Algebraic equation

수학(mathematics)에서, 대수적 방정식(algebraic equation) 또는 다항 방정식(polynomial equation)은 다음 형식의 방정식(equation)입니다:

P=0

여기서 P는, 일부 필드(field), 종종 유리수(rational number)의 필드에서 계수(coefficient)를 갖는 다항식(polynomial)입니다. 대부분의 저자들에 대해, 대수 방정식은 일변수(univariate)이며, 이것은 오직 하나의 변수(variable)를 포함한다는 것을 의미합니다. 다른 한편으로, 다항 방정식은 여러 변수를 포함할 수 있으며, 이 경우에서 그것은 다변수(multivariate)라고 불리고 용어 다항 방정식(polynomial equation)은 보통 대수 방정식(algebraic equation)보다 선호됩니다.

예를 들어, 다음은 정수 계수를 가진 대수 방정식입니다:

x^{5}-3x+1=0

그리고 다음은 유리 계수를 가진 다변수 다항 방정식입니다:

y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}

.

유리 계수(rational coefficients)를 갖는 다항 방정식이 전부가 아닌 일부는, 오직 같은 유형의 계수를 포함하는 연산의 유한 숫자를 사용하는 것으로 찾아질 수 있는 대수적 표현(algebraic expression)의 해를 가집니다 (즉, 대수적으로 풀 수 있습니다). 이것은 일, 이, 삼 또는 사차의 모든 그런 방정식에 대해 수행될 수 있습니다; 그러나 오차 이상에서는, 모든 방정식이 아닌(not for all), 일부 방정식에 대해 오직 적용될 수 있습니다. 연구의 많은 양이 일변수 대수 방정식의 실수 또는 복소수 해(근-찾기 알고리듬(Root-finding algorithm)을 참조하십시오) 및 여러 다변수 다항 방정식의 공통 해(다항식 방정식의 시스템(system of polynomial equations)을 참조하십시오)의 정확한 근사를 효과적으로 계산하기 위해 바쳐져 왔습니다.

History

대수적 방정식의 연구는 아마도 수학만큼 오래되었을 것입니다: 기원전 2000년만큼 빨리 바빌로니아 수학자들(Babylonian mathematicians)은 어떤 종류의 이차 방정식(quadratic equation)을 풀 수 있었습니다 (구 바빌로니아(Old Babylonian) 점토 태블릿(clay tablet)에 표시되었습니다).

유리수에 걸쳐 (즉, 유리(rational) 계수를 갖는) 일변수 대수적 방정식은 매우 긴 역사를 가지고 있습니다. 고대 수학자들은 $x^{2}-x-1=0$ 의 양수 해에 대해 $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 처럼 제곱근 표현(radical expression)의 형식으로 해를 원했습니다. 고대 이집트인들은 이런 방식으로 이차 방정식을 푸는 방법을 알고 있었습니다. 인도의 수학자 브라마굽타(Brahmagupta) (기원후 597–668)는 기원후 628년에 출판된 그의 논문 Brāhmasphuṭasiddhānta에서 이차 공식을 명시적으로 설명했지만, 기호 대신에 단어로 쓰였습니다. 9세기에 무하마드 이븐 무사 알-콰리즈미(Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī)와 다른 이슬람 수학자들은 이차 공식(quadratic formula), 이차 방정식의 일반적인 해를 유도했었고, 판별식[(discriminant)의 중요성을 인식했습니다. 1545년에 르네상스 시대 동안, 제롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)는 삼차 방정식(cubic function)에 대한 Scipione del Ferro 및 Niccolò Fontana Tartaglia의 해, 사차 방정식(quartic function)에 대해 Lodovico Ferrari의 해를 출판했습니다. 마침내 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)은 1824년에 오차 방정식(quintic equation)과 더 높은 차수의 방정식은 제곱근을 사용하여 일반적인 해를 가질 수 없음을 입증했습니다. 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)의 이름을 딴 갈루아 이론(Galois theory)은 적어도 차수 5의 일부 방정식은 제곱근에서 특유한 해가 없음을 보였고, 만약 방정식이 실제로 제곱근을 사용하여 해결할 수 있는지 여부를 결정하는 기준을 제공했습니다.

Areas of study

대수 방정식은 현대 수학의 많은 영역의 기초입니다: 대수적 숫자 이론(Algebraic number theory)은 유리수에 걸쳐 (즉, 유리(rational) 계수를 갖는) (일변수) 대수적 방정식의 연구입니다. 갈루아 이론(Galois theory)은 만약 대수적 방정식이 제곱근의 관점에서 해결될 수 있는지 결정에 대해 기준을 지정하기 위해 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)에 의해 도입되었습니다. 필드 이론(field theory)에서, 대수적 확장(algebraic extension)은 모든 각 원소가 기본 필드에 걸쳐 대수적 방정식의 근을 만족하는 확장입니다. 초월적 숫자 이론(Transcendental number theory)은 유리수에 걸쳐 대수적 방정식에 대한 해가 아닌 실수의 연구입니다. 디오판토스 방정식(Diophantine equation)은 정수 해에 관심이 있는 정수 계수를 갖는 (보통 다변수) 다항 방정식입니다. 대수적 기하학(Algebraic geometry)은 다변수 다항 방정식의 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field)에서 해의 연구입니다.

