Sextic equation

Original article: w:Sextic equation

Graph of a sextic function, with 6 real roots (crossings of the x axis) and 5 critical points. Depending on the number and vertical locations of minima and maxima, the sextic could have 6, 4, 2, or no real roots. The number of complex roots equals 6 minus the number of real roots.

대수학(algebra)에서, 육차(sextic 또는 hexic) 다항식은 차수(degree) 육의 다항식(polynomial)입니다. 육차 방정식은 차수 육의 다항 방정식(polynomial equation)입니다–즉, 그것의 왼쪽 변이 육차 다항식이고 오른쪽 변이 0인 방정식(equation)입니다. 보다 정확하게, 그것은 다음 형식을 가집니다:

$ax^{6}+bx^{5}+cx^{4}+dx^{3}+ex^{2}+fx+g=0,\,$

여기서 a ≠ 0이고 계수(coefficients) a, b, c, d, e, f, g는 정수(integers), 유리수(rational number), 실수(real number), 복소수(complex number), 또는 보다 일반적으로, 임의의 필드(field)의 구성원일 수 있습니다.

육차 함수는 육차 다항식에 의해 정의된 함수(function)입니다. 그것들은 짝수 차수(quartic function)를 가지기 때문에, 육차 함수는 그래프로 그려질 때, 그것들이 각각 추가적인 지역적 최댓값(local maximum)과 지역적 최솟값을 가질 수 있음을 제외하고, 사차 함수와 유사하게 나타납니다. 육차 함수의 도함수(derivative)는 오차 함수(quintic function)입니다.

육차 함수는 짝수 차수를 가진 다항식으로 정의되기 때문에, 그것은 인수가 양의 또는 음의 무한대(infinity)로 갈 때 같은 무한 극한을 가집니다. 만약 선행하는 계수(leading coefficient) a가 양수이면, 함수는 양쪽에서 양의 무한대로 증가하고 따라서 함수는 전역 최솟값을 가집니다. 마찬가지로, 만약 a가 음수이면, 육차 함수는 음의 무한대로 감소하고 전역 최댓값을 가집니다.

Solvable sextics

ax⁶ + dx³ + g = 0과 같은, 일부 육차 방정식은 제곱근으로 인수화함으로써 풀릴 수 있지만, 다른 육차는 풀릴 수 없습니다. 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)는 주어진 방정식이 제곱근에 의해 풀릴 수 있는지 여부를 결정하는 기법을 개발했으며, 이것은 갈루아 이론(Galois theory)의 분야를 불러일으켰습니다.

육차 방정식이 제곱근의 관점에서 풀릴 수 있는 것과 그것의 갈루아 그룹(Galois group)이 근의 집합의 분할을 두 근의 세 부분 집합으로 안정화(stabilizes)시키는 순서 48 그룹에 또는 근의 집합의 분할을 세 근의 두 부분집합으로 안정화시키는 순서 72의 그룹에 포함되는 것은 필요충분임은 갈루아 이론으로부터 따릅니다.

두 경우 중 하나를 테스트하고, 만약 그 방정식이 풀릴 수 있으면, 근을 제곱근의 항으로 계산하기 위한 공식이 있습니다.

일반적인 육차 방정식은 콤피 드 페리에 함수(Kampé de Fériet function의 관점에서 풀릴 수 있습니다. 보다 제한된 육차의 클래스는 오차 방정식(quintic equation)을 풀기 위한 펠릭스 클라인(Felix Klein)의 접근 방식을 사용하여 하나의 변수에서 일반화된 초기하 함수(generalised hypergeometric functions)의 관점에서 풀릴 수 있습니다.

Examples

증기 엔진(steam engine)에 대한 초기 연구의 맥락에서 발생한, 와트의 곡선(Watt's curve)은 두 변수에서 육차입니다.

삼차 방정식(cubic equation)을 푸는 한 가지 방법은 변수를 오직 차수 6, 3, 및 0의 항을 얻기 위해 변환하는 것을 포함하며, 이것은 변수의 세제곱에서 이차 방정식으로 풀릴 수 있습니다.

Etymology

설명자 "sextic"은 6 또는 6번째 ("sexa-")에 대해 라틴어(Latin) 접두사(prefix)와 "에 관한" ("-tic")을 의미하는 그리스어(Greek) 접미사(suffix)에서 유래합니다. 훨씬 덜 공통적인 "hexic"은 접두사 ("hex-")와 접미사 ("-ic") 둘 다에 그리스어를 사용합니다. 경우 둘 다에서, 접두사는 함수의 차수를 참조합니다. 종종, 이들 유형의 함수는 단순히 "6차 함수"로 참조될 것입니다.

See also

• Cayley's sextic
• Cubic function
• Septic equation