Proof that e is irrational
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숫자(number) e는 1683년 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli)에 의해 도입되었습니다. 반세기 이상 뒤에, 야콥의 남동생 요한(Johann)의 제자였던 오일러(Euler)는 e가 무리수(irrational)임을 입증했습니다; 즉, 그것은 두 정수의 몫으로 표현될 수 없습니다.
Euler's proof
오일러는 1737년에 e가 무리수라는 사실에 대한 첫 번째 증명을 작성했습니다 (그러나 그 텍스트는 7년 후에 출판되었습니다).[1][2][3] 그는 e의 표현을 단순 연속 분수(simple continued fraction)로 계산했으며, 다음과 같습니다:
이 연속 분수는 무한대이고 모든 각 유리수는 종료하는 연속 분수를 가지기 때문에, e는 무리수입니다. 이전 상등의 짧은 증명이 알려져 있습니다.[4][5] e의 단순 연속 분수는 주기적(periodic)이지 않기 때문에, 이것은 역시 e가 유리 계수를 갖는 이차 다항식의 근이 아님을 입증합니다; 특히 e2은 무리수입니다.
Fourier's proof
가장 잘-알려진 증명은 조제프 푸리에(Joseph Fourier)의 모순에 의한 증명(proof by contradiction)이며,[6] 이는 다음 상등에 기반을 두고 있습니다:
처음에 e는 a/b 형식의 유리수로 가정됩니다. 그 아이디어는 그런 다음 e의 급수 표현과 극한하는 값 e에 근사하는 그것의 엄격하게 작은 b 번째 부분 합 사이의 확대된 차이 (여기서 x로 표시)를 분석하는 것입니다. 스케일 인수를 b의 팩토리얼(factorial)로 선택함으로써, 분수 a/b와 b 번째 부분 합이 정수(integers)로 바뀌고, 따라서 x는 양의 정수여야 합니다. 어쨌든, 급수 표현의 빠른 수렴은 x가 여전히 1보다 엄격하게 작다는 것을 의미합니다. 이 모순으로부터 우리는 e가 무리수임을 추론합니다.
이제 자세한 내용에 대해, 만약 e가 유리수(rational number)이면, e = a/b를 만족하는 양의 정수 a와 b가 존재합니다. 다음 숫자를 정의합니다:
e = a/b라는 가정을 사용하여 다음을 얻습니다:
첫 번째 항은 정수이고, 합에서 모든 각 분수는 실제로 정수인데 왜냐하면 각 항에 대해 n ≤ b이기 때문입니다. 그러므로, e가 유리수라는 가정 아래에서, x가 정수입니다.
우리는 이제 0 < x < 1임을 입증합니다. 먼저, x가 엄격하게 양수임을 입증하기 위해, 우리는 e의 위의 급수 표현을 x의 정의에 삽입하고 다음을 얻습니다:
왜냐하면 모든 항이 엄격하게 양수이기 때문입니다.
우리는 이제 x < 1임을 입증합니다. n ≥ b + 1을 갖는 모든 항에 대해 우리는 위쪽 경계 추정을 가집니다:
이 부등식은 모든 각 n ≥ b + 2에 대해 엄격합니다. 합계의 인덱스를 k = n – b으로 바꾸고 무한 기하 급수(infinite geometric series)에 대한 공식을 사용하여, 다음을 얻습니다:
엄격하게 0과 1 사이의 정수가 없기 때문에, 우리는 모순에 도달했고, 따라서 e는 무리수입니다. Q.E.D.
Alternate proofs
또 다른 증명은 다음임을 참고함으로써 이전 증명에서 얻을 수 있습니다:[7]
그리고 이 부등식이 bx < 1이라는 주장과 동등합니다. 물론, 이것은 불가능한데, 왜냐하면 b와 x가 양의 정수이기 때문입니다.
