Rational function

수학(mathematics)에서, 유리 함수(rational function)는 유리 분수(rational fraction), 즉, 분자와 분모 둘 다가 다항식(polynomial)임을 만족하는 대수적 분수(algebraic fraction)로 정의될 수 있는 임의의 함수(function)입니다. 다항식의 계수(coefficient)는 유리수(rational number)일 필요는 없습니다; 그들은 임의의 필드(field) K에서 취할 수 있을 것입니다. 이 경우에서, 우리는 K에 걸쳐 유리 함수 및 유리 분수라고 말합니다. 변수(variable)의 값은 K를 포함하여 임의의 필드 L에서 취할 수 있을 것입니다. 그런-다음 함수의 도메인(domain)은 분모가 영이 아니고 코도메인(codomain)이 L인 것에 대해 변수의 값의 집합입니다.

필드 K에 걸쳐 유리 함수의 집합은 하나의 필드, K 에 걸쳐 다항 함수(polynomial function)의 링(ring)의 분수의 필드(field of fractions)입니다.

Definitions

함수 $f(x)$ 가 유리 함수로 불리는 것과 그것이 다음 형식으로 쓰이는 것은 필요충분 조건입니다:

f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}

여기서 $P\,$ 와 $Q\,$ 는 $x\,$ 의 다항 함수(polynomial function)이고 $Q\,$ 는 영 함수(zero function)는 아닙니다. $f\,$ 의 도메인(domain)은 분모 $Q(x)\,$ 가 영이 아닌 것에 대해 $x\,$ 의 모든 값의 집합입니다.

어쨌든, 만약 $\textstyle P$ 및 $\textstyle Q$ 은 비-상수 다항식 최대 공약수(polynomial greatest common divisor) $\textstyle R$ 를 가지면, $\textstyle P=P_{1}R$ 및 $\textstyle Q=Q_{1}R$ 을 놓으면 다음 유리 함수를 생성합니다:

f_{1}(x)={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}},

이것은 $f(x)$ 보다 더 큰 도메인을 가질 수 있을 것이고, $f(x)$ 의 도메인 위에 $f(x)$ 와 같을 수 있을 것입니다. 그것은 $f(x)$ 와 $f_{1}(x)$ 를 식별, 즉, $f(x)$ 의 도메인을 $f_{1}(x)$ 의 그것으로 "연속성에 의해" 확장하기 위한 공통 사용법입니다. 실제로, 우리는 다항식의 분수의 동치 클래스(equivalence class)로 유리 분수를 정의할 수 있으며, 여기서 두 분수 ${\frac {A(x)}{B(x)}}$ 및 ${\frac {C(x)}{D(x)}}$ 는, 만약 $A(x)D(x)=B(x)C(x)$ 이면, 동등한 것으로 여겨집니다. 이 경우에서, ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ 는 ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}$ 와 동등합니다.

적절한 유리 함수(proper rational function)는 $P(x)$ 의 차수(degree)가 $Q(x)$ 의 차수보다 더 크지 않고 둘 다는 실수 다항식(real polynomial)인 것에서 유리 함수입니다.^[1]

Examples

Examples of rational functions

Rational function of degree 3, with a graph of degree 3:

y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}

Rational function of degree 2, with a graph of degree 3:

y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}

유리 분수

f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}

는 다음에서 정의되지 않습니다:

x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.

그것은 $x\to \infty$ 일 때 ${\tfrac {x}{2}}$ 로 점근적입니다.

유리 분수

f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}

은 모든 실수(real number)에 대해 정의되지만, 모든 복소수(complex number)에 대해 정의되는 것은 아닌데, 왜냐하면 만약 x가 $-1$ 의 제곱근 (즉, 허수 단위 또는 그의 음수)이면, 공식적인 평가는 영에 의한 나눗셈으로 이어질 것이기 때문입니다:

f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},

이것은 정의되지 않습니다.

f(x) = π와 같은 상수 함수(constant function)는 유리 함수인데 왜냐하면 상수는 다항식이기 때문입니다. 함수 그 자체는, 비록 f(x)의 값(value)이 모든 x에 대해 무리수일지라도, 유리 함수입니다.

모든 각 다항 함수(polynomial function) $f(x)=P(x)$ 는 $Q(x)=1$ 을 가진 유리 함수입니다. 이 형식으로 절대 쓸 수 없는, $f(x)=\sin(x)$ 와 같은 함수는 유리 함수가 아닙니다. 형용사 "무리수"는 함수에 대해 일반적으로 사용되지 않습니다.

