nth root

수학(mathematics)에서, 숫자 n이 보통 양의 정수로 가정되는, 숫자(number) x의 n-번째 근(또는 n 제곱근)은 숫자 r이며, 이것은 거듭제곱 n을 올렸을 때 x를 산출합니다:

r^{n}=x,

여기서 n은 근의 차수(degree)입니다. 차수 2의 근은 (이)제곱근(square root)으로 불리고, 차수 3의 근은 세제곱근(cube root)으로 불립니다. 더 높은 차수의 근은 네제곱근, 이십제곱근, 등과 같이 보통 서수를 사용하여 참조됩니다.

$n$ 번째 근의 계산은 근 추출(root extraction)입니다.

예를 들어:

3은 9의 제곱근인데, 왜냐하면 3² = 9이기 때문입니다.
−3은 9의 역시 제곱근인데, 왜냐하면 (−3)² = 9이기 때문입니다.

복소수(complex number)로 여겨지는 임의의 비-영 숫자는 실수(real) 근 (최대 2개)을 포함하여 , $n$ 개의 다른 복소수 $n$ 번째 근을 가집니다. 0의 $n$ 번째 근은 모든 양의 정수(positive integer) $n$ 에 대해 영인데, 왜냐하면 $0 n = 0$ 이기 때문입니다. 특히, 만약 $n$ 이 짝수이고 $x$ 가 양의 실수이면, 그의 $n$ 번째 근의 하나는 실수이고 양수, 하나는 음수이고, 다른 것들 ( $n > 2$ 일 때)은 비-실수 복소수(complex number)입니다; 만약 $n$ 이 짝수이고 $x$ 가 음의 실수이면, $n$ 번째 근 중의 어떤 것도 실수가 아닙니다. 만약 $n$ 이 홀수이고 $x$ 가 실수이면, 하나의 $n$ 번째 근은 실수이고 $x$ 와 같은 부호를 가지며, 반면에 다른 ( $n - 1$ ) 근은 실수가 아닙니다. 마지막으로, 만약 $x$ 가 실수가 아니면, $n$ 번째 근 중의 어떤 것도 실수가 아닙니다.

실수의 근은, 만약 $x$ 가 양수이면 $x$ 의 양의 제곱근을 나타내는 ${\sqrt {x}}$ , 및 만약 $n$ 이 홀수이면, 및 만약 $n$ 이 짝수이고 $x$ 가 비-음이면 실수 $n$ 번째 근을 나타내는 ${\sqrt[{n}]{x}}$ 과 함께 제곱근 기호(radical symbol) 또는 근호(radix)을 사용하여 보통 쓰입니다. 다른 경우에서, 기호는 모호한 것이므로 공통적으로 사용되지 않습니다. 표현 ${\sqrt[{n}]{x}}$ 에서, 정수 $n$ 은 인덱스(index)로 불리고, ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$ 는 제곱근 기호 또는 근호이고, $x$ 는 피제곱근(radicand)으로 불립니다.

복소 $n$ 번째 근이 고려될 때, 그것은 근의 하나를 주요 값(principal value)으로 선택하기 위해 종종 유용합니다. 공통적인 선택은, 실수이고 양의 $x$ 에 대해 실수이고 양수인 $n$ 번째 근 연속 함수(continuous function)를 만드는 그것 하나입니다. 즉, 주요 $n$ 번째 근은 가장-큰 실수 부분을 갖는 $n$ 번째 근, 및, ( $x < 0$ 에 대해) 두 개가 있을 때, 양의 허수 부분(imaginary part)을 갖는 $n$ 번째 근입니다.

이 선택과 함께 어려움은 음의 실수와 홀수 인덱스에 대해 주요 $n$ 번째 근이 실수 근이 아니라는 것입니다. 예를 들어, $-8$ 은 세 개의 세제곱 근, $-2$ , $1+i{\sqrt {3}}$ 및 $1-i{\sqrt {3}}$ 을 가집니다. 실수 세제곱 근은 $-2$ 이고 주요 세제곱 근은 $1+i{\sqrt {3}}$ 입니다.

