Factorization

Original article: w:Factorization

For factorization algorithms, see Integer factorization and Factorization of polynomials. For other uses, see Factor (disambiguation).

The polynomial x² + cx + d, where a + b = c and ab = d, can be factorized into (x + a)(x + b).

수학(mathematics)에서, 인수분해(factorization) (또한 영국식 영어(British English)의 일부 형식에서 factorisation) 또는 인수화(factoring)는 숫자 또는 다른 수학적 대상을 여러 개의 인수(factors), 보통 같은 종류의 더 작거나 단순한 대상의 곱으로써 쓰는 것으로 구성됩니다. 예를 들어, 3 × 5는 정수 15의 인수분해이고, (x – 2)(x + 2)는 다항식(polynomial) x² – 4의 인수분해입니다.

인수분해는, 실수(real) 또는 복소수(complex)와 같이, 나눗셈(division)을 포함하는 숫자 시스템 안에서 보통 의미있는 것으로 여겨지지 않습니다; 왜냐하면 임의의 $x$는 $y$가 영이 아닌 것에서 단순히 $(xy)\times (1/y)$로 쓸 수 있기 때문입니다. 어쨌든, 유리수(rational) 또는 유리 함수(rational function)에 대해 의미있는 인수분해는 그것을 가장 낮은 항으로 쓰는 것과 그의 분자와 분모를 별도로 인수화함으로써 얻어질 수 있습니다.

인수분해는 정수의 경우에 고대 그리스 수학자들에 의해 처음 고려되었습니다. 그들은 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)를 입증했는데, 그것은 모든 각 양의 정수는 1보다 큰 정수로 더 이상 인수화될 수 없는, 소수(prime number)의 곱으로 인수화될 수 있다는 주장입니다. 게다가, 이런 인수분해는 인수의 순서까지(up to) (즉, 순서를 제외하고) 고유합니다. 비록 정수 인수분해는 곱셈에 대한 역의 일종이지만, 알고리듬적으로는 훨씬 더 어렵습니다; 사실 그것은 RSA 암호시스템(RSA cryptosystem)에서 공개-키 암호화(public-key cryptography)를 구현하는 것에 공헌했습니다.

다항식 인수분해(Polynomial factorization)는 역시 수세기에 걸쳐 연구되어 왔습니다. 기본 대수학에서, 다항식의 인수화는 그의 근(roots)을 찾는 문제를 인수의 근을 찾는 문제로 줄입니다. 정수 또는 필드(field)에서 계수를 갖는 다항식은, 소수를 갖는 산술의 기본 정리의 버전을 기약 다항식(irreducible polynomial)으로 대체한 고유한 인수분해 속성(unique factorization property)을 소유합니다. 특히, 복소수(complex) 계수를 갖는 일변수 다항식은 선형 다항식(linear polynomial)으로 (순서를 제외하고) 고유한 인수분해를 허용합니다: 이것이 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)의 버전입니다. 이 경우에서, 인수분해는 근-찾기 알고리듬(root-finding algorithm)과 함께 수행될 수 있습니다. 정수 계수를 갖는 다항식의 경우는 컴퓨터 대수(computer algebra)에 대해 기본입니다. 유리수 계수를 가진 다항식의 링 안에서 (완전한) 인수분해의 계산을 위한 효율적인 컴퓨터 알고리듬이 있습니다 (다항식의 인수분해(factorization of polynomials)를 참조하십시오).

고유한 인수분해 속성을 보유한 교환 링(commutative ring)은 고유한 인수분해 도메인(unique factorization domain)이라고 불립니다. 고유한 인수분해 도메인이 아닌, 대수적 정수의 특정 링(ring of algebraic integers)과 같은, 숫자 시스템(number system)이 있습니다. 어쨌든, 대수적 정수의 링은 데데킨트 도메인(Dedekind domain)의 약한 속성을 만족시킵니다: 아이디얼(ideals) 인수는 소수 아이디얼(prime ideal)에 유일합니다.

인수분해는 수학적 대상을 더 작은 대상 또는 더 작은 대상의 곱으로 보다 일반적인 분해로 역시 참조될 수 있습니다. 예를 들어, 모든 각 함수는 단사 함수(injective function)를 가진 전사 함수(surjective function)의 합성으로 인수화될 수 있습니다. 행렬(Matrices)은 행렬 인수분해(matrix factorization)의 많은 종류를 소유합니다. 예를 들어, 모든 각 행렬은, 모든 대각 엔트리가 일(1)인 아래쪽 삼각 행렬(lower triangular matrix) L, 위쪽 삼각 행렬(upper triangular matrix) U, 및 순열 행렬(permutation matrix) P의 곱으로써 고유한 LUP 인수분해(LUP factorization)를 가집니다; 이것이 가우스 소거법(Gaussian elimination)의 행렬 공식입니다.

Integers

Main article: Integer factorization

산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)에 의해, 1보다 큰 모든 각 정수(integer)는 소수(prime number)로 (인수의 순서를 제외하고) 고유한 인수분해를 가지는데, 소수는 일보다 큰 정수의 곱으로 더 인수화될 수 없는 정수입니다.

