Bilinear map

수학(mathematics)에서, 쌍선형 맵(bilinear map)은 두 벡터 공간(vector spaces)의 원소를 세 번째 벡터 공간의 원소를 생성하기 위해 결합하는 함수(function)이고, 각 인수에서 선형(linear)입니다. 행렬 곱셈(Matrix multiplication)이 하나의 예제입니다.

Definition

Vector spaces

$V,W$ , 및 $X$ 를 같은 기저 필드(field) $F$ 에 걸쳐 세 개의 벡터 공간(vector spaces)이라고 놓습니다. 쌍선형 맵은 모든 $w\in W$ 에 대해, 다음 맵 $B_{w}$ 가

$v\mapsto B(v,w)$ $V$ 에서 $X$ 로의 선형 맵이고, 모든 $v\in V$ 에 대해, 다음 맵 $B_{v}$ 가

$w\mapsto B(v,w)$ $W$ 에서 $X$ 로의 선형 맵임을 만족하는 다음 함수(function)입니다: $B:V\times W\to X$ 다시 말해서, 우리가 쌍선형 맵의 첫 번째 엔트리를 고정되게 유지하고 두 번째 엔트리를 변경하도록 허용하면, 그 결과는 선형 연산자이고, 두 번째 엔트리를 고정되게 유지할 때도 마찬가지입니다.

그러한 맵 $B$ 는 다음 속성을 만족시킵니다:

임의의 $\lambda \in F$ 에 대해, $B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).$
맵 $B$ 는 두 성분에서 덧셈적입니다: 만약 $v_{1},v_{2}\in V$ 와 $w_{1},w_{2}\in W$ 이면, $B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)$ and $B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).$

만약 $V=W$ 이고 우리가 모든 $v,w\in V$ 에 대해 B(v, w) = B(w, v)를 가지면, 우리는 B가 대칭적(symmetric)이라고 말합니다. 만약 X가 기저 필드 F이면, 그 맵은 쌍선형 형식(bilinear form)이라고 불리며, 이는 잘-연구된 것입니다 (예를 들어: 스칼라 곱, 안의 곱, 및 이차 형식).

Modules

정의는 필드 F에 걸쳐 벡터 공간 대신에, 우리가 교환 링(commutative ring) R에 걸쳐 모듈(modules)을 사용하면 어떠한 변경 없이 작동합니다. 그것은 적절한 용어가 다중-선형(multilinear)인 n-항 함수로 일반화됩니다.

비-교환 링 R과 S, 왼쪽 R-모듈 M과 오른쪽 S-모듈 N에 대해, 쌍선형 맵은 (R, S)-쌍모듈(bimodule) T를 갖는 맵 B : M × N → T이고, N에서 임의의 n에 대해, m ↦ B(m, n)은 R-모듈 준동형이고, M에서 임의의 m에 대해, n ↦ B(m, n)은 S-모듈 준동형입니다. 이것은 M에서 모든 m, N에서 n, R에서 r 및 S에서 s에 대해 다음을 만족시키고, 마찬가지로 B가 각 인수에서 덧셈적입니다:

B(r ⋅ m, n) = r ⋅ B(m, n)

B(m, n ⋅ s) = B(m, n) ⋅ s

Properties

정의의 즉각적인 결과는 v = 0_V 또는 w = 0_W일 때마다 B(v, w) = 0_X라는 것입니다. 이것은 영 벡터(zero vector) 0_V 를 0 ⋅ 0_V로 쓰고 (또한 0_W에 대해 유사하게) 스칼라 0을, 선형성에 의해, B의 전면에서 "외부"로 이동함으로써 볼 수 있습니다.

쌍선형 맵의 집합 L(V, W; X)은 V × W에서 X로의 모든 맵의 공간 (즉, 벡터 공간, 모듈)의 선형 부분공간(linear subspace)입니다.

만약 V, W, X가 유한-차원(finite-dimensional)이면, L(V, W; X)도 마찬가지입니다. $X=F,$ 즉, 쌍선형 형식에 대해, 이 공간의 차원은 dim V × dim W입니다 (반면에 선형 형식의 공간 L(V × W; F)는 차원 dim V + dim W의 것입니다). 이를 보려면, V와 W의 기저(basis)를 선택하십시오; 그런 다음 각 쌍선형 맵은 행렬 B(e_i, f_j)로 고유하게 표현될 수 있고, 그 반대도 마찬가지입니다. 이제, 만약 X가 더 높은 차원의 공간이면, 우리는 분명히 dim L(V, W; X) = dim V × dim W × dim X를 가집니다.