유리 함수 $f(x)={\tfrac {x}{x}}$ 는 0을 제외한 모든 x에 대해 1과 같으며, 여기서 제거-가능한 특이점(removable singularity)이 있습니다. 두 유리 함수의 합, 곱, 또는 (영 다항식에 의한 나눗셈을 제외하는) 몫은 그 자체로 유리 함수입니다. 어쨌든, 표준 형식으로 축소의 과정은, 만약 주의를 기울이지 않으면, 그러한 특이점의 제거의 부주의한 결과로 생길 수 있을 것입니다. 동치 클래스로 유리 함수의 정의를 사용하면 이 문제를 해결할 수 있는데, 왜냐하면 x/x는 1/1과 동등하기 때문입니다.

Taylor series

임의의 유리 함수의 테일러 급수(Taylor series)의 계수는 선형 재귀 관계(linear recurrence relation)를 만족시키며, 이것은 유리 함수를 불확정 계수를 가진 테일러 급수와 같게 하고, 분모를 제거한 후 동류-항(like terms)을 모음으로써 찾아질 수 있습니다.

예를 들어,

{\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.

양쪽 변에 분모를 곱하고 분배함으로써,

1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}

1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.

합의 인덱스를 $x$ 의 같은 거듭제곱을 얻기 위해 조정한 후에, 우리는 다음을 얻습니다:

1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.

동류항을 결합함으로써 다음을 제공합니다:

1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.

이것은 원래 테일러 급수의 수렴의 반지름에서 모든 x에 대해 참을 유지하므로, 우리는 다음으로 계산할 수 있습니다. 왼쪽 변의 상수 항은 오른쪽 변의 상수 항(constant term)과 반드시 같아야 하므로 그것은 다음인 것을 따릅니다:

a_{0}={\frac {1}{2}}.

그런-다음, 왼쪽 변에 $x$ 의 거듭제곱이 없으므로, 오른쪽 변의 계수(coefficient)의 모두는 반드시 영이야 하는데, 이것으로부터 그것은 다음을 따릅니다:

a_{1}={\frac {1}{4}}

a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad for\ k\geq 2.

반대로, 선형 재귀를 만족시키는 임의의 수열은 테일러 급수의 계수로 사용할 때 유리 함수를 결정합니다. 이것은 그러한 재귀를 해결하는 것에서 유용한데, 왜냐하면 부분 분수 분해(partial fraction decomposition)를 사용함으로써 우리는 임의의 적절한 유리 함수를 형식 1 / (ax + b)의 인수의 합으로 쓸 수 있고 이들을 기하 급수(geometric series)로 전개해서, 테일러 계수에 대해 명시적 공식을 제공합니다; 이것이 생성하는 함수(generating functions)의 방법입니다.

Abstract algebra and geometric notion

추상 대수학(abstract algebra)에서, 다항식의 개념은 공식적인 표현을 포함하기 위해 확장되며, 이것에서 다항식의 계수는 임의의 필드(field)에서 취할 수 있습니다. 이 설정에서, 필드 $F$ 와 일부 불확정 $X$ 가 주어지면, 유리 표현(rational expression)은 다항식 링(polynomial ring) $F [X]$ 의 분수의 필드(field of fractions)의 임의의 원소입니다. 임의의 유리 표현은, 비록 이 표현이 고유하지 않을지라도, $Q \neq 0$ 과 함께 두 다항식 $P / Q$ 의 몫으로 쓸 수 있습니다. 다항식 $P$ , $Q$ , $R$ , 및 $S$ 에 대해, $PS = QR$ 일 때, $P / Q$ 는 $R / S$ 와 동등합니다. 어쨌든, $F [X]$ 는 고유한 인수분해 도메인(unique factorization domain)이므로, 가장-낮은 차수의 $P$ 와 $Q$ 다항식 및 일계수(monic)가 되는 선택된 $Q$ 를 가진 임의의 유리 표현 $P / Q$ 에 대한 고유한 표현(unique representation)이 있습니다. 이것은 정수의 분수(fraction)가 공통 인수를 묶어내서 약분함으로써 항상 가장 낮은 항으로 고유하게 항상 쓸 수 있는 방법과 유사합니다.

유리 표현의 필드는 $F (X)$ 로 표시됩니다. 이 필드는 (하나의 초월적 원소(transcendental element)) $X$ 에 의해 $F$ 에 걸쳐 (하나의 필드로) 생성된다고 말해지는데, 왜냐하면 $F (X)$ 는 $F$ 와 원소 $X$ 둘 다를 포함하는 임의의 적절한 부분-필드를 포함하지 않기 때문입니다.