미해결 근, 특히 제곱근 기호를 사용하는 근은 때때로 무리수(surd)^[1] 또는 제곱근(radical)^[2]으로 참조됩니다. 제근근을 포함하는 임의의 표현, 제곱근, 세제곱근, 또는 n 제곱근 등은 제곱근 표현(radical expression)으로 불리고, 만약 그것이초월 함수(transcendental function) 또는 초월 숫자(transcendental number)를 포함하지 않으면, 그것은 대수 표현(algebraic expression)으로 불립니다.

미적분학에서 근(roots)은, 지수화(exponentiation)의 특별한 경우로 취급되며, 여기서 지수(exponent)는 분수(fraction)입니다:

{\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}.

근은 근 테스트와 함께 거듭제곱 급수(power series)의 수렴의 반지름(radius of convergence)을 결정하는 것에 대해 사용됩니다. 1의 $n$ 번째 근은 단위원의 근(roots of unity)으로 불리고 숫자 이론(number theory), 방정식의 이론(theory of equations), 및 푸리에 변환(Fourier transform)과 같은 수학의 다양한 분야에서 기초적인 역할을 수행합니다.

History

n-번째 근을 취하는 것의 연산에 대해 고전적인 용어는 제곱근화(radication)입니다.^[3]^[4]

Definition and notation

The four 4th roots of −1,
none of which is real

The three 3rd roots of −1,
one of which is a negative real

n이 양의 정수인, 숫자 x의 n번째 근은 그의 n번째 거듭제곱이 x인 임의의 실수 또는 복소수 r입니다:

r^{n}=x.

모든 각 양의 실수(real number) x는 단일 양의 n번째 근을 가지며, 주요 n번째 근(principal nth root)으로 불리고, 이것은 ${\sqrt[{n}]{x}}$ 으로 쓰입니다. 2와 같은 n에 대해, 이것은 주요 (이)제곱근으로 불리고 n은 생략됩니다. n번째 근은 지수(exponentiation)를 사용하여 x^1/n으로 역시 표현될 수 있습니다.

n의 짝수 값에 대해, 양수는 역시 음의 n번째 근을 가지고, 반면에 음수는 실수 n번째 근을 가지지 않습니다. n의 홀수 값에 대해, 모든 각 음수 x는 실수 음의 n번째 근을 가집니다. 예를 들어, −2는 5번째 근, ${\sqrt[{5}]{-2}}=-1.148698354\ldots$ 을 가지지만 −2는 임의의 실수 6번째 근을 가지지 않습니다.

모든 각 비-영 숫자 x, 실수 또는 복소수(complex)는 n 다른 복소수 n번째 근을 가집니다. (x가 실수인 경우에서, 이것은 임의의 실수 n번째 근을 포함해서 셉니다.) 0의 유일한 복소수 근은 0입니다.

거의 모든 숫자 (n번째 거듭제곱을 제외한 모든 정수, 및 이(two) n번째 거듭제곱의 몫을 제외한 모든 유리수)의 n번째 근은 무리수(irrational)입니다. 예를 들어,

{\sqrt {2}}=1.414213562\ldots

정수의 모든 n번째 근은 대수적 숫자(algebraic number)입니다.

용어 surd는 알-콰리즈미(al-Khwārizmī) (c. 825)로 거슬러 올라가며, 그는 유리수와 무리수를, 각각, audible와 inaudible로 참조했습니다. 이것은 나중에, ("deaf" 또는 "mute"를 의미하는) 라틴어로 "surdus" 로 번역되는 무리수(irrational number)에 대해 아랍어 단어 "أصم" (asamm, "deaf" 또는 "dumb"를 의미하는)로 이어졌습니다. 크레모나의 제라드(Gerard of Cremona) (c. 1150), 피보나치(Fibonacci) (1202), 및 나중에 로버트 레코드(Robert Recorde) (1551) 모두는 미해결 무리 근(unresolved irrational roots)으로 참조하기 위해 그 용어를 사용했습니다.^[5]

Square roots

숫자 x의 제곱근(square root)은, 제곱될(squared) 때, x가 되는 숫자 r입니다:

r^{2}=x.

모든 각 양의 실수는 두 제곱근을 가지고, 하나는 양이고 하나는 음입니다. 예를 들어, 25의 두 제곱근은 5와 −5입니다. 양의 제곱근은 주요 제곱근(principal square root)으로 역시 알려져 있고, 다음으로 제곱근 기호와 함께 나타냅니다:

{\sqrt {25}}=5.

