Transcendental number

Original article: w:Transcendental number

"U-number" redirects here. For thermal conductivity, see R-value_(insulation) § U-value.

Pi (π) is a well-known transcendental number.

수학(mathematics)에서, 초월적 숫자(transcendental number)는 대수적(algebraic)이 아닌 숫자입니다–즉, 유리(rational) 계수(coefficient)를 갖는 유한 차수의 비-영 다항식(polynomial)의 근(root)이 아닙니다. 가장 잘 알려진 초월적 숫자는 π와 e입니다.

비록 오직 초월적 숫자의 몇 개의 클래스가 알려져 있을지라도, 부분적으로 주어진 숫자가 초월 숫자임을 보여주는 것이 극히 어려울 수 있기 때문에, 초월적 숫자는 드물지는 않습니다. 실제로, 거의 모든(almost all) 실수와 복소수는 초월적인데, 왜냐하면 대수적 숫자는 셀-수-있는 집합(countable set)을 구성하고, 반면에 실수(real numbers)의 집합(set)과 복소수(complex number)의 집합은 둘 다 셀-수-없는 집합(uncountable set)이고, 따라서 셀-수-있는 집합보다 큽니다. 모든 유리수는 대수이므로 모든 초월적 실수 (역시 실수 초월적 숫자 또는 초월적 무리수로 알려져 있음)는 무리수(irrational number)인데, 왜냐하면 모든 유리수는 대수적이기 때문입니다. 그 전환(converse)은 참이 아닙니다: 모든 무리수가 초월적인 것은 아닙니다. 따라서, 실수의 집합은 겹치지 않는 유리수, 대수적 비-유리수, 및 초월적 실수로 구성됩니다. 예를 들어, 2의 제곱근(square root of 2)은 무리수이지만, 그것은 다항 방정식 x² − 2 = 0의 근이기 때문에 초월적 숫자가 아닙니다. 황금 비율(golden ratio) ($\varphi$ 또는 $\phi$로 표시됨)은 초월적이지 않은 또 다른 무리수인데, 왜냐하면 그것은 다항 방정식 x² − x − 1 = 0의 근이기 때문입니다. 초월적인 숫자의 품질은 초월성(transcendence)이라고 불립니다.

History

이름 "transcendental"은 라틴어 transcendĕre '위로 오르다 또는 ...을 넘어서, 위에 놓다'에서 유래했고, 라이프니츠의 1682년 논문에서 sin x가 x의 대수적 함수(algebraic function)가 아님을 입증했던 수학적 개념에 처음 사용되었습니다. 18세기에 오일러(Euler)는 아마도 현대적인 의미에서 초월적 숫자를 정의한 최초의 사람일 것입니다.

요한 하인리히 램버트(Johann Heinrich Lambert)는 그의 1768년 논문에서 숫자 π가 무리수(irrational)임을 증명하면서 e와 π가 둘 다 초월적 숫자라고 추측하고, π의 초월성의 증명의 잠정적 스케치를 제안했습니다.

조제프 리우빌(Joseph Liouville)은 1844년에 처음으로 초월적 숫자의 존재를 입증했고, 1851년에는 리우빌 상수(Liouville constant)와 같은 최초의 십진수 예제를 제공했습니다:

${\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ldots \\\end{aligned}}$

이것에서 십진 점 후의 n번째 자릿수는 만약 n이 일부 k에 대해 k! (k 팩토리얼)과 같으면 1이고 그렇지 않으면 0입니다. 다시 말해서, 이 숫자의 n번째 자릿수는 오직 만약 n이 숫자 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 등의 하나이면 1입니다. 리우빌은 이 숫자가 임의의 무리적 대수적 숫자보다 유리수(rational number)로 더 가깝게 근사될 수 있는 초월적 숫자의 클래스에 속한다는 것을 보여주었고, 이 클래스의 숫자는 그의 이름을 따서 지은 리우빌 숫자(Liouville number)라고 불립니다. 리우빌은 모든 리우빌 숫자가 초월적이라는 것을 보여주었습니다.

초월적 숫자의 존재를 입증할 목적으로 특별히 구성되지 않고 초월적으로 입증된 첫 번째 숫자는 1873년 샤를 에르미트(Charles Hermite)에 의해 e였습니다.

