Surface (mathematics)

수학(mathematics)에서, 표면(surface)은 공통적인 표면(surface) 개념의 수학적 모델(mathematical model)입니다. 그것은 평면(plane)의 일반화이지만, 평면과 달리, 곡선일 수 있습니다; 이것은 직선(straight line)을 일반화하는 곡선(curve)과 유사합니다.

문맥과 연구에 사용되는 수학적 도구에 따라 몇 가지 더 정확한 정의가 있습니다. 가장 간단한 수학적 표면은 유클리드 3-공간의 평면과 구(spheres)입니다. 표면의 정확한 정의는 문맥에 따라 달라질 수 있습니다. 전형적으로, 대수적 기하학(algebraic geometry)에서, 표면이 자체와 교차할 수 있지만 (그리고 다른 특이점(singularities)을 가질 수 있습니다), 토폴로지(topology)와 미분 기하학(differential geometry)에서, 교차하지 않을 수 있습니다.

표면은 차원(dimension) 이의 토폴로지적 공간(topological space)입니다; 이것은 표면 위의 이동하는 점이 두 방향으로 이동할 수 있음을 의미합니다 (그것은 2 자유도를 가집니다). 다시 말해서, 거의 모든 점 주변에, 이-차원 좌표 시스템(coordinate system)이 정의되는 좌표 패치(coordinate patch)가 있습니다. 예를 들어, 지구 표면은 (이상적으로는) 이-차원 구(sphere)와 닮아 있고, 위도(latitude)와 경도(longitude)는 그것 위에 이-차원 좌표를 제공합니다 (극과 180도 자오선(180th meridian)을 따라 제외).

Definitions

종종, 표면은 그것의 점의 좌표(coordinates)에 의해 충족되는 방정식(equations)에 의해 정의됩니다. 이것은 두 변수의 연속 함수(continuous function) 그래프(graph)의 경우입니다. 세-변수 함수의 영들의 집합은 암시적 표면(implicit surface)이라고 불리는 표면입니다.^[1] 만약 정의하는 세-변이 함수가 다항식(polynomial)이면, 그 표면은 대수적 표면(algebraic surface)입니다. 예를 들어, 단위 구(unit sphere)는 대수적 표면인데, 왜냐하면 다음 암시적 방정식(implicit equation)으로 정의될 수 있기 때문입니다:

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.

표면은 역시 두 변수의 연속 함수(continuous function)의, 적어도 3 차원(dimension)의 일부 공간에서, 이미지(image)로 정의될 수 있습니다 (일부 추가적인 조건이 이미지가 곡선(curve)이 아님을 보장하기 위해 요구됩니다). 이 경우 매개변수라고 하는 이 두 변수에 의해 매개변수화되는 매개변수 표면이 있다고 말합니다. 예를 들어, 단위 구는 경도 u 및 위도 v라고도 하는 오일러 각으로 매개변수화될 수 있습니다. 이 경우에서, 우리는 매개변수 표면(parametric surface)을 가진다고 말하며, 이는 이들 두 변수에 의해 매개변수화(parametrized)됩니다. 예를 들어, 단위 구는 다음에 의해 경도 $u$ 와 위도 $v$ 라고도 불리는 오일러 각도(Euler angles)로 매개변수화될 수 있습니다:

{\begin{aligned}x&=\cos(u)\cos(v)\\y&=\sin(u)\cos(v)\\z&=\sin(v)\,.\end{aligned}}

