의 아핀 이미지로 여길 수 있습니다 (이전 섹션을 참조하십시오):

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\ .$

$M:{\vec {f}}_{0}$은 쌍곡선의 중심이고, 벡터 ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$는 점근선의 방향을 가지고 ${\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}$는 쌍곡선의 한 점입니다. 접 벡터는 다음입니다:

${\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.$

꼭짓점에서, 접선은 주요 축에 직교합니다. 그러므로,

${\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0$

그리고 벡터의 매개-변수는 다음입니다:

$t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\tfrac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.$

$|{\vec {f}}_{1}|=|{\vec {f}}_{2}|$는 $t_{0}=\pm 1$와 동등하고 ${\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})$는 쌍곡선의 꼭짓점입니다.

Tangent construction

Tangent construction: asymptotes and P given → tangent

접 벡터는 다음 인수분해에 의해 다시-쓸 수 있습니다:

${\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .$

이것은 다음임을 의미합니다:

평행사변형 $M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}$의 대각선 $AB$는 쌍곡선 점 $P$에서 접선과 평행입니다 (그림을 참조하십시오).

이 속성은 쌍곡선 위의 한 점에서 접선을 구성하기 위한 한 방법을 제공합니다.

쌍곡선의 이 속성은 파스칼의 정리(Pascal's theorem)의 3-점-퇴화의 아핀 버전입니다.

회색 평행사변형의 넓이

위의 그림에서 회색 평행사변형 $MAPB$의 넓이는 다음입니다:

${\text{Area}}={\Big |}\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}={\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=\cdots ={\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}$

그러므로 점 $P$에 독립입니다. 마지막 방정식은 경우에 대해 계산으로부터 따르는데, 여기서 $P$는 꼭짓점이고 그의 정식 형식 ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\$에서 쌍곡선입니다.

Point construction

Point construction: asymptotes and P₁ are given → P₂

매개-변수 표현 ${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}$를 가진 쌍곡선에 대해 (단순화를 위해 중심은 원점입니다), 다음은 참입니다:

임의의 두 점 $P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}$에 대해 점

$A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}$

은 쌍곡선의 중심과 함께 같은-직선입니다 (그림을 참조하십시오).

간단한 증명은 방정식 ${\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}$의 결과입니다.

이 속성은 만약 점근선 및 한 점이 주어지면 쌍곡선의 점을 구성하기 위해 하나의 가능성을 제공합니다.

쌍곡선의 이 속성은 파스칼의 정리(Pascal's theorem)의 4-점-퇴화의 아핀 버전입니다.

Tangent-asymptotes-triangle

Hyperbola: tangent-asymptotes-triangle

단순화에 대해, 쌍곡선의 중심은 원점이 될 수 있고 벡터 ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$는 같은 길이를 가집니다. 만약 마지막 가정이 달성되지 않으면, 우리는 가정을 참으로 만들기 위해 (위를 참조하십시오) 먼저 매개-변수 변환을 적용할 수 있습니다. 그러므로 $\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})$는 꼭짓점이며, $\pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})$는 보조 축을 연장하고 우리는 $|{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a$ 및 $|{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b$을 얻습니다.

점근선과 함께 점 ${\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}$에서 접선의 교차에 대해, 우리는 다음 점을 얻습니다:

$C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.$

삼각형 $M,C,D$의 넓이(area)는 2x2-행렬식에 의해 계산될 수 있습니다:

$A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}$

(행렬식(determinant)에 대해 규칙을 참조하십시오). $|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})|$는 ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$에 의해 생성된 마름모의 넓이입니다. 마름모의 넓이는 그의 대각선의 곱의 절반과 같습니다. 대각선은 쌍곡선의 반-축 $a,b$입니다. 그러므로:

삼각형 $MCD$의 넓이는 쌍곡선의 점에 독립입니다: $A=ab.$

Polar coordinates

Hyperbola: Polar coordinates with pole = focus

Hyperbola: Polar coordinates with pole = center

극점 = 초점에 대해: 쌍곡선에 대해 가장 공통적으로 사용되는 극 좌표는, 첫 번째 그림에서 묘사된 것처럼, 초점에서 그의 원점 및 "정식 좌표 시스템"의 원점을 가리키는 데카르트 좌표 시스템에 대해 정의됩니다.
이 경우에서, 각도 $\varphi$는 참 이각(true anomaly)으로 불립니다.