1874년에, 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 대수적 숫자는 셀-수-있고 실수는 셀-수-없음을 입증했습니다. 그는 역시 초월적 숫자를 구성하는 새로운 방법을 제시했습니다. 비록 이것은 대수적 숫자의 셀-수-있음의 그의 증명에 의해 이미 암시되었지만, 칸토어는 역시 실수가 있는 만큼 많은 초월적 숫자가 있음을 입증하는 구성을 발표했습니다. 칸토어의 연구는 초월적 숫자의 편재성을 확립했습니다.

1882년에, 페르디난트 폰 린데만(Ferdinand von Lindemann)은 π의 초월성의 최초의 완전한 증명을 발표했습니다. 그는 먼저 e^a가 만약 a가 비-영 대수적 숫자이면 초월적임을 입증했습니다. 그런-다음 e^iπ = −1이 대수적이므로 (오일러의 항등식(Euler's identity)을 참조), iπ는 초월적이어야 합니다. 그러나 i는 대수적이므로 π는 따라서 초월적이어야 합니다. 이 접근 방식은 현재 린데만–바이어슈트라스 정리(Lindemann–Weierstrass theorem)로 알려진 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)에 의해 일반화되었습니다. π의 초월성은 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge)를 포함하는 여러 고대 기하학 구조의 불가능성의 증명을 허용했으며, 가장 유명한 것, 원을 정사각형화(squaring the circle)를 포함합니다.

1900년에, 다비트 힐베르트(David Hilbert)는 힐베르트의 일곱 번째 문제(Hilbert's seventh problem), 초월적 숫자에 대한 영향력 있는 질문을 던졌습니다: 만약 a가 영 또는 일이 아닌 대수적 숫자이고 b가 무리적 대수적 숫자(algebraic number)이면, a^b는 반드시 초월적인가? 긍정적인 대답은 1934년 겔폰트–슈나이더 정리(Gelfond–Schneider theorem)에 의해 제공되었습니다. 이 연구는 1960년대에 앨런 베이커(Alan Baker)에 의해 임의의 숫자의 (대수적 숫자의) 로그에서 선형 형식에 대해 아래쪽 경계에 대한 그의 연구에서 확장되었습니다.

Properties

초월적 숫자는 임의의 정수 다항식의 근이 아닌 숫자 (아마도 복소수)이며, 그것은 임의의 차수의 대수적 숫자가 아님을 의미합니다. 모든 각 실수 초월적 숫자는 역시 무리수(irrational)여야 하는데, 왜냐하면 유리수(rational number)는, 정의에 의해, 차수 1의 대수적 숫자이기 때문입니다. 초월적 숫자의 집합은 셀-수-없게 무한(uncountably infinite)입니다. 유리 계수를 갖는 다항식은 셀-수-있는(countable) 것이고, 각 그러한 다항식은 유한 숫자의 영들(zeroes)을 갖기 때문에, 대수적 숫자(algebraic number)는 역시 셀-수-있는 것이어야 합니다. 어쨌든, 칸토어의 대각선 논증(Cantor's diagonal argument)은 실수 (및 따라서 역시 복소수(complex numbers))는 셀-수-없는 것임을 입증합니다. 실수는 대수적 숫자와 초월적 숫자의 합집합이므로, 부분집합(subset) 둘 다에 대해 셀-수-있게 되는 것은 불가능입니다. 이것은 초월적 숫자를 셀-수-없게 만듭니다.

유리수(rational number)는 초월적이지 않고 모든 실수 초월적 숫자는 무리수입니다. 무리수(irrational number)는 모든 실수 초월적 숫자와 이차 무리수(quadratic irrational)와 다른 형식의 대수적 무리수를 포함한 대수적 숫자의 부분집합을 포함합니다.

단일 변수의 임의의 비-상수 대수적 함수(algebraic function)는 초월적 인수에 적용될 때 초월적 값을 산출합니다. 예를 들어, π가 초월적이라는 것을 아는 것으로부터, 5π, π-3/√2, (√π-√3)⁸, 및 ⁴√π⁵+7와 같은 숫자가 마찬가지로 초월적임을 즉시 추론할 수 있습니다.