정수 n의 인수분해를 계산하는 것에 대해, n의 약수(divisor) q를 찾는 것 또는 n이 소수라고 결정하는 알고리듬(algorithm)이 필요합니다. 그러한 약수가 발견될 때, 이 알고리듬을 인수 q와 n / q에 대한 반복된 적용은 결국 n의 완전한 인수분해를 제공합니다.

n의 약수 q를 찾는 것에 대해, 어떤 것이든, 그것은 1 < q와 q² ≤ n을 만족하는 q의 모든 값을 테스트하는 것으로 충분합니다. 사실, 만약 r이 r² > n을 만족하는 n의 약수이면, q = n / r은 q² ≤ n을 만족하는 n의 약수입니다.

만약 q의 값을 증가하는 순서로 테스트하면, 발견된 첫 번째 약수는 반드시 소수이고, 보조인수(cofactor) r = n / q는 q보다 작은 임의의 약수를 가질 수 없습니다. 완전한 인수분해를 얻는 것에 대해, 그것은 따라서 q보다 작지 않고 √r보다 크지 않은 r의 약수를 찾음으로써 알고리듬을 계속 진행하는 것으로 충분합니다.

방법을 적용하기 위해 q의 모든 값을 테스트할 필요는 없습니다. 원칙적으로, 그것은 오직 소수 약수만 테스트하는 것으로 충분합니다. 이것은 예를 들어 에라토스테네스의 체(sieve of Eratosthenes)와 함께 생성될 수 있는 소수의 테이블을 가지고 있어야 합니다. 인수분해의 방법은 본질적으로 에라토스테네스의 체와 똑같은 일을 하기 때문에, 약수에 대해 소수인지 여부를 즉시 명확하게 판정할 수 없는 바로 그런 숫자를 테스트하는 것이 일반적으로 더 효율적입니다. 전형적으로, 2, 3, 5를 테스트하고 숫자 > 5에 대해 그들의 마지막 자릿수는 1, 3, 7, 9이고 자릿수의 합은 3의 배수가 아닌 것을 테스트하는 것으로 진행할 수 있습니다.

이 방법은 작은 정수를 인수화하는 것에 대해 적합하지만, 큰 정수에 대해 비효율적입니다. 예를 들어, 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)는 6번째 페르마 숫자(Fermat number)

$1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297$

가 소수가 아닌 것을 발견할 수 없었습니다. 사실 위의 방법을 적용하는 것은 10 십진 자릿수를 가지는 숫자에 대해, 10000 나눗셈 이상을 요구할 것입니다.

보다 효율적인 인수화 알고리듬이 있습니다. 어쨌든, 그들은 상대적으로 비효율적으로 남아 있는데, 왜냐하면, 현재의 기술 수준과 함께, 비록 보다 강력한 컴퓨터라 할지라도, 두 개의 무작위로 선택된 소수의 곱이 500 십진 자릿수의 숫자를 인수화할 수 없기 때문입니다. 이것은 안전한 인터넷(internet) 통신에 널리 사용되는, RSA 암호시스템(RSA cryptosystem)의 보안을 보증합니다.

Example

n = 1386를 소수로 인수화하는 것에 대해:

• 2에 의한 나눗셈으로 시작하십시오: 숫자는 짝수이고, n = 2 · 693입니다. 693과 함께 계속하시고, 2는 첫 번째 약수 후보입니다.
• 693은 홀수이고 (2는 약수가 아닙니다), 3의 배수입니다: 693 = 3 · 231을 가지고 n = 2 · 3 · 231입니다. 231과 함께 계속하시고, 3은 첫 번째 약수 후보입니다.
• 231은 역시 3의 배수입니다: 231 = 3 · 77을 가지고, 따라서 n = 2 · 3² · 77입니다. 77과 함께 계속하시고, 3은 첫 번째 약수 후보입니다.
• 77은 3의 배수가 아닌데, 왜냐하면 그의 자릿수의 합은 14이므로 3의 배수가 아닙니다. 그것은 역시 5의 배수도 아닌데, 왜냐하면 그의 마지막 자릿수가 7이기 때문입니다. 테스트될 다음 홀수 약수는 7입니다. 77 = 7 · 11을 가지고, 따라서 n = 2 · 3² · 7 · 11입니다. 이것은 7이 소수임을 보여줍니다 (직접 테스트하기 쉽습니다). 11과 함께 계속하시고, 7은 첫 번째 약수 후보입니다.
• 7² > 11이기 때문에, 완료되었습니다. 따라서 11은 소수이고, 소인수분해는

1386 = 2 · 3² · 7 · 11.

Expressions

표현(expressions)을 조작하는 것은 대수학(algebra)의 기초입니다. 인수분해는 여러 가지 이유로 표현 조작에 대해 가장 중요한 방법 중 하나입니다. 만약 방정식(equation)을 인수화된 형식 E⋅F = 0로 만들 수 있으면, 문제를 푸는 것은 두 개의 독립적인 (그리고 일반적으로 더 쉬운) 문제 E = 0 및 F = 0으로 나뉩니다. 표현은 인수분해될 때, 인수는 종종 훨씬 더 간단하고, 따라서 문제에 대한 어떤 통찰력을 제공할 수 있습니다. 예를 들어, 16 곱셈, 4 뺄셈 및 3 덧셈을 가지는

$x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc$

은 오직 두 개의 곱셈과 세 개의 뺄셈을 갖는 훨씬 더 간단한 식

$(x-a)(x-b)(x-c)$

으로 인수화될 수 있습니다. 게다가, 인수화된 형태는 이들 표현에 의해 표현된 x에서 다항식의 근(roots) x = a,b,c를 즉각적으로 제공합니다.

