Quadratic function

대수학에서, 이차 함수(quadratic function), 이차 다항식(quadratic polynomial) 또는 간단히 이차(quadratic)는 하나 이상의 변수를 가지는 다항 함수로써 그의 최고-차수 항이 이차입니다. 예를 들어, 세 변수 x, y, 및 z를 가지는 이차 함수는 배타적으로 x², y², z², xy, xz, yz, x, y, z 및 상수 항을 포함합니다:

f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,

여기서 이차 항의 계수 a, b, c, d, e, 또는 f 중에 적어도 하나는 영이 아닙니다.

A quadratic polynomial with two real roots (crossings of the x axis) and hence no complex roots. Some other quadratic polynomials have their minimum above the x axis, in which case there are no real roots and two complex roots.

일변수(univariate) (하나의-변수) 이차 함수는 다음의 형태를 가집니다:^[1]

f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0

여기서 변수는 x입니다. 일변수 이차 함수의 그래프(graph)는, 오른쪽에 보이는 것처럼, $y$ -축에 평행한 대칭축을 가지는 포물선(parabola)입니다.

만약 이차 함수가 영과 같게 설정되면, 그 결과는 이차 방정식(quadratic equation)입니다. 일변수 방정식의 해는 일변수 함수의 근(root)이라고 불립니다.

변수 x 및 y의 항을 가진 이변수는 다음과 같은 형태를 가집니다:

f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!

여기서 a, b, c 중에 적어도 하나는 영이 아니고, 이 함수를 영과 같게 설정한 방정식은 원뿔 단면(conic section) (원(circle) 또는 다른 타원(ellipse), 포물선(parabola) 또는 쌍곡선(hyperbola))을 발생시킵니다.

일반적으로, 임의로 많은 수의 변수가 있을 수 있고, 이런 경우 결과 곡면(surface)은 이차 초곡면(quadric)이라고 불려지지만, 최고 차의 항은 x², xy, yz, 등과 같은, 차수 2가 반드시 되어야 합니다.

Etymology

형용사 quadratic는 라틴어 quadrātum ("square")에서 유래했습니다. $x 2$ 와 같은 항은 변의 길이 $x$ 를 가진 정사각형의 넓이이기 때문에 대수에서 정사각형(square)이라고 불립니다.

Terminology

Coefficients

다항식의 계수(coefficients)는 종종 실수 또는 복소수(complex number)로 취해지지만, 그러사 사실, 다항식은 임의의 링(ring)에서 정의될 수 있습니다.

Degree

"이차 다항식"이라는 용어를 사용할 때, 저자들은 때로는 "차수가 정확히 2"임을, 그리고 때로는 "많으면 2차를 가진" 것을 의미합니다. 만약 차수가 2 미만이면, "퇴화 경우(degenerate case)"라고 불릴 수 있습니다. 보통의 문맥에서는 두 가지 중 어떤 것이 의미하는지 정확히 정합니다.

때때로 단어 "순서(order)"가, 예를 들어, 이-차수 다항식(second-order polynomial)처럼, "차수(degree)"를 의미하는 것으로 사용됩니다.

Variables

이차 다항식은 단일 변수(variable) x (일변수 경우) 또는 x, y, 및 z와 같은 여러 변수 (다변수의 경우)를 포함할 수 있습니다.

The one-variable case

임의의 단일 변수 이차 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

ax^{2}+bx+c,\,\!

여기서 x는 변수이고, 그리고 a, b, 및 c는 계수를 나타냅니다.

기초 대수학에서, 그러한 다항식은 이차 방정식 $ax^{2}+bx+c=0$ 형태로 종종 발생합니다. 이런 방정식에 대한 해를 이차 다항식의 근(roots)이라고 하고, 인수분해(factorization), 완전 제곱식(completing the square), 그래프(graphing), 뉴턴 방법(Newton's method), 또는 이차 공식(quadratic formula)의 사용을 통해 구할 수 있습니다. 각각의 이차 다항식은, 그의 그래프(graph)가 포물선(parabola)인, 관련 이차 함수를 가집니다.

Bivariate case

두 개의 변수를 가지는 이차 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,\,\!

여기서 x와 y는 변수이고 a, b, c, d, e, 및 f는 계수입니다. 이러한 다항식은 원뿔 단면(conic sections)의 연구에 있어 기본이며, 이 원뿔 단면은 f (x, y)가 영과 같아지는 것에 대한 특성을 나타내는 것입니다. 비슷하게, 세 개 이상의 변수를 갖는 이차 다항식은 이차 곡면 및 초곡면(hypersurface)에 해당합니다. 선형 대수(linear algebra)에서, 이차 다항식은 벡터 공간(vector space)에서 이차 형식(quadratic form)의 개념으로 일반화될 수 있습니다.

