Quintic function

대수학(algebra)에서, 오차 함수(quintic function)는 다음 형식의 함수(function)입니다:

g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,

여기서 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ 및 $f$ 은, 전형적으로 유리수(rational number), 실수(real number) 또는 복소수(complex number)와 같은, 필드(field)의 구성원이고, $a$ 는 비-영입니다. 다시 말해, 오차 함수는 차수(degree) 오의 다항식(polynomial)에 의해 정의됩니다.

그들은 홀수 차수를 가지기 때문에, 정규 오차 함수는, 그래프를 그렸을 때, 각각 추가적인 극댓값(local maximum)과 극솟값을 보유할 수 있는 것을 제외하고, 정규 삼차 함수(cubic function)와 비슷하게 보입니다. 오차 함수의 도함수(derivative)는 사차 함수(quartic function)입니다.

$g (x) = 0$ 으로 설정하고 $a \neq 0$ 을 가정하면, 다음 형식의 오차 방정식(quintic equation)을 생성합니다:

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,

제곱근의 관점에서 오차 방정식을 푸는 것은, 삼차(cubic) 및 사차 방정식(quartic equation)이 풀렸을 때, 16세기로부터 대수학의 주요 문제였었고, 그러한 일반적인 해의 불가능성은 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)와 함께 입증되었을 때, 19세기 전반부까지 계속되었습니다.

Finding roots of a quintic equation

주어진 다항식의 근을 찾는 것이 중요한 수학 문제였습니다.

선형(linear), 이차(quadratic), 삼차(cubic) 및 사차 방정식(quartic equation)을 제곱근(radical)으로 인수분해(factorization)에 의해 푸는 것은, 근이 유리수 또는 무리수, 실수 또는 복소수라는 여부에 상관없이, 항상 행해질 수 있습니다; 필요한 해를 산출하는 공식이 있습니다. 어쨌든, 유리수에 걸쳐 일반적인 오차 방정식의 해에 대해 대수적 표현(algebraic expression) (즉, 제곱근의 관점에서)은 없습니다; 이 명제는 1799년에 처음 주장되었고 1824년에 완전히 입증된 아벨–루피니 정리로(Abel–Ruffini theorem)로 알려져 있습니다. 이 결과는 역시 더 높은 차수의 방정식에 역시 적용됩니다. 근이 제곱근의 관점에서 표현될 수 없는 오차의 예제는 $x 5 - x + 1 = 0$ 입니다. 이 오차는 브링–제라드 정규 형식(Bring–Jerrard normal form)입니다.

일부 오차는 제곱근의 관점에서 해결될 수 있습니다. 어쨌든, 그 해는 일반적으로 실제로 사용하기에는 너무 복잡합니다. 대신에, 수치적 근사가 다항식에 대한 근-찾기 알고리듬(root-finding algorithm for polynomials)을 사용하여 계산됩니다.

Solvable quintics

일부 오차 방정식은 제곱근의 관점에서 풀 수 있습니다. 이것에는 $x 5 - x 4 - x + 1 = (x 2 + 1)(x + 1)(x - 1) 2$ 와 같은 비-기약(reducible) 다항식에 의해 정의된 오차 방정식을 포함합니다. 예를 들어, 다음 방정식

x^{5}-x-r=0

이 제곱근에서 해를 가지는 것과 그것이 정수 해를 가지는 것 또는 r이 ±15, ±22440, 또는 ±2759640 중 하나이며, 이 경우에서 다항식이 비-기약인 것은 필요충분 조건임을 보였습니다.^[1]

비-기약 오차 방정식을 푸는 것은 즉시 더 낮은 차수의 다항식을 푸는 것으로 줄어들기 때문에, 오직 기약 오차 방정식이 이 섹션의 나머지 부분에서 고려되고, 용어 "오차"는 오직 기약 오차를 참조합니다. 풀 수 있는 오차는 따라서 근이 제곱근의 관점에서 표현될 수 있는 기약 오차 다항식입니다.