반면에, 인수분해가 항상 가능한 것은 아니고, 그것이 가능할 때, 인수가 항상 더 간단한 것도 아닙니다. 예를 들어, $x^{997}-1$는 두 개의 기약 인수(irreducible factors) $x-1$와 $x^{996}+x^{995}+\cdots +x^{2}+x+1$로 인수화될 수 있습니다.

다양한 방법이 인수분해를 발견하는 것에 대해 개발되어 왔습니다; 일부는 아래에 설명되어 있습니다.

대수 방정식(algebraic equation)을 푸는 것은 인수분해의 문제로 보일 수 있습니다. 사실, 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 다음으로 설명될 수 있습니다. 복소수(complex) 계수를 갖는 차수 n의 x에서 모든 각 다항식(polynomial)은 i = 1, ..., n에 대해 n 개의 선형 인수 $x-a_{i}$로 인수분해될 수 있는데, 여기서 a_i는 다항식의 근입니다. 비록 인수분해의 구조가 이들 경우에서 알려져 있을지라도, a_i는 일반적으로, 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)에 의해, 제곱근 (n^번째 근)의 관점에서 결코 계산될 수 없습니다. 대부분의 경우에서, 그것을 수행될 수 있는 최상의 방법은 근-찾기 알고리듬(root-finding algorithm)과 함께 근의 근사 값(approximate value)을 계산하는 것입니다.

History of factorization of expressions

표현 (보다 구체적으로 방정식)을 단순화하기 위한 대수적 조작의 체계적인 사용은 알-콰리즈미(al-Khwarizmi)의 책, 조작의 두 개의 그러한 유형을 제목에 붙인, The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing과 함께, 9세기로 거슬러 올라갑니다. 어쨌든, 심지어 이차 방정식(quadratic equation)을 푸는 것에 대해, 해리엇(Harriot)의 작업이, 그의 사망 후 10년, 1631년에 출판되기 전에는 인수분해 방법은 사용되지 않았습니다.

그의 책 Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas에서, 해리엇은, 첫 번째 섹션에서, 단항(monomial), 이항(binomial) 및 삼항(trinomial)의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈에 대해 테이블을 작성했습니다. 그런 다음, 두 번째 섹션에서, 방정식 aa − ba + ca = + bc를 설정하고, 이것이 이전에 제공한 곱셈의 형식과 일치하여, 인수분해 (a − b)(a + c)를 제공함을 보였습니다.

General methods

아래에 설명된 방법은 합, 또는 합으로 변환될 수 있는 임의의 표현에 적용됩니다. 그러므로, 비록 그들이 합의 항이 단항(monomial), 즉, 합의 항이 변수와 상수의 곱이 아닐 때 역시 적용될 수 있을지라도, 그들은 다항식(polynomial)에 가장 자주 적용됩니다.

Common factor

합의 모든 항은 곱이고 일부 인수는 모든 항에 공통적으로 발생할 수 있습니다. 이 경우에서, 분배 법칙(distributive law)은 이 공통 인수를 인수로 묶어내는 것을 허용합니다. 만약 그러한 공통 인수가 여러 개 있으면, 가장 큰 그러한 공통 인수를 나누어서 분리할 가치가 있습니다. 또한, 만약 정수 계수가 있으면, 이들 계수의 최대 공약수(greatest common divisor)를 인수로 묶어낼 수 있습니다.

예를 들어,

$6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),$

왜냐하면 2는 6, 8, 및 10의 최대 공약수이고, $x^{3}y^{2}$는 모든 항을 나눌 수 있기 때문입니다.

Grouping

항을 그룹화하는 것은 인수분해를 얻기 위해 다른 방법의 사용을 허용할 수 있습니다.

예를 들어, 다음을 인수화하기 위해

$4x^{2}+20x+3xy+15y,$

처음 두 항은 공통 인수 x를 가지고, 마지막 두 항은 공통 인수 y를 갖는 것에 주목하십시오. 따라서

$4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).$

그런 다음 간단한 검사는 공통 인수 x + 5를 보여 주고, 다음 인수분해를 유도합니다:

$4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).$

일반적으로, 이것은 두 개의 이항(binomials)의 곱으로 얻어진 4 항의 합에 대해 작동합니다. 비록 자주는 아닐지라도, 이것은 보다 복잡한 예제에 대해 역시 작동할 것입니다.

Adding and subtracting terms

때때로, 일부 항을 그룹화하는 것은 인식 가능한 패턴(Recognizable pattern)의 일부로 나타날 수 있습니다. 그런 다음 패턴 완성을 위한 항을 더하고, 표현의 값을 변경하지 않기 위해 그들의 항을 빼는 것이 유용합니다.

이것의 전형적인 사용은 이차 공식(quadratic formula)을 얻기 위한 제곱식 완성(completing the square) 방법입니다.

