삼각형의 해 (Latin : solutio triangulorum )는, 삼각형(triangle) 의 특성 (각도 및 변의 길이)의 일부가 알려져 있을 때, 그것을 찾기 위한 주요 삼각법의(trigonometric) 문제입니다. 삼각형은 평면(plane) 또는 구(sphere) 에 위치될 수 있습니다. 삼각형 해를 요구하는 응용은 측지학(geodesy) , 천문학(astronomy) , 건설(construction) , 및 내비게이션(navigation) 을 포함합니다.
Solving plane triangles Standard notation for a triangle 일반적인 형식의 삼각형은 여섯 주요 특성을 가지고 있습니다 (그림 참조) : 세 개의 선분 (변 길이 a , b , c α , β , γ [1] [2]
세 변 (SSS )
두 변과 포함된 각도 (SAS )
두 변과 그들 사이에 포함된 것이 아닌 각도 (SSA ), 만약 그 각도에 인접한 변 길이가 나머지 변 길이보다 더 짧으면.
한 변과 그것에 인접한 두 각도 (ASA )
한 변, 그것에 반대 편 각도와 그것에 인접한 각도 (AAS ). 평면에서 모든 경우에 대해, 적어도 측면 길이 중 하나가 지정되어야 합니다. 만약 오직 각도가 주어지면, 변 길이는 절대 결정되지 않는데, 왜냐하면 임의의 닮은(similar) 삼각형이 해가 아니기 때문입니다.
Trigonomic relations Overview of particular steps and tools used when solving plane triangles 문제를 해결하는 표준 방법은 기본 관계를 사용하는 것입니다.
코사인의 법칙(Law of cosines)
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
c
cos
β
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }
사인의 법칙(Law of sines)
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}
각도의 합(Sum of angles)
α
+
β
+
γ
=
180
∘
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}
탄젠트의 법칙(Law of tangents)
a
−
b
a
+
b
=
tan
[
1
2
(
α
−
β
)
]
tan
[
1
2
(
α
+
β
)
]
.
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}
다른 (때로는 실질적으로 유용한) 보편적 관계: 코탄젠트의 법칙(law of cotangents) 과 몰바이데의 공식(Mollweide's formula) 이 있습니다.
Notes 미지수 각도를 찾으려면, 코사인의 법칙(law of cosines) 이 사인의 법칙(law of sines) 보다 안전합니다. 그 이유는 삼각형 각도에 대한 사인(sine) 의 값이 이 각도를 고유하게 결정하지 않기 때문입니다. 예를 들어, 만약 sin β = 0.5 이면, 각도 β
우리는 지정된 특성의 상대적 위치가 알려져 있다고 가정합니다. 그렇지 않다면, 삼각형의 거울 반사는 역시 해결책이 될 것입니다. 예를 들어, 세 변 길이는 하나의 삼각형 또는 그것의 반사를 고유하게 정의합니다. Three sides given (SSS) Three sides given 세 변 길이 a , b , c α , β 코사인의 법칙(law of cosines) 이 사용될 수 있습니다:[3]
α
=
arccos
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
β
=
arccos
a
2
+
c
2
−
b
2
2
a
c
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}}
그때의 각도는 γ = 180° − α − β
일부 출처는 사인의 법칙(law of sines) 으로부터 각도 β
알려진 변으로부터 각도를 계산하는 또 다른 방법은 코탄젠트의 법칙(law of cotangents) 을 적용하는 것입니다.
Two sides and the included angle given (SAS) Two sides and the included angle given 여기서 변 a , b γ [4]
c
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
.
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}
이제 우리는 두 번째 각도를 찾기 위해 코사인의 법칙을 사용합니다:
α
=
arccos
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
.
