Regular polygon

Regular star polygons
2 < 2q < p, gcd(p, q) = 1
Schläfli symbol	{p/q}
Vertices and Edges	p
Density	q
Coxeter diagram
Symmetry group	Dihedral (Dp)
Dual polygon	Self-dual
Internal angle; (degrees)

Regular polygon
Edges and vertices
Schläfli symbol
Coxeter–Dynkin diagram
Symmetry group	Dn, order 2n
Dual polygon	Self-dual
Area; (with side length )
Internal angle
Internal angle sum
Inscribed circle diameter
Circumscribed circle diameter
Properties	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 정규 다각형(regular polygon)은 직접 등각(direct equiangular, 모든 각도가 측정에서 같음)과 등변(equilateral, 모든 변이 같은 길이를 가짐)인 다각형(polygon)입니다. 정규 다각형은 볼록(convex), 별(star), 또는 꼬인(skew) 것일 수 있습니다. 극한(limit)에서, 변의 개수가 증가하는 일련의 정규 다각형은 만약 둘레(perimeter)나 넓이(area)가 고정되어 있으면 원에 근사화되고, 만약 가장자리 길이가 고정되어 있으면 정규 무한각형(apeirogon, 사실상 직선)에 근사화됩니다.

General properties

이들 속성은 볼록이든 또는 별이든 모든 정규 다각형에 적용됩니다.

정규 n-변 다각형은 차수 n의 회전적 대칭(rotational symmetry)을 가집니다.

정규 다각형의 모든 꼭짓점은 공통 원 (둘레접된 원) 위에 놓입니다; 즉, 그것들은 일치-순환 점(concyclic point)입니다. 즉, 정규 다각형은 순환 다각형(cyclic polygon)입니다.

같은-길이 변의 속성과 함께, 이것은 모든 각 정규 다각형에도 중간점에서 모든 각 변에 접하는 내접된 원 또는 내원이 있음을 의미합니다. 따라서 정규 다각형은 접선 다각형(tangential polygon)입니다.

정규 n-변 다각형은 컴퍼스와 직선자로 구성될 수 있는 것과 n의 홀수 소수 인수가 구별되는 페르마 소수(Fermat primes)인 것은 필요충분 조건입니다. 구성-가능 다각형(constructible polygon)을 참조하십시오.

정규 n-변 다각형은 오르가미(origami)로 구성될 수 있는 것과 어떤 $r\in \mathbb {N}$ 에 대해 $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ 인 것은 필요충분 조건이며, 여기서 각각의 구별되는 $p_{i}$ 는 피어폰트 소수(Pierpont prime)입니다.^[1]

Symmetry

n-변 정규 다각형의 대칭 그룹(symmetry group)은 (차수 2n의) 이면 그룹(dihedral group) D_n: D₂, D₃, D₄, ...입니다. 그것은 중심을 통과하는 n 축에서 반사 대칭(reflection symmetry)과 함께 C_n에서 회전으로 구성됩니다. 만약 n이 짝수이면, 이들 축의 절반은 두 개의 마주보는 꼭짓점을 통과하고 나머지 절반은 반대쪽 변의 중간점을 통과합니다. 만약 n이 홀수이면, 모든 축이 꼭짓점과 반대쪽 변의 중간점을 통과합니다.

Regular convex polygons

모든 정규 단순 다각형(simple polygons, 단순 다각형은 어디에서도 자체와 교차하지 않는 것)은 볼록입니다. 같은 개수의 변을 가지는 것들은 닮았습니다.

n-변 볼록 정규 다각형은 슐래플리 기호(Schläfli symbol) {n}으로 표시됩니다. n < 3에 대해, 두 가지 퇴화(degenerate) 사례가 있습니다:

Monogon {1}: 보통의 공간에서 퇴화. (대부분 저자는 일각형을 진정한 다각형으로 고려하지 않으며, 부분적으로 이것 때문이고, 역시 아래 공식이 작동하지 않기 때문이고, 그것의 구조는 임의의 추상 다각형(abstract polygon)의 구조가 아니기 때문입니다.)
Digon {2}; a "double line segment": 보통의 공간에서 퇴화. (일부 저자는 이것 때문에 이각형을 진정한 다각형으로 고려하지 않습니다.)