모든 각 실수의 제곱은 양의 실수이므로, 음수는 실수 제곱근을 가지지 않습니다. 어쨌든, 모든 각 음수에 대해 두 허수(imaginary) 제곱근이 있습니다. 예를 들어, −25의 제곱근은 5i와 −5i이고, 여기서 i는 그의 제곱이 $-1$ 인 숫자를 나타냅니다.

Cube roots

숫자 x의 세제곱근(cube root)은 그의 세제곱(cube)이 x인 숫자 r입니다:

r^{3}=x.

모든 각 실수 x는, ${\sqrt[{3}]{x}}$ 으로 쓰이는, 정확하게 하나의 실수 세제곱근을 가집니다. 예를 들어,

{\sqrt[{3}]{8}}=2

및

{\sqrt[{3}]{-8}}=-2.

모든 각 실수는 두 개의 추가적인 복소수(complex) 세제곱근을 가집니다.

Identities and properties

$x^{\frac {1}{n}}$ 에서 처럼, 그의 지수 형식에서 n번째 근의 차수를 표현하면, 거듭제곱과 근을 조작하는 것을 더 쉽게 만듭니다.

{\sqrt[{n}]{a^{m}}}\equiv \left(a^{m}\right)^{\frac {1}{n}}\equiv a^{\frac {m}{n}}.

모든 각 양의 실수(positive real number)는 정확히 하나의 양의 실수 n번째 근을 가지고, 그래서 양의 피제곱근 $a,\;b$ 를 포함하는 무리수를 갖는 연산에 대해 규칙은 실수 안에서 복잡하지 않습니다:

{\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&\equiv {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&\equiv {\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}

세밀히 구별짓기는 음수 또는 복소수(complex number)의 n번째 근을 취할 때 발생할 수 있습니다. 예를 들어:

{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad

이지만, 오히려

\quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.

규칙 ${\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$ 은 오직 비-음의 실수 피제곱근에 대해 엄격하게 유지되므로, 그의 응용은 위의 첫 번째 단계에서 같지 않음을 이끕니다.

Simplified form of a radical expression

비-중첩된 제곱근 표현은 만약 다음이면 단순화된 형식(simplified form)이라고 말합니다:^[6]

거듭제곱보다 크거나 같은 인덱스로 쓸 수 있는 피제곱근의 인수는 없습니다.
제곱근 기호 아래에 분수가 없습니다.
분모에 제곱근이 없습니다.

예를 들어, 제곱근 표현 ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ 을 단순화된 형식으로 쓰기 위해, 우리는 다음과 같이 진행할 수 있습니다. 먼저, 제곱근 기호 아래에서 완전 제곱을 찾고 그것을 제거하십시오:

{\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}

다음으로, 제곱근 기호 아래에 분수가 있으며, 이것은 우리가 다음으로 변경합니다:

4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}

마지막으로, 우리는 분모에서 제곱근을 다음으로 제거합니다:

{\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}

무리수를 포함하는 분모가 있을 때, 그것은 항상 분자와 분모에 곱하여 표현을 간단히 하기 위한 인수를 찾을 수 있습니다.^[7]^[8] 예를 들어 두 세제곱의 합의 인수분해를 사용하면:

{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.

중첩된 제곱근(nested radical)을 포함하는 제곱근 표현을 단순화하는 것은 꽤 어려울 수 있습니다. 그것은 예를 들어 다음처럼 분명하지 않습니다:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}

위의 것은 다음을 통해 도출될 수 있습니다:

{\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}

Infinite series

제곱근 또는 근은 무한 급수(infinite series)로 나타낼 수 있습니다:

(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}

여기서 $|x|<1$ 입니다. 이 표현은 이항 급수(binomial series)로부터 도출될 수 있습니다.