표면의 매개변수 방정식은 종종 일부 점에서 불규칙합니다. 예를 들어, 단위 구의 두 점을 제외한 모든 점은, 위의 매개변수화에 의해, 정확히 한 쌍의 오일러 각도 (모듈로 $2 π$ )의 이미지입니다. 남아있는 두 점 (북극과 남극)에 대해, 우리는 $cos v = 0$ 를 가지고, 경도 $u$ 는 어떤 값이든 취할 수 있습니다. 역시, 전체 표면을 덮는 단일 매개변수화가 존재할 수 없는 표면이 있습니다. 그러므로, 우리는 종종 그 이미지가 표면을 덮는 여러 매개변수 방정식에 의해 매개변수화된 표면을 고려합니다. 이것은 매니폴드(manifold)의 개념에 의해 형식화됩니다: 매니폴드의 문맥, 전형적으로 토폴로지(topology)와 미분 기하학(differential geometry)에서, 표면은 차원 2의 매니폴드입니다; 이것은 표면이 모든 각 점이 유클리드 평면(Euclidean plane)의 열린 부분집합(open subset)에 위상동형적(homeomorphic)인 이웃(neighborhood)을 가짐을 만족하는 토폴로지적 공간(topological space)임을 의미합니다 (Surface (topology)와 Surface (differential geometry)을 참조하십시오). 이것은 삼보다 큰 차원의 공간에서 표면을 정의하는 것을 허용하고, 임의의 다른 공간에 포함되지 않은 심지어 추상 표면(abstract surfaces)도 허용합니다. 다른 한편으로, 원뿔형 표면(conical surface)의 꼭짓점 또는 표면이 자체와 교차하는 점과 같이 특이점(singularities)을 가지는 표면은 제외합니다.

고전 기하학(classical geometry)에서, 표면은 일반적으로 점 또는 직선의 자취(locus)로 정의됩니다. 예를 들어, 구는 중심이라고 불리는 고정된 점의 주어진 거리에 있는 점의 자취입니다; 원뿔형 표면(conical surface)은 고정된 점을 통과하고 곡선을 교차하는 직선의 자취입니다; 회전의 표면(surface of revolution)은 직선 주위를 회전하는 곡선의 자취입니다. 자로-그은 표면(ruled surface)은 몇 가지 제약 조건을 만족시키는 움직이는 직선의 자취입니다; 현대 용어에서, 자로-그은 표면은 직선의 합집합인 표면입니다.

Terminology

이 기사에서, 여러 종류의 표면이 고려하고 비교됩니다. 명확한 용어가 따라서 이들을 구별하기 위해 필요합니다. 그러므로, 우리는 차원 2의 매니폴드(manifolds)인 표면 (Surface (topology)에서 고려된 표면)을 토폴로지적 표면(topological surfaces)이라고 부릅니다. 우리는 미분-가능 매니폴드 (Surface (differential geometry)에서 고려되는 표면)인 표면을 미분-가능 표면이라고 부릅니다. 모든 각 미분-가능 표면은 토폴로지적 표면이지만, 그 전환은 거짓입니다.

단순화를 위해, 달리 명시되지 않은 한, "표면"은 차원 3의 유클리드 공간(Euclidean space) 또는 $R 3$ 에 있는 표면을 의미합니다. 또 다른 공간에 포함되지 않아야 하는 표면은 추상 표면(abstract surface)이라고 불립니다.

Examples

$R 2$ 의 연결된(connected) 열린 부분-집합(open subset)에 걸쳐 정의된 두 변수의 연속 함수(continuous function)의 그래프(graph)는 토폴로지적 표면(topological surface)입니다. 만약 함수가 미분-가능이면, 그래프는 미분-가능 표면(differentiable surface)입니다.
평면(plane)은 대수적 표면(algebraic surface)이자 미분-가능 표면입니다. 그것은 역시 자로-그은 표면(ruled surface)이고 회전의 표면(surface of revolution)입니다.
원기둥 (즉, 원을 가로지르고 주어진 방향에 평행한 직선의 자취)은 대수적 표면이고 미분-가능 표면입니다.
원형 원뿔 (원과 교차하고 원의 평면 외부에 있는 꼭대기(apex), 고정된 점을 통과하는 직선의 자취)은 미분-가능 표면이 아닌 대수적 표면입니다. 만약 우리가 꼭대기를 제거하면, 원뿔의 남아있는 부분은 두 미분-가능 표면의 합집합입니다.
다면체(polyhedron)의 표면은 미분-가능 표면도 아니고 대수적 표면도 아닌 토폴로지적 표면입니다.
쌍곡형 포물면체(hyperbolic paraboloid, 함수 $z = xy$ 의 그래프)는 미분-가능 표면이고 대수적 표면입니다. 그것은 역시 자로-그은 표면이고, 이러한 이유로, 건축(architecture)에서 종종 사용됩니다.
두-판 쌍곡면체(two-sheet hyperboloid)는 대수적 표면과 두 개의 비-교차하는 미분-가능 표면의 합집합입니다.

