Squeeze theorem

Original article: w:Squeeze theorem

"Sandwich theorem" redirects here. For the result in measure theory, see Ham sandwich theorem.

Illustration of the squeeze theorem

When a sequence lies between two other converging sequences with the same limit, it also converges to this limit.

미적분학(calculus)에서, 조임 정리(pinching theorem), 샌드위치 정리(sandwich theorem), 샌드위치 규칙(sandwich rule), 그리고 때때로 압착 보조 정리(squeeze lemma)라고 알려진, 압착 정리(squeeze theorem)는 함수의 극한(limit of a function)과 관련된 정리(theorem)입니다.

압착 정리는 미적분학 및 수학적 해석학(mathematical analysis)에 사용됩니다. 전형적으로 극한이 알려져 있거나 쉽게 계산되는 두 개의 다른 함수와의 비교를 통해 함수의 극한을 확인하는 것에 사용됩니다. 그것은, π를 계산하기 위한 노력의 성과로써 수학자(mathematician) 아르키메데스(Archimedes)와 에우독수스(Eudoxus)에 의해 기하학적으로 처음 사용되었으며, 그리고 가우스(Gauss)에 의해 현대 용어로 공식화되었습니다.

많은 언어(예를 들어, 불어, 독어, 이태리어, 러시아어)에서, 압착 정리는 두 경찰 (그리고 한 주정뱅이) 정리(two policemen (and a drunk) theorem), 또는 일부 변형이라고도 역시 알려져 있습니다. 그 이야기는 두 경찰이 그들 사이에 주정뱅이 죄수를 호송한다면, 그리고 두 경찰이 독방으로 가면, (취해진 경로, 그리고 죄수가 경찰 사이에서 비틀거릴 수 있다는 사실에 상관없이) 죄수는 끝에는 독방에 반드시 있어야 합니다.

Statement

조임 정리는 다음처럼 공식적으로 기술됩니다.

I를 극한 점으로 점 a를 가지는 구간(interval)으로 놓습니다. g, f, 그리고 h를, 아마도 a 그 자체를 제외하고, I 위에 정의된 함수(functions)로 놓습니다. a와 같지 않은 I 안의 모든 x에 대해, 우리는 다음을 가짐을 가정합니다:

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

그리고 역시 다음을 가정합니다:

$\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L.$

그런 다음 $\lim _{x\to a}f(x)=L.$

• 함수 ${\textstyle g}$와 ${\textstyle h}$는 ${\textstyle f}$의 (각각) 아래쪽 그리고 위쪽 경계(lower and upper bounds)가 된다고 말합니다.
• 여기서, ${\textstyle a}$는 ${\textstyle I}$의 내부(interior)에 놓이는 것을 요구하지 않습니다. 사실, 만약 ${\textstyle a}$이 ${\textstyle I}$의 끝점이면, 위의 극한은 왼쪽- 또는 오른쪽-방향 극한입니다.
• 비슷한 명제가 무한 구간에 대해 유지됩니다: 예를 들어, 만약 ${\textstyle I=(0,\infty )}$이면, ${\textstyle x\rightarrow \infty }$일 때 극한을 취하여, 결론은 유지됩니다.

이 이론은 수열에 대해 역시 유효합니다. $(a_{n}),(c_{n})$을 $\ell$에 수렴하는 두 수열, 그리고 $(b_{n})$을 수열로 놓습니다. 만약 $\forall n\geqslant N,N\in \mathbb {N}$에 대해 우리가 $a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$을 가지면, $(b_{n})$은 역시 $\ell$에 수렴합니다.

Proof

위의 가설로부터 극한 하부(limit inferior)와 극한 상부를 취하여, 우리는 다음을 가집니다:

$L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,$

그래서 모든 부등식은 사실 등식이고, 명제는 즉시 따릅니다.

극한의 $(\epsilon ,\delta )$-정의를 사용하여, 직접 증명은, 모든 실수 ${\textstyle \epsilon >0}$에 대해, $|x-a|<\delta$을 갖는 모든 $x$에 대해, 우리가 $|f(x)-L|<\epsilon$을 가지는 것을 만족하는 실수 $\delta >0$가 존재하는 것으로 입증될 것입니다. 기호적으로,

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon ).$

다음 식

$\lim _{x\to a}g(x)=L$

은

$\forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{1}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon )\qquad (1)$

임을 의미하고

$\lim _{x\to a}h(x)=L$

은

$\forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{2}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon )\qquad (2)$

임을 의미할 때, 우리는 다음을 가집니다:

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

$g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L$

우리는 $\delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}$을 선택할 수 있습니다. 그런 다음, 만약 $|x-a|<\delta$이면, (1)과 (2)를 결합하여, 우리는 다음을 가집니다:

$-\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,$

$-\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon$,

이것으로 증명이 완성되었습니다. $\blacksquare$

수열에 대해 증명은, 수열의 극한의 $\epsilon$-정의를 사용하여, 매우 비슷합니다.

Statement for series

급수에 대해 조임 정리는 역시 있습니다. 이것은 다음으로 기술될 수 있습니다:

$\sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$을 두 수렴 급수로 놓습니다. 만약 $\forall n>N,a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$을 만족하는 $\exists N\in \mathbb {N}$이면, $\sum _{n}b_{n}$은 역시 수렴합니다.