풀 수 있는 오차, 및 보다 일반적으로 더 높은 차수의 풀 수 있는 다항식을 특성화하기 위해, 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)는 그룹 이론(group theory)과 갈루아 이론(Galois theory)을 일으켰던 기법을 개발했습니다. 이들 기법을 적용하여, 아서 케일리(Arthur Cayley)는 임의의 주어진 오차가 풀 수 있는지 여부를 결정하는 일반적인 기준을 발견했습니다.^[2] 이 기준은 다음과 같습니다.^[3]

다음 방정식이 주어지면:

ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,

오차를 퇴화시키는, 취른하우스 변환(Tschirnhaus transformation) $x = y - b / 5 a$ 는 다음 방정식을 제공합니다:

y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0

,

여기서

{\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}

오차 둘 다가 제곱근에 의해 풀 수 있는 것과 그들이 유리 계수를 갖는 더 낮은 차수의 방정식에서 인수화-가능인 것 또는 케일리의 분해로 이름-지은 다항식 $P 2 - 1024 z Δ$ 이 $z$ 에서 유리 근을 가지는 것은 필요충분 조건이며, 여기서

P=z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})

{}-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}

{}+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq

및

\Delta =-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}

{}-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}

{}+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.

케일리의 결과는 오차가 풀릴 수 있는지 테스트하는 것을 허용합니다. 만약 그런 경우이면, 그것의 근을 찾는 것이 보다 어려운 문제이며, 이것은 오차의 계수와 케일리의 분해의 유리 근을 포함하는 제곱근의 관점에서 근을 표현하는 것으로 구성됩니다.

1888녀에, 조지 팩스턴 영(George Paxton Young)은, 명백한 공식을 제공하는 것없이, 풀 수 있는 오차 방정식을 푸는 방법을 설명했습니다;^[4] 다니엘 라자드(Daniel Lazard)는 3-페이지 공식을 썼습니다 (라자드 (2004)).

Quintics in Bring–Jerrard form

브링–제라드 형식(Bring–Jerrard form)으로 불리는, 형식 $x 5 + ax + b = 0$ 의 풀-수-있는 오차의 여러 매개-변수적 표시가 있습니다.

19세기 후반부 동안, 존 스튜어트 글라산(John Stuart Glashan), 조지 팩스턴 영(George Paxton Young) 및 카를 룽게(Carl Runge)는 그러한 매개-변수화를 제공했습니다: 브링–제라드 형식에서 유리 계수를 가진 기약(irreducible) 오차가 풀릴 수 있는 것과 $a = 0$ 또는 그것이 다음으로 쓸 수 있는 것은 필요충분 조건입니다:

x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0

여기서 $μ$ 및 $ν$ 는 유리수입니다.

1994년에, 블레어 스피어만(Blair Spearman) 및 케네스 윌리엄스(Kenneth S. Williams)는 하나의 대안을 제공합니다:

x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.

1885와 1994 매개-변수화 사이의 관계는 다음 표현을 정의함으로써 보일 수 있습니다:

b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)

여기서 $a = 5(4 ν + 3) / ν 2 + 1$ 입니다. 제곱근의 음의 경우를 사용하는 것은, 변수를 스케일링한 후, 첫 번째 매개-변수화를 산출하지만 양수 경우는 두 번째 매개-변수화를 제공합니다.

스피어만-윌리엄스 매개-변수화에서 치환 $c = - m / l 5$ , $e = 1 / l$ 은 특별한 경우 $a = 0$ 을 제외하지 않으며, 다음 결과를 제공합니다:

만약 $a$ 와 $b$ 가 유리수이면, 방정식 $x 5 + ax + b = 0$ 는 만약 그것의 왼쪽 변이 유리 계수를 가진 5보다 작은 차수의 다항식의 곱 또는 다음을 만족하는 두 유리수 $l$ 과 $m$ 이 존재하면 제곱근에 의해 풀릴 수 있습니다:

a={\frac {5l(3l^{5}-4m)}{m^{2}+l^{10}}}\qquad b={\frac {4(11l^{5}+2m)}{m^{2}+l^{10}}}.