Computing principal roots

정수(integer) k의 n번째 근은 만약 k가 정수의 n번째 거듭제곱의 곱이면, 오직 정수입니다. 모든 다른 경우에서, 정수의 n번째 근은 무리수(irrational number)입니다. 예를 들어, 248832의 다섯 번째 근은

{\sqrt[{5}]{248832}}={\sqrt[{5}]{3^{5}\cdot 2^{5}\cdot 2^{5}}}=12

및 34의 다섯 번째 근은 다음입니다:

{\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{2\cdot 17}}=2.024397458\ldots ,

여기서 세 점은 십진 표현이 유한한 자릿수로 끝나는 것이 아닐 뿐만 아니라, 자릿수가 반복하는 패턴으로 들어가지 않음을 의미하는데, 왜냐하면 숫자가 무리수이기 때문입니다.

양의 실수 $a$ 와 $b$ 에 대해 상등 $\;{\sqrt[{n}]{a/b}}={\sqrt[{n}]{a}}/{\sqrt[{n}]{b}}\;$ 이 유지되므로, 위의 속성은 양의 유리수로 확장될 수 있습니다. $p$ 와 $q$ 가 서로소이고 양의 정수인 $r=p/q$ 를 유리수로 놓으면, $r$ 은, 만약 양의 정수 $p$ 와 $q$ 둘 다가 정수 n번째 근을 가지면, 유리의 n번째 근을 가집니다; 즉, $\;r=p\cdot {\tfrac {1}{q}}\;$ 는 유리수의 n번째 거듭제곱의 곱입니다. 만약 $p$ 또는 $q$ 의 하나 또는 둘의 n번째 근이 무리수이면, 몫은 역시 무리수입니다.

nth root algorithm

숫자 A의 n번째 근이 n번째 근 알고리듬(nth root algorithm), 뉴턴의 방법(Newton's method)의 특별한 경우에 의해 계산될 수 있습니다. 초기 추측 x₀으로 시작한 다음, 원하는 정밀도에 도달할 때까지, 재귀 관계(recurrence relation)를 사용하여 반복하십시오:

x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right)

.

응용에 따라, 그것은 첫 번째 뉴턴 근사를 오직 사용하면 충분할 수 있을 것입니다:

{\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}\approx x+{\frac {y}{nx^{n-1}}}.

예를 들어, 34의 다섯 번째 근을 찾기 위해, 2⁵ = 32임을 주목하고 따라서 위의 공식에서 x = 2, n = 5 및 y = 2를 취하십시오. 이것은 다음을 산출합니다:

{\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{32+2}}\approx 2+{\frac {2}{5\cdot 16}}=2.025.

근사에서 오차는 오직 약 0.03%입니다.

뉴턴의 방법은 n번째 근에 대한 일반화된 연속 분수(generalized continued fraction)를 생성하기 위해 수정될 수 있으며, 이것은 해당 기사에 설명된 것처럼 다양한 방법으로 수정될 수 있습니다. 예를 들면:

{\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}};

{\sqrt[{n}]{z}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{n(2z-y)-y-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-1)y^{2}}{3n(2z-y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-1)y^{2}}{5n(2z-y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-1)y^{2}}{7n(2z-y)-\ddots }}}}}}}}.

위의 34의 다섯 번째 근의 경우에서 (선택된 공통 인수를 나눈 후에):

{\sqrt[{5}]{34}}=2+{\cfrac {1}{40+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {6}{120+{\cfrac {9}{4+{\cfrac {11}{200+{\cfrac {14}{4+\ddots }}}}}}}}}}}}=2+{\cfrac {4\cdot 1}{165-1-{\cfrac {4\cdot 6}{495-{\cfrac {9\cdot 11}{825-{\cfrac {14\cdot 16}{1155-\ddots }}}}}}}}.

Digit-by-digit calculation of principal roots of decimal (base 10) numbers

제곱근의 자릿수-마다 계산을 바탕으로, 거기에 사용 된 공식은, $x(20p+x)\leq c$ , 또는 $x^{2}+20xp\leq c$ , 파스칼의 삼각형과 관련된 패턴을 따른다는 것을 알 수 있습니다. 숫자의 n번째 근에 대해 $P(n,i)$ 은 $P(4,1)=4$ 를 만족하는 파스칼의 삼각형의 행 $n$ 에서 원소 $i$ 의 값으로 정의되며, 우리는 표현을 $\sum _{i=0}^{n-1}10^{i}P(n,i)p^{i}x^{n-i}$ 로 다시-쓸 수 있습니다. 편의를 위해, 이 표현 $y$ 의 결과를 호출하십시오. 이것 보다 일반적인 표현을 사용하면, 임의의 양의 주요 근은 다음으로 자릿수-마다 계산될 수 있습니다.