Parametric surface

매개변수 표면(parametric surface)은 토폴로지적 공간(topological space), 일반적으로 최소 3 차원에서 유클리드 공간(Euclidean space)에서, 연속 함수(continuous function)에 의한 유클리드 평면(Euclidean plane, 전형적으로 $\mathbb {R} ^{2}$ )의 열린 부분-집합의 이미지입니다. 보통 함수는 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이라고 가정하고, 이것은 이 기사에서 항상 그럴 것입니다.

구체적으로, $\mathbb {R} ^{3}$ 에서 매개변수 표면은 매개변수라고 불리는 두 변수 $u$ 와 $v$ 의 세 가지 함수로 제공됩니다:

{\begin{aligned}x&=f_{1}(u,v)\\y&=f_{2}(u,v)\\z&=f_{3}(u,v)\,.\end{aligned}}

그러한 함수의 이미지는 곡선(curve)일 수 있으므로 (예를 들어, 만약 세 함수가 $v$ 에 관해 상수이면), 추가적인 조건이 요구되며, 일반적으로 매개변수의 거의 모든(almost all) 값에 대해 다음 야코비 행렬(Jacobian matrix)이 랭크 2를 가집니다:

{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial v}}\\\end{bmatrix}}

여기서 "거의 모두"는 랭크가 2인 매개변수의 값이 매개변수화의 범위의 조밀한(dense) 열린 부분-집합(open subset)을 포함한다는 것을 의미합니다. 더 높은 차원의 공간에 있는 표면에 대해, 그 조건은 야코비 행렬의 열의 숫자를 제외하고 같습니다.

Tangent plane and normal vector

위의 야코비 행렬이 랭크 2를 가지는 점 $p$ 는 정규(regular)라고 불리거나, 더 적절하게, 매개변수화는 $p$ 에서 정규(regular)라고 불립니다.

정규 점 $p$ 에서의 접 평면(tangent plane)은 $p$ 를 통과하고 야코비 행렬의 두 행 벡터(row vectors)에 평행한 방향을 가지는 고유한 평면입니다. 접 평면은 아핀 개념(affine concept)인데, 왜냐하면 그것의 정의가 메트릭(metric)의 선택과 무관하기 때문입니다. 다시 말해서, 임의의 아핀 변환(affine transformation)은 한 점에서 표면에 접하는 평면을 그 점의 이미지에서 표면의 이미지에 접하는 평면에 매핑합니다.

표면의 한 지점에서의 법선(normal line)은 그 점을 통과하고 접 평면에 수직인 고유한 직선입니다; 법선 벡터(normal vector)는 법선에 평행한 벡터입니다.

표면의 다른 미분 불변(differential invariants)에 대해, 점의 근처에서, 표면의 미분 기하학(Differential geometry of surfaces)을 참조하십시오.

Irregular point and singular point

정규가 아닌 매개변수 표면의 점은 비-졍규(irregular)입니다. 여러 종류의 비-정규 점이 있습니다.

매개변수화를 변경하면, 비-졍규 점이 정규가 되는 경우가 있습니다. 이것은 오일러 각도(Euler angles)에 의한 단위 구(unit sphere)의 매개변수화에서 극점의 경우입니다; 그것은 극점을 변경하는 데 서로 다른 좌표 축(coordinate axes)의 역할을 순열하는 것으로 충분합니다.

