Sigma additivity

수학(mathematics)에서, 주어진 집합(set)의 부분집합(subset) 위에 정의된 함수(function) (종종 측정(measure))의 덧셈성 (특히 유한 덧셈성)과 시그마 덧셈성 (역시 셀-수-있는 덧셈성이라고 불림)은 여러 대상을 고려할 때 집합 크기 (길이(length), 넓이(area), 부피(volume))의 직관적인 속성을 합하는 방법의 추상화입니다. 덧셈성은 σ-덧셈성보다 약한 조건입니다; 즉, σ-덧셈성은 덧셈성을 의미합니다.

Additive (or finitely additive) set functions

$\mu$ 를 [−∞, +∞]에서 값을 갖는 집합의 대수(algebra of sets) $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ 위에 정의된 것으로 놓습니다 (확장된 실수 직선(extended real number line)을 참조하십시오). 함수 $\mu$ 는 만약, A와 B가 $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ 에서 서로소 집합(disjoint set)일 때마다, 우리가 다음을 가지면 덧셈적, 또는 유한하게 덧셈적입니다:

\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).\,

(이것의 결론은 덧셈의 함수가 −∞ 및 +∞ 둘 다를 값으로 취할 수 없다는 것입니다; 표현에 대해 ∞ − ∞는 정의되지 않습니다.)°

우리는 덧셈의 함수가 $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ 에서 임의의 $A_{1},A_{2},\dots ,A_{N}$ 서로소 집합에 대해 다음을 만족시킨다는 것을 수학적 귀납법(mathematical induction)에 의해 입증될 수 있습니다:

\mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})

.

σ-additive set functions

$\scriptstyle {\mathcal {A}}$ 가 σ-대수(σ-algebra)라고 가정합니다. 만약 $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ 에서 쌍별 서로소 집합의 임의의 수열(sequence) $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},\dots$ 에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})

,

우리는 μ가 셀-수-있게 덧셈적 또는 σ-덧셈적이라고 말합니다.
임의의 σ-덧셈적 함수는 덧셈적이지만 아래에 보인 것처럼 반대는 그렇지 않습니다.

τ-additive set functions

시그마 대수 $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ 이외에, 우리는 토폴로지(topology) τ를 가진다고 가정합니다. 만약 측정-가능 열린 집합(open set) $\scriptstyle {\mathcal {G}}$ ⊆ $\scriptstyle {\mathcal {A}}$ ∩ τ의 임의의 방향화된(directed) 가족에 대해 다음이면,

\mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G)

,

우리는 μ가 τ-덧셈적이라고 말합니다. 특히, 만약 μ가 (컴택트 집합에 관한) 안의 정규(inner regular)이면, 그것은 τ-덧셈적입니다.^[1]

Properties

Basic properties

덧셈의 함수 μ의 유용한 속성은 다음을 포함합니다:

μ(∅) = 0, 또는 μ가 ∞를 그것의 도메인에서 모든 집합으로 할당, 또는 μ가 −∞를 그것의 도메인에서 모든 집합으로 할당합니다.
만약 μ가 비-음수이고 A ⊆ B이면, μ(A) ≤ μ(B)입니다.
만약 A ⊆ B 및 μ(B) − μ(A)가 정의되면, μ(B \ A) = μ(B) − μ(A)입니다.
A와 B가 주어지면, μ(A ∪ B) + μ(A ∩ B) = μ(A) + μ(B)입니다.

Examples

σ-덧셈의 함수의 예제는 다음을 만족하는 실수(real number)의 거듭제곱 집합(power set)에 걸쳐 정의된 함수 μ입니다:

\mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}

만약 $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},\dots$ 가 실수의 서로소 집합의 수열이면, 집합의 어떤 것도 0을 포함하지 않거나, 그것들 중 정확하게 하나가 0을 포함합니다. 두 경우에서, 다음 상등이 유지됩니다:

\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})

.

σ-덧셈의 함수의 더 많은 예제에 대해 측정(measure)과 부호화된 측정(signed measure)을 참조하십시오.

An additive function which is not σ-additive

σ-덧셈적이 아닌 덧셈의 함수의 예제는 다음 공식에 의해 실수(real number)의 르베그 집합에 걸쳐 정의된 μ를 고려함으로써 얻습니다:

\mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda \left(A\cap \left(0,k\right)\right),

여기서 λ는 르베그 측정(Lebesgue measure)을 나타내고 lim은 바나흐 극한(Banach limit)입니다.

우리는 이 함수가 극한의 선형성을 사용함으로써 덧셈적이라고 확인할 수 있습니다. 이 함수가 σ-덧셈적이 아니라는 것은 n=0, 1, 2, ...에 대해 다음 서로소 집합의 수열을 고려함으로써 따릅니다:

A_{n}=\left[n,n+1\right)

이들 집합의 합집합은 양의 실수(positive reals)이고, 그 합집합에 적용된 μ는 그런-다음 일이지만, 개별적인 집합의 임의의 것에 적용된 μ는 영이므로, μ(A_n)의 합은 역시 영이며, 이것은 반대-예제로 입증됩니다.

Generalizations

우리는 덧셈의 모노이드(monoid) (예를 들어, 임의의 그룹(group) 또는 보다 공통적으로 벡터 공간(vector space))에서 값을 갖는 덧셈의 함수를 정의할 수 있습니다. 시그마-덧셈성에 대해, 우리는 게다가 수열의 극한(limit of a sequence)의 개념이 해당 집합 위에 정의되어야 할 필요가 있습니다. 예를 들어, 스펙트럼 측정(spectral measure)은 바나흐 대수(Banach algebra)에서 값을 갖는 시그마-덧셈의 함수입니다. 또 다른 예제는, 역시 양자 역학으로부터, 양의 연산자-값 측정(positive operator-valued measure)입니다.

References

^ D.H. Fremlin Measure Theory, Volume 4, Torres Fremlin, 2003.

[Fremlin-1] D.H. Fremlin Measure Theory, Volume 4, Torres Fremlin, 2003.

[1]