원래 숫자를 십진수 형식으로 쓰십시오. 숫자는 긴 나눗셈(long division) 알고리듬과 유사하게 쓰이고, 긴 나눗셈에서 처럼, 근은 위의 줄 위에 쓰일 것입니다. 이제 십진 점으로부터 시작하여 왼쪽과 오른쪽 양쪽으로 가면서, 취해져야 하는 근과 같은 자릿수의 그룹으로 자릿수를 분리하십시오. 근의 십진 점은 피제곱근의 위의 십진 점일 것입니다. 근의 한 자릿수는 원래 숫자의 자릿수의 각 그룹 위에 나타날 것입니다.

자릿수의 가장 왼쪽의 그룹과 함께 시작하여, 각 그룹에 대해 다음 절차를 수행하십시오:

왼쪽에서 시작하여, 아직 사용되지 않은 자릿수의 가장 중요한 (가장-왼쪽) 그룹을 가져와서 내리고 (만약 모든 자릿수가 사용되었으면, 그룹을 만들기 위해 필요한 횟수만큼 "0"을 쓰십시오), 그것을 이전 단계로부터 나머지의 오른쪽에 쓰십시오 (첫 번째 단계에서, 나머지는 없을 것입니다). 달리 말해서, 나머지에 $10^{n}$ 을 곱하고 다음 그룹으로부터 자릿수를 더하십시오. 이것이 현재 값 c일 것입니다.
다음으로, p와 x를 찾으십시오:
- $p$ 를 지금까지 찾은 근의 부분으로 놓는데, 임의의 십진 점은 무시합니다. (첫 번째 단계에 대해, $p=0$ ).
- $y\leq c$ 를 만족하는 가장-큰 자릿수 $x$ 를 결정하십시오.
- 자릿수 $x$ 를 근의 다음 자릿수, 즉 여러분이 방금 내린 자릿수의 그룹 위에 놓습니다. 따라서 다음 p는 이전 p 곱하기 10 더하기 x일 것입니다.
새로운 나머지를 형성하기 위해 $c$ 에서 $y$ 를 빼십시오.
만약 나머지가 영이고 내리기 위한 더 이상의 자릿수가 없으면, 알고리듬은 종료됩니다. 그렇지 않으면 또 다른 반복에 대해 단계 1로 되돌아갑니다.

Examples

152.2756의 제곱근을 구하십시오.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56

         01                   10⁰·1·0⁰·1² + 10¹·2·0¹·1¹     ≤      1   <   10⁰·1·0⁰·2²   + 10¹·2·0¹·2¹         x = 1
         01                      y = 10⁰·1·0⁰·1²   + 10¹·2·0¹·1²   =  1 +    0   =     1
         00 52                10⁰·1·1⁰·2² + 10¹·2·1¹·2¹     ≤     52   <   10⁰·1·1⁰·3²   + 10¹·2·1¹·3¹         x = 2
         00 44                   y = 10⁰·1·1⁰·2²   + 10¹·2·1¹·2¹   =  4 +   40   =    44
            08 27             10⁰·1·12⁰·3² + 10¹·2·12¹·3¹   ≤    827   <   10⁰·1·12⁰·4²  + 10¹·2·12¹·4¹        x = 3
            07 29                y = 10⁰·1·12⁰·3²  + 10¹·2·12¹·3¹  =  9 +  720   =   729
               98 56          10⁰·1·123⁰·4² + 10¹·2·123¹·4¹ ≤   9856   <   10⁰·1·123⁰·5² + 10¹·2·123¹·5¹       x = 4
               98 56             y = 10⁰·1·123⁰·4² + 10¹·2·123¹·4¹ = 16 + 9840   =  9856
               00 00          알고리듬 종료: 답은 12.34입니다.

4192의 세제곱근을 가장 가까운 백의 자리까지 구하십시오.(여기서 백의 자리는 소수 세째 자리로 보입니다).