또 다른 예제는 $x^{4}+1$의 인수분해입니다. 만약, 공통적으로 i로 표시되는, –1의 제곱근(square root of –1) 허수(imaginary)를 도입하면, 제곱의 차이(difference of squares) 형태를 가집니다:

$x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).$

어쨌든, 실수(real number) 계수를 갖는 인수분해를 역시 원할 수 있습니다. $2x^{2}$를 더하고 빼는 것, 그리고 세 항을 함께 그룹화하면, 이항(binomial)의 제곱을 인식할 수 있습니다:

$x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1\right).$

$2x^{2}$을 더하고 빼는 것은 역시 다음 인수분해를 제공합니다:

$x^{4}+1=\left(x^{2}+x{\sqrt {-2}}-1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {-2}}-1\right).$

이들 인수분해는 복소수뿐만 아니라, 임의의 필드(field)에 걸쳐 작동하며, 여기서 –1, 2 또는 –2 중 하나는 제곱입니다. 유한 필드(finite field)에서, 두 개의 비-제곱의 곱은 제곱입니다; 이것은 정수에 걸쳐 기약인, 다항식 $x^{4}+1$가 모듈러(modulo) 모든 각 소수로 비-기약임을 의미합니다. 예를 들어

$x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1){\pmod {3}},\qquad$ since $1^{2}\equiv -2{\pmod {3}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+2)(x^{2}-2){\pmod {5}},\qquad$ since $2^{2}\equiv -1{\pmod {5}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {7}},\qquad$ since $3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}.$

Recognizable patterns

많은 항등식(identities)은 합과 곱 사이에 상등을 제공합니다. 위의 방법은 일부 항등식의 합 변이 표현에서 표시되도록 하기 위해 사용될 수 있으며, 따라서 곱으로 대체될 수 있습니다.

아래는 왼쪽 변이 공통적으로 패턴으로 사용되는 항등식입니다 (이것은 이들 항등식에서 보이는 변수 E와 F가 인수분해해야 하는 표현의 임의의 부분 표현을 나타낼 수 있음을 의미합니다).

Visual proof of the differences between two squares and two cubes

• 두 제곱의 차이(Difference of two squares)

$E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)$

예를 들어,

${\begin{aligned}a^{2}+2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}$

• 두 세제곱의 합/차이(Sum/difference of two cubes)

$E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})$

$E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})$

• 두 네제곱의 차이(Difference of two fourth powers)

${\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}$

• 두 n번째 거듭제곱의 차이(Sum/difference of two nth powers)

다음 항등식에서, 인수는 종종 더 인수화될 수 있습니다:

• 차이, 짝수 지수(Difference, even exponent)

$E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})$

• 차이, 짝수 또는 홀수 지수(Difference, even or odd exponent)

$E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})$

이것은 인수가 인수화된 합보다 훨씬 클 수 있음을 보여주는 예제입니다.

• 합, 홀수 지수(Sum, odd exponent)

$E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})$

(이전 공식에서 F를 –F로 바꿈으로써 얻습니다)

• 합, 짝수 지수(Sum, even exponent)

만약 지수가 이의 거듭제곱이면, 일반적으로, 표현은 복소수(complex numbers)를 도입없이 인수분해될 수 없습니다 (만약 E와 F가 복소수를 포함하면, 이것은 그 경우가 아닐 수 있습니다). 만약 n이 홀수 약수를 가지면, 즉 만약 p와 함께 n = pq가 홀수이면, $(E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}$에 대해 (“합, 홀수 지수”에서) 이전 공식을 사용할 수 있습니다.

• 삼항식 그리고 삼차 공식(Trinomials and cubic formulas)

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)\,&=(x+y+z)^{2}\\x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz\,&=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz\,&=(x+y+z)^{3}\\x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}\,&=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end{aligned}}$

• 이항 전개(inomial expansions)

Visualisation of binomial expansion up to the 4th power

이항 정리(binomial theorem)는 그 안에 나타나는 정수로부터 쉽게 인식될 수 있는 패턴을 제공합니다

낮은 차수에서:

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$

$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}$

보다 일반적으로, $(a+b)^{n}$와 $(a-b)^{n}$의 확장된 형태에서 계수는 이항 계수(binomial coefficient)이고, 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)의 n번째 행에서 나타납니다.

Roots of unity

단위의 n번째 근은 복소수(complex number)이고 각각은 다항식 $x^{n}-1$의 근(root)입니다. 그들은 따라서 다음 숫자입니다:

$e^{2ik\pi /n}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$

여기서 $k=0,\ldots ,n-1.$

그것은 임의의 두 표현 E와 F에 대해 다음을 따릅니다:

$E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)$

$E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is even}}$

$E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is odd}}$

만약 E와 F가 실수 표현이고, 실수 인수를 원한다면, 복소수 켤레(complex conjugate) 인수의 모든 각 쌍을 그의 곱으로 대체해야 합니다. $e^{i\alpha }$의 복소수 켤레는 $e^{-i\alpha }$이기 때문에,

$\left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},$

다음 실수 인수분해를 얻습니다 (k를 n – k 또는 n + 1 – k로 변경하고, 보통 삼각함수 공식(trigonometric formulas)을 적용하여 하나에서 다른 하나로 넘어갑니다):

${\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\frac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\frac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}$