어쨌든, 여러 변수의 대수적 함수는 이들 숫자가 대수적으로 독립(algebraically independent)이 아닌 초월적 숫자에 적용될 때 대수적 숫자를 산출할 수 있습니다. 예를 들어, π와 (1 − π)는 둘 다 초월적이지만, π + (1 − π) = 1는 분명하게 아닙니다. 예를 들어, e + π가 초월적인지 여부는 알 수 없지만, e + π와 eπ 중 적어도 하나는 초월적이어야 합니다. 보다 일반적으로, 임의의 두 초월적 숫자 a와 b에 대해, a + b와 ab 중 적어도 하나는 초월이어야 합니다. 이것을 보기 위해, 다항식 (x − a)(x − b) = x² − (a + b)x + ab를 생각해 보십시오. 만약 (a + b)와 ab가 모두 대수적이면, 이것은 대수적 계수를 갖는 다항식이 됩니다. 대수적 숫자는 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field)를 형성하기 때문에, 이것은 다항식의 근, a와 b가 대수적이어야 함을 의미합니다. 그러나 이것은 모순이고, 따라서 계수 중 적어도 하나가 초월적인 경우여야 합니다.

비-계산가능 숫자(non-computable numbers)는 초월적 숫자의 엄격한 부분집합(strict subset)입니다.

모든 리우빌 숫자(Liouville number)는 초월적이지만, 그 반대는 아닙니다. 임의의 리우빌 숫자는 그것의 연속된 분수(continued fraction) 전개에서 무경계 부분 몫을 가져야 합니다. 세는 논증(counting argument)을 사용하여, 우리는 경계진 부분 몫을 가지고 따라서 리우빌 숫자가 아닌 초월적 숫자가 존재한다는 것을 보여줄 수 있습니다.

e의 명시적인 연속된 분수 전개를 사용하여, 우리는 e가 리우빌 숫자가 아님을 보여줄 수 있습니다 (비록 그것의 연속된 분수 전개에서 부분 몫이 무경계진 것일지라도). 쿠르트 말러(Kurt Mahler)는 1953년에 π가 역시 리우빌 숫자가 아님을 보여주었습니다. 결국 주기적이 아닌 경계진 항을 갖는 모든 무한 연속된 분수는 초월적이라고 추측됩니다 (결국 주기적인 연속된 분수는 이차 무리수에 해당합니다).

Numbers proven to be transcendental

초월적임이 입증된 숫자:

• e^a 만약 a가 대수적(algebraic)이고 비-영이면 (린데만–바이어슈트라스 정리(Lindemann–Weierstrass theorem)에 의해).
• π (린데만–바이어슈트라스 정리(Lindemann–Weierstrass theorem)에 의해).
• e^π, 겔폰트의 상수(Gelfond's constant), 마찬가지로 e^−π/2 = iⁱ (겔폰트–슈나이더 정리(Gelfond–Schneider theorem)).
• a^b 여기서 a는 대수적이지만 0 또는 1이 아니고, b는 무리수 대수적입니다 (겔폰트–슈나이더 정리에 의해), 특히:

2^√2, 겔폰트–슈나이더 상수(Gelfond–Schneider constant) (또는 힐베르트 숫자)

• sin a, cos a, tan a, csc a, sec a, 및 cot a, 및 그것들의 쌍곡선 짝(hyperbolic counterparts), 라디안(radian)에서 표현된 임의의 비-영 대수적 숫자 a에 대해, (린데만–바이어슈트라스 정리에 의해).
• 코사인 함수의 고정된 점(fixed point) (역시 도티 숫자(Dottie number) d)로 참조됨 – 방정식 cos x = x에 대한 고유한 실수 해, 여기서 x는 라디안에 있습니다 (린데만–바이어슈트라스 정리에 의해).
• ln a 만약 a가 대수적이고 0 또는 1과 같지 않으면, 로그 함수의 임의의 가지에 대해 (린데만–바이어슈트라스 정리에 의해)
• log_b a 만약 a와 b가 양의 정수이지만 둘 다 같은 정수의 거듭제곱은 아닙니다 (겔폰트–슈나이더 정리에 의해).
• 베셀 함수(Bessel function) J_ν(x), 그것의 첫 번째 도함수, 및 몫 J'_ν(x)/J_ν(x)은 ν가 유리수이고 x는 대수적이고 비-영일 때 초월적이고, J_ν(x)와 J'_ν(x)의 모든 비-영 근은 ν가 유리수일 때 초월적입니다.
• W(a) 만약 a가 대수적이고 비-영이면, 램버트 W 함수의 임의의 가지에 대해 (린데만–바이어슈트라스 정리에 의해), 특히: Ω 오메가 상수(omega constant)
• √x_s, 임의의 자연수의 제곱 초월-근(square super-root)은 정수 또는 초월적입니다 (겔폰트–슈나이더 정리에 의해)
• Γ(1/3), Γ(1/4), 및 Γ(1/6).
• 0.64341054629..., 케이헨의 상수(Cahen's constant).
• 챔퍼나운 상수(Champernowne constant), 모든 양의 정수의 연쇄하는 표현에 의해 형성된 무리수.
• Ω, 차이틴의 상수(Chaitin's constant) (왜냐하면 그것이 비-계산가능 숫자이기 때문입니다).
• 소위 프레드홀름 상수(Fredholm constants), 다음과 같이 표현됩니다

  $\sum _{n=0}^{\infty }10^{-2^{n}}=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}0{\textbf {1}}000{\textbf {1}}0000000{\textbf {1}}\ldots$

이것 역시 10을 임의의 대수적 b > 1로 대체함으로써 유지됩니다.