특정 문맥에서, 고려되는 모든 다각형은 정규적입니다. 그러한 상황에서, 접두사 정규를 버리는 것이 관례적입니다. 예를 들어, 균등 다면체(uniform polyhedra)의 모든 면은 정규적이어야 하고 면은 단순히 삼각형, 사각형, 오각형, 등으로 설명됩니다.

Angles

정규 볼록 n-각형에 대해, 각각의 내부 각도(interior angle)는 다음의 측정을 가집니다:

{\frac {180(n-2)}{n}}

도;

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

라디안; 또는

{\frac {(n-2)}{2n}}

완전 바퀴(turns),

그리고 각 외부 각도(exterior angle, 즉, 내부 각도에 대한 여각)는 ${\tfrac {360}{n}}$ 도의 측정값을 가지며, 외부 각도의 합은 360도 또는 2π 라디안 또는 1 완전 바퀴와 같습니다.

n이 무한대에 가까워지면, 내부 각도는 180도에 가까워집니다. 10,000개의 변을 갖는 정규 다각형 (밀리어곤)에 대해 내부 각도는 179.964°입니다. 변의 개수가 늘어남에 따라 내부 각도는 180°에 매우 가까워지고, 다각형의 모양은 원에 가까워집니다. 어쨌든, 다각형은 결코 원이 될 수 없습니다. 내부 각도의 값은 정확히 180°가 될 수는 없는데, 왜냐하면 원주가 사실상 직선이 될 것이기 때문입니다 (무한각형 참조). 이러한 이유로, 원은 변의 개수가 무한한 다각형이 아닙니다.

Diagonals

n > 2에 대해, 대각선(diagonals)의 개수는 ${\tfrac {1}{2}}n(n-3)$ 입니다; 즉, 삼각형, 사각형, 오각형, ...에 대해, 0, 2, 5, 9, ...입니다. 대각선은 다각형을 1, 4, 11, 24, ... 조각으로 나눕니다: OEIS: A007678.

단위-반지름 원에 내접하는 정규 n-각형에 대해, 주어진 꼭짓점에서 다른 모든 꼭짓점 (인접한 꼭짓점과 대각선으로 연결된 꼭짓점 포함)까지의 거리의 곱은 n입니다.

Points in the plane

둘레반지름(circumradius) R이고 평면에서 임의적인 점에서 꼭짓점까지의 거리 d_i를 갖는 정규 단순 n-각형에 대해, 다음을 가집니다:^[2]

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}\right)^{2}.

평면에서 임의적인 점에서 정규 $n$ -각형의 꼭짓점까지의 거리 $d_{i}$ 의 더 높은 거듭제곱에 대해, 만약 다음이면,

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

,

다음과 같습니다:^[3]

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

,

그리고

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

,

여기서 $m$ 은 $n$ 보다 작은 양의 정수입니다.

만약 $L$ 이 평면에서 임의적인 점에서 둘레반지름 $R$ 을 갖는 정규 $n$ -각형의 도형중심까지의 거리이면, 다음과 같습니다:^[3]

\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}\right)

,

여기서 $m$ = 1, 2, …, $n-1$ .

Interior points

정규 $n$ -각형에 대해, 임의의 내부 점에서 $n$ 변까지의 수직 거리의 합은 $n$ 곱하기 아포팀(apothem)입니다:^[4]^{: p. 72} (아포팀은 중심에서 임의의 변까지의 거리입니다). 이것은 $n$ = 3 경우에 대해 비비아니의 정리(Viviani's theorem)의 일반화입니다.^[5]^[6]

Circumradius

정규 다각형의 중심에서 꼭짓점 중 하나까지의 둘레반지름(circumradius) R은 변의 길이 s 또는 아포팀과 다음과 같이 관련됩니다:

R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}

구성-가능 다각형(constructible polygons)에 대해, 이들 관계에 대한 대수적 표현(algebraic expressions)이 존재합니다. 이중심 다각형#정규 다각형을 참조하십시오.