Roots of a solvable quintic

다항 방정식은 만약 그것의 갈루아 그룹(Galois group)이 풀-수-있는 그룹(solvable group)이면 제곱근에 의해 풀 수 있습니다. 기약 오차의 경우에서, 갈루아 그룹은 다섯 원소 집합의 모든 순열의 대칭 그룹(symmetric group) $S 5$ 의 부분-그룹이며, 이것이 풀 수 있는 것과 그것이 순환 순열 $(1 2 3 4 5)$ 및 $(1 2 4 3)$ 에 의해 생성된, 차수 $20$ 의 그룹 $F 5$ 의 부분-그룹인 것은 필요충분 조건입니다.

만약 오차가 풀 수 있으면, 해의 하나는 하나의 다섯 번째 근과 많아야 두 개의 제곱근, 일반적으로 중첩제곱근(nested)을 포함하는 대수적 표현(algebraic expression)에 의해 표현될 수 있습니다. 다른 해는 그런-다음 다섯 번째 근을 변경함 또는 다섯 번째 근의 모든 발생에 다음 단위의 원시 5번째 근(primitive 5th root of unity)의 같은 거듭제곱을 곱함으로써 구할 수 있습니다.

{\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.

단위의 모든 네 개의 원시 다섯 번째 제곱근은 적절히 제곱근의 부호를 바꿈으로써 구할 수 있습니다, 즉:

{\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},

여기서 $\alpha ,\beta \in \{-1,1\}$ 이며, 단위의 네 개의 구별되는 원시 다섯 번째 근을 산출합니다.

우리는 풀 수 있는 오차의 모든 근을 쓰려면 네 개의 다른 제곱근이 필요할 수 있음을 따릅니다. 심지어 많아야 두 제곱근을 포함하는 첫 번째 근에 대해, 제곱근의 관점에서 해의 표현은 보통 매우 복잡합니다. 어쨌든, 제곱근이 필요하지 않을 때, 방정식 50x² + 55x − 21 = 0}}에 대해서 처럼, 첫 번째 해의 형식은 꽤 단순할 수 있으며, 이것에 대해 오직 실수 해는 다음입니다:

x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.

보다 복잡한 (비록 여기서는 충분히 작지만) 해의 예제는 $x 5 - 5 x + 12 = 0$ 의 고유한 실수 근입니다. $a = \sqrt 2 φ -1$ , $b = \sqrt 2 φ$ , 및 $c = 4 \sqrt 5$ 를 놓으며, 여기서 $φ = 1+ \sqrt 5 / 2$ 는 황금 비율(golden ratio)입니다. 그런-다음 고유한 실수 해 $x = -1.84208\dots$ 는 다음에 의해 제공됩니다:

-cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,

또는, 동등하게, 다음에 의해 제공됩니다:

x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,

여기서 $y i$ 는 다음 사차 방정식(quartic equation)의 네 근입니다:

y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.

보다 일반적으로, 만약 유리 계수를 갖는 소수 차수 $p$ 의 방정식 $P (x) = 0$ 가 제곱근에서 풀릴 수 있으면, 우리는, $P$ 의 각 근이 $Q$ 의 근의 $p$ -번째 근의 합이 되도록, 역시 유리 계수를 가진, 차수 $p - 1$ 의 보조 방정식 $Q (y) = 0$ 을 정의할 수 있습니다. 이들 $p$ -번째 근은 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)에 의해 도입되었고, $p$ 에 의한 그들의 곱은 공통적으로 라그랑주 분해(Lagrange resolvent)라고 불립니다. $Q$ 와 그것의 근의 계산은 $P (x) = 0$ 을 풀기 위해 사용될 수 있습니다. 어쨌든 이들 $p$ -번째 근은 독립적으로 계산될 수 없습니다 (이것은 $p$ 대신에 $p p -1$ 근을 제공할 것입니다). 따라서 올바른 해는 모든 이들 $p$ -근을 그들 중 하나의 항에서 표현해야 합니다. 갈루아 이론은 이것이, 심지어 결과 공식이 임의의 사용하기에 너무 클 수 있을지라도, 항상 이론적으로 가능함을 보여줍니다.