{\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}
마지막으로, β = 180° − α − γ
Two sides and non-included angle given (SSA) Two sides and a non-included angle given Two solutions for the triangle 이 경우는 모든 경우에서 해결 가능한 것은 아닙니다; 하나의 해는 만약 각도에 인접한 변 길이가 나머지 변 길이보다 짧으면 고유하다는 것이 보장됩니다. 두 변 b , c β γ 사인의 법칙(law of sines) 으로부터 암시될 수 있습니다:[5]
sin
γ
=
c
b
sin
β
.
{\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}
우리는 나아가서 D = c / b β
만약 D > 1b BC β ≥ 90°b ≤ c
만약 D = 1γ = 90°직각(right-angled) 입니다.
만약 D < 1만약 b ≥ c β ≥ γ γ γ = arcsin D
만약 b < c γ γ = arcsin D γ′ = 180° − γ C b γ C′ b′ γ′ 한번 γ α = 180° − β − γ
세 번째 변은 그런-다음 사인의 법칙으로부터 구할 수 있습니다:
a
=
b
sin
α
sin
β
{\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}
또는
a
=
c
cos
β
±
b
2
−
c
2
sin
2
β
{\displaystyle a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}
A side and two adjacent angles given (ASA) One side and two adjacent angles given 알려진 특성이 변 c α , β γ = 180° − α − β
두 미지수 변은 사인의 법칙으로부터 계산될 수 있습니다:[6]
a
=
c
sin
α
sin
γ
;
b
=
c
sin
β
sin
γ
.
{\displaystyle a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }};\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}.}
또는
a
=
c
sin
α
sin
α
cos
β
+
sin
β
cos
α
{\displaystyle a=c{\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}}
b
=
c
sin
β
sin
α
cos
β
+
sin
β
cos
α
{\displaystyle b=c{\frac {\sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}}
A side, one adjacent angle and the opposite angle given (AAS) AAS 삼각형을 푸는 절차는 ASA 삼각형에 대해 절차와 같습니다: 먼저, 삼각형의 각도 합 속성을 사용함으로써 세 번째 각도를 구합니다. 그런-다음 사인의 법칙(law of sines) 을 사용하여 나머지 두 변을 구합니다.
Other given lengths 많은 경우에서, 삼각형의 중앙선(medians) , 고도(altitudes) , 또는 각도 이등분선(angle bisector) 의 길이인 세 조각의 일부 정보가 주어지면 삼각형은 풀릴 수 있습니다. 포사멘티에와 레만은 95개의 개별적인 경우 각각에 대해 제곱근보다 높지 않은 것 (구성성(constructibility) )을 사용하여 해결-가능성의 문제에 대한 결과를 나열합니다;[7]
Solving spherical triangles Spherical triangle 일반적인 구형 삼각형은 그것의 여섯 특성 (3 변과 3 각도) 중 셋에 의해 완전하게 결정됩니다. 구형 삼각형의 변 a , b , c 중심 각도(central angle) 이며, 선형 단위가 아닌 각도 단위에서 측정됩니다. (단위 구 위에, 각도 (라디안(radians) )와 구 주위의 길이는 수치적으로 같습니다. 다른 구 위에서, 각도 (라디안)는 구 주위의 길이를 반지름으로 나눈 값과 같습니다.)
구면 기하학(spherical geometry) 은 평면 유클리드 기하학(Euclidean geometry) 과 다르므로, 구면 삼각형의 해는 다른 규칙을 기반으로 합니다. 예를 들어, 세 각도 α + β + γ 은 삼각형의 크기에 따라 다릅니다. 게다가, 닮은 삼각형(similar triangles) 은 같지 않을 수 없으므로, 지정된 세 개의 각도를 갖는 삼각형을 구성하는 문제는 고유한 해를 가집니다. 문제를 해결하기 위해 사용되는 기본 관계는 평면 경우의 관계와 유사합니다: 구면 코사인 법칙(Spherical law of cosines) 과 구면 사인 법칙(Spherical law of sines) 을 참조하십시오.