정규 n-각형의 꼭짓점에서 둘레원에 접하는 임의의 직선까지의 수직선의 합은 n 곱하기 둘레반지름과 같습니다.^[4]^{: p. 73}

정규 n-각형의 꼭짓점에서 둘레원 위의 임의의 점까지의 거리 제곱의 합은 2nR²이며, 여기서 R은 둘레반지름입니다.^[4]^: p.73

정규 n-각형 변의 중간점에서 둘레원 위의 임의의 점까지의 거리 제곱의 합은 2nR² − 1/4ns²이며, 여기서 s는 변의 길이이고 R은 둘레반지름입니다.^[4]^{: p. 73}

만약 $d_{i}$ 는 정규 $n$ -각형의 꼭짓점에서 둘레원 위의 한 점까지의 거리이면, 다음과 같습니다:^[3]

3\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

.

Dissections

콕서터(Coxeter)는 모든 조노곤(zonogon, 반대쪽 변이 평행하고 길이가 같은 2m-각형)이 ${\tbinom {n}{2}}$ 또는 1/2m(m − 1) 평행사변형으로 해부될 수 있다고 말합니다. 이들 타일링은 직교 투영 m-큐브에서 꼭짓점, 가장자리 및 면의 부분집합으로 포함됩니다.^[7] 특히, 이것은 짝수의 변을 갖는 임의의 정규 다각형의 경우에 참이며, 이 경우에서 평행사변형은 모두 마름모입니다. OEIS: A006245 목록은 더 작은 다각형에 대한 해의 개수를 제공합니다.

Example dissections for select even-sided regular polygons
2m	6	8	10	12	14	16	18	20	24	30	40	50
Image
Rhombs	3	6	10	15	21	28	36	45	66	105	190	300

Area

변 s, 둘레반지름 R, 아포팀 a, 및 둘레 p를 가지는 볼록 정규 n-변 다각형의 넓이 A는 다음과 같이 지정됩니다:^[8]^[9]

A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)

변 s = 1, 둘레반지름 R = 1, 또는 아포팀 a = 1을 갖는 정규 다각형에 대해, 다음 테이블을 생성합니다:^[10] $x\rightarrow 0$ 일 때 $\cot x\rightarrow 1/x$ 이기 때문에, $s=1$ 일 때 넓이는 $n$ 이 커질수록 $n^{2}/4\pi$ 로 가는 경향이 있음을 주목하십시오.)

Number of sides	Area when side s = 1		Area when circumradius R = 1			Area when apothem a = 1
Number of sides	Exact	Approximation	Exact	Approximation	Relative to circumcircle area	Exact	Approximation	Relative to incircle area
n	${\tfrac {n}{4}}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$		${\tfrac {n}{2}}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)$		${\tfrac {n}{2\pi }}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)$	$n\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$		${\tfrac {n}{\pi }}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$
3	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}$	0.433012702	${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{4}}$	1.299038105	0.4134966714	$3{\sqrt {3}}$	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0.6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$	1.720477401	${\tfrac {5}{4}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$	2.377641291	0.7568267288	$5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	3.632712640	1.156328347
6	${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	2.598076211	${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	2.598076211	0.8269933428	$2{\sqrt {3}}$	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0.8710264157		3.371022333	1.073029735
8	$2+2{\sqrt {2}}$	4.828427125	$2{\sqrt {2}}$	2.828427125	0.9003163160	$8\left({\sqrt {2}}-1\right)$	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0.9207254290		3.275732109	1.042697914
10	${\tfrac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	7.694208843	${\tfrac {5}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$	2.938926262	0.9354892840	$2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0.9465022440		3.229891423	1.028106371
12	$6+3{\sqrt {3}}$	11.19615242	3	3.000000000	0.9549296586	$12\left(2-{\sqrt {3}}\right)$	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0.9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0.9667663859		3.195408642	1.017130161
15	^[11]	17.64236291	^[12]	3.050524822	0.9710122088	^[13]	3.188348426	1.014882824
16	^[14]	20.10935797	$4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	3.061467460	0.9744953584	^[15]	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0.9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0.9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0.9818729854		3.170539238	1.009213984
20	^[16]	31.56875757	^[17]	3.090169944	0.9836316430	^[18]	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0.9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0.9999934200		3.141602989	1.000003290
10,000		7957746.893		3.141592448	0.9999999345		3.141592757	1.000000033
1,000,000		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

