Septic equation

대수학(algebra)에서, 칠차 방정식은 다음 형식의 방정식(equation)입니다:

ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,

여기서 $a \neq 0$ 입니다.

칠차 함수는 다음 형식의 함수(function)입니다:

f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,

여기서 $a \neq 0$ 입니다. 달리 말해서, 그것은 차수(degree) 칠의 다항식(polynomial)입니다. 만약 $a = 0$ 이면, f는 육차 함수(sextic function) ( $b \neq 0$ ), 오차 함수(quintic function) ( $b = 0, c \neq 0$ ), 이런 식입니다.

그 방정식은 $f (x) = 0$ 를 설정함으로써 함수로부터 얻어질 수 있습니다.

계수(coefficients) $a, b, c, d, e, f, g, h$ 는 정수(integers), 유리수(rational number), 실수(real number), 복소수(complex number), 또는 보다 일반적으로, 임의의 필드(field)의 구성원일 수 있습니다.

그것들이 홀수 차수를 가지기 때문에, 칠차 함수는 그래프로 그려질 때, 그것들이 추가적인 지역적 최댓값(local maxima)과 지역적 최솟값을 (셋의 최댓값과 셋의 최솟값까지) 보유할 수 있는 것을 제외하고 오차(quintic) 또는 삼차 함수(cubic function)와 유사하게 나타납니다. 칠차 함수의 도함수(derivative)는 육차 함수(sextic function)입니다.

Solvable septics

일부 일곱 번째 차수 방정식은 제곱근(radicals)으로 인수화함으로써 풀릴 수 있지만, 다른 칠차는 그렇지 않습니다. 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)는 주어진 방정식이 주어진 방정식이 제곱근에 의해 풀릴 수 있는지 여부를 결정하는 기법을 개발했으며, 이것은 갈루아 이론(Galois theory)의 분야를 불러일으켰습니다. 기약이지만 풀릴 수 있는 칠차의 예제를 제공하기 위해, 우리는 다음을 얻기 위해 해결-가능한 드 무아브르(de Moivre) 오차(quintic)를 일반화할 수 있습니다:

x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,

,

여기서 보조 방정식은 다음입니다:

y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,

.

이것은 칠차가 $x = u + v$ , $uv + α = 0$ 및 $u 7 + v 7 + β = 0$ 사이의 $u$ 와 $v$ 를 제거함으로써 얻어짐을 의미합니다.

칠차의 일곱 근은 다음에 의해 제공되는 것을 따릅니다:

x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}

여기서 $ω k$ 는 7 일곱 번째 단위원의 근(roots of unity)의 임의의 것입니다. 칠차의 갈루아 그룹(Galois group)은 순서 42의 최고의 해-가능 그룹입니다. 이것은 반드시 소수일 필요는 없는 임의의 다른 차수 $k$ 로 쉽게 일반화됩니다.

또 다른 해결 가능한 가족은 다음입니다:

x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,

그것의 구성원은 클루너(Kluner)의 숫자 필드의 데이터베이스에 나타납니다. 그것의 판별식(discriminant)은 다음입니다:

\Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,

이들 칠차의 갈루아 그룹(Galois group)은 순서 14의 정이면체 그룹(dihedral group)입니다.

일반적인 칠차 방정식은 교대하는(alternating) 또는 대칭적(symmetric) 갈루아 그룹(Galois group) $A 7$ 또는 $S 7$ 과 함께 풀릴 수 있습니다.^[1] 그러한 방정식은 그것들의 해에 대해 지너스(genus) 3의 초타원 함수(hyperelliptic function)와 결합된 세타 함수(theta function)를 요구합니다.^[1] 어쨌든, 이들 방정식은 대수적 방정식의 해를 연구하는 19-세기 수학자들에 의해 구체적으로 연구되지는 않았는데, 왜냐하면 육차 방정식(sextic equation)의 해가 이미 컴퓨터없이 그들의 계산 능력의 한계에 도달했기 때문입니다.^[1]

칠차는 그것들의 해가 두 변수의 연속 함수를 중첩함으로써 얻어질 수 있다는 것이 분명하지 않은 가장 낮은 차수 방정식입니다. 힐베르트의 13번째 문제(Hilbert's 13th problem)는 이것이 7차 방정식의 일반적인 경우에는 가능하지 않다는 추측이었습니다. 블라디미르 아르놀트(Vladimir Arnold)는 1957년에 이것을 해결했으며, 이것이 항상 가능하다는 것을 보여주었습니다.^[2] 어쨌든, 아르놀트 자신은 칠차에 대해 그것들의 해가 두 변수의 대수적 함수를 중첩함으로써 얻어질 수 있는지 여부를 진정한 힐베르트의 문제로 여겼습니다 (그 문제는 여전히 열려 있습니다).^[3]

Galois groups

제곱근으로 해결할 수 있는 칠차 방정식은 순서 7의 순환 그룹(cyclic group), 또는 순서 14의 정이면체 그룹(dihedral group) 또는 순서 21 또는 42의 메타순환 그룹(metacyclic group)인 갈루아 그룹(Galois group)을 가집니다.^[1]
(순서 168의) $L (3, 2)$ 갈루아 그룹(Galois group)은 파노 평면(Fano plane)에서 7 "직선"을 유지하는 7 꼭짓점 레이블의 순열(permutations)에 의해 형성됩니다.^[1] 이 갈루아 그룹(Galois group) $L (3, 2)$ 를 갖는 칠차 방정식은 타원 함수(elliptic function)를 요구하지만 그것들의 해에 대해 초타원 함수(hyperelliptic function)를 요구하지 않습니다.^[1]
그렇지 않으면 칠차의 갈루아 그룹은 순서 2520의 교대하는 그룹(alternating group) 또는 순서 5040의 대칭 그룹(symmetric group)입니다.

Septic equation for the squared area of a cyclic pentagon or hexagon

순환 오각형(cyclic pentagon)의 넓이의 제곱은 그것의 계수가 오각형의 변의 대칭 함수(symmetric function)인 칠차 방정식의 근입니다.^[4] 같은 것은 순환 육각형(cyclic hexagon)의 면적의 제곱에도 참입니다.^[5]

References

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f R. Bruce King (16 January 2009), Beyond the Quartic Equation, Birkhaüser, p. 143 and 144, ISBN 9780817648497
^ Vasco Brattka (13 September 2007), "Kolmogorov's Superposition Theorem", Kolmogorov's heritage in mathematics, Springer, ISBN 9783540363514
^ V.I. Arnold, From Hilbert's Superposition Problem to Dynamical Systems, p. 4
^ Weisstein, Eric W. "Cyclic Pentagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1]
^ Weisstein, Eric W. "Cyclic Hexagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2]

[BeyondQuartic-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f R. Bruce King (16 January 2009), Beyond the Quartic Equation, Birkhaüser, p. 143 and 144, ISBN 9780817648497

[2] Vasco Brattka (13 September 2007), "Kolmogorov's Superposition Theorem", Kolmogorov's heritage in mathematics, Springer, ISBN 9783540363514

[3] V.I. Arnold, From Hilbert's Superposition Problem to Dynamical Systems, p. 4

[4] Weisstein, Eric W. "Cyclic Pentagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1]

[5] Weisstein, Eric W. "Cyclic Hexagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Solvable septics

Galois groups

Septic equation for the squared area of a cyclic pentagon or hexagon

See also

References