유용할 수 있는 다른 관계 중에는 절반-변 공식(half-side formula) 과 네이피어 아날로그(Napier's analogies) 가 있습니다:[8]
tan
c
2
cos
α
−
β
2
=
tan
a
+
b
2
cos
α
+
β
2
{\displaystyle \tan {\frac {c}{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\tan {\frac {a+b}{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}
tan
c
2
sin
α
−
β
2
=
tan
a
−
b
2
sin
α
+
β
2
{\displaystyle \tan {\frac {c}{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\tan {\frac {a-b}{2}}\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}}
cot
γ
2
cos
a
−
b
2
=
tan
α
+
β
2
cos
a
+
b
2
{\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}\cos {\frac {a-b}{2}}=\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}}
cot
γ
2
sin
a
−
b
2
=
tan
α
−
β
2
sin
a
+
b
2
.
{\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}\sin {\frac {a-b}{2}}=\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}\sin {\frac {a+b}{2}}.}
Three sides given Three sides given (spherical SSS) 알려진 것: 변 a , b , c 구면 코사인 법칙(spherical law of cosines) 을 사용하여 계산됩니다:
α
=
arccos
(
cos
a
−
cos
b
cos
c
sin
b
sin
c
)
,
{\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}}\right),}
β
=
arccos
(
cos
b
−
cos
c
cos
a
sin
c
sin
a
)
,
{\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right),}
γ
=
arccos
(
cos
c
−
cos
a
cos
b
sin
a
sin
b
)
.
{\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}\right).}
Two sides and the included angle given Two sides and the included angle given (spherical SAS) 알려진 것: 변 a , b γ c
c
=
arccos
(
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
cos
γ
)
.
{\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).}
각도 α , β
α
=
arctan
2
sin
a
tan
(
γ
2
)
sin
(
b
+
a
)
+
cot
(
γ
2
)
sin
(
b
−
a
)
,
{\displaystyle \alpha =\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan({\frac {\gamma }{2}})\sin(b+a)+\cot({\frac {\gamma }{2}})\sin(b-a)}},}
β
=
arctan
2
sin
b
tan
(
γ
2
)
sin
(
a
+
b
)
+
cot
(
γ
2
)
sin
(
a
−
b
)
.
{\displaystyle \beta =\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan({\frac {\gamma }{2}})\sin(a+b)+\cot({\frac {\gamma }{2}})\sin(a-b)}}.}
이 문제는 위도와 경도에 의해 지정된 지구 위의 두 지점 사이의 큰 원을 찾는 탐색 문제 에서 발생합니다; 이 응용에서, 반올림 오류에 취약하지 않은 공식을 사용하는 것이 중요합니다. 이를 위해, 다음 공식 (벡터 대수학을 사용하여 유도될 수 있음)이 사용될 수 있습니다:
c
=
arctan
(
sin
a
cos
b
−
cos
a
sin
b
cos
γ
)
2
+
(
sin
b
sin
γ
)
2
cos
a
cos
b
+
sin
a
sin
b
cos
γ
,
α
=
arctan
sin
a
sin
γ
sin
b
cos
a
−
cos
b
sin
a
cos
γ
,
β
=
arctan
sin
b
sin
γ
sin
a
cos
b
−
cos
a
sin
b
cos
γ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}}
여기서 이들 표현에서 분자와 분모의 부호는 아크탄젠트의 사분면을 결정하기 위해 사용되어야 합니다.
Two sides and a non-included angle given Two sides and non-included angle given (spherical SSA) 이 문제는 모든 경우에 해결할 수는 없습니다; 하나의 해는 오직 만약 각도에 인접한 변의 길이가 다른 변의 길이보다 더 짧으면 고유하다고 보장됩니다. 알려진 것: 변 b , c β
b
>
arcsin
(
sin
c
sin
β
)
.
{\displaystyle b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta ).}
각도 γ 구면 사인 법칙(spherical law of sines) 에서 구할 수 있습니다:
γ
=
arcsin
(
sin
c
sin
β
sin
b
)
.
{\displaystyle \gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right).}
평면 경우에 대한 것처럼, 만약 b < c γ 180° - γ 가 있습니다.