이 좌표 시스템에 관하여, 우리는 다음을 가집니다:

$r={\frac {p}{1\mp e\cos \varphi }},\quad p={\tfrac {b^{2}}{a}}$

및

$-\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right).$

극점 = 중심에 대해:

"정식 좌표 시스템"에 대해 극 좌표와 함께 (두 번째 그림을 참조하십시오) 우리는 다음을 가집니다:

$r={\frac {b}{\sqrt {e^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}.\,$

쌍곡선의 오른쪽 가지에 대해, $\varphi$의 영역은 다음입니다:

$-\arccos \left({\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left({\frac {1}{e}}\right).$

Parametric equations

방정식 ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$을 가진 쌍곡선은 여러 매개-변수 방정식에 의해 묘사될 수 있습니다:

1: $\left\{{\begin{matrix}\quad \;x\,=\,\pm a\cosh t\\y\,=\,b\sinh t\end{matrix}}\right.\quad ,\ t\in \mathbb {R} \ .$

2: $\left\{{\begin{matrix}\quad \ x\,=\,\pm a\,{\tfrac {t^{2}+1}{2t}}\\y\,=\,b\,{\tfrac {t^{2}-1}{2t}}\end{matrix}}\right.\quad ,\ t>0\ .$ (유리(rational) 표현)

3: $\left\{{\begin{matrix}\quad \ x\,=\,{\frac {a}{\cos t}}=a\sec t\\y\,=\,\pm b\tan t\end{matrix}}\right.\ ,\quad 0\leq t<2\pi ;\;t\neq {\frac {\pi }{2}};\;t\neq {\frac {3}{2}}\pi \ .$

4: 매개-변수로 접선 기울기:

쌍곡선의 한 점에서 접선의 기울기 $m$을 사용하는 매개-변수 표현은 타원 경우와 유사하게 얻어질 수 있습니다: 타원의 경우에서 $b^{2}$을 $-b^{2}$으로 바꾸고 쌍곡선 함수(hyperbolic function)에 대해 공식을 사용합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

${\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}}\;,\;{\frac {-b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}}\right)\ ,\ |m|>b/a\ .$

${\vec {c}}_{-}$는 위의 것이고 ${\vec {c}}_{+}$는 쌍곡선의 아래 절반입니다. 수직 접선을 가진 점 (꼭짓점 $(\pm a,0)$)은 표현에 의해 덮어지지 않습니다.
점 ${\vec {c}}_{\pm }(m)$에서 접선의 방정식은 다음입니다:

$y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}.$

쌍곡선의 접선의 설명은 쌍곡선의 직교-접선-자취(orthoptic)의 결정에 대해 필수적인 도구입니다.

Other mathematical definitions

Reciprocation of a circle

원(circle) C에서 원 B의 역화(reciprocation)은 항상 쌍곡선과 같은 원뿔 단면을 생성합니다. "원 C에서 역화"의 과정은 기하학적 도형에서 모든 각 직선과 점을 각각 그들의 해당하는 극점과 극선(pole and polar)으로 대체하는 것으로 구성됩니다. 직선의 극점(pole)은 원 C에 가장-가까운 점의 역(inversion)이지만, 점의 극선은 반대(converse), 즉, C에 가장-가까운 점이 직선이 점의 역이 되는 직선입니다.

역화에 의해 얻어진 원뿔 단면의 이심률은 역화 원 C의 반지름 r에 대한 두 원의 중심 사이의 거리의 비율입니다. 만약 B와 C가 해당하는 원의 중심에서 점을 표현하면,

$e={\frac {\overline {BC}}{r}}.$

쌍곡선의 이심률은 항상 일보다 크기 때문에, 중심 B는 반드시 역화되는 원 C의 밖에 놓입니다.

이 정의는, 쌍곡선이 원 B에 대한 접선의 극점의 자취(locus)이고, 마찬가지로 B 위의 점들의 극선의 봉투(envelope)임을 의미합니다. 반대로, 원 B는 쌍곡선 위의 점들의 극선의 봉투이고, 쌍곡선에 대한 접선의 극점의 자취입니다. B에 대한 두 접선은 (유한한) 극점을 가지지 않는데 왜냐하면 그들은 역화 원 C의 중심 C를 통과하기 때문입니다; B 위의 해당하는 접점의 극선은 쌍곡선의 점근선입니다. 쌍곡선의 두 가지는 이들 접점에 의해 분리되는 점 B의 두 부분에 해당합니다.

Quadratic equation

쌍곡선은 평면(plane)에서 데카르트 좌표 (x, y)에서 이-차 방정식으로 역시 정의될 수 있습니다.