다른 한편으로, 매개변수 방정식의 원형 원뿔(circular cone)을 생각해 보십시오:

{\begin{aligned}x&=t\cos(u)\\y&=t\sin(u)\\z&=t\,.\end{aligned}}

원뿔의 꼭대기는 원점 $(0, 0, 0)$ 이고, $t = 0$ 에 대해 얻습니다. 어떤 매개변수화가 선택되든 비-졍규로 남아 있는 비-정규 점입니다 (그렇지 않으면, 고유한 접 평면이 존재할 것입니다). 접 평면이 정의되지 않은 그러한 비-정규 점은 특이점(singular)이라고 말합니다.

또 다른 종류의 특이점이 있습니다. 자체-교차하는 점(self-crossing points), 즉 표면이 자체를 교차하는 점이 있습니다. 다시 말해서, 이것들은 (적어도) 매개변수의 서로 다른 두 값에 대해 얻은 점입니다.

Graph of a bivariate function

$z = f (x, y)$ 를 두 실수 변수의 함수로 놓습니다. 이것은 다음과 같이 매개변수화된 매개변수 표면입니다:

{\begin{aligned}x&=t\\y&=u\\z&=f(t,u)\,.\end{aligned}}

이러한 표면의 모든 각 점은 정규적인데, 왜냐하면 야코비 행렬의 두 개의 첫 번째 열이 랭크 2의 항등 행렬(identity matrix)을 형성하기 때문입니다.

Rational surface

유리 표면(rational surface)은 두 변수의 유리 함수(rational functions)에 의해 매개변수화될 수 있는 표면입니다. 즉, 만약 $f i (t, u)$ 가, $i = 0, 1, 2, 3$ 에 대해, 두 개의 불확정의 다항식(polynomials)이면, 매개변수 표면은, 다음에 의해 정의되며, 유리 표면입니다:

{\begin{aligned}x&={\frac {f_{1}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\\y&={\frac {f_{2}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\\z&={\frac {f_{3}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\,\end{aligned}}

유리 표면은 대수적 표면(algebraic surface)이지만, 대부분의 대수적 표면은 유리 표면이 아닙니다.

Implicit surface

차원 3의 유클리드 공간 (또는, 더 일반적으로, 아핀 공간)에서 암시적 표면은 다음 세 변수의 미분-가능 함수의 공통 영들의 집합이 그 방정식은 변수 중 하나를 다른 변수의 함수로 암시적으로 정의된다는 것을 암시적으로 의미합니다:

f(x,y,z)=0.

이것은 암시적 함수 정리(implicit function theorem)에 의해 더 정확하게 만들어집니다: 만약 $f (x 0, y 0, z 0) = 0$ 이고, $f$ 의 $z$ 에서 부분 도함수가 $(x 0, y 0, z 0)$ 에서 영이 아니면, $(x 0, y 0, z 0)$ 의 이웃(neighbourhood)에서 다음을 만족하는 미분-가능 함수 $φ (x, y)$ 가 존재합니다:

f(x,y,\varphi (x,y))=0

다시 말해서, 암시적 표면은 $z$ 에서 부분 도함수가 비-영인 표면의 점 근처에 있는 함수의 그래프입니다. 암시적 표면은 따라서 3개의 부분 도함수가 영인 표면의 점을 제외하고, 지역적으로, 매개변수 표현을 가집니다.

Regular points and tangent plane

$f$ 의 적어도 하나의 부분 도함수가 비-영인 표면의 점은 정규(regular)라고 불립니다. 그러한 점 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 에서, 접 평면과 법선의 방향은 잘 정의되고, § Tangent plane and normal vector에서 위에서 주어진 정의로부터 암시적 함수 정리와 함께 추론될 수 있습니다. 법선의 방향은 그래디언트(gradient), 즉, 다음 벡터입니다:

\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})\right].

접 평면은 다음 암시적 방정식에 의해 정의됩니다:

{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.