두 방정식이 만약 그들이 해(solutions)의 같은 집합을 가지면 동등합니다. 특히, 방정식 $P=Q$ 는 $P-Q=0$ 과 동등합니다. 대수적 방정식의 연구는 다항식의 연구와 동동한 것으로 따릅니다.

유리수에 걸쳐 다항 방정식은 계수(coefficient)가 정수(integer)인 동등한 방정식으로 항상 변환될 수 있습니다. 예를 들어, 42 = 2·3·7을 곱하고 첫 번째 구성원에서 항을 그룹화하며, 이전에 언급된 다항 다음 방정식은

y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}

다음이 됩니다:

42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.

사인(sine), 지수(exponentiation), 및 1/T은 다항 함수가 아니기 때문에,

e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0

은 유리수에 걸쳐 네 변수 x, y, z, 및 T에서 다항 방정식이 아닙니다. 어쨌든, 그것은 변수 T에서 기본 함수(elementary function)의 필드에 걸쳐 세 변수 x, y, 및 z에서 다항 방정식입니다.

Theory

Polynomials

필드(field) $K$ 에서 계수를 갖는, 미지수 $x$ 에서 방정식이 주어지면,

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

,

우리는 $K$ 에서 (E)의 해는 다음 다항식의 $K$ 에서 근이라고 동등하게 말할 수 있습니다:

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

.

필드에서 차수 $n$ 의 다항식은 많아야 $n$ 근을 가짐을 알 수 있습니다. 방정식 (E)는 따라서 많아야 $n$ 해를 가집니다.

만약 $K'$ 이 $K$ 의 필드 확장이면, 우리는 $K$ 에서 계수를 갖는 방정식으로 (E)를 고려할 것이고 $K$ 에서 (E)의 해는 $K'$ 에서 역시 해입니다 (전환은 일반적으로 유지되지 않습니다). 다항식 $P$ 의 파열 필드(rupture field)로 알려진 $K$ 의 필드 확장을 항상 찾을 수 있으며, 이것에서 (E)는 적어도 하나의 해를 가집니다.

Existence of solutions to real and complex equations

대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 복소수(complex numbers)의 필드(field)가 대수적으로 닫혀 있음, 즉, 복소 계수와 적어도 일 차수를 갖는 모든 다항 방정식은 하나의 해를 가짐을 말합니다.

실수 계수를 갖는 차수가 1이상의 모든 다항식은 복소수 해를 가짐을 따릅니다. 다른 한편으로, $x^{2}+1=0$ 와 같은 방정식은 $\mathbb {R}$ 에서 해를 가지지 않습니다 (해는 허수 단위(imaginary unit) $i$ 및 $-i$ 입니다).

실수 방정식의 실수 해는 직관적이지만 (그들은 곡선 $y = P (x)$ 가 $x$ -축과 교차하는 점의 $x$ -좌표입니다), 실수 방정식에 대한 복소수 해의 존재는 놀라운 것이고 시각화하기 덜 쉽습니다.

어쨌든, 홀수(odd) 차수의 일계수 다항식(monic polynomial)은 반드시 실수 근을 가져야 합니다. $x$ 에서 결합된 다항 함수(polynomial function)는 연속이고, 그것은 $x$ 가 $-\infty$ 로 접근할 때 $-\infty$ 로 접근하고 $x$ 가 $+\infty$ 로 접근할 때 $+\infty$ 로 접근합니다. 사잇값 정리(intermediate value theorem)에 의해, 따라서 일부 실수 $x$ 에서 값 영을 가정해야 하며, 이것은 그런-다음 다항 방정식의 해입니다.

Connection to Galois theory

사보다 작거나 같은 실수 또는 복소수 다항식의 해를 그들의 계수의 함수로 제공하는 공식이 있습니다. 아벨(Abel)은 차수 오이상의 방정식에 대해 (오직 네 개의 산술 연산을 사용하고 근을 취하는) 일반적으로 그러한 공식을 찾는 것이 불가능하다는 것을 보였습니다. 갈루아 이론(Galois theory)은 주어진 다항 방정식에 대한 해가 제곱근을 사용하여 표현될 수 있는지 여부를 결정할 수 있는 기준을 제공합니다.