우리는 네이피어 아날로그를 사용함으로써 다른 특징을 찾을 수 있습니다:
a
=
2
arctan
[
tan
(
1
2
(
b
−
c
)
)
sin
(
1
2
(
β
+
γ
)
)
sin
(
1
2
(
β
−
γ
)
)
]
,
α
=
2
arccot
[
tan
(
1
2
(
β
−
γ
)
)
sin
(
1
2
(
b
+
c
)
)
sin
(
1
2
(
b
−
c
)
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right].\end{aligned}}}
One side and two adjacent angles given A side and two adjacent angles given (spherical ASA) 알려진 것: 변 c α , β 구면 코사인 법칙(spherical law of cosines) 을 사용하여 각도 γ
γ
=
arccos
(
sin
α
sin
β
cos
c
−
cos
α
cos
β
)
.
{\displaystyle \gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).\,}
우리는 (계산된 각도 γ
a
=
arccos
(
cos
α
+
cos
β
cos
γ
sin
β
sin
γ
)
,
{\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),}
b
=
arccos
(
cos
β
+
cos
α
cos
γ
sin
α
sin
γ
)
,
{\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }}\right),}
또는 네이피어의 아날로그를 사용함으로써:
a
=
arctan
[
2
sin
α
cot
(
c
2
)
sin
(
β
+
α
)
+
tan
(
c
2
)
sin
(
β
−
α
)
]
,
b
=
arctan
[
2
sin
β
cot
(
c
2
)
sin
(
α
+
β
)
+
tan
(
c
2
)
sin
(
α
−
β
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan \left[{\frac {2\sin \alpha }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\beta +\alpha )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\beta -\alpha )}}\right],\\[4pt]b&=\arctan \left[{\frac {2\sin \beta }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\alpha +\beta )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\alpha -\beta )}}\right].\end{aligned}}}
One side, one adjacent angle and the opposite angle given A side, one adjacent angle and the opposite angle given (spherical AAS) 알려진 것: 변 a α , β b 구면 사인 볍칙(spherical law of sines) 을 사용하여 구할 수 있습니다:
b
=
arcsin
(
sin
a
sin
β
sin
α
)
.
{\displaystyle b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).}
만약 변 a α > β
b
=
π
−
arcsin
(
sin
a
sin
β
sin
α
)
.
{\displaystyle b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).}
우리는 네이피어 아날로그를 사용함으로써 다른 특징을 구할 수 있습니다:
c
=
2
arctan
[
tan
(
1
2
(
a
−
b
)
)
sin
(
1
2
(
α
+
β
)
)
sin
(
1
2
(
α
−
β
)
)
]
,
γ
=
2
arccot
[
tan
(
1
2
(
α
−
β
)
)
sin
(
1
2
(
a
+
b
)
)
sin
(
1
2
(
a
−
b
)
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right].\end{aligned}}}
Three angles given Three angles given (spherical AAA) 알려진 것: 각도 α , β , γ 구면 코사인 법칙(spherical law of cosines) 에서 우리는 추론합니다:
a
=
arccos
(
cos
α
+
cos
β
cos
γ
sin
β
sin
γ
)
,
{\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),}
b
=
arccos
(
cos
β
+
cos
γ
cos
α
sin
γ
sin
α
)
,
{\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right),}
c
=
arccos
(
cos
γ
+
cos
α
cos
β
sin
α
sin
β
)
.