Examples

행렬 곱셈(Matrix multiplication)은 쌍선형 맵 M(m, n) × M(n, p) → M(m, p)입니다.
만약 실수(real numbers) $\mathbb {R}$ 에 걸쳐 벡터 공간(vector space) V가 안의 곱(inner product)을 전달하면, 안의 곱은 쌍선형 맵 $V\times V\to \mathbb {R} .$ 입니다. 곱 벡터 공간은 일 차원을 가집니다.
일반적으로, 필드 F에 걸쳐 벡터 공간 V에 대해, V 위에 쌍선형 형식(bilinear form)은 쌍선형 맵 V × V → F와 같습니다.
만약 V가 이중 공간(dual space) V^∗를 갖는 벡터 공간이면, 응용 연산자, b(f, v) = f(v)는 V^∗ × V에서 기저 필드로의 쌍선형 맵입니다.
V와 W를 같은 기저 필드 F에 걸쳐 벡터 공간이라고 놓습니다. 만약 f가 V^∗의 구성원이고 g가 W^∗의 구성원이면, b(v, w) = f(v)g(w)는 선형 맵 V × W → F을 정의합니다.
$\mathbb {R} ^{3}$ 에서 교차 곱(cross product)은 쌍선형 맵 $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ 입니다.
$B:V\times W\to X$ 를 쌍선형 맵이고, $L:U\to W$ 를 선형 맵(linear map)이라고 놓으면, (v, u) ↦ B(v, Lu)는 V × U 위에 쌍선형 맵입니다.

Continuity and separate continuity

$X,Y,$ 및 $Z$ 가 토폴로지적 벡터 공간(topological vector spaces)이라고 가정하고 $b:X\times Y\to Z$ 를 쌍선형 맵이라고 놓습니다. 그런-다음 b는 만약 다음 두 조건이 유지되면 분리적으로 연속이라고 말합니다:

모든 $x\in X$ 에 대해, $y\mapsto b(x,y)$ 에 의해 주어진 맵 $Y\to Z$ 는 연속입니다;
모든 $y\in Y$ 에 대해, $x\mapsto b(x,y)$ 에 의해 주어진 맵 $X\to Z$ 는 연속입니다.

연속적이지 않은 많은 분리적으로 연속 쌍선형은 아래-연속성(hypocontinuity)이라는 추가 속성을 만족시킵니다.^[1] 모든 연속 쌍선형 맵은 아래-연속적입니다.

Sufficient conditions for continuity

실제로 발생하는 많은 쌍선형 맵은 분리적으로 연속적이지만 모두 연속적이지는 않습니다. 분리적으로 연속 쌍선형이 연속이 되기 위한 충분 조건을 여기에 나열합니다.

만약 X가 베르 공간(Baire space)이고 Y가 메트릭-가능(metrizable)이면, 모든 각 분리적으로 연속 쌍선형 맵 $b:X\times Y\to Z$ 은 연속입니다.^[1]
만약 $X,Y,$ 및 $Z$ 가 프레셰 공간(Fréchet space)의 강한 이중(strong duals)이면, 모든 각 분리적으로 연속 쌍선형 맵 $b:X\times Y\to Z$ 은 연속입니다.^[1]
만약 쌍선형 맵이 (0, 0)에서 연속이면, 그것은 모든 곳에서 연속입니다.^[2]

Composition map

$X,Y,$ 및 $Z$ 를 지역적으로 볼록 하우스도르프 공간으로 놓고 $C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)$ 를 $C(u,v):=v\circ u$ 에 의해 정의된 합성 맵이라고 놓습니다. 일반적으로, 쌍선형 맵 $C$ 는 연속이 아닙니다 (선형 맵의 공간이 주어진 토폴로지와 상관없이 그렇습니다). 우리는, 어쨌든, 다음과 같은 결과를 가집니다:

선형 맵의 세 공간 모두에 다음 토폴로지 중 하나를 제공합니다:

세 공간 모두 경계진 수렴의 토폴로지를 제공합니다;
세 공간 모두 컴팩트 수렴의 토폴로지를 제공합니다;
세 공간 모두 점-별 수렴의 토폴로지를 제공합니다.

만약 $E$ 가 $L(Y;Z)$ 의 동등-연속(equicontinuous) 부분집합이면, 제한 $C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)$ 은 모든 셋의 토폴로지에 대해 연속입니다.^[1]
만약 $Y$ 가 배럴 공간(barreled space)이면, $L(X;Y)$ 에서 $u$ 로 수렴하는 모든 각 수열 $\left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ 과 $L(Y;Z)$ 에서 $v$ 에 수렴하는 모든 각 수열 $\left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ 에 대해, 수열 $\left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ 은 $L(Y;Z)$ 에서 $v\circ u$ 에 수렴합니다.^[1]

References

^ ^a ^b ^c ^d ^e Trèves 2006, pp. 424–426.
^ Schaefer & Wolff 1999, p. 118.

Bibliography

Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

External links

"Bilinear mapping", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[FOOTNOTETrèves2006424–426-1] Trèves 2006, pp. 424–426.

[FOOTNOTESchaeferWolff1999118-2] Schaefer & Wolff 1999, p. 118.

[1]

[2]