$A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,$

방정식은 상수 A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, 및 C가 다음 행렬식 조건을 만족시키는 것에서 제공됩니다:

$D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.\,$

이 행렬식은 전통적으로 원뿔 단면의 판별식(discriminant)으로 불립니다.

쌍곡선의 특별한 경우–두 교차하는 직선으로 구성되는 퇴화 쌍곡선(degenerate hyperbola)–는 또 다른 행렬식이 영일 때 발생합니다:

$\Delta :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.$

이 행렬식 Δ은 때때로 원뿔 단면의 판별식으로 불립니다.

데카르트 좌표에서 쌍곡선의 위의 일반적인 매개-변수화가 주어지면, 이심률은 Conic section#Eccentricity in terms of parameters of the quadratic form에서 공식을 사용하여 찾아질 수 있습니다.

쌍곡선의 중심 (x_c, y_c)은 다음 공식으로부터 결정될 수 있을 것입니다:

$x_{c}=-{\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}};$

$y_{c}=-{\frac {1}{D}}{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}.$

새로운 좌표, ξ = x − x_c 및 η = y − y_c의 관점에서, 쌍곡선의 정의 방정식은 다음으로 쓸 수 있습니다:

$A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.$

쌍곡선의 주축은 다음으로 주어지는 양의 x-축과 함께 각도 φ를 만듭니다:

$\tan 2\varphi ={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.$

x-축이 횡단-축과 정렬되도록 좌표 축을 회전하면 방정식을 정식 형식(canonical form)으로 이르게 합니다:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

주요 및 보조 보조 반축 a 및 b는 다음 방정식에 의해 정의됩니다:

$a^{2}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},$

$b^{2}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},$

여기서 λ₁ 및 λ₂는 다음 이차 방정식(quadratic equation)의 근(roots)입니다:

$\lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.$

비교를 위해, (두 교차하는 직선으로 구성되는) 퇴화 쌍곡선에 대해 해당하는 방정식은 다음입니다:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.$

쌍곡선 위의 주어진 점 (x₀, y₀)에 대한 접선은 다음 방정식에 의해 정의됩니다:

$Ex+Fy+G=0$

여기서 E, F 및 G는 다음으로 정의됩니다:

$E=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},$

$F=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},$

$G=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.$

같은 점에서 쌍곡선에 대한 법선(normal line)은 다음 방정식에 의해 제공됩니다:

$F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.$

법선은 접선에 수직이고, 둘 다는 같은 점 (x₀, y₀)을 통과합니다.

방정식으로부터

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,$

왼쪽 초점은 $(-ae,0)$이고 오른쪽 초점은 $(ae,0)$이고, 여기서 e는 이심률입니다. 점 (x, y)로부터 왼쪽 및 오른쪽 초점까지 거리를 $r_{1}\,\!$ 및 $r_{2}\,\!$로 표시합니다. 오른쪽 가지 위의 점에 대해,

$r_{1}-r_{2}=2a,\,\!$

그리고 왼쪽 가지 위의 점에 대해,

$r_{2}-r_{1}=2a.\,\!$

이것은 다음으로 입증될 수 있습니다:

만약 (x,y)가 쌍곡선 위의 점이면, 왼쪽 초점에 대한 거리는 다음입니다:

$r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.$

오른쪽 초점에 대한 거리는 다음입니다:

$r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.$

만약 (x,y)가 쌍곡선의 오른쪽 가지 위의 점이면, $ex>a\,\!$ 및

$r_{1}=ex+a,\,\!$

$r_{2}=ex-a.\,\!$

이들 방정식을 빼면, 우리는 다음을 얻습니다:

$r_{1}-r_{2}=2a.\,\!$

만약 (x,y)가 쌍곡선의 왼쪽 가지 위의 점이면, $ex<-a\,\!$ 및

$r_{1}=-ex-a,\,\!$

$r_{2}=-ex+a.\,\!$

이들 방정식을 빼면, 우리는 다음을 얻습니다:

$r_{2}-r_{1}=2a.\,\!$

Conic section analysis of the hyperbolic appearance of circles

Central projection of circles on a sphere: The center O of projection is inside the sphere, the image plane is red.
As images of the circles one gets a circle (magenta), ellipses, hyperbolas and lines. The special case of a parabola does not appear in this example.
(If center O were on the sphere, all images of the circles would be circles or lines; see stereographic projection).

