Transformation of coordinates through an angle
An xy -Cartesian coordinate system rotated through an angle
θ
{\displaystyle \theta }
x′y′ -Cartesian coordinate system 수학(mathematics) 에서, 이-차원에서 축의 회전 (rotation of axes )은 xy -데카르트 좌표 시스템 에서 x′y′ -데카르트 좌표 시스템으로의 매핑(mapping) 으로, 이것에서 원점 은 고정되어 유지되고 x′ 와 y′ 축은 x 과 y 축은 각도
θ
{\displaystyle \theta }
P 는 원래 시스템에 관한 좌표 (x , y )와 새로운 시스템에 관한 좌표 (x′ , y′ )를 가집니다.[1] P 는 반대 방향, 즉 각도
θ
{\displaystyle \theta }
[2] [3] 선형 맵(linear map) 과 강체 변환(rigid transformation) 입니다.[4] [5]
Motivation 좌표 시스템은 해석적 기하학(analytic geometry) 의 방법을 사용하여 곡선(curves) 의 방정식을 연구하는 데 필수적입니다. 좌표 기하학의 방법을 사용하기 위해, 축은 고려 중인 곡선에 관해 편리한 위치에 배치됩니다. 예를 들어, 타원(ellipses) 과 쌍곡선(hyperbolas) 의 방정식을 연구하기 위해, 초점(foci) 은 보통 축 중 하나에 위치되고 원점에 관해 대칭적으로 배치됩니다. 만약 곡선 (쌍곡선, 포물선 , 타원, 등)이 축에 관해 편리하게 배치되지 않으면 , 좌표 시스템은 곡선을 편리하고 친숙한 위치와 방향에 배치하도록 변경되어야 합니다. 이러한 변경을 수행하는 과정은 좌표의 변환(transformation of coordinates) 이라고 불립니다.[6]
많은 문제에 대한 해가 같은 원점을 통해 새로운 축을 얻기 위해 좌표 축을 회전함으로써 단순화될 수 있습니다.
Derivation x′y′ 축으로 각도
θ
{\displaystyle \theta }
xy 축을 회전시키는 이-차원에서 변환을 정의하는 방정식은 다음과 같이 유도됩니다.
xy 시스템에서, 점 P 가 극 좌표
(
r
,
α
)
{\displaystyle (r,\alpha )}
x′y′ 시스템에서, P 는 극 좌표
(
r
,
α
−
θ
)
{\displaystyle (r,\alpha -\theta )}
삼각 함수(trigonometric functions) 를 사용하여, 다음을 가집니다:
x
=
r
cos
α
{\displaystyle x=r\cos \alpha }
(1 )
y
=
r
sin
α
{\displaystyle y=r\sin \alpha }
(2 )
그리고 차이에 대해 표준 삼각법 공식(trigonometric formulae) 을 사용하여, 다음을 가집니다:
x
′
=
r
cos
(
α
−
θ
)
=
r
cos
α
cos
θ
+
r
sin
α
sin
θ
{\displaystyle x'=r\cos(\alpha -\theta )=r\cos \alpha \cos \theta +r\sin \alpha \sin \theta }
(3 )
y
′
=
r
sin
(
α
−
θ
)
=
r
sin
α
cos
θ
−
r
cos
α
sin
θ
.
{\displaystyle y'=r\sin(\alpha -\theta )=r\sin \alpha \cos \theta -r\cos \alpha \sin \theta .}
(4 )
방정식 (1 2 3 4 [7]
x
′
=
x
cos
θ
+
y
sin
θ
{\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }
(5 )
y
′
=
−
x
sin
θ
+
y
cos
θ
.