• 가우스 상수(Gauss constant).
• 둘의 렘니스케이트 상수(lemniscate constant) L₁ (때때로 ϖ로 표시됨) 및 L₂.
• 앞서 얘기한 임의의 대수적 b ∈ (0, 1)에 대해 리우빌 상수.
• 프로헷–투에–모스 상수(Prouhet–Thue–Morse constant).
• 코모르니크–로레티 상수(Komornik–Loreti constant).
• 고정된 밑수에 관한 자릿수가 슈투르미안 단어(Sturmian word)를 형성하는 임의의 숫자.
• β > 1에 대해

$\sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };$

여기서 $\beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor$는 바닥 함수(floor function)입니다.

• 3.300330000000000330033...와 그것의 역수 0.30300000303..., 비-영 자릿수 위치가 모저–드 브러위인 수열(Moser–de Bruijn sequence)과 그것의 두 배에 의해 제공되는 유일한 둘의 다른 십진 자릿수를 갖는 두 숫자.
• 숫자 π/2Y₀(2)/J₀(2)-γ, 여기서 Y_α(x)와 J_α(x)는 베셀 함수이고 γ는 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)입니다.

Possible transcendental numbers

아직 초월적이거나 대수적인 것으로 증명되지 않은 숫자:

• 숫자 π와 숫자 e의 대부분의 합, 곱, 거듭제곱 등, 예를 들어, eπ, e + π, π − e, π/e, π^π, e^e, π^e, π^√2, e^π2는 유리수, 대수적, 무리수, 또는 초월적으로 알려져 있지 않습니다. 유명한 예외는 e^π√n이며 (임의의 양의 정수 n에 대해) 초월적인 것으로 입증되었습니다.
• 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant) γ: 2010년에, M. Ram Murty와 N. Saradha는 그것들 중 하나를 제외하고 모두 초월적임을 만족하는 γ/4를 포함하는 숫자의 무한 목록을 발견했습니다. 2012년에, γ와 오일러–곰퍼츠 상수(Euler–Gompertz constant) δ 중 적어도 하나가 초월적이라는 것이 밝혀졌습니다.
• 카탈란 상수(Catalan's constant), 심지어 무리수인 것으로 입증되지 않았습니다.
• 킨친 상수(Khinchin's constant), 역시 무리수인 것으로 입증되지 않았습니다.
• 아페리 상수(Apéry's constant) ζ(3) (아페리(Apéry)가 무리수임을 입증했습니다).
• 다른 홀수 정수에서 리만 제타 함수(Riemann zeta function), ζ(5), ζ(7), ... (무리수인 것으로 입증되지 않았습니다).
• 파이겐봄 상수(Feigenbaum constants) δ와 α, 역시 무리수인 것으로 입증되지 않았습니다.
• 밀스 상수(Mills' constant), 역시 무리수인 것으로 입증되지 않았습니다.
• 코플랜드–에르되시 상수(Copeland–Erdős constant), 소수의 십진 표현을 연쇄함으로써 형성됩니다.

추측:

• 뉴엘의 추측(Schanuel's conjecture),
• 넷의 지수 추측(Four exponentials conjecture).

Sketch of a proof that e is transcendental

자연 로그의 밑수, e가 초월적이라는 첫 번째 증명은 1873년부터 시작됩니다. 우리가 이제 샤를 에르미트(Charles Hermite)의 원래 증명의 단순화를 제공했던 다비트 힐베르트(David Hilbert) (1862–1943)의 전략을 따를 것입니다. 그 아이디어는 다음과 같습니다:

모순을 찾기 위해 e가 대수적이라고 가정합니다. 그런-다음 다음 방정식을 만족시키는 유한한 정수 계수 c₀, c₁, ..., c_n의 집합이 존재합니다:

$c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.$

이제 양의 정수 k에 대해, 우리는 다음 방정식을 정의합니다:

$f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},$

그리고 위 방정식의 양쪽 변에 다음을 곱합니다:

$\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,$

다음 방정식에 도달합니다:

$c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.$

각 적분의 도메인을 분할함으로써, 이 방정식은 다음 형식에서 쓸 수 있습니다:

$P+Q=0$

여기서

${\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)\end{aligned}}$

보조정리 1. k의 적절한 선택에 대해, ${\tfrac {P}{k!}}$는 비-영 정수입니다.