원, 타원, 포물선, 및 쌍곡선에 대한 균등한 설명을 제공하는 것 외에도, 원뿔 단면은 보인 장면이 원, 또는 더 일반적으로 타원으로 구성된 경우에서 원근의 기하학의 자연스러운 모델로 역시 이해될 수 있습니다. 뷰어는 전형적으로 카메라 또는 사람의 눈이고 장면의 이미지는 이미지 평면 위로의 중심 투영(central projection), 즉 모든 투영 반직선이 고정된 점 O, 중심을 통과합니다. 렌즈 평면(lens plane)은 렌즈 O에서 이미지 평면에 평행한 평면입니다.

원 c의 이미지는 다음입니다:

a) 만약 원 c가 특별한 위치, 예를 들어 이미지 평면 및 다른 것에 평행이면 (스트레오 투영을 참조하십시오), 원,

b) 만약 c가 렌즈 평면과 공통으로 점을 가지지 않으면, 타원,

c) 만약 c가 렌즈 평면과 공통으로 하나의 점을 가지면, 포물선, 및

d) 만약 c가 렌즈 평면과 공통으로 두 점을 가지면, 쌍곡선.

(원 평면이 점 O를 포함하는 특별한 위치는 생략됩니다.)

이들 결과는, 만약 우리가 투영 프로세스가 두 단계: 원 c 및 점 O는, 이미지를 생성하기 위해, 1) 이미지 평면에 의해 잘려지는 2) 원뿔을 생성하는 것으로 인식되면, 이해될 수 있습니다.

우리는 우리의 렌즈 평면에 의해 잘리는 원의 일부의 장면을 잡을 때마다 쌍곡선이 보입니다. 보이는 가지의 팔을 거의 볼 수 없어서 두 번째 가지의 부재와 결합하여 인간 시각 시스템이 쌍곡선과의 연결을 인식하는 것은 사실상 불가능합니다.

두 번째 가지의 완전한 부재와 결합된, 눈에 보이는 가지의 팔을 많이 보기 위한 불가능은 인간 시각 시스템에 대해 쌍곡선과 연결을 인식하는 것이 사실상 불가능한 것으로 만듭니다.

Arc length

쌍곡선의 호 길이는 닫힌-형식 표현(closed-form expression)을 가지지 않습니다. 쌍곡선의 위쪽 절반은 다음으로 매개-변수화될 수 있습니다:

$y=b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.$

그런-다음 $x_{1}$에서 $x_{2}$까지 호 길이 $s$를 제공하는 적분은 수치적으로(numerically) 계산될 수 있습니다:

$s=b\int _{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1+\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sinh ^{2}v}}\,\mathrm {d} v.$

치환 $z=iv$을 사용한 후에, 이것은 매개변수 $m=k^{2}$를 가진 이차 종류의 타원 적분(elliptic integral)을 사용하여 역시 표현될 수 있습니다:

$s=-ib{\Biggr [}E\left(iz\,{\Biggr |}\,1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right){\Biggr ]}_{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}.$

Derived curves

Sinusoidal spirals (rⁿ = –1ⁿ cos(nθ), θ = π/2) in polar coordinates and their equivalents in rectangular coordinates:

  n = −2: Equilateral hyperbola

  n = −1: Line

  n = −1/2: Parabola

  n = 1/2: Cardioid

  n = 1: Circle

  n = 2: Lemniscate of Bernoulli

여러 다른 곡선은 역(inversion), 소위 쌍곡선의 역 곡선(inverse curve)에 의해 쌍곡선으로부터 도출될 수 있습니다. 만약 역의 중심이 쌍곡선의 자체 중심으로 선택되면, 역 곡선은 베르누이의 렘니스케이트(lemniscate of Bernoulli)입니다; 렘니스케이트는 역시 직교 쌍곡선 위에 중심으로 둔 원점을 통과하는 원의 봉투입니다. 만약 역의 중심이 쌍곡선의 초점 또는 꼭짓점에서 선택되면, 결과 역 곡선은 각각 리머슨(limaçon) 또는 스트로포이드(strophoid)입니다.