이들 인수분해에서 나타나는 코사인(cosine)은 대수적 숫자(algebraic number)이고, 제곱근(radicals)의 관점에서 표시될 수 있습니다 (이것은 갈루아 그룹(Galois group)이 주기적이기 때문에 가능합니다); 어쨌든, 이들 근호적 표현은, n의 낮은 값을 제외하고는, 사용되기에 너무 복잡합니다. 예를 들어

$a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).$

$a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),$

$a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),$

종종 유리수 계수를 갖는 인수분해를 원합니다. 그러한 인수분해는 원분 다항식(cyclotomic polynomial)을 포함합니다. 합과 차이 또는 거듭제곱의 유리수 인수분해를 표현하기 위해, 다항식의 동차화(homogenization)에 대한 표기법이 필요합니다: 만약 $P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n}$이면, 그의 동차화는 이변수 다항식(bivariate polynomial) ${\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}$입니다. 그런 다음, 다음을 가집니다:

$E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),$

$E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),$

여기서 곱은 n의 모든 약수, 또는 n으로 나누어지지 않는 2n의 모든 약수에 걸쳐 취해지고, $Q_{n}(x)$는 n번째의 원분 다항식입니다.

예를 들어,

$a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),$

$a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{2}),$

왜냐하면 6의 약수가 1, 2, 3, 6이고, 6으로 나누어지지 않는 12의 약수가 4와 12이기 때문입니다.

Polynomials

다항식에 대해, 인수분해는 대수 방정식(algebraic equation)을 푸는 문제와 강하게 관련됩니다. 대수 방정식의 형태는 다음과 같습니다:

$P(x)=0,$

여기서

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n},$

여기서 P(x)는 $a_{0}\neq 0$을 만족하는 x에서 다항식입니다. 이 방정식의 (다항식의 근(root)이라고 역시 불리는) 해는 다음을 만족하는 x의 값 r입니다:

$P(r)=0.$

만약

$P(x)=Q(x)R(x)$

은 두 다항식의 곱으로 P의 인수분해이면, P의 근은 Q의 근과 R의 근의 합집합입니다. 따라서 P를 푸는 것은 Q와 R을 푸는 더 간단한 문제로 줄어듭니다.

반대로, 인수 정리(factor theorem)는, 만약 r이 P의 근이면, 다음으로 인수화될 수 있다고 주장합니다:

$P(x)=(x-r)Q(x),$

여기서 Q(x)는 x – r에 의한 P의 유클리드 나눗셈(Euclidean division)의 몫입니다.

만약 P의 계수가 실수 또는 복소수이면, 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)는 P가 실수 또는 복소수 근을 가진다고 주장합니다. 인수 정리를 재귀적으로 사용하여, 그것은 다음 결과를 생성합니다:

$P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),$

여기서 $r_{1},\ldots ,r_{n}$는 P의 실수 또는 복소수 근이며, 그들의 일부는 중복될 수 있습니다. 이 완전한 인수분해는 인수의 차수까지(up to) 고유합니다.

만약 P의 계수가 실수라면, 일반적으로 인수가 실수 계수를 갖는 인수분해를 원합니다. 이 경우에서, 완전한 인수분해는 차수 2를 갖는 일부 인수를 가질 수 있습니다. 이 인수분해는 위의 완전한 인수분해를 통해 쉽게 추론될 수 있습니다. 사실, 만약 r = a + ib가 P의 비-실수 근이면, 그의 복소수 켤레(complex conjugate) s = a - ib는 역시 P의 근입니다. 그래서, 곱

$(x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}$

은 실수 계수를 갖는 P의 인수입니다. 비-실수 인수의 이 그룹화는 최종적으로 실수 계수를 갖는 차수 1 또는 2의 다항식으로 인수분해를 얻을 때까지 계속될 수 있습니다.

이들 실수 또는 복소수 인수분해를 계산하는 것에 대해, 다항식의 근을 반드시 알아야 합니다. 일반적으로, 그것들은 정확히 계산되지 않을 수 있고, 오직 근의 근사적인 값이 구할 수 있습니다. 이 목적으로 설계되어 온 수많은 효율적인 알고리듬(algorithm)에 대한 요약에 대해 근-찾기 알고리듬(Root-finding algorithm)을 참조하십시오.

연습에서 만나는 대부분의 대수적 방정식은 정수(integer) 또는 유리수(rational) 계수를 가지고, 같은 종류의 (즉, 같은 종류의 계수를 갖는) 인수로 인수분해를 원할 것입니다. 산술의 기본 정리(fundamental theorem of arithmetic)가 이 경우에 대해 일반화될 수 있습니다. 즉, 정수 또는 유리수 계수를 갖는 다항식은 고유한 인수분해 속성(unique factorization property)을 가집니다. 보다 정확하게, 유리수 계수를 갖는 모든 각 다항식은 다음 곱으로 인수화될 수 있습니다:

$P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),$

여기서 q는 유리수이고 $P_{1},\ldots ,P_{k}$은 기약(irreducible)이고 원시(primitive)인 정수 계수를 갖는 비-상수 다항식입니다; 이것은 $P_{i}$가 1과 –1이 아닌 (정수 계수를 갖는) 두 개의 다항식의 곱으로 쓸 수 없음을 의미합니다 (정수는 차수 영의 다항식으로 고려됩니다). 게다가, 이 인수분해는 인수의 차수와 인수의 짝수 숫자의 –1에 의해 곱셈까지(up to) 고유합니다.