$Q$ 의 근의 일부는 (이 섹션의 첫 번째 예제에서 처럼) 유리수 또는 일부는 영인 것이 가능합니다. 이들 경우에서, 근에 대해 공식은 풀-수-있는 드 무아브르(de Moivre) 오차에 대해서 처럼 훨씬 간단합니다:

x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,

여기서 보조 방정식은 두 영 근을 가지고, 그들을 인수로 묶어냄으로써, 드 무아브르 오차의 다섯 근이 다음에 의해 제공됨을 만족하는

x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},

다음 이차 방정식(quadratic equation)으로 줄어들며,

y^{2}+by-a^{5}=0\,,

여기서 y_i는 보조 이차 방정식의 임의의 근이고 ω는 단위의 네 원시 5번째 근 중에 임의의 것입니다. 이것은 반드시 소수일 필요는 없지만, 풀-수-있는 칠차(septic) 및 다른 홀수 차수를 구성하기 위해 쉽게 일반화될 수 있습니다.

Other solvable quintics

브링-제라드 형식에서 무한하게 많은 풀-수-있는 오차가 있으며, 이전 섹션에서 매개-변수화되어 왔습니다.

변수의 스케일링까지, 모양 $x^{5}+ax^{2}+b$ 의 정확히 다섯 풀-수-있는 오차가 있으며, 그것은 다음입니다^[5] (여기서 s는 스케일링 인수입니다)

x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}

x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}

x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}

x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}

x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}

팩스턴 영 (1988)은 풀-수-있는 오차의 많은 예제를 제공했습니다:

$x^{5}+3x^{2}+2x-1$
$x^{5}-10x^{3}-20x^{2}-1505x-7412$
$x^{5}+{\frac {625}{4}}x+3750$
$x^{5}-{\frac {22}{5}}x^{3}-{\frac {11}{25}}x^{2}+{\frac {462}{125}}x+{\frac {979}{3125}}$
$x^{5}+20x^{3}+20x^{2}+30x+10$	$~\qquad ~$ Root: ${\sqrt[{5}]{2}}-{\sqrt[{5}]{2}}^{2}+{\sqrt[{5}]{2}}^{3}-{\sqrt[{5}]{2}}^{4}$
$x^{5}-20x^{3}+250x-400$
$x^{5}-5x^{3}+{\frac {85}{8}}x-{\frac {13}{2}}$
$x^{5}+{\frac {20}{17}}x+{\frac {21}{17}}$
$x^{5}-{\frac {4}{13}}x+{\frac {29}{65}}$
$x^{5}+{\frac {10}{13}}x+{\frac {3}{13}}$
$x^{5}+110(5x^{3}+60x^{2}+800x+8320)$
$x^{5}-20x^{3}-80x^{2}-150x-656$
$x^{5}-40x^{3}+160x^{2}+1000x-5888$
$x^{5}-50x^{3}-600x^{2}-2000x-11200$
$x^{5}+110(5x^{3}+20x^{2}-360x+800)$
$x^{5}-20x^{3}+170x+208$

무한한 일련의 풀-수-있는 오차가 구성될 수 있으며, 이것의 근은 단위의 n-번째 근(n-th roots of unity)의 합이며, 여기서 n = 10k + 1은 소수입니다:

$x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1$		Roots: $2\cos \left({\frac {2k\pi }{11}}\right)$
$x^{5}+x^{4}-12x^{3}-21x^{2}+x+5$		Root: $\sum _{k=0}^{5}e^{\frac {2i\pi 6^{k}}{31}}$
$x^{5}+x^{4}-16x^{3}+5x^{2}+21x-9$		Root: $\sum _{k=0}^{7}e^{\frac {2i\pi 3^{k}}{41}}$
$x^{5}+x^{4}-24x^{3}-17x^{2}+41x-13$	$~\qquad ~$	Root: $\sum _{k=0}^{11}e^{\frac {2i\pi (21)^{k}}{61}}$
$x^{5}+x^{4}-28x^{3}+37x^{2}+25x+1$		Root: $\sum _{k=0}^{13}e^{\frac {2i\pi (23)^{k}}{71}}$

풀-수-있는 오차의 두 매개-변수화된 가족이 역시 있습니다: 곤도–브루머 오차,

x^{5}+(a-3)x^{4}+(-a+b+3)x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)x^{2}+bx+a=0\,