{\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta .}
(6 )
방정식 (5 6
[
x
′
y
′
]
=
[
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
]
[
x
y
]
,
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}
이는 이차원에서 축 회전의 표준 행렬 방정식입니다.[8]
역 변환은 다음과 같습니다:[9]
x
=
x
′
cos
θ
−
y
′
sin
θ
{\displaystyle x=x'\cos \theta -y'\sin \theta }
(7 )
y
=
x
′
sin
θ
+
y
′
cos
θ
,
{\displaystyle y=x'\sin \theta +y'\cos \theta ,}
(8 )
또는
[
x
y
]
=
[
cos
θ
−
sin
θ
sin
θ
cos
θ
]
[
x
′
y
′
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}.}
Examples in two dimensions Example 1 축이 각도
θ
1
=
π
/
6
{\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}
P
1
=
(
x
,
y
)
=
(
3
,
1
)
{\displaystyle P_{1}=(x,y)=({\sqrt {3}},1)}
Solution:
x
′
=
3
cos
(
π
/
6
)
+
1
sin
(
π
/
6
)
=
(
3
)
(
3
/
2
)
+
(
1
)
(
1
/
2
)
=
2
{\displaystyle x'={\sqrt {3}}\cos(\pi /6)+1\sin(\pi /6)=({\sqrt {3}})({\sqrt {3}}/2)+(1)(1/2)=2}
y
′
=
1
cos
(
π
/
6
)
−
3
sin
(
π
/
6
)
=
(
1
)
(
3
/
2
)
−
(
3
)
(
1
/
2
)
=
0.
{\displaystyle y'=1\cos(\pi /6)-{\sqrt {3}}\sin(\pi /6)=(1)({\sqrt {3}}/2)-({\sqrt {3}})(1/2)=0.}
축은
θ
1
=
π
/
6
{\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}
P
1
=
(
x
′
,
y
′
)
=
(
2
,
0
)
{\displaystyle P_{1}=(x',y')=(2,0)}
π
/
6
{\displaystyle \pi /6}
x′ 축과 일치합니다.
Example 2 축이 시계 방향으로 90°만큼, 즉, 각도
θ
2
=
−
π
/
2
{\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}
P
2
=
(
x
,
y
)
=
(
7
,
7
)
{\displaystyle P_{2}=(x,y)=(7,7)}
Solution:
[
x
′
y
′
]
=
[
cos
(
−
π
/
2
)
sin
(
−
π
/
2
)
−
sin
(
−
π
/
2
)
cos
(
−
π
/
2
)
]
[
7
7
]
=
[
0
−
1
1
0
]
[
7
7
]
=
[
−
7
7
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(-\pi /2)&\sin(-\pi /2)\\-\sin(-\pi /2)&\cos(-\pi /2)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-7\\7\end{bmatrix}}.}
축은 시계 방향인
θ
2
=
−
π
/
2
{\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}
P
2
=
(
x
′
,
y
′
)
=
(
−
7
,
7
)
{\displaystyle P_{2}=(x',y')=(-7,7)}
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
Rotation of conic sections 가장 공통적인 이-차 방정식의 형식은 다음과 같습니다:
A
x
2
+
B
x
y
+
C
y
2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}
(
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
가 모두 영은 아닙니다).
[10]
(9 )
좌표의 변경 (축 회전과 축의 평행이동 )을 통해, 방정식 (9 표준 형식(standard form) 으로 만들 수 있습니다. x′y′ 항을 제거하기 위해 특정 각도에서 좌표를 회전시키는 것은 항상 가능합니다. 방정식 (7 8 9
A
′
x
′
2
+
B
′
x
′
y
′
+
C
′
y
′
2
+
D
′
x
′
+
E
′
y
′
+
F
′
=
0
,
{\displaystyle A'x'^{2}+B'x'y'+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F'=0,}
(10 )
여기서
A
′
=
A
cos
2
θ
+
B
sin
θ
cos
θ
+
C
sin
2
θ
,
{\displaystyle A'=A\cos ^{2}\theta +B\sin \theta \cos \theta +C\sin ^{2}\theta ,}
B
′
=
2
(
C
−
A
)
sin
θ
cos
θ
+
B
(
cos
2
θ
−
sin
2
θ
)
,
{\displaystyle B'=2(C-A)\sin \theta \cos \theta +B(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ),}
C
′
=
A
sin
2
θ
−
B
sin
θ
cos
θ
+
C
cos
2
θ
,
{\displaystyle C'=A\sin ^{2}\theta -B\sin \theta \cos \theta +C\cos ^{2}\theta ,}
D
′
=
D
cos
θ
+
E
sin
θ
,
{\displaystyle D'=D\cos \theta +E\sin \theta ,}
E
′
=
−
D
sin
θ
+
E
cos
θ
,
{\displaystyle E'=-D\sin \theta +E\cos \theta ,}
F
′
=
F
.