이런 인수분해를 계산하는 것에 대해 효율적인 알고리듬(algorithm)이 존재하는데, 그것은 대부분의 컴퓨터 대수학(computer algebra) 시스템에서 구현됩니다. 다항식의 인수분해(Factorization of polynomials)를 참조하십시오. 불행히도, 종이-와-연필 계산에 대해, 이들 알고리듬은 너무 복잡해서 사용할 수 없습니다. 위에 설명된 일반적인 휴리스틱 이외에도, 오직 몇 가지 방법이 이 경우에서 유용한데, 그것은 일반적으로 낮은 차수, 적은 비-영 계수를 갖는 다항식에 대해 오직 작동합니다. 주요한 그들 방법은 다음 하위 섹션에서 설명됩니다.

Primitive part–content factorization

Main article: Polynomial factorization § Primitive part–content factorization

유리수(rational) 계수를 갖는 모든 각 다항식은 유리수와 원시(primitive)이고 (즉, 계수의 최대 공약수(greatest common divisor)는 1이고), 양의 선행 계수 (최고차항의 계수)를 가진, 정수 계수를 갖는 다항식의 곱으로, 고유한 방법으로, 인수화될 수 있습니다. 예를 들어:

$-10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1)$

${\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6)$

이 인수분해에서, 유리수는 컨텐트(content)라고 불리고, 원시 다항식은 원시 부분(primitive part)이라고 불립니다. 이 인수분해의 계산은 다음처럼 수행될 수 있습니다: 첫째, 정수 계수를 갖는 다항식의 정수 q에 의한 몫을 얻기 위해, 모든 계수를 공통 분모로 감소시킵니다. 그런 다음 원시 부분, $p/q$가 되는 컨텐트를 얻기 위해 이 다항식의 계수의 최대공약수 p를 묶어 냅니다. 마지막으로, 만약 필요하다면, p와 원시 부분의 모든 계수의 부호를 변경합니다.

이 인수분해는 원래의 다항식보다 큰 결과를 생성할 수 있지만 (전형적으로 많은 서로소(coprime) 분모가 있을 때), 심지어 이 경우일 때, 원시 부분은 일반적으로 더 인수분해에 대해 조작하는 것이 더 쉽습니다.

Using the factor theorem

Main article: Factor theorem

인수 정리는, 만약 r이 다음 다항식(polynomial)의 근(root)이면,

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{0}$

(즉, P(r) = 0 ), 인수분해

$P(x)=(x-r)Q(x)$

가 있다는 것을 말하는 것으로, 여기서

$Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},$

또한, $a_{0}=b_{0},$ 그리고 i = 1, ..., n – 1에 대해,

$b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}$.

이것은, 검사를 할 때, 또는 어떤 외부 정보를 사용할 때, 다항식의 근을 알고 있을 때, 유용할 수 있습니다. Q(x)를 계산하는 것에 대해, 위의 공식을 사용하는 대신에, 다항식 긴 나눗셈(polynomial long division) 또는 조립 제법(synthetic division)을 역시 사용할 수 있습니다.

예를 들어, 다항식 $x^{3}-3x+2$에 대해, 그의 계수의 합이 1이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 r = 1은 근입니다. r + 0 = 1 및 $r^{2}+0r-3=-2$이기 때문에, 다음을 가집니다:

$x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).$

Rational roots

다항식의 유리수 근을 찾는 것은 오직 유리수 계수를 갖는 다항식에 대해 의미가 있습니다. 원시 부분–컨텐트 인수분해 (위의 것을 참조하십시오)는 계수의 최대 공약수(greatest common divisor)가 1을 만족하는 정수 계수를 갖는 다항식의 경우에 대한 유리수 근을 찾는 것으로 문제를 줄입니다.

만약 ${\frac {p}{q}}$가 다음과 같은 그러한 다항식의 유리수 근이면

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},$

인수 정리는 다음과 같은 인수분해를 가짐을 보여줍니다:

$P(x)=(qx-p)Q(x),$

여기서 인수 둘 다는 정수 계수를 가집니다 (Q가 정수 계수를 가진다는 사실은 $x-p/q$에 의해 P(x)의 몫에 대해 위의 공식의 결과로써 생깁니다).

위의 상등에서 차수 n의 계수와 상수 계수를 비교하는 것은, 만약 ${\frac {p}{q}}$가 축소된 형태(reduced form:기약 분수)에서 유리수 근이면, q가 $a_{0}$의 약수이고 p가 $a_{n}$의 약수임을 보여줍니다. 그러므로 체계적으로 검사할 수 있는 p와 q에 대해 가능성의 유한한 개수가 있습니다.