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000

      004                      10⁰·1·0⁰·1³    +  10¹·3·0¹·1²   + 10²·3·0²·1¹    ≤          4  <  10⁰·1·0⁰·2³     + 10¹·3·0¹·2²    + 10²·3·0²·2¹     x = 1
      001                         y = 10⁰·1·0⁰·1³   + 10¹·3·0¹·1²   + 10²·3·0²·1¹   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  10⁰·1·1⁰·6³    +  10¹·3·1¹·6²   + 10²·3·1²·6¹    ≤       3192  <  10⁰·1·1⁰·7³     + 10¹·3·1¹·7²    + 10²·3·1²·7¹     x = 6
      003 096                     y = 10⁰·1·1⁰·6³   + 10¹·3·1¹·6²   + 10²·3·1²·6¹   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              10⁰·1·16⁰·1³   + 10¹·3·16¹·1²   + 10²·3·16²·1¹   ≤      96000  <  10⁰·1·16⁰·2³   + 10¹·3·16¹·2²   + 10²·3·16²·2¹    x = 1
          077 281                 y = 10⁰·1·16⁰·1³  + 10¹·3·16¹·1²  + 10²·3·16²·1¹  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          10⁰·1·161⁰·2³  + 10¹·3·161¹·2²  + 10²·3·161²·2¹  ≤   18719000  <  10⁰·1·161⁰·3³  + 10¹·3·161¹·3²  + 10²·3·161²·3¹   x = 2
              015 571 928         y = 10⁰·1·161⁰·2³ + 10¹·3·161¹·2² + 10²·3·161²·2¹ =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  10⁰·1·1612⁰·4³ + 10¹·3·1612¹·4² + 10²·3·1612²·4¹ ≤ 3147072000  <  10⁰·1·1612⁰·5³ + 10¹·3·1612¹·5² + 10²·3·1612²·5¹  x = 4
                               원하는 정밀도가 달성되었습니다:
                               4192의 세제곱근은 약 16.12입니다.

Logarithmic calculation

양수의 주요 n번째 근은 로그(logarithm)를 사용하여 계산될 수 있습니다. r을 x의 n번째 근, 즉 $r^{n}=x$ 으로 정의하는 방정식에서 시작하여 – x는 양수이고 따라서 주요 근 r은 역시 양수입니다 – 우리는 다음을 얻기 위해 양쪽 변에 로그를 취합니다 (로그의 임의의 밑수(base of the logarithm)는 수행될 수 있습니다)

n\log _{b}r=\log _{b}x\quad \quad {\text{hence}}\quad \quad \log _{b}r={\frac {\log _{b}x}{n}}.

근 r은 역로그(antilog)를 취함으로써 이것으로부터 회복됩니다:

r=b^{{\frac {1}{n}}\log _{b}x}.

(주목: 해당 수식은, b에 나눗셈 결과를 곱한 것이 아니라, 나눗셈의 결과의 거듭제곱에 올려진 b를 나타냅니다.)

x가 음수이고 n이 홀수인 경우에 대해, 하나의 실수 근 r이 있으며, 이것 역시 음수입니다. 이것은 먼저 정의 방정식의 양쪽 변에 –1을 곱하여 $|r|^{n}=|x|$ 를 얻은 다음 이전과 같이 진행하여 |r|을 찾고, r = −|r|를 사용하여 찾을 수 있습니다.

Geometric constructibility

고대 그리스 수학자들은 컴퍼스와 직선자를 사용하여 주어진 길이의 제곱근과 같은 길이를 구성하는 방법을 알고 있었습니다. 1837년에 피에르 방첼(Pierre Wantzel)은 주어진 길이의 n번째 근은 만약 n이 2의 거듭제곱이 아니면, 구성될 수 없음을 증명했습니다.^[9]

Complex roots

0 이외의 모든 각 복소수(complex number)는 n 개의 다른 n번째 근을 가집니다.

Square roots

복소수의 이 제곱근은 항상 서로 음수입니다. 예를 들어, $-4$ 의 제곱근은 $2 i$ 및 $-2 i$ 이고, $i$ 의 제곱근은 다음입니다:

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)\quad {\text{and}}\quad -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).

만약 우리가 극 형식에서 복소수를 표현하면, 제곱근은 반지름의 제곱근을 취하고 각도를 가짐으로써 얻어질 수 있습니다:

{\sqrt {re^{i\theta }}}=\pm {\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}.