여전히 또 다른 증명은 다음이라는 사실에서 얻을 수 있습니다:[8][9]
을 다음으로 정의합니다:
그런-다음:
이것은 임의의 양의 정수 에 대해 다음임을 의미합니다:
가 항상 정수임을 주목하십시오. 가 유리수라고 가정하므로, 이며, 여기서 는 서로소이고 입니다. 가 정수, 즉, 가 되도록 을 적절하게 선택할 수 있습니다. 그러므로, 이 선택에 대해, 와 사이의 차이는 정수일 것입니다. 그러나 위의 부등식으로부터, 그것은 불가능합니다. 따라서 는 무리수입니다. 이것은 가 무리수임을 의미합니다.
Generalizations
1840년에, 리우빌(Liouville)은 이 무리수라는[10] 사실의 증명을 이어 이 유리 계수를 갖는 이차 다항식의 근이 아니라는 증명을 출판했습니다.[11] 이 마지막 사실은 이 무리수임을 의미합니다. 그의 증명은 e의 무리성의 푸리에의 증명과 유사합니다. 1891년에, 후르비츠(Hurwitz)는 e가 유리 계수를 갖는 삼차 다항식의 근이 아니라는 것을 같은 아이디어 선을 따라 증명하는 것이 가능한 방법을 설명했으며, 이는 가 무리수임을 의미합니다.[12] 더 일반적으로, 가 비-영 유리수 에 대해 무리수입니다.[13]
샤를 에르미트(Charles Hermite)는 1873년에 e가 초월적 숫자(transcendental number)임을 입증했으며, 이는 임의의 비-영 대수적(algebraic) α에 대해 eα와 마찬가지로 유리 계수를 갖는 임의의 다항식의 근이 아님을 의미합니다.[14]
See also
- Characterizations of the exponential function
- Transcendental number, including a proof that e is transcendental
- Lindemann–Weierstrass theorem
- Proof that π is irrational
References
- ^ Euler, Leonhard (1744). "De fractionibus continuis dissertatio" [A dissertation on continued fractions] (PDF). Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. 9: 98–137.
- ^ Euler, Leonhard (1985). "An essay on continued fractions". Mathematical Systems Theory. 18: 295–398. doi:10.1007/bf01699475. hdl:1811/32133. S2CID 126941824.
- ^ Sandifer, C. Edward (2007). "Chapter 32: Who proved e is irrational?". How Euler did it. Mathematical Association of America. pp. 185–190. ISBN 978-0-88385-563-8. LCCN 2007927658.
- ^ A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e
- ^ Cohn, Henry (2006). "A short proof of the simple continued fraction expansion of e". American Mathematical Monthly. 113 (1): 57–62. arXiv:math/0601660. Bibcode:2006math......1660C. doi:10.2307/27641837. JSTOR 27641837.
- ^ de Stainville, Janot (1815). Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie [A mixture of Algebraic Analysis and Geometry]. Veuve Courcier. pp. 340–341.
- ^ MacDivitt, A. R. G.; Yanagisawa, Yukio (1987). "An elementary proof that e is irrational". The Mathematical Gazette. 71 (457). London: Mathematical Association: 217. doi:10.2307/3616765. JSTOR 3616765.
- ^ Penesi, L. L. (1953). "Elementary proof that e is irrational". American Mathematical Monthly. 60 (7). Mathematical Association of America: 474. doi:10.2307/2308411. JSTOR 2308411.
- ^ Apostol, T. (1974). Mathematical analysis (2nd ed., Addison-Wesley series in mathematics). Reading, Mass.: Addison-Wesley.
- ^ Liouville, Joseph (1840). "Sur l'irrationalité du nombre e = 2,718…". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1 (in French). 5: 192.
- ^ Liouville, Joseph (1840). "Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre e". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1 (in French). 5: 193–194.
- ^ Hurwitz, Adolf (1933) [1891]. "Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e". Mathematische Werke (in German). Vol. 2. Basel: Birkhäuser. pp. 129–133.
- ^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (1998). Proofs from THE BOOK (4th ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. pp. 27–36. doi:10.1007/978-3-642-00856-6. ISBN 978-3-642-00855-9.
- ^ Hermite, C. (1873). "Sur la fonction exponentielle". Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris. 77: 18–24.