Elliptic coordinates

공-초점 쌍곡선의 가족은 이차원에서 타원 좌표(elliptic coordinates)의 시스템의 기초입니다. 이들 쌍곡선은 다음 방정식으로 묘사됩니다:

$\left({\frac {x}{c\cos \theta }}\right)^{2}-\left({\frac {y}{c\sin \theta }}\right)^{2}=1$

여기서 초점은 x-축 위에 원점으로부터 거리 c에 위치되고, θ는 x-축과 함께 점근선의 각도입니다. 이 가족에서 모든 각 쌍곡선은 같은 초점을 공유하는 모든 각 타원에 직교합니다. 이 직교성은 데카르트 좌표 시스템 w = z + 1/z의 등각 맵(conformal map)으로 보일 수 있을 것이며, 여기서 z= x + iy는 원래 데카르트 좌표이고, w=u + iv는 변환 후의 그들입니다.

쌍곡선을 포함하는 다른 직교 이-차원 좌표 시스템은 다른 등각 매핑에 의해 획득될 수 있을 것입니다. 예를 들어, 매핑 w = z²은 데카르트 좌표 시스템을 직교 쌍곡선의 두 가족으로 변환합니다.

Other properties of hyperbolas

• 다음은 공점(concurrent)입니다: (1) 쌍곡선의 초점을 통과하고 쌍곡선의 중심에 중심을 둔 원; (2) 꼭짓점에서 쌍곡선에 접하는 직선 중 하나; 및 (3) 쌍곡선의 점근선 중 하나.
• 다음 역시 일치입니다: (1) 쌍곡선의 중심에 중심을 두고 쌍곡선의 꼭짓점을 통과하는 원; (2) 방향선 중 하나; 및 (3) 점근선 중 하나.

Applications

Hyperbolas as declination lines on a sundial

Sundials

쌍곡선은 많은 해시계(sundial)에서 보일 수 있습니다. 어느 날이든, 해는 천체의 구(celestial sphere) 위의 원에서 회전하고, 해시계 위의 점에 부딪치는 그의 반직선은 빛의 원뿔을 추적합니다. 이 원뿔과 지면의 수평 평면의 교차는 원뿔 단면을 형성합니다. 대부분의 위도 및 최대 1년 동안, 이 원뿔 단면은 쌍곡선입니다. 실제 용어에서, 극 끝의 그림자는 하루 동안 지면 위에 쌍곡선을 추적합니다 (이 경로는 각-거리 직선(declination line)으로 불립니다). 이 쌍곡선의 모양은 지리적 위도 및 일년의 시간에 따라 변하는데, 왜냐하면 그들 요인은 수평선에 관한 태양의 반직선 원뿔에 영향을 미치기 때문입니다. 주어진 장소에서 일년 내내 그러한 쌍곡선의 모음은 그리스인에 의해 펠레키논(pelekinon)이라고 불렀는데, 왜냐하면 그것은 이중-날 도끼와 닮았기 때문입니다.

Multilateration

쌍곡선은 다변측정(multilateration) 문제, 주어진 점들에 대한 그의 거리에서 차이로부터 하나의 점을 찾는 임무 – 또는, 동등하게, 그 점과 주어진 점들 사이의 동기화된 신호의 도착 시간에서 차이를 해결하기 위한 기초입니다. 그러한 문제는 항해, 특히 물 위에서 중요합니다; 배는 LORAN 또는 GPS 송신기로부터 신호의 도착 시간에서 차이로부터 그의 위치를 찾을 수 있습니다. 반대로, 귀환 신호 또는 임의의 송신기는 두 개의 분리된 수신 국에서 그의 신호의 도착 시간을 비교함으로써 찾아질 수 있습니다; 그러한 기술은 물체와 사람을 추적하기 위해 사용될 수 있습니다. 특히, 두 주어진 점으로부터 2a의 거리 차이를 가지는 하나의 점의 가능한 위치의 집합은 초점이 두 주어진 점인 꼭짓점 분리 2a의 쌍곡선입니다.

Path followed by a particle

고전적인 케플러 문제(Kepler problem)에서 임의의 입자가 따라가는 경로는 원뿔 단면(conic section)입니다. 특히, 입자의 총 에너지 E가 영보다 크면 (즉, 입자가 결합되지 않으면), 그러한 입자의 경로는 쌍곡선입니다. 이 속성은 고에너지 입자를 산란시킴으로써 원자 및 아-원자력을 연구하는 데 유용합니다; 예를 들어, 러더퍼드 실험(Rutherford experiment)은 금(gold) 원자로부터 알파 입자(alpha particles)의 산란을 조사함으로써 원자핵(atomic nucleus)의 존재를 시연했습니다. 좁은-영역 핵 상호 작용을 무시하면, 원자핵과 알파 입자는 반발하는 쿨롱 힘(Coulomb force)에 의해서만 상호 작용하며, 이는 케플러 문제에 대해 역제곱 법칙(inverse square law) 요구 사항을 만족시킵니다.