Singular point

암시적 표면 ( $\mathbb {R} ^{3}$ 에 있음)의 특이 점(singular point)은 암시적 방정식이 유지되고 그것의 정의하는 함수의 세 부분 도함수가 모두 영인 표면의 점입니다. 그러므로, 특이 점은 3 개의 불확정에서 4 개의 방정식 시스템의 해입니다. 대부분의 그러한 시스템이 해를 가지지 않기 때문에, 많은 표면이 임의의 특이 점을 가지지 않습니다. 특이 점을 가지지 않는 표면은 정규(regular) 또는 비-특이(non-singular)라고 불립니다.

특이 점 근처의 표면의 연구와 특이점의 분류가 특이점 이론(singularity theory)입니다. 특이 점은 만약 그것의 이웃에 다른 특이 점이 없으면 분리된(isolated) 것입니다. 그렇지 않으면, 특이 점이 곡선을 형성할 수 있습니다. 이것은 특히 자체-교차하는 표면에 대한 경우입니다.

Algebraic surface

원래, 대수적 표면은 다음 암시적 방정식에 의해 정의될 수 있는 표면이었습니다:

f(x,y,z)=0,

여기서 $f$ 는 실수 계수를 갖는 세 불확정(indeterminates)에서 다항식입니다.

그 개념은 임의적인 필드(fields)에 걸쳐 표면을 정의하고, 임의적인 차원의 공간 또는 투영 공간(projective spaces)에서 표면을 고려함으로써 여러 방향으로 확장되어 왔습니다. 또 다른 공간에 명시적으로 삽입되지 않은 추상 대수적 표면도 고려됩니다.

Surfaces over arbitrary fields

임의의 필드에서 계수를 갖는 다항식은 대수적 표면을 정의하는 데 허용됩니다. 어쨌든, 다항식의 계수 필드는 잘 정의되지 않는데, 왜냐하면, 예를 들어, 유리수(rational) 계수를 갖는 다항식은 실수(real) 또는 복소수(complex) 계수를 갖는 다항식으로 고려될 수도 있습니다. 그러므로, 표면의 점의 개념은 다음 방법에서 일반화되어 왔습니다.^[2]

다항식 $f (x, y, z)$ 가 주어지면, $k$ 를 계수를 포함하는 가장 작은 필드라고 놓고, $K$ 를 무한 초월 차수(transcendence degree)의 $k$ 의 대수적으로 닫힌 확장이라고 놓습니다.^[3] 그런-다음 표면의 한 점은 다음 방정식의 해인 $K 3$ 의 원소입니다:

f(x,y,z)=0.

만약 다항식이 실수 계수를 가지면, 필드 $K$ 는 복소 필드(complex field)이고, $\mathbb {R} ^{3}$ 에 속하는 표면의 점 (보통의 점)은 실수 점이라고 불립니다. $k 3$ 에 속하는 점은 $k$ 에 걸쳐 유리수, 또는 만약 $k$ 가 유리수(rational numbers)의 필드이면 단순히 유리 점이라고 불립니다.

Projective surface

차원 3의 투영 공간(projective space)에서 투영 표면(projective surface)은 동차 좌표(homogeneous coordinates)가 네 개의 변수에서 단일 동차 다항식(homogeneous polynomial)의 영들인 점의 집합입니다. 보다 일반적으로, 투영 표면은 투영 공간의 부분집합이며, 이는 차원 2의 투영 다양체(projective variety)입니다.

투영 표면은 아핀 표면 (즉, 보통의 대수적 표면)과 강하게 관련됩니다. 우리는 정의하는 다항식 (보통 마지막 것)의 하나의 어떤 좌표 또는 불확정을 설정함으로써 투영 표면에서 해당하는 아핀 표면으로 전달됩니다. 반대로, 우리는 (차원 3의 공간에서 표면의 경우에서) 정의하는 다항식을 동차화하거나 (더 높은 차원의 공간에서 표면에 대해) 정의하는 아이디얼의 모든 다항식을 동차화함으로써 아핀 표면에서 그것의 결합된 투영 표면 (투영 완성(projective completion)이라고 불림)으로 전달합니다.