Forms of a univariate quadratic function

일변수 이차 함수는 다음과 같이 세 가지 형태로 표현될 수 있습니다:^[2]

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ 는 표준 형태(standard form)이라고 불리며,
$f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ 는 인수 형태(factored form)이라고 불리며, 여기서 $r 1$ 와 $r 2$ 는 이차 함수의 근이고 해당하는 이차 방정식의 해입니다.
$f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ 는 꼭짓점 형태(vertex form)이라고 불리며, 여기서 $h$ 와 $k$ 는 각각 꼭짓점의 $x$ 와 $y$ 좌표에 해당합니다.

계수 $a$ 는 세 가지 형식 모두에서 같은 값입니다. 표준 형태를 인수 형태로 바꾸기 위해서, 두 개의 근 $r 1$ 과 $r 2$ 를 구하기 위해서 단지 이차 공식(quadratic formula:근의 공식)만 있으면 됩니다. 표준형을 꼭짓점 형태로 바꾸기 위해서, 완전제곱식의 완성(completing the square)이라는 과정이 필요합니다. 인수 형태(또는 꼭짓점 형태)를 표준 형태로 바꾸기 위해서, 인수를 전개하고, 그리고/또는 분배하고, 곱해야 합니다.

Graph of the univariate function

형식에 관계없이, 일변수 이차 함수 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 의 그래프는 포물선(parabola)입니다 (오른쪽의 그림처럼). 동등하게, 이것은 이변수 이차 방정식 $y=ax^{2}+bx+c$ 의 그래프입니다.

만약 $a > 0$ 이면, 포물선은 위로 열려 있습니다 (아래로 볼록).
만약 $a < 0$ 이면, 포물선은 아래로 열려 있습니다 (위로 볼록).

계수 $a$ 는 그래프의 곡률을 제어합니다; 큰 값의 $a$ 는 그래프에 더 닫힌 (날카로운 곡선) 모양을 부여합니다.

계수 $b$ 와 $a$ 는 함께 포물선의 대칭축(역시 꼭짓점의 $x$ -좌표)인 다음과 같은 위치를 제어합니다:

x=-{\frac {b}{2a}}.

계수 $c$ 는 포물선의 높이를 제어합니다; 더 상세하게, 그것은 $y$ -축을 가로지르는 포물선의 높이입니다 ( $y$ 절편).

Vertex

포물선의 꼭짓점(vertex)은 포물선의 증감이 변하는 곳입니다; 따라서, 그것은 전환 점(turning point)이라고 역시 불립니다. 만약 이차 함수가 정점형이라면, 정점은 $(h, k)$ 입니다. 완전제곱식 완성하는 방법을 사용함으로써, 다음과 같은 표준형을 정점형으로 바꿀 수 있습니다. 표준형:

f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!

정점형:

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}

그래서 표준형에서의 포물선의 꼭짓점, $(h, k)$ , 는 다음과 같습니다:

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

만약 이차 함수가 다음과 같은 인수형으로 주어지면:

f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!

두 근의 평균, 즉,

{\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!

은 꼭짓점의 $x$ -좌표이며, 따라서 꼭짓점 $(h, k)$ 는 다음과 같습니다:

\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!

꼭짓점은 만약 $a < 0$ 이면 최댓점, 또는 만약 $a > 0$ 이면 최솟점입니다.

대칭 직선

x=h=-{\frac {b}{2a}}

는 꼭짓점을 통과하며, 포물선의 대칭축(axis of symmetry)입니다.

Maximum and minimum points

미적분을 사용하여, 함수의 최댓점 또는 최솟점(maximum or minimum)인 정점은, 미분(derivative)의 근을 찾음으로써 얻을 수 있습니다:

f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!.

$x$ 는 $f'(x) = 0$ 이면 $f'(x)$ 의 근이며, 결과로써

x=-{\frac {b}{2a}}

이 점에서 함수의 값은 다음과 같습니다:

f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,

그래서 다시 꼭짓점의 좌표, $(h, k)$ , 는 다음과 같이 표현됩니다:

\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).

Roots of the univariate function

Exact roots

다음 일변수 이차 함수의 근(roots) (또는 영(zeros)), $r 1$ 와 $r 2$ ,

{\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}

는 $f (x) = 0$ 을 만족하는 $x$ 의 값입니다.