Complex rational functions

복소 해석학(complex analysis)에서, 유리 함수

f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}

는 복소 계수를 갖는 두 다항식의 비율이며, 여기서 $Q$ 는 영 다항식이 아니고 $P$ 와 $Q$ 는 공통 인수를 가지지 않습니다 (이것은 불확정 값 $0/0$ 을 취하는 $f$ 를 피합니다).

$f$ 의 도메인은 $Q(z)\neq 0$ 를 만족하는 복소수의 집합이고, 그것의 치역은 $P(z)\neq wQ(z)$ 를 만족하는 복소수 $w$ 의 집합입니다.

모든 각 유리 함수는 그것의 도메인과 치역이 전체의 리만 구(Riemann sphere) (복소 투영 직선(complex projective line))인 함수로 자연스럽게 확장될 수 있습니다.

유리 함수는 유리형 함수(meromorphic function)의 대표 예제입니다.

Notion of a rational function on an algebraic variety

다항식(polynomials)과 마찬가지로, 유리 표현은 $F [X 1,..., X n]$ 의 분수의 필드를 취함으로써, $n$ 을 불확정 $X 1,..., X n$ 으로 일반화될 수 있으며, 이것은 $F (X 1,..., X n)$ 에 의해 표시됩니다.

유리 함수의 추상적 아이디어의 확장된 버전은 대수 기하학에서 사용됩니다. 그것에서 대수적 다양체의 함수 필드(function field of an algebraic variety) $V$ 는 $V$ (보다 정확하게 말하면, $V$ 에서 자리스트-밀집 아핀 열린 집합)의 좌표 링(coordinate ring)의 분수 필드로 형성됩니다. 그의 원소 $f$ 는 비-빈 열린 집합 $U$ 위에 대수 기하학의 의미에서 정규 함수로 여겨지고, 역시 투영 직선(projective line)에 대한 사상(morphism)으로 보일 수 있습니다.

Applications

이들 대상은 학교 대수(school algebra)에서 처음으로 마주칩니다. 보다 고급 수학에서, 그들은 링 이론(ring theory), 특히 필드 확장(field extension)의 구성에서 중요한 역할을 합니다. 그들은 비-아르키메데스 필드(nonarchimedean field)의 예제를 제공합니다 (아르키메데스 속성(Archimedean property)을 참조하십시오).

유리 함수는 함수의 보간(interpolation) 및 근사(approximation), 예를 들어, 앙리 파데(Henri Padé)에 의해 도입된 파데 근사(Padé approximation)에 대해 수치 해석학(numerical analysis)에 사용됩니다. 유리 함수에 관한 근사는 컴퓨터 대수 시스템(computer algebra system) 및 다른 수치 소프트웨어(software)에 매우 적합합니다. 다항식과 마찬가지로, 그들은 간단하게 평가될 수 있고, 동시에 그들은 다항식보다 다양한 동작을 표현합니다.

유리 함수는 물리학에서 필드와 힘, 해석적 화학의 분광학, 생화학에서 효소 동역학, 전자 회로, 공기-역학, 생체 안의 의약 농도, 원자와 분자에 대해 파동 함수, 이미지 해상도를 개선하기 위한 광학 및 사제안, 및 음향학과 소리를 포함하는 과학 및 공학에서 보다 복잡한 방정식을 근사 또는 모델링하기 위해 사용됩니다.^{[citation needed]}

신호 처리(signal processing)에서, 무한 임펄스 응답(infinite impulse response)을 갖는 공통적으로-사용된 선형 시간-불변 시스템(linear time-invariant system) (필터)의 임펄스 응답(impulse response)의 (연속 시스템에 대해) 라플라스 변환(Laplace transform) 또는 (이산-시간 시스템에 대해) z-변환(z-transform)은 복소수에 걸쳐 유리 함수입니다.

References

^
Martin J. Corless, Art Frazho, Linear Systems and Control, p. 163, CRC Press, 2003 ISBN 0203911377.
- Malcolm W. Pownall, Functions and Graphs: Calculus Preparatory Mathematics, p. 203, Prentice-Hall, 1983 ISBN 0133323048.

"Rational function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007), "Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

External links

Dynamic visualization of rational functions with JSXGraph

[1] Martin J. Corless, Art Frazho, Linear Systems and Control, p. 163, CRC Press, 2003 ISBN 0203911377.
Malcolm W. Pownall, Functions and Graphs: Calculus Preparatory Mathematics, p. 203, Prentice-Hall, 1983 ISBN 0133323048.

[2] Malcolm W. Pownall, Functions and Graphs: Calculus Preparatory Mathematics, p. 203, Prentice-Hall, 1983 ISBN 0133323048.

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