Genus (mathematics)

Original article: w:Genus (mathematics)

A genus-2 surface

수학에서, 지너스(genus, 복수형 genera)는 몇 가지 다르지만, 밀접하게 관련된 의미를 가집니다. 직관적으로, 지너스는 표면(surface)의 "구멍"의 개수입니다. 구(sphere)는 지너스 0을 가지고, 반면에 토러스(torus)는 지너스 1을 가집니다.

Topology

Orientable surfaces

The coffee cup and donut shown in this animation both have genus one.

연결된, 방향-가능 표면의 지너스(genus)는 비-연결된 결과 매니폴드(manifold)를 렌더링 없이 비-교차하는 닫힌 단순 곡선(closed simple curves)을 따라 절단의 최대 숫자를 나타내는 정수(integer)입니다. 그것은 매니폴드 위의 핸들(handles)의 숫자와 같습니다. 대안적으로, 그것은 닫힌 표면(closed surfaces)에 대해 관계 χ = 2 − 2g를 통해 오일러 특성(Euler characteristic) χ로 정의될 수 있으며, 여기서 g는 지너스입니다. b 경계(boundary) 구성 요소를 갖는 표면에 대해, 방정식은 χ = 2 − 2g − b입니다. 일반인의 용어로, 그것은 대상이 가지는 "구멍"의 개수입니다 ("구멍"은 도넛 구멍이라는 의미로 해석됩니다; 속이 빈 구는 이러한 의미에서 구멍이 없는 것으로 고려됩니다). 토러스(torus)는 그러한 구멍을 1개 가지고, 반면에 구(sphere)는 0개 가집니다. 위 그림의 녹색 표면은 관련된 종류의 구멍 2개를 가집니다.

예를 들어:

• 구(sphere) S² 및 디스크(disc)는 모두 지너스 영을 가집니다.
• 토러스(torus)는 핸들을 갖는 커피 머그잔의 표면과 마찬가지로 지너스 일을 가집니다. 이것이 "토폴로지 학자는 커피 머그잔과 도넛을 구분할 수 없는 사람입니다"라는 농담의 출처입니다.

지너스 g의 표면의 명시적 구성은 기본 다각형(fundamental polygon)에 대한 기사에 나와 있습니다.

• Genus of orientable surfaces
• 
  genus 0
• 
  genus 1
• 
  genus 2
• 
  genus 3

간단히 말해서, 방향-가능 표면의 지너스의 값은 그것이 가지는 "구멍"의 개수와 같습니다.

Non-orientable surfaces

연결된, 비-방향가능 닫힌 표면의 비-방향가능 지너스(non-orientable genus), 데미-지너스(demigenus), 또는 오일러 지너스(Euler genus)는 구(sphere)에 부착된 교차-뚜껑(cross-caps)의 개수를 나타내는 양의 정수입니다. 대안적으로, 그것은 관계 χ = 2 − k를 통해 오일러 특성 χ의 관점에서 닫힌 표면에 대해 정의될 수 있으며, 여기서 k는 비-방향가능 지너스입니다.

예를 들어:

• 실수 투영 평면(real projective plane)은 비-방향가능 지너스 1을 가집니다.
• 클라인 병(Klein bottle)은 비-방향가능 지너스 2를 가집니다.

Knot

매듭(knot) K의 지너스(genus)는 K에 대해 모든 자이페르트 표면(Seifert surfaces)의 최소 지너스로 정의됩니다. 매듭의 자이페르트 표면은 어쨌든 경계를 갖는 매니폴드이며, 경계는 매듭, 즉, 단위 원으로 동형적입니다. 그러한 표면의 지너스는 경계를 따라 단위 디스크를 접착함으로써 얻은 2-매니폴드의 지너스로 정의됩니다.

Handlebody

3-차원 핸들-몸체(handlebody)의 지너스(genus)는 비-연결된 결과 매니폴드를 렌더링 없이 삽입된 디스크(disks)를 따라 절단하는 최대 숫자를 나타내는 정수입니다. 그것은 그것 매니폴드 위에 핸들의 개수와 같습니다.

예를 들어:

• 공(ball)은 지너스 0을 가집니다.
• 고체 토러스 D² × S¹는 지너스 1을 가집니다.