Korteweg–de Vries equation

쌍곡선 트리그 삼각 함수 $\operatorname {sech} \,x$는 코르테버흐–더 프리스 방정식(Korteweg–de Vries equation)에 대한 하나의 해로 나타나며, 그것은 운하에서 솔리톤 파동의 운동을 묘사합니다.

Angle trisection

Trisecting an angle (AOB) using a hyperbola of eccentricity 2 (yellow curve)

페르가의 아롤로니우스(Apollonius of Perga)에 의해 처음으로 보인 것처럼, 쌍곡선은 기하학의 잘 연구된 문제 중 하나, 임의의 각도의 삼등분(trisect any angle)에 사용될 수 있습니다. 각도가 주어지면, 먼저 꼭짓점 Q에 중심을 둔 원을 그리는데, 그것은 점 A와 B에서 각도의 변과 교차합니다. 다음으로 끝점 A와 B를 가진 선분 및 그의 수직 이등분선 $\ell$을 그립니다. 방향선(directrix)으로 $\ell$ 및 초점으로 B를 가진 이심률(eccentricity) e=2의 쌍곡선을 구성합니다. P를 원과 쌍곡선의 (위쪽) 교차로 놓습니다. 각도 POB는 각도 AOB를 삼등분으로 나눕니다.

이것을 입증하기 위해, P의 이미지로 점 P'를 획득하는 직선 $\ell$에 대한 선분 OP를 반사합니다. 선분 AP는 반사에 의해 선분 BP와 길이가 같고, 반면에 선분 AP'는 쌍곡선의 이심률에 의해 선분 BP와 길이가 같습니다. OA, OP', OP 및 OB는 같은 원의 반지름이므로 (그래서, 같은 길이를 가집니다), 삼각형 OAP', OPP' 및 OPB은 합동입니다. 그러므로, 각도는 삼등분되는데, 왜냐하면 3×POB = AOB이기 때문입니다.

Efficient portfolio frontier

포트폴리오 이론(portfolio theory)에서, 평균-분산 효율적인(mean-variance efficient) 포트폴리오의 자취 (효율적인 프론티어라고 부르는)는 수평으로 그려진 포트폴리오의 표준 편차 및 수직으로 그려진 그의 기댓값으로 그려진 쌍곡선의 동쪽-열린 가지의 위쪽 절반입니다; 이 이론에 따르면, 모든 합리적인 투자자들은 이 자취 위의 특정 점을 특징으로하는 포트폴리오를 선택할 것입니다.

Biochemistry

생화학(biochemistry) 및 약리학(pharmacology)에서, 힐 방정식(Hill equation)과 힐-랭뮤어 방정식(Hill-Langmuir equation)은 각각 생물학적 반응(responses)과 리간드 농도의 함수로 단백질–리간드 복합체(protein–ligand complex)의 형성을 묘사합니다. 그들은 둘 다 직교 쌍곡선입니다.

Hyperbolas as plane sections of quadrics

쌍곡선은 다음 이차 초곡면(quadric)의 평면 단면으로 나타납니다:

• Elliptic cone
• Hyperbolic cylinder
• Hyperbolic paraboloid
• Hyperboloid of one sheet
• Hyperboloid of two sheets

• 
  Elliptic cone
• 
  Hyperbolic cylinder
• 
  Hyperbolic paraboloid
• 
  Hyperboloid of one sheet
• 
  Hyperboloid of two sheets

See also

Other conic sections

• Circle
• Ellipse
• Parabola
• Degenerate conic

Other related topics

• Elliptic coordinates, an orthogonal coordinate system based on families of ellipses and hyperbolas.
• Hyperbolic growth
• Hyperbolic partial differential equation
• Hyperbolic sector
• Hyperbolic structure
• Hyperbolic trajectory
• Hyperboloid
• Multilateration
• Rotation of axes
• Translation of axes
• Unit hyperbola

References

• Kazarinoff, Nicholas D. (2003), Ruler and the Round, Mineola, N.Y.: Dover, ISBN 0-486-42515-0
• Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

External links

• "Hyperbola", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Apollonius' Derivation of the Hyperbola at Convergence
• Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, 1659
• "Unit hyperbola". PlanetMath.
• "Conic section". PlanetMath.
• "Conjugate hyperbola". PlanetMath.
• Weisstein, Eric W. "Hyperbola". MathWorld.