복소수의 주요 근은 다양한 방법으로 선택될 수 있을 것입니다. 예를 들어,

{\sqrt {re^{i\theta }}}={\sqrt {r}}\cdot e^{i\theta /2}

이것은 조건 $0 \leq θ < 2 π$ 을 가진 양의 실수 축(positive real axis)을 따라, 또는 $- π < θ \leq π$ 을 가진 음의 실수 축을 따라 복소 평면(complex plane)에서 가지 자름(branch cut)을 도입합니다.

첫 번째(마지막) 가지 자름을 사용하여 주요 제곱근 $\scriptstyle {\sqrt {z}}$ 은 $\scriptstyle z$ 를 비-음의 허수(실수) 부분을 가진 반 평면으로 매핑합니다. 마지막 가지 자름은 Matlab 또는 Scilab과 같은 수학적 소프트웨어에서 미리-추정됩니다.

Roots of unity

숫자 1은 복소 평면에서 n 개의 다른 n번째 근을 가집니다. 즉,

1,\;\omega ,\;\omega ^{2},\;\ldots ,\;\omega ^{n-1},

여기서

\omega =e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)

이들 근은 복소 평면에서 단위 원(unit circle) 주위에 $2\pi /n$ 의 배수인 각도로 균등하게 간격을 유지합니다. 예를 들어, 단위의 제곱근은 1과 –1이고, 단위의 네 번째 근은 1, $i$ , −1, 및 $-i$ 입니다.

nth roots

모든 각 복소수는 복소 평면에서 n 개의 다른 n번째 근을 가집니다. 이것들은 다음입니다:

\eta ,\;\eta \omega ,\;\eta \omega ^{2},\;\ldots ,\;\eta \omega ^{n-1},

여기서 η은 단일 n번째 근이고, 1, ω, ω², ... ωⁿ⁻¹은 단위의 n번째 근입니다. 예를 들어, 2의 네 개의 다른 네 번째 근은 다음입니다:

{\sqrt[{4}]{2}},\quad i{\sqrt[{4}]{2}},\quad -{\sqrt[{4}]{2}},\quad {\text{and}}\quad -i{\sqrt[{4}]{2}}.

극 형식에서, 단일 n번째 근은 다음 공식에 의해 구할 수 있을 것입니다:

{\sqrt[{n}]{re^{i\theta }}}={\sqrt[{n}]{r}}\cdot e^{i\theta /n}.

여기서 r은 그의 근이 취할 수 있는 숫자의 크기 (모듈러스, 역시 절댓값(absolute value)으로 불림)입니다; 만약 숫자가 a+bi로 쓸 수 있으면 $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ 입니다. 역시, $\theta$ 는 양의 수평 축으로부터 원점에서 숫자로 가는 반직선까지 원점을 중심으로 반-시계-방향으로 회전할 때 형성되는 각도입니다; 그것은 $\cos \theta =a/r,$ $\sin \theta =b/r,$ 및 $\tan \theta =b/a$ 인 속성을 가집니다.

따라서 복소 평면에서 n번째 근을 찾는 것은 두 단계로 분할될 수 있습니다. 첫째, 모든 n번째 근의 크기는 원래 숫자의 크기의 n번째 근입니다. 둘째, 양의 수평 축과 원점에서 n번째 근 중 하나까지 반직선 사이의 각도는 $\theta /n$ 이며, 여기서 $\theta$ 는 근이 취해지는 숫자에 대해 같은 방법으로 정의된 각도입니다. 게다가, n번째 근의 모든 n 개는 서로로부터 같게 간격을 유지된 각도에 있습니다.

만약 n이 짝수이면, 짝수가 있는 복소수의 n번째 근은 덧셈의 역(additive inverse) 쌍을 가지므로, 만약 숫자 r₁이 n번째 근 중 하나이면 r₂ = –r₁는 또 다른 것입니다. 이것은 짝수 n에 대해 후자의 계수 –1을 n번째 거듭제곱에 올리면 1을 산출하기 때문입니다: 즉, (–r₁)ⁿ = (–1)ⁿ × r₁ⁿ = r₁ⁿ입니다.