주어진 둘레를 갖는 모든 n-각형 중에서, 가장 큰 넓이를 갖는 것은 정규입니다.^[19]

Constructible polygon

일부 정규 다각형은 컴퍼스와 직선자로 구성하기 쉽습니다; 다른 정규 다각형은 전혀 구성할 수 없습니다. 고대 그리스 수학자들은 변 3개, 4개 또는 5개를 갖는 정규 다각형을 구성하는 방법을 알고 있었고,^[20]^{: p. xi} 그들은 주어진 정규 다각형의 변의 개수를 두 배로 하는 정규 다각형을 구성하는 방법을 알고 있었습니다.^[20]^{: pp. 49–50} 이로 인해 다음 질문이 제기되었습니다: 컴퍼스와 직선자로 모든 정규 n-각형을 구성할 수 있습니까? 그렇지 않다면, 어떤 n-각형이 구성 가능하고 어떤 것이 구성 가능하지 않습니까?

카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 1796년에 정규 17-각형의 구성-가능성을 입증했습니다. 5년 후, 그는 그의 Disquisitiones Arithmeticae에서 가우스 주기(Gaussian periods)의 이론을 발전시켰습니다. 이 이론을 통해 그는 정규 다각형의 구성-가능성에 대한 충분 조건을 공식화할 수 있었습니다.

정규 n-각형은 n이 2의 거듭제곱과 구별되는 페르마 소수 (없음 포함)의 숫자의 곱이면 컴퍼스와 직선자로 구성될 수 있습니다.

(페르마 소수는 $2^{\left(2^{n}\right)}+1$ 형식의 소수입니다.) 가우스는 이 조건이 역시 필요 조건이라고 증명 없이 언급했지만, 결코 그의 증명을 발표하지 않았습니다. 1837년 Pierre Wantzel에 의해 필요 조건에 대한 완전한 증명이 제공되었습니다. 그 결과는 Gauss–Wantzel theorem로 알려져 있습니다.

동등하게, 정규 n-각형이 구성-가능인 것과 그것의 공통 각도의 코사인이 구성-가능 숫자(constructible number)인 것은 필요충분 조건합니다—즉, 네 가지 기본 산술 연산과 제곱근 추출의 관점에서 쓸 수 있는 숫자입니다.

Regular skew polygons

The cube contains a skew regular hexagon, seen as 6 red edges zig-zagging between two planes perpendicular to the cube's diagonal axis.	The zig-zagging side edges of a n-antiprism represent a regular skew 2n-gon, as shown in this 17-gonal antiprism.

3-공간에서 정규 꼬인 다각형(skew polygon)은 균등 역각기둥(antiprism)의 변-가장자리로 정의되는 두 개의 평행한 평면 사이에서 지그재그로 움직이는 비평면 경로로 볼 수 있습니다. 모든 가장자리와 내부 각도는 같습니다.

The Platonic solids (the tetrahedron, cube, octahedron, dodecahedron, and icosahedron) have Petrie polygons, seen in red here, with sides 4, 6, 8, 10, and 10 respectively.

보다 일반적으로 정규 꼬인 다각형은 n-공간에서 정의될 수 있습니다. 예를 들면 피트리 다각형(Petrie polygons), 정규 폴리토프를 두 개의 절반으로 나누는 가장자리의 다각형 경로이고 직교 투영에서 정규 다각형으로 표시됩니다.

무한 극한에서, 정규 꼬인 다각형은 꼬인 무한각형(apeirogons)이 됩니다.

Regular star polygons

비-볼록 정규 다각형은 정규 별 다각형(star polygon)입니다. 가장 공통적인 예제는 오각별(pentagram)이며 이는 오각형과 같은 꼭짓점을 가지지만, 번갈아 꼭짓점을 연결하는 오각형(pentagon)입니다.

n-변 별 다각형에 대해, 슐래플리 기호(Schläfli symbol)는 다각형의 밀도(density) 또는 "별성" m을 {n/m}로 나타내도록 수정됩니다. 예를 들어, 만약 m이 2이면, 모든 각 두 번째 점이 연결됩니다. 만약 m이 3이면, 모든 각 세 번째 점이 연결됩니다. 다각형의 경계는 중심을 m번 감습니다.