및 매개-변수 $a,l,m$ 에 의존하는 가족,

x^{5}-5p(2x^{3}+ax^{2}+bx)-pc=0\,

여기서

p={\frac {l^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}}{4}},\qquad b=l(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2},\qquad c={\frac {b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m}{2}}

Casus irreducibilis

삼차 방정식(cubic equation)과 유사하게, 다섯 실수 근을 가지는 풀-수-있는 오차가 있으며, 제곱근에서 그의 해의 모두는 복소수의 근을 포함합니다. 이것은 오차에 대해 기약 경우(casus irreducibilis)이며, 덤잇에서 논의됩니다.^[6] 실제로, 만약 기약 오차가 모두 실수 근을 가지면, 근은 실수 제곱근 관점에서 순수하게 표현될 수 없습니다 (2의 거듭-제곱이 아닌 모든 다항식 차수에 대해 참인 것처럼).

Beyond radicals

약 1835년, 제라드(Jerrard)는 정수 오차는 극단-제곱근(ultraradical) (역시 브링 제곱근(Bring radical)으로 알려짐), 실수 $a$ 에 대해 $t 5 + t - a = 0$ 의 고유한 실수 근을 사용함으로써 풀릴 수 있음을 보였습니다. 1858년에, 샤를 에르미트(Charles Hermite)는 브링 제곱근이 삼각 함수(trigonometric function)를 수단으로 삼차 방정식(cubic equation)을 푸는 보다 친숙한 접근법과 유사한 접근법을 사용하여, 야코비 세타 함수(theta functions) 및 그들과 관련된 타원 모듈러 함수(elliptic modular function)의 관점에서 특성화될 수 있음을 보였습니다. 거의 같은 시기에, 그룹 이론(group theory)을 사용하여, 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)는 프란체스코 브리오스키(Francesco Brioschi)와 마찬가지로, 에르미트의 결과를 도출하는 더 간단한 방법을 개발했습니다. 나중에, 펠릭스 클라인(Felix Klein)은 이십면체(icosahedron)의 대칭, 갈루아 이론(Galois theory) 및 에르미트의 해에 특색을 이루는 타원 모듈러 함수를 관련시키는 방법을 제시했었고, 그들이 나타나서는 안되는 이유에 대해 설명을 제공하고, 일반화된 초기하 함수(generalized hypergeometric function)의 관점에서 그의 해를 개발했습니다.^[7] 비슷한 현상은, 클라인에 의해 연구되고 Icosahedral symmetry § Related geometries에서 논의된 것처럼, 차수 $7$ (칠차 방정식(septic equation))과 $7$ 에서 발생합니다.

Solving with Bring radicals

사차 방정식(quartic equation)을 풂으로써 계산될 수 있는, 취른하우스 변환(Tschirnhaus transformation)은 다음 형식의 일반적인 오차 방정식(quintic equation)을

x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,

브링–제라드 정규 형식(Bring–Jerrard normal form) $x 5 - x + t = 0$ 으로 줄입니다.

이 방정식의 근은 제곱근에 의해 표현될 수 없습니다. 어쨌든, 1858년에, 샤를 에르미트(Charles Hermite)는 타원형 함수(elliptic function)의 관점에서 이 방정식의 첫 번째 알려진 해를 발표했습니다.^[8] 거의 같은 시기에, 프란체스코 브리오스키(Francesco Brioschi)^[9]와 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)^[10]도 동등한 해를 사용했습니다.

이들 해 및 일부 관련된 해에 대한 자세한 내용에 대해 브링 제곱근(Bring radical)을 참조하십시오.

Application to celestial mechanics

두 물체의 질량이 무시할 수 없는 천문 궤도의 라그랑주 점(Lagrangian points)의 위치를 푸는 것은 5차를 푸는 것입니다.

보다 정확하게, L₂와 L₁의 위치는 다음 방정식에 대한 해이며, 여기서 3분의 1에 있는 두 질량 (예를 들어, L₂에 Gaia 및 L₁에 SOHO와 같은 위성의 태양과 지구)의 중력은 태양 주위의 지구와 동기 궤도에 있는 데 필요한 위성의 구심력을 제공합니다:

{\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)

± 기호는 각각 L₂와 L₁에 해당합니다; G는 중력 상수, ω는 각속도, r은 위성에서 지구까지의 거리, R은 태양에서 지구까지의 거리 (즉, 지구 궤도의 반-주요 축(semi-major axis)), 및 m, M_E, 및 M_S는 각각 위성, 지구, 및 태양의 질량입니다.