예를 들어, 만약 다항식

$2x^{3}-7x^{2}+10x-6$

이 q > 0와 함께 유리수 근 $p/q$를 가지면, p는 6을 반드시 나누는데, 즉 $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\}$, 그리고 q는 반드시 2를 나누는데, 즉 $q\in \{1,2\}$입니다. 게다가 만약 x < 0이면, 다항식의 모든 항은 음수이고, 따라서 근은 음이 절대 될 수 없습니다. 즉, 다음을 반드시 가집니다:

${\frac {p}{q}}\in \left\{1,2,3,6,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right\}.$

직접 계산은 ${\frac {3}{2}}$가 근이고, 다른 유리수 근이 없음을 보여줍니다. 인수 정리를 적용하는 것은 마침내 다음 인수분해를 이끕니다:

$2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).$

AC method

이차 다항식(quadratic polynomial)에 대해, 위의 방법은 적용될 수 있고, 소위 인수분해의 ac 방법을 이끕니다.

정수 계수를 갖는 이차 방정식을 다음처럼 놓습니다:

$ax^{2}+bx+c$

만약 그것이 유리수 근을 가지면, 그의 분모는 반드시 균등하게 a를 나누어야 합니다. 그래서, 그것은 가능한 비-기약 분수(reducible fraction) ${\frac {r}{a}}$로 쓸 수 있습니다. 비에타의 공식(Vieta's formulas)에 의해, 다른 근은

$-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}},$

여기서 $s=-(b+r).$ 따라서 두 번째 근은 역시 유리수이고, 두 번째 비에타의 공식은 다음을 제공합니다:

${\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},$

즉

$rs=ac\quad {\text{and}}\quad r+s=-b.$

그의 곱이 ac인 정수의 모든 쌍을 검사하는 것은, 만약 있다면, 유리수 근을 제공합니다.

예를 들어, 다음 이차 방정식을 생각해 보십시오:

$6x^{2}+13x+6.$

ac = 36의 인수의 검사는 4 + 9 = 13 = b에 이르고, 다음 두 개의 근을 제공합니다:

$-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}},$

그리고 다음 인수분해를 제공합니다.

${\begin{aligned}6x^{2}+13x+6&=6\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {3}{2}}\right)\\&=(3x+2)(2x+3).\end{aligned}}$

Using formulas for polynomial roots

임의의 일변수 이차 함수(quadratic polynomial) $ax^{2}+bx+c$는 이차 공식(quadratic formula)을 사용하여 인수화될 수 있습니다:

$ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),$

여기서 $\alpha$와 $\beta$은 다항식의 두 근(roots)입니다.

만약 a, b, c가 모두 실수이면, 인수가 실수인 것과 판별식(discriminant) $b^{2}-4ac$이 비-음수인 것은 필요충분 조건입니다. 그렇지 않으면, 이차 다항식은 비-상수 실수 인수로 절대 인수분해되지 않습니다.

이차 공식은 계수가 2와 다른 특성(characteristic) 필드(field)에 속하고, 특히, 원소의 홀수를 갖는 유한한 필드(finite field) 안의 계수에 대해 유효합니다.

삼차(cubic) 및 사차(quartic) 다항식의 근에 대해 역시 공식이 있으며, 그것은, 일반적으로, 실제 사용에 대해 너무 복잡합니다. 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)는 오차 이상의 다항식에 대해 제곱근의 관점에서 일반적인 근 공식이 없음을 보여줍니다.

Using relations between roots

다항식의 근과 그의 계수 사이의 어떤 관계를 알고 있을 수 있습니다. 이 지식을 사용하는 것은 다항식을 인수분해하고 그의 근을 찾는 것에 도움이 될 수 있습니다. 갈루아 이론(Galois theory)은 근과 계수 사이의 관계의 체계적인 연구에 기반을 두고 있고, 그것은 비에타의 공식(Vieta's formulas)을 포함합니다.

여기서, 다항식 $P(x)$의 두 근 $x_{1}$과 $x_{2}$가 다음 관계를 만족하는 더 단순한 경우를 생각해 보십시오:

$x_{2}=Q(x_{1}),$

여기서 Q는 다항식입니다.

이것은 $x_{1}$이 $P(Q(x))$와 $P(x)$의 공통 근임을 의미합니다. 따라서, 그것들은 이들 두 다항식의 최대 공약수(greatest common divisor)의 근입니다. 이것으로부터 이 최대 공약수는 $P(x)$의 비-상수 인수임을 알 수 있습니다. 다항식에 대해 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm for polynomials)은 이 최대 공약수를 계산하는 것을 허용합니다.

예를 들어, 만약 $P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80$ 이 두 근을 가지고 그 합이 영이라는 것을 알거나 또는 추측했다면, $P(x)$와 $P(-x)$에 대해 유클리드 알고리듬을 적용할 수 있습니다. 첫 번째 나눗셈 단계는 $P(x)$와 $P(-x)$를 더하는 것이고, 다음의 나머지를 제공합니다:

$-10(x^{2}-16).$

그런 다음, $x^{2}-16$에 의해 $P(x)$를 나누는 것은 새로운 나머지로 영, 몫으로 x – 5을 제공하고, 다음의 완전한 인수분해로 이끕니다:

$x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).$

Unique factorization domains

필드(field)에 걸쳐 정수 및 다항식은 고유한 인수분해의 속성을 공유합니다. 즉, 모든 각 비-영 원소는 역원이 있는 원소의 곱 (정수의 경우에서 단위(unit), ±1) 그리고 기약 원소(irreducible element) (정수의 경우에서, 소수)의 곱으로 인수화될 수 있고, 이 인수분해는 인수를 재배열하고 인수 사이의 단위를 이동하는 것까지(up to) 고유합니다. 이 속성을 공유하는 정수 도메인(Integral domain)을 고유한 인수분해 도메인(unique factorization domain) (UFD)이라고 불립니다.