계수(coefficient) $a$ , $b$ , 및 $c$ 가 실수(real) 또는 복소수(complex)일 때, 근은

r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},

r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

Upper bound on the magnitude of the roots

이차식 $ax^{2}+bx+c$ 의 근의 절댓값(modulus)은 ${\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi$ 보다 클 수가 없으며, 여기서 $\phi$ 는 황금비(golden ratio) ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 입니다.^[4]^{[importance?]}

The square root of a univariate quadratic function

일변수 이차 함수의 제곱근(square root)은 4 개의 원뿔 단면 중 하나, 거의 항상(almost always) 타원(ellipse) 또는 쌍곡선(hyperbola)을 발생시킵니다.

만약 $a>0\,\!$ 이면 방정식 $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 은, 양쪽 변을 제곱함으로써 보일 수 있는 것처럼, 쌍곡선을 나타냅니다. 쌍곡선의 축의 방향은 대응하는 포물선 $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ 의 최소(minimum) 점의 세로좌표(ordinate)에 의해 결정됩니다. 만약 세로좌표가 음수이면, (그의 꼭짓점을 통한) 쌍곡선의 주요 축은 수평이지만, 만약 세로좌표가 양수이면 쌍곡선의 주요 축은 수직입니다.

만약 $a<0\,\!$ 이면 방정식 $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ 은 원 또는 다른 타원 또는 아무것도 아닌 것을 나타냅니다. 만약 대응하는 포물선의 최대(maximum) 점의 세로좌표가 양수이면, 그것의 제곱근은 타원을 나타내지만, 만약 세로좌표가 음수이면 그것은 점의 빈(empty) 자취를 나타냅니다.

Iteration

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ 함수를 반복하기 위해, 우리는 한 반복으로부터 출력을 다음 반복의 입력으로 사용하여 반복적으로 함수를 적용합니다.

우리는 $f^{(n)}(x)$ 의 해석적 형식을 항상 추론할 수는 없으며, 이것은 $f(x)$ 의 n^번째 반복을 의미합니다. (위첨자는, 만약 역이 존재하면 $f(x)$ 의 역의 반복을 참조하여, 음수로 확장될 수 있습니다.) 그러나 일부 해석적으로 다루기-쉬운(tractable) 경우가 있습니다.

예를 들어, 반복 방정식에 대해

f(x)=a(x-c)^{2}+c

우리는 다음을 가집니다:

f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!

여기서

g(x)=ax^{2}\,\!

및

h(x)=x-c.\,\!

따라서 귀납법에 의해,

f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))\,\!

는 얻어질 수 있으며, 여기서 $g^{(n)}(x)$ 는 다음으로 쉽게 계산될 수 있습니다:

g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.\,\!

마지막으로, 우리는 해로 다음을 가집니다:

f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c\,\!

.

f와 g 사이의 관계에 대한 자세한 내용에 대해 토폴로지적 켤레(topological conjugacy)를 참조하십시오. 그리고 일반적인 반복에서 혼란스러운 행동에 대해 복소 이차 다항식(complex quadratic polynomial)을 참조하십시오.

매개-변수 2<r<4를 갖는 로지스틱 맵(logistic map)

x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1

은 특정 클래스에서 해결될 수 있으며, 그것의 하나는 혼돈(chaotic)이고 그것의 하나는 그렇지 않습니다. 혼돈 경우 r=4에서 해는 다음입니다:

x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )

여기서 초기 조건 매개-변수 $\theta$ 는 $\theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})$ 로 제공됩니다. 유리수 $\theta$ 에 대해, 유한 횟수의 반복 후에 $x_{n}$ 은 주기적 수열로 매핑됩니다. 그러나 거의 모든 $\theta$ 는 무리수이고, 유리수 $\theta$ 에 대해, $x_{n}$ 은 절대 자체로 반복되지 않습니다 – 그것은 비-주기적이고 초기 조건에 민감한 의존성(sensitive dependence on initial conditions)을 나타내며, 따라서 그것은 혼돈이라고 말합니다.

r=2일 때 로지스틱 맵의 해는 $x_{0}\in [0,1)$ 에 대해 다음입니다:

x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}

불안정한 고정된 점 0 이외의 $x_{0}$ 의 임의의 값에 대해 $(1-2x_{0})\in (-1,1)$ 이므로, 항 $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ 는 n이 무한대로 갈 때 0으로 가므로, $x_{n}$ 은 안정한 고정된 점 ${\tfrac {1}{2}}$ 으로 갑니다.

Bivariate (two variable) quadratic function

이변수 이차 함수는 다음 형식의 이차 다항식입니다:

f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!

여기서 A, B, C, D, 및 E는 고정된 계수(coefficient)이고 F는 상수 항입니다. 그러한 함수는 이차 표면(surface)으로 나타냅니다. $f(x,y)\,\!$ 를 영과 같게 설정하여 평면 $z=0\,\!$ 과 표면의 교차를 묘사하며, 이것은 원뿔 단면(conic section)과 동등한 점의 자취(locus)입니다.