Graph theory

Main article: Graph embedding

그래프(graph)의 지너스는 그래프가 n 개의 핸들을 갖는 구 (즉, 지너스 n의 방향화된 표면) 위에 자체 교차 없이 그려질 수 있음을 만족하는 최소 정수 n입니다. 따라서, 평면 그래프(planar graph)는 지너스 0을 가지는데, 왜냐하면 그것은 자체-교차 없이 구 위에 그려질 수 있기 때문입니다.

그래프(graph)의 비-방향가능 지너스(non-orientable genus)는 그래프가 n 교차-뚜껑을 갖는 구 (즉, (비-방향가능) 지너스 n의 비-방향가능 표면) 위에 자체 교차 없이 그려질 수 있음을 만족하는 최소 정수 n입니다. (이 숫자는 데미-지너스(demigenus)라고도 불립니다.)

오일러 지너스는 그래프가 n 교차-뚜껑을 갖는 구 또는 n/2 핸들을 갖는 구 위에 자체 교차 없이 그려질 수 있음을 만족하는 최소 정수 n입니다.

토폴로지적 그래프 이론(topological graph theory)에서, 그룹의 지너스의 몇 가지 정의가 있습니다. Arthur T. White는 다음 개념을 도입했습니다. 그룹 G의 지너스는 G에 대해 (연결된, 비-방향화된) 케일리 그래프(Cayley graph)의 최소 지너스입니다.

그래프 지너스 문제(graph genus problem)는 NP-완비(NP-complete)입니다.

Algebraic geometry

임의의 투영 대수적 스킴(scheme) X의 지너스의 두 개의 관련된 정의: 산술 지너스(arithmetic genus)와 기하 지너스(geometric genus)가 있습니다. X가 복소수(complex numbers)의 정의의 필드(field)를 갖는 대수적 곡선(algebraic curve)이고 X가 특이 점(singular points)을 가지지 않으면, 이들 정의는 X의 리만 표면 (복소 점의 매니폴드)에 적용된 토폴로지적 정의와 동의하고 일치합니다. 예를 들어, 대수적 기하학(algebraic geometry)에서 타원 곡선(elliptic curve)의 정의는 그것 위에 주어진 유리 점을 갖는 지너스 1의 연결된 비-특이 투영 곡선(connected non-singular projective curve of genus 1 with a given rational point on it)입니다.

리만–로흐 정리(Riemann–Roch theorem)에 의해, 단면 $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))$의 사라지는 자취에 의해 주어지는 차수 $d$의 기약 평면 곡선은 다음 기하 지너스를 가집니다:

$g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,$

여기서 s는 적절하게 셀 때 특이점의 개수입니다.

Differential geometry

미분 기하학에서, 방향화된 매니폴드 $M$의 지너스는 다음 조건에 따라 복소수 $\Phi (M)$로 정의될 수 있습니다:

• $\Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})$
• $\Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})$
• $\Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})$, 만약 $M_{1}$과 $M_{2}$가 여-경계적(cobordant)이면.

다른 말로, $\Phi$는 링 준동형(ring homomorphism) $R\to \mathbb {C}$이며, 여기서 $R$은 톰(Thom)의 방향화된 여-경계(cobordism) 링(ring)입니다.

지너스 $\Phi$는 $\log _{\Phi }$가 일부 $\delta ,\varepsilon \in \mathbb {C}$에 대해 $\log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt$와 같은 타원 적분(elliptic integral)

이면 연결된 컴팩트 구조를 갖는 스피너 매니폴드(spinor manifolds) 위에 모든 다발에 대해 곱셈적입니다. 이 지너스는 타원 지너스라고 불립니다.

오일러 특성 $\chi (M)$은 이러한 의미에서 지너스가 아닌데 왜냐하면 그것은 여-연결과 관련하여 불변이 아니기 때문입니다.

Biology

지너스는 핵산이나 단백질의 화학적 상호 작용의 그물망에 걸쳐 있는 그래프에 대해서도 계산될 수 있습니다. 특히, 체인을 따라 지너스의 성장을 연구할 수 있습니다. 그러한 기능 (지너스 추적이라고 불림)은 생체 분자의 토폴로지적 복잡성과 도메인 구조를 보여줍니다.

See also

• Group (mathematics)
• Arithmetic genus
• Geometric genus
• Genus of a multiplicative sequence
• Genus of a quadratic form
• Spinor genus