Explicit solution of numerical equations

Approach

차수 1의 실수 또는 복소수 방정식의 명시적 해는 자명합니다. 더 높은 차수 $n$ 의 방정식을 푸는 것은 결합된 다항식을 인수화하여 감소시킵니다. 즉 다음 형식으로 (E)를 다시-쓰는 것입니다:

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

,

여기서 해는 그런-다음 $z_{1},\dots ,z_{n}$ 입니다. 그 문제는 그런-다음 $a_{i}$ 의 관점에서 $z_{i}$ 를 표현하는 것입니다.

이 접근은 만약 계수와 해가 정수 도메인(integral domain)에 속하면 보다 일반적으로 적용됩니다.

General techniques

Factoring

만약 차수 $n$ 의 방정식 $P (x) = 0$ 은 유리 근(rational root) $α$ 를 가지면, 결합된 다항식은 형식 $P (X) = (X - α) Q (X)$ 를 제공하기 인수화될 수 있습니다 ( $P (X)$ 를 $X - α$ 으로 나눔(dividing)으로써, $P (X) - P (α)$ 를 형식 $X k - α k$ 의 항의 선형 조합(linear combination)으로 씀으로써, 또는 $X - α$ 을 인수로 묶어낼 수 있습니다). $P (x) = 0$ 를 푸는 것은 그런-다음 차수 $n - 1$ 방정식 $Q (x) = 0$ 을 푸는 것을 줄어듭니다. 예제에 대해 경우 $n = 3$ 을 참조하십시오.

Elimination of the sub-dominant term

차수 $n$ 의 방정식을 풀기 위해,

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

,

공통 예비 단계는 차수- $n - 1$ 항을 제거하는 것입니다: $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ 를 설정함으로써, 방정식 (E)는 다음이 됩니다:

a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}x+b_{0}=0

.

레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 경우 $n = 3$ 에 대해 이 기술을 개발했지만, 예를 들어 경우 $n = 4$ 에 역시 적용할 수 있습니다.

Quadratic equations

형식 $ax^{2}+bx+c=0$ 의 이차 방정식을 풀기 위해, 우리는 $\Delta =b^{2}-4ac$ 로 정의된 판별식(discriminant) Δ를 계산합니다.

만약 방정식이 실수 계수를 가지면, 다음입니다:

만약 $\Delta >0$ 이면, 두 구별되는 실수 근을 가집니다;
만약 $\Delta =0$ 이면, 하나의 실수 이중근을 가집니다;
만약 $\Delta <0$ 이면, 실수 근은 없지만, 두 복소수 켤레 근을 가집니다.

Cubic equations

삼차 방정식을 푸는, 제곱근의 관점에서 근을 씀으로써, 가장-잘-알려진 방법은 카르다노의 공식(Cardano's formula)입니다.

Quartic equations

일부 해 방법의 자세한 토론에 대해 다음을 참조하십시오:

취른하우스 변형(Tschirnhaus transformation) (일반적인 방법, 그러나 성공한다는 보장이 없음);
베주 방법(Bezout method) (일반적인 방법, 그러나 성공한다는 보장이 없음);
페라리 방법(Ferrari method) (차수 4에 대해 해);
오일러 방법(Euler method) (차수 4에 대해 해);
라그랑주 방법(Lagrange method) (차수 4에 대해 해);
데카르트 방법(Descartes method) (차수 2 또는 4에 대해 해);

$a\neq 0$ 을 갖는 사차 방정식 $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ 은 변수의 변경에 의해 이차 방정식으로 줄어들 수 있는데, 그것은 복이차(biquadratic) ( $b = d = 0$ ) 또는 준-회문(quasi-palindromic) ( $e = a, d = b$ ) 중 하나라는 조건으로 합니다.

일부 삼차와 사차 방정식은 삼각법(trigonometry) 또는 쌍곡선 함수(hyperbolic function)를 사용하여 해결될 수 있습니다.

Higher-degree equations

에바리스트 갈루아(Évariste Galois)와 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)은 일반적으로 차수 5이상의 다항식은 제곱근을 사용하여 해결될 수 없음을 독립적으로 보였습니다. 일부 특정 방정식은 차수 5 및 17의 원분 다항식(cyclotomic polynomials)과 결합된 해와 같은 해를 가집니다.

샤를 에르미트(Charles Hermite)는, 다른 한편으로, 차수 5의 다항식이 타원형 함수(elliptical function)를 사용하여 해결될 수 있음을 보였습니다.

그렇지 않으면, 우리는 뉴턴의 방법(Newton's method)과 같은 근-찾기 알고리듬(root-finding algorithms)을 사용하여 근에 대한 수치적 근사(numerical approximations)를 찾을 수 있습니다.

References

"Algebraic equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Algebraic Equation". MathWorld.