최대 12 변의 (비-퇴화) 정규 별은 다음과 같습니다:

Pentagram – {5/2}
Heptagram – {7/2} and {7/3}
Octagram – {8/3}
Enneagram – {9/2} and {9/4}
Decagram – {10/3}
Hendecagram – {11/2}, {11/3}, {11/4} and {11/5}
Dodecagram – {12/5}

m과 n은 서로소(coprime)여야 하거나, 도형은 퇴화일 것입니다.

최대 12 변 퇴화 정규 별 다각형은 다음과 같습니다:

Tetragon – {4/2}
Hexagons – {6/2}, {6/3}
Octagons – {8/2}, {8/4}
Enneagon – {9/3}
Decagons – {10/2}, {10/4}, and {10/5}
Dodecagons – {12/2}, {12/3}, {12/4}, and {12/6}

Two interpretations of {6/2}
Grünbaum {6/2} or 2{3}^[22]	Coxeter 2{3} or {6}[2{3}]{6}

Doubly-wound hexagon	Hexagram as a compound of two triangles

슐래플리 기호의 정확한 유도에 따라, 퇴화 도형의 본성에 대한 의견이 다릅니다. 예를 들어, {6/2}는 다음 두 가지 방법 중 하나로 취급될 수 있습니다:

20세기 대부분 동안 (예를 들어 Coxeter (1948) 참조), 우리는 공통적으로 볼록 {6}의 각 꼭짓점을 두 단계 떨어진 가까운 이웃에 연결하여 두 삼각형의 규칙적인 혼합 다각형, 또는 헥사그램(hexagram)을 얻기 위해 /2를 취했습니다.
콕서터 혼합 {p/k}에 대한 표기법 {kp}[k{p}]{kp}로 이 정규 혼합을 명확히 하므로, 헥사그램은 {6}[2{3}]{6}로 표시됩니다.^[23] 콕서터는 역시 2{n/2}를 쓰며, 예를 들어 헥사그램에 대해 2{3}는 정규 짝수-변 다각형의 교대(alternations)로 혼합을 사용되며, 이는 일치하는 해석과 구별하기 위해 선행 인수에 이탤릭체로 표시됩니다.^[24]
Grünbaum(2003)과 같은 많은 현대 기하학자들은 이것을 잘못된 것으로 여깁니다.^[22] 그들은 /2를 사용하여 각 단계에서 {6} 주변의 두 위치 이동을 나타내어, 각 모서리 점에 두 개의 꼭짓점이 겹쳐지고 각 선분을 따라 두 개의 가장자리가 있는 "이중-감김" 삼각형을 얻습니다. 이것은 현대의 추상 폴리토프(abstract polytopes) 이론에 더 잘 맞을 뿐만 아니라, Poinsot (1809)가 그의 별 모양의 다각형을 만든 방식을 더 가깝게 복사합니다 – 단일 길이의 철사를 가져와 도형이 닫힐 때까지 같은 각도로 연속 점에서 구부립니다.

Duality of regular polygons

모든 정규 다각형은 합동에 대해 자기-이중이고, 홀수 n에 대해 그것들은 항등에 대해 자기-이중입니다.

게다가, 정규 다각형으로 구성되어 있는 정규 별 도형 (혼합)도 자기-이중입니다.

Regular polygons as faces of polyhedra

균등 다면체(uniform polyhedron)는 정규 다각형을 면으로 가지고 있어서, 두 꼭짓점마다 하나를 다른 하나에 매핑하는 (정다각형에 대해 있는 것처럼) 등거리-변환(isometry)이 있습니다.

준-정규 다면체(quasiregular polyhedron)는 각 꼭짓점 주위에 두 종류의 면이 번갈아 나타나는 균등 다면체입니다.

정규 다면체(regular polyhedron)는 한 종류의 면만 있는 균등 다면체입니다.

정규 면을 갖는 남아있는 (비-균등) 볼록 다면체(convex polyhedra)는 존슨 고체(Johnson solids)로 알려져 있습니다.