In higher dimensional spaces

우리는 대수적 다양체와 대수적 다양체의 차원의 일반적인 정의 없이 3보다 높은 차원의 공간에서 대수적 표면의 개념을 정의할 수 없습니다. 사실, 대수적 표면은 차원 2의 대수적 다양체(algebraic variety of dimension two)입니다.

보다 정확하게, 차원 $n$ 의 공간에서 대수적 표면은 적어도 $n - 2$ 다항식의 공통 영들의 집합이지만, 이들 다항식은 즉시 확인되지 않을 수 있는 추가적인 조건을 만족시켜야 합니다. 첫째, 다항식은 다항식 중 하나가 다른 다항식에 의해 생성된 아이디얼(ideal)에 있는 경우에 전형적으로 발생하는 더 높은 차원의 대수적 집합(algebraic set) 또는 다양체를 정의해서는 안 됩니다. 일반적으로, $n - 2$ 다항식은 차원 2 이상의 대수적 집합을 정의합니다. 만약 차원이 2이면, 대수적 집합은 여러 기약 성분(irreducible components)을 가질 수 있습니다. 만약 오직 하나의 성분이 있으면, $n - 2$ 다항식은 완비 교차점(complete intersection)인 표면을 정의합니다. 만약 여러 성분이 있으면, 우리는 특정 성분을 선택하는 데 추가 다항식이 필요합니다.

대부분의 저자는 차원 2의 대수적 다양체의 표면만을 대수적 표면으로 고려하지만, 일부 저자는 역시 기약 성분이 차원 2를 가지는 모든 대수적 집합을 표면으로 고려합니다.

차원 3의 공간에서 표면의 경우에서, 모든 각 표면은 완비 교차점이고, 표면은 단일 다항식에 의해 정의되며, 이는 차원 2의 비-기약 대수적 집합이 표면으로 고려되는지 여부에 따라 기약이거나 기약이 아닙니다.

Topological surface

토폴로지(topology)에서, 표면은 일반적으로 차원 2의 매니폴드(manifold)로 정의됩니다. 이것은 토폴로지적 표면이 모든 각 점이 유클리드 평면(Euclidean plane)의 열린 부분집합(open subset)에 위상동형적(homeomorphic)인 이웃(neighborhood)을 가짐을 만족하는 토폴로지적 공간(topological space)이라는 것을 의미합니다.

모든 각 토폴로지적 표면은 모든 패싯(facets)이 삼각형(triangles)임을 만족하는 다면체 표면(polyhedral surface)과 위상동형적입니다. 삼각형 (또는, 보다 일반적으로, 고차원 심플렉스)의 그러한 배열에 대한 조합론적(combinatorial) 연구는 대수적 토폴로지의 시작하는 대상입니다. 이를 통해 지너스(genus)와 호몰로지 그룹(homology groups)과 같은 순수하게 대수적 불변(invariants)의 관점에서 표면의 속성을 특성화할 수 있습니다.

표면의 위상동형 클래스가 완전하게 설명되어 왔습니다 (Surface (topology)를 참조하십시오).

Differentiable surface

Fractal surface

In computer graphics

Notes

^ Here "implicit" does not refer to a property of the surface, which may be defined by other means, but instead to how it is defined. Thus this term is an abbreviation of "surface defined by an implicit equation".
^ Weil, André (1946), Foundations of Algebraic Geometry, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 1–363, ISBN 9780821874622, MR 0023093^{[page needed]}
^ The infinite degree of transcendence is a technical condition, which allows an accurate definition of the concept of generic point.

[1] Here "implicit" does not refer to a property of the surface, which may be defined by other means, but instead to how it is defined. Thus this term is an abbreviation of "surface defined by an implicit equation".

[2] Weil, André (1946), Foundations of Algebraic Geometry, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 1–363, ISBN 9780821874622, MR 0023093^{[page needed]}

[3] The infinite degree of transcendence is a technical condition, which allows an accurate definition of the concept of generic point.

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