최대 공약수(Greatest common divisor)는 UFD 안에 존재하고, 역으로, 최대 공약수가 존재하는 모든 각 정수 도메인은 UFD입니다. 모든 각 주요 아이디얼 도메인(principal ideal domain)은 UFD입니다.

유클리드 도메인(Euclidean domain)은 정수의 나눗셈과 비슷한 유클리드 나눗셈(Euclidean division)이 정의되는 정수 도메인입니다. 모든 각 유클리드 도메인은 주요 아이디얼 도메인이고, 따라서 UFD입니다.

유클리드 도메인에서, 유클리드 나눗셈은 최대 공약수를 계산하는 것에 대해 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)을 정의하는 것을 허용합니다. 어쨌든 이것이 인수분해 알고리듬의 존재를 의미하는 것은 아닙니다. 필드(field) F에 걸쳐 일변수 다항식의 유클리드 도메인 F[x]에서 임의의 알고리듬이 절대 존재하지 않는 것을 만족하는 필드 F의 분명한 예제가 있습니다.

Ideals

Main article: Dedekind domain

대수적 숫자 이론(algebraic number theory)에서, 디오판토스 방정식(Diophantine equation)의 연구는, 19세기 동안, 대수적 정수(algebraic integer)라고 불리는 정수(integer)의 일반화를 도입하도록 수학자들을 이끌었습니다. 고려되어 온 첫 번째 대수적 정수의 링(ring of algebraic integers)은 가우스 정수(Gaussian integer) 및 아이젠슈타인 정수(Eisenstein integer)로써, 보통의 정수와 주요 아이디얼 도메인(principal ideal domain)이라는 속성을 공유하고, 따라서 고유한 인수분해 속성(unique factorization property)을 가집니다.

불행하게도, 그것은 곧 대수적 정수의 대부분 링은 주요가 아니고 고유한 인수분해를 가지지 않는 것으로 나타났습니다. 가장 간단한 예제는 $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]$이며, 이것은

$9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),$

그리고 모든 이들 인수는 기약(irreducible)입니다.

고유한 인수분해의 이 부족은 디오판토스 방정식을 푸는 것에 대해 큰 어려움입니다. 예를 들어, 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem) (아마도 페르마의 "이것의 진짜 놀라운 증명은, 이 마진이 그것을 포함하기에는 너무 좁습니다"를 포함하는)의 많은 잘못된 증명은 고유한 인수분해의 암시적 가정에 기반을 두고 있었습니다.

이 어려움은 데데킨트(Dedekind)에 의해 해결되었는데, 그는 대수적 정수의 링은 아이디얼(ideals)의 고유한 인수분해를 가지고 있음을 증명했습니다: 이들 링에서, 모든 각 아이디얼은 소수 아이디얼(prime ideal)의 곱이고, 이 인수분해는 인수의 차수까지 고유합니다. 이 고유한 인수분해 속성을 가지는 정수 도메인(integral domain)은 현재 데데킨트 도메인(Dedekind domain)이라고 불립니다. 그들은 많은 좋은 속성을 가지고 대수적 숫자 이론에서 그것들을 기본적으로 만듭니다.

Matrices

행렬 링은 비-교환적이고 고유한 인수분해를 가지지 않습니다: 일반적으로 행렬(matrix)을 행렬의 곱으로 쓰는 여러가지 방법이 있습니다. 따라서, 인수분해 문제는 특정 유형의 인수를 찾는 것으로 구성됩니다. 예를 들어, LU 분해(LU decomposition)는 위쪽 삼각 행렬(upper triangular matrix)에 의한 아래쪽 삼각 행렬(lower triangular matrix)의 곱으로 행렬을 제공합니다. 이것이 항상 가능한 것은 아니기 때문에, 일반적으로 그의 세 번째 인수로 순열 행렬(permutation matrix)을 갖는 "LUP 분해"를 고려합니다.

행렬 인수분해의 가장 공통적인 유형에 대해 행렬 분해(Matrix decomposition)를 참조하십시오.

논리 행렬(logical matrix)은 이항 관계(binary relation)를 나타내고, 행렬 곱셈(matrix multiplication)은 관계의 합성(composition of relations)에 해당합니다. 인수분해를 통한 관계의 분해는, 이함수형(difunctional) 관계와 같은, 관계의 본질을 설명하는 역할을 합니다.

See also

• Euler's factorization method for integers
• Fermat's factorization method for integers
• Monoid factorisation
• Multiplicative partition
• Table of Gaussian integer factorizations

References

• Burnside, William Snow; Panton, Arthur William (1960) [1912], The Theory of Equations with an introduction to the theory of binary algebraic forms (Volume one), Dover
• Dickson, Leonard Eugene (1922), First Course in the Theory of Equations, New York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921), College Algebra (Revised), Boston: D. C. Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint; Arithmetic, Algebra, Analysis, Dover
• Selby, Samuel M., CRC Standard Mathematical Tables (18th ed.), The Chemical Rubber Co.

External links

• Wolfram Alpha can factorize too.