정규 삼각형을 면으로 가지는 다면체는 삼각면체(deltahedron)라고 불립니다.

Notes

^ Hwa, Young Lee (2017). Origami-Constructible Numbers (PDF) (MA thesis). University of Georgia. pp. 55–59.
^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
^ ^a ^b ^c Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355.
^ ^a ^b ^c ^d Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ Pickover, Clifford A, The Math Book, Sterling, 2009: p. 150
^ Chen, Zhibo, and Liang, Tian. "The converse of Viviani's theorem", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390–391.
^ Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
^ "Math Open Reference". Retrieved 4 Feb 2014.
^ "Mathwords".

^ Results for R = 1 and a = 1 obtained with Maple, using function definition:

f := proc (n)
options operator, arrow;
[
 [convert(1/4*n*cot(Pi/n), radical), convert(1/4*n*cot(Pi/n), float)],
 [convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), radical), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), float), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n)/Pi, float)],
 [convert(n*tan(Pi/n), radical), convert(n*tan(Pi/n), float), convert(n*tan(Pi/n)/Pi, float)]
]
end proc

The expressions for n = 16 are obtained by twice applying the tangent half-angle formula to tan(π/4)

^ ${\tfrac {15}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
^ ${\tfrac {15}{16}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)$
^ ${\tfrac {15}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\right)$
^ $4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\right)$
^ $16\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}-1\right)$
^ $5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
^ ${\tfrac {5}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$
^ $20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$
^ Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
^ ^a ^b Bold, Benjamin. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Publications, 1982 (orig. 1969).
^ Kappraff, Jay (2002). Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number. World Scientific. p. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
^ ^a ^b Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra? Branko Grünbaum (2003), Fig. 3
^ Regular polytopes, p.95
^ Coxeter, The Densities of the Regular Polytopes II, 1932, p.53

References

Lee, Hwa Young; "Origami-Constructible Numbers".
Coxeter, H.S.M. (1948). "Regular Polytopes". Methuen and Co. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra?, Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, Ed. Aronov et al., Springer (2003), pp. 461–488.
Poinsot, L.; Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), pp. 16–48.

External links

Weisstein, Eric W. "Regular polygon". MathWorld.
Regular Polygon description With interactive animation
Incircle of a Regular Polygon With interactive animation
Area of a Regular Polygon Three different formulae, with interactive animation
Renaissance artists' constructions of regular polygons at Convergence

[1] Hwa, Young Lee (2017). Origami-Constructible Numbers (PDF) (MA thesis). University of Georgia. pp. 55–59.

[2] Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf

[Mamuka-3] Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355.

[Johnson-4] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[5] Pickover, Clifford A, The Math Book, Sterling, 2009: p. 150

[6] Chen, Zhibo, and Liang, Tian. "The converse of Viviani's theorem", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390–391.

[7] Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141

[8] "Math Open Reference". Retrieved 4 Feb 2014.

[9] "Mathwords".

[10] Results for R = 1 and a = 1 obtained with Maple, using function definition:
f := proc (n) options operator, arrow; [ [convert(1/4*n*cot(Pi/n), radical), convert(1/4*n*cot(Pi/n), float)], [convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), radical), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), float), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n)/Pi, float)], [convert(n*tan(Pi/n), radical), convert(n*tan(Pi/n), float), convert(n*tan(Pi/n)/Pi, float)] ] end proc
The expressions for n = 16 are obtained by twice applying the tangent half-angle formula to tan(π/4)

[11] ${\tfrac {15}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)$

[12] ${\tfrac {15}{16}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)$

[13] ${\tfrac {15}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\right)$

[14] $4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\right)$

[15] $16\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}-1\right)$

[16] $5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$

[17] ${\tfrac {5}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$

[18] $20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$

[19] Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.

[Bold-20] Bold, Benjamin. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Publications, 1982 (orig. 1969).

[21] Kappraff, Jay (2002). Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number. World Scientific. p. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.

[Branko-22] Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra? Branko Grünbaum (2003), Fig. 3

[23] Regular polytopes, p.95

[24] Coxeter, The Densities of the Regular Polytopes II, 1932, p.53

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]