증명. P에서 각 항은 정수 곱하기 팩토리얼의 합이며, 다음 관계식을 초래합니다:

$\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!$

이것은 임의의 양의 정수 j에 대해 유효합니다 (감마 함수(Gamma function)을 생각해 보십시오).

그것은 모든 각 a에 대해 0< a ≤ n이기 때문에 비-영이며, 다음에서 피적분은

$c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx$

e^−x 곱하기 x의 가장 낮은 거듭제곱이 적분에서 x를 x+a로 대체한 후 k+1인 항의 합입니다. 그런-다음 이것은 다음 형식의 적분의 합이 됩니다:

$A_{j-k}\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx$ Where A_j-k is integer.

여기서 k+1 ≤ j이고, 따라서 (k+1)!으로 나뉠 수 있는 정수입니다. k!로 나눈 후, 우리는 영 모듈로(modulo) (k+1)을 얻습니다. 어쨌든, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:

$\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left(\left[(-1)^{n}(n!)\right]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx$

그리고 따라서

${\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\equiv c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\not \equiv 0{\pmod {k+1}}.$

따라서 P에서 각 적분을 k!로 나눌 때, 초기 정수는 k+1로 나뉠 수 없지만, k+1이 소수이고 n과 |c₀|보다 큰 한, 모든 다른 적분은 나뉠 수 있습니다. 그것은 ${\tfrac {P}{k!}}$ 자체는 소수 k+1로 나뉠 수 없고 따라서 영이 될 수 없음을 따릅니다.

보조정리 2. $\left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1$ 충분하게 큰 $k$에 대해.

증명. 다음임을 주목하십시오:

${\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}$

여기서 $u(x)$와 $v(x)$는 모든 $x$에 대해 $x$의 연속 함수이므로, 구간 $[0,n]$ 위에 경계집니다. 즉, 다음을 만족하는 상수 $G,H>0$가 있습니다:

$\left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n.$

따라서 $Q$를 구성하는 각각의 적분은 경계진 것이며, 최악의 경우는 다음과 같습니다:

$\left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\,dx\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\,dx=nG^{k}H.$

이제 합계 $Q$도 마찬가지로 경계질 수 있습니다:

$|Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M,$

여기서 $M$은 $k$에 의존하지 않는 상수입니다. 그것은 다음임을 따릅니다:

$\left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty ,$

이 보조정리의 증명을 마칩니다.

비-영 정수 ($P/k!$)를 영과 같게 되는 사라지는 작은 양 ($Q/k!$)에 더해지는 것으로 이어지는 두 보조정리를 만족시키는 $k$의 값을 선택하는 것은 불가능합니다. 그것은 e가 정수 계수를 갖는 다항 방정식을 만족시킬 수 있다는 원래의 가정도 불가능함을 따릅니다; 즉, e는 초월적입니다.

The transcendence of π

린데만(Lindemann)의 원래 접근 방식과 다른 유사한 전략은 숫자 π가 초월임을 보이기 위해 사용될 수 있습니다. 감마 함수(gamma-function)와 e에 대해 증명에서와 같은 일부 추정값 외에도, 대칭 다항식(symmetric polynomial)에 대한 사실은 증명에서 중요한 역할을 합니다.

π와 e의 초월성의 증명에 관한 자세한 정보에 대해, 참고 문헌과 외부 링크를 참조하십시오.

See also

• Transcendental number theory, the study of questions related to transcendental numbers
• Gelfond–Schneider theorem
• Diophantine approximation
• Periods, a set of numbers (including both transcendental and algebraic numbers) which may be defined by integral equations.

Number systems Complex $:\;\mathbb {C}$ Real $:\;\mathbb {R}$ Rational $:\;\mathbb {Q}$ Integer $:\;\mathbb {Z}$ Natural $:\;\mathbb {N}$ Zero: 0 One: 1 Prime numbers Composite numbers Negative integers Fraction Finite decimal Dyadic (finite binary) Repeating decimal Irrational Algebraic irrational Transcendental Imaginary

References

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External links

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