{\displaystyle F'=F.}
(11 )
만약
θ
{\displaystyle \theta }
cot
2
θ
=
(
A
−
C
)
/
B
{\displaystyle \cot 2\theta =(A-C)/B}
B
′
=
0
{\displaystyle B'=0}
10 x′y′ 항은 사라질 것입니다.[11]
B , D , 및 E 가 모두 영이 아닌 문제가 발생할 때, 그것들은 회전 (B 제거)과 평행이동 (D 와 E 항 제거)을 차례로 수행함으로써 제거될 수 있습니다.[12]
Identifying rotated conic sections 방정식 (9
B
2
−
4
A
C
{\displaystyle B^{2}-4AC}
[13]
타원 또는 원,
B
2
−
4
A
C
<
0
{\displaystyle B^{2}-4AC<0}
포물선,
B
2
−
4
A
C
=
0
{\displaystyle B^{2}-4AC=0}
쌍곡선,
B
2
−
4
A
C
>
0
{\displaystyle B^{2}-4AC>0}
Generalization to several dimensions 직사각형 xyz -좌표 시스템이 각도
θ
{\displaystyle \theta }
z 축을 내려다봄)으로 z 축을 중심으로 회전한다고 가정합니다. 즉, 양의 x 축이 양의 y 축으로 즉시 회전됩니다. 각 점의 z 좌표는 변경되지 않고 x 과 y 좌표는 위와 같이 변환됩니다. 점 Q 의 이전 좌표 (x , y , z )는 다음에 의해 새로운 좌표 (x′ , y′ , z′ )와 관련됩니다:[14]
[
x
′
y
′
z
′
]
=
[
cos
θ
sin
θ
0
−
sin
θ
cos
θ
0
0
0
1
]
[
x
y
z
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}
유한한 차원의 숫자로 일반화하여, 회전 행렬(rotation matrix)
A
{\displaystyle A}
항등 행렬(identity matrix) 과 다른 직교 행렬(orthogonal matrix) 입니다. 이들 네 가지 원소는 일부
θ
{\displaystyle \theta }
i ≠ j 에 대해 다음과 같은 형식입니다:[15]
a
i
i
=
a
j
j
=
cos
θ
{\displaystyle a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta }
및
a
i
j
=
−
a
j
i
=
sin
θ
,
{\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,}
Example in several dimensions Example 3 양의 w 축이 각도
θ
3
=
π
/
12
{\displaystyle \theta _{3}=\pi /12}
z 축으로 회전된 후 점
P
3
=
(
w
,
x
,
y
,
z
)
=
(
1
,
1
,
1
,
1
)
{\displaystyle P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)}
Solution:
[
w
′
x
′
y
′
z
′
]
=
[
cos
(
π
/
12
)
0
0
sin
(
π
/
12
)
0
1
0
0
0
0
1
0
−
sin
(
π
/
12
)
0
0
cos
(
π
/
12
)
]
[
w
x
y
z
]
≈
[
0.96593
0.0
0.0
0.25882
0.0
1.0
0.0
0.0
0.0
0.0
1.0
0.0
−
0.25882
0.0
0.0
0.96593
]
[
1.0
1.0
1.0
1.0
]
=
[
1.22475
1.00000
1.00000
0.70711
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\\[4pt]&\approx {\begin{bmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
See also Notes
^ Protter & Morrey (1970 , p. 320) harvtxt error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help ) ^ Anton (1987 , p. 231)^ Burden & Faires (1993 , p. 532)^ Anton (1987 , p. 247)^ Beauregard & Fraleigh (1973 , p. 266)^ Protter & Morrey (1970 , pp. 314–315) harvtxt error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help ) ^ Protter & Morrey (1970 , pp. 320–321) harvtxt error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help ) ^ Anton (1987 , p. 230)^ Protter & Morrey (1970 , p. 320) harvtxt error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help ) ^ Protter & Morrey (1970 , p. 316) harvtxt error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help ) ^ Protter & Morrey (1970 , pp. 321–322) harvtxt error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help ) ^ Protter & Morrey (1970 , p. 324) harvtxt error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help ) ^ Protter & Morrey (1970 , p. 326) harvtxt error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help ) ^ Anton (1987 , p. 231)^ Burden & Faires (1993 , p. 532) References Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0 Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis Prindle, Weber and Schmidt , ISBN 0-534-93219-3 Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN 76087042
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\\[4pt]&\approx {\begin{bmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7e3bd931db237a85378c43e684a05a80c12ec8)