{\displaystyle c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right).}
Solving right-angled spherical triangles 위의 알고리듬은 만약 삼각형의 각도 중 하나 (예를 들어, 각도 C 네이피어의 오각형(Napier's Pentagon) 또는 다음 관계식을 사용하여 계산될 수 있습니다.
sin
a
=
sin
c
⋅
sin
A
{\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin A}
구면 사인 법칙 )
tan
a
=
sin
b
⋅
tan
A
{\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan A}
cos
c
=
cos
a
⋅
cos
b
{\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}
구면 코사인 법칙 )
tan
b
=
tan
c
⋅
cos
A
{\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos A}
cos
A
=
cos
a
⋅
sin
B
{\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin B}
cos
c
=
cot
A
⋅
cot
B
{\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot B}
Some applications Triangulation Distance measurement by triangulation 만약 우리가 삼각분할을 통해 해안으로부터 원격 선박까지의 거리 d l α , β
위의 공식으로부터 (ASA 경우, 평면 기하학을 가정하여), 우리는 거리를 삼각형 높이(triangle height) 로 계산할 수 있습니다:
d
=
sin
α
sin
β
sin
(
α
+
β
)
ℓ
=
tan
α
tan
β
tan
α
+
tan
β
ℓ
.
{\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .}
구형 경우에 대해, 우리는 먼저 α β
tan
b
=
2
sin
β
cot
(
l
/
2
)
sin
(
α
+
β
)
+
tan
(
l
/
2
)
sin
(
α
−
β
)
,
{\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot(l/2)\sin(\alpha +\beta )+\tan(l/2)\sin(\alpha -\beta )}},}
그리고 이것을 각도 α b 와 d 를 포함하는 오른쪽 부분-삼각형에 대해 AAS 공식에 대입합니다:
sin
d
=
sin
b
sin
α
=
tan
b
1
+
tan
2
b
sin
α
.
{\displaystyle \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .}
(평면 공식은 실제로 l d 의 테일러 전개의 첫 번째 항입니다.)
이 방법은 연안-항해(cabotage) 에서 사용됩니다. 각도 α , β
How to measure a mountain's height 또 다른 예제로써, 만약 우리가 산 또는 높은 빌딩의 높이 h α , β ℓ
h
=
sin
α
sin
β
sin
(
β
−
α
)
ℓ
=
tan
α
tan
β
tan
β
−
tan
α
ℓ
.
{\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .}
The distance between two points on the globe 지구 위의 두 점 사이의 거리를 계산하기 위해,
점 A: 위도 λA LA
점 B: 위도 λB LB 우리는 구면 삼각형 ABC C
a
=
90
o
−
λ
B
,
{\displaystyle a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} },\,}
b
=
90
o
−
λ
A
,
{\displaystyle b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} },\,}
γ
=
L
A
−
L
B
.
{\displaystyle \gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }.\,}
만약 두 변과 포함된 각도가 주어지면 , 우리는 다음 공식으로부터 얻습니다:
A
B
=
R
arccos
[
sin
λ
A
sin
λ
B
+
cos
λ
A
cos
λ
B
cos
(
L
A
−
L
B
)
]
.
{\displaystyle \mathrm {AB} =R\arccos \left[\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right].}
여기서 R 지구의 반지름(Earth's radius) 입니다.
See also References External links Trigonometric Delights , by Eli Maor , Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.Trigonometry by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented. Google book.Spherical trigonometry Intro to Spherical Trig. Includes discussion of The Napier circle and Napier's rulesSpherical Trigonometry — for the use of colleges and schools by I. Todhunter, M.A., F.R.S. Historical Math Monograph posted by Cornell University Library .Triangulator TriSph Spherical Triangle Calculator
![{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7a4a3592aa66976f1d34bbbb403daa392f9fdf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/468caceefca9cadbcccf4071a44d9c3107dd5b33)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right].\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98c1f42e681ea2ab22fd605e253a466528bf1810)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan \left[{\frac {2\sin \alpha }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\beta +\alpha )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\beta -\alpha )}}\right],\\[4pt]b&=\arctan \left[{\frac {2\sin \beta }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\alpha +\beta )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\alpha -\beta )}}\right].\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dcd8b4b2a2a689003efc585537d32a214b25369)
![{\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right].\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1777f44e4b72d85f6a8a23ebc6dd68e218ce214)
![{\displaystyle \mathrm {AB} =R\arccos \left[\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right].}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9277fbddb1b6f30c1ca26c22f0f30c7463f860b7)