케플러의 세 번째 법칙 $\omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}$ 을 사용하고 모든 항을 재배열하면 다음 오차를 산출합니다:

ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0

여기서 $a=\pm (M_{S}+M_{E})$ , $b=+(M_{S}+M_{E})3R$ , $c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2}$ , $d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}$ (따라서 L₂에 대해 d = 0), $e=\mp M_{E}2R^{4}$ , $f=\mp M_{E}R^{5}$ .

이들 두 개의 오차를 푸는 것은 L₂에 대해 $r = 1.501 x 10 9 m$ 과 L₁에 대해 $r = 1.491 x 10 9 m$ 을 산출합니다. 태양-지구 라그랑주 점 L₂와 L₁은 보통 지구에서 150만km 떨어져 있는 것으로 주어집니다.

Notes

^ Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf
^ A. Cayley. On a new auxiliary equation in the theory of equation of the fifth order, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).
^ This formulation of Cayley's result is extracted from Lazard (2004) paper.
^ George Paxton Young. Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients American Journal of Mathematics 10 (1888), 99–130 at JSTOR
^ http://www.math.harvard.edu/~elkies/trinomial.html
^ David S. Dummit Solving Solvable Quintics
^ (Klein 1888); a modern exposition is given in (Tóth 2002, Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, p. 66)
^ Hermite, Charles (1858). "Sur la résolution de l'équation du cinquième degré". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. XLVI (I): 508–515.
^ Brioschi, Francesco (1858). "Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado". Atti dell'i. R. Istituto Lombardo di scienze, lettere ed arti. I: 275–282.
^ Kronecker, Leopold (1858). "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. XLVI (I): 1150–1152.

References

Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Œuvres de Charles Hermite, t.2, pp. 5–21, Gauthier-Villars, 1908.
Felix Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. ISBN 0-486-49528-0.
Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVI, 1858 (1), pp. 1150–1152.
Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics $x 5 + ax + b$ , American Mathematical Monthly, Vol. 101 (1994), pp. 986–992.
Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1. Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
Jörg Bewersdorff, Galois theory for beginners: A historical perspective, American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-3817-2. Chapter 8 (The solution of equations of the fifth degree at the Wayback Machine (archived 31 March 2010)) gives a description of the solution of solvable quintics $x 5 + cx + d$ .
Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90–94.
Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.
Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", in Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004, ISBN 3-540-43826-2, available at Archived January 6, 2005, at the Wayback Machine
Tóth, Gábor (2002), Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli

External links

Mathworld - Quintic Equation – more details on methods for solving Quintics.
Solving Solvable Quintics – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
A method for removing all intermediate terms from a given equation - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.

[1] Michele Elia and Piero Filipponi. "Equations of the Bring-Jerrard form, the golden section, and square Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly 36, June-July 1998, 282–286. http://www.fq.math.ca/Scanned/36-3/elia.pdf

[2] A. Cayley. On a new auxiliary equation in the theory of equation of the fifth order, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (1861).

[3] This formulation of Cayley's result is extracted from Lazard (2004) paper.

[4] George Paxton Young. Solvable Quintics Equations with Commensurable Coefficients American Journal of Mathematics 10 (1888), 99–130 at JSTOR

[5] ttp://www.math.harvard.edu/~elkies/trinomial.html

[6] David S. Dummit Solving Solvable Quintics

[7] (Klein 1888); a modern exposition is given in (Tóth 2002, Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, p. 66)

[hermite-8] Hermite, Charles (1858). "Sur la résolution de l'équation du cinquième degré". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. XLVI (I): 508–515.

[9] Brioschi, Francesco (1858). "Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado". Atti dell'i. R. Istituto Lombardo di scienze, lettere ed arti. I: 275–282.

[10] Kronecker, Leopold (1858). "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. XLVI (I): 1150–1152.

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