제곱근과 마찬가지로, 위의 공식은 전체 복소 평면에 걸쳐 연속 함수(continuous function)를 정의하지 않지만, 대신 θ / n이 불연속인 점에서 가지 자름(branch cut)을 가집니다.

Solving polynomials

그것은 모든 다항 방정식(polynomial equation)이 대수적으로 해결(solved algebraically)될 수 있다고 한 때 추측(conjecture)되었습니다 (즉, 다항식(polynomial)의 모든 근은 유한한 숫자의 제곱근과 기본 연산(elementary operations)의 관점에서 표현될 수 있다는 추측입니다). 어쨌든, 이것이 삼차 다항식(cubics)과 사차 다항식(quartics)에 대해 참이지만, 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem) (1824)는, 이것이 일반적으로 차수가 5이상일 때 참이 아님을 보여줍니다. 예를 들어, 방정식

x^{5}=x+1

의 해는 제곱근의 관점에서 표현될 수 없습니다 (비교. 오차 방정식(quintic equation))

Proof of irrationality for non-perfect nth power x

${\sqrt[{n}]{x}}$ 이 유리수임을 가정합니다. 즉, 그것은 분수 ${\frac {a}{b}}$ 로 감소될 수 있으며, 여기서 a와 b는 정수입니다.

이것은 $x={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ 임을 의미합니다.

x는 정수이므로, $a^{n}$ 과 $b^{n}$ 은, 만약 $b\neq 1$ 이면, 공통 인수를 공유합니다. 이것은, 만약 $b\neq 1$ 이면, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}$ 가 가장-간단한 형식이 아님을 의미합니다. 따라서, b는 1이어야 합니다.

$1^{n}=1$ 및 ${\frac {n}{1}}=n$ 이므로, ${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=a^{n}$ 입니다.

이것은 $x=a^{n}$ 이고, 따라서 ${\sqrt[{n}]{x}}=a$ 임을 의미합니다. 이것은 ${\sqrt[{n}]{x}}$ 가 정수임을 암시합니다. x는 완전 n번째 거듭제곱은 아니므로, 이것은 불가능합니다. 따라서 ${\sqrt[{n}]{x}}$ 은 무리수입니다.

References

^ Bansal, R.K. (2006). New Approach to CBSE Mathematics IX. Laxmi Publications. p. 25. ISBN 978-81-318-0013-3.
^ Silver, Howard A. (1986). Algebra and trigonometry. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-021270-2.
^ "Definition of RADICATION". www.merriam-webster.com.
^ "radication – Definition of radication in English by Oxford Dictionaries". Oxford Dictionaries.
^ "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Mathematics Pages by Jeff Miller. Retrieved 2008-11-30.
^ McKeague, Charles P. (2011). Elementary algebra. p. 470. ISBN 978-0-8400-6421-9.
^ B.F. Caviness, R.J. Fateman, "Simplification of Radical Expressions", Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, p. 329.
^ Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", Journal of Symbolic Computation 1:189–210 (1985) doi:10.1016/S0747-7171(85)80014-6.
^ Wantzel, M. L. (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1 (2): 366–372.

External links

[1] Bansal, R.K. (2006). New Approach to CBSE Mathematics IX. Laxmi Publications. p. 25. ISBN 978-81-318-0013-3.

[silver-2] Silver, Howard A. (1986). Algebra and trigonometry. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-021270-2.

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[4] "radication – Definition of radication in English by Oxford Dictionaries". Oxford Dictionaries.

[5] "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Mathematics Pages by Jeff Miller. Retrieved 2008-11-30.

[6] McKeague, Charles P. (2011). Elementary algebra. p. 470. ISBN 978-0-8400-6421-9.

[7] B.F. Caviness, R.J. Fateman, "Simplification of Radical Expressions", Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, p. 329.

[8] Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", Journal of Symbolic Computation 1:189–210 (1985) doi:10.1016/S0747-7171(85)80014-6.

[9] Wantzel, M. L. (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1 (2): 366–372.

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History

Definition and notation

Square roots

Cube roots

Identities and properties

Simplified form of a radical expression

Infinite series

Computing principal roots

nth root algorithm

Digit-by-digit calculation of principal roots of decimal (base 10) numbers

Examples

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Geometric constructibility

Complex roots

Square roots

Roots of unity

nth roots

Solving polynomials

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See also

References

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