Proof

$\sum _{n}a_{n},\sum _{n}c_{n}$을 두 수렴하는 급수로 놓습니다. 그러므로, 수열 $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{n}\right)_{n=1}^{\infty },\left(\sum _{k=1}^{n}c_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$은 코시입니다. 즉, 고정된 $\epsilon >0$에 대해,

$\forall n>m>N_{1},\left|\sum _{k=1}^{n}a_{n}-\sum _{k=1}^{m}a_{n}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{n}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}a_{n}<\epsilon$ (1)을 만족하는 $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$이고,

비슷하게 $\forall n>m>N_{2},\left|\sum _{k=1}^{n}c_{n}-\sum _{k=1}^{m}c_{n}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}c_{n}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}c_{n}<\epsilon$ (2)을 만족하는 $\exists N_{2}\in \mathbb {N}$입니다.

우리는 $\forall n>N_{1},a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}$을 만족하는 $\exists N_{3}\in \mathbb {N}$인 것을 압니다. 따라서, $\forall n>m>\max\{N_{1},N_{2},N_{3}\}$, 우리는, (1)와 (2)를 결합하여, 다음을 가집니다:

$a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}\Longrightarrow \sum _{k=m+1}^{n}a_{n}\leqslant \sum _{k=m+1}^{n}b_{n}\leqslant \sum _{k=m+1}^{n}c_{n}\Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}b_{n}<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}b_{n}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=1}^{n}b_{n}-\sum _{k=1}^{m}b_{n}\right|<\epsilon .$

그러므로 $\left(\sum _{k=1}^{n}b_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$은 코시 수열입니다. 그래서 $\sum _{n}b_{n}$는 수렴합니다. $\blacksquare$

Examples

First example

x² sin(1/x) being squeezed in the limit as x goes to 0

극한

$\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$

은 극한 법칙

$\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)$

을 통해 결정될 수 있습니다. 왜냐하면

$\lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})$

은 존재하지 않습니다.

어쨌든, 사인 함수(sine function)의 정의에 의해,

$-1\leq \sin({\tfrac {1}{x}})\leq 1.$

그것은 다음을 따릅니다:

$-x^{2}\leq x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})\leq x^{2}$

$\lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0$이므로, 조임 정리에 의해, $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})$은 반드시 역시 0이 됩니다.

Second example

Comparing areas:
${\begin{aligned}&\,A(\triangle ADF)\geq A({\text{sector}}\,ADB)\geq A(\triangle ADB)\\\Rightarrow &\,{\frac {1}{2}}\cdot \tan(x)\cdot 1\geq {\frac {x}{2\pi }}\cdot \pi \geq {\frac {1}{2}}\cdot \sin(x)\cdot 1\\\Rightarrow &\,{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\geq x\geq \sin(x)\\\Rightarrow &\,{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\leq {\frac {1}{x}}\leq {\frac {1}{\sin(x)}}\\\Rightarrow &\,\cos(x)\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1\end{aligned}}$

아마도 조이는 것에 의한 극한을 찾는 것의 가장 잘 알려진 예제는 다음 등식의 증명입니다:

${\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0.\end{aligned}}$

첫 번째 극한은 0에 충분히 가까운 x에 대해

$\cos x\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1$

인 사실로부터 조임 정리의 수단에 따릅니다. 양수 x에 대해 그것의 정확성은 마찬가지로 음수 x까지 확장될 수 있는 (그림에서 보이는) 간단한 기하학적 추론에 의해 보일 수 있습니다. 두 번째 극한은 0에 충분히 가까운 x에 대해

$0\leq {\frac {1-\cos(x)}{x}}\leq x$

인 사실과 조임 정리에 따릅니다. 이것은 이전 사실에서 $\sin(x)$를 ${\sqrt {1-\cos(x)^{2}}}$에 의해 대체하는 것 그리고 결과 부등식을 제곱하는 것에 의해 유도될 수 있습니다.

이들 두 극한은 사인 함수의 도함수가 코사인 함수인 사실의 증명에서 사용됩니다. 그 사실은 삼각 함수의 도함수의 다른 증명에 의존합니다.

Third example

다음 처럼, 조임에 의해

${\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta$

인 것을 보여줄 수 있습니다.

오른쪽에 있는 삽화에서, 원의 두 음영 처리된 부채꼴의 더 작은 것의 넓이는

${\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},$

왜냐하면 반지름은 sec θ이고 단위 원(unit circle) 위의 호는 길이 Δθ를 가집니다. 비슷하게 두 음영 처리된 부채꼴의 더 큰 것의 넓이는

${\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.$

그들 사이의 조여지는 것은 삼각형이며, 그의 밑변은 수직 선분이고 그의 끝점은 두 검은색 점입니다. 삼각형의 밑변의 길이는 tan(θ + Δθ) − tan(θ)이고, 높이는 1입니다. 삼각형의 넓이는 그러므로

${\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{2}}.$

부등식으로부터

${\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}$

우리는,  Δθ > 0이라는 조건으로

$\sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan(\theta )}{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),$

인 것을 추론하고, 부등식은, 만약 Δθ < 0이면, 방향이 바뀝니다. 첫 번째와 세 번째 표현은, Δθ → 0일 때, sec²θ로 접근하고, 중간 표현은 (d/dθ) tan θ이기 때문에, 원하는 결과가 따릅니다.

Fourth example

조임 정리는 다변수 미적분학에서 여전히 사용될 수 있지만 낮은 (및 높은 함수)는 경로를 따라가 아니라 관심 점의 전체 이웃 주변의 대상 함수 아래 (또는 위)에 반드시 있어야 합니다. 그리고, 함수가 그곳에서 극한을 정말로 가지면 오직 작동합니다. 그것은, 그러므로, 함수가 한 점에서 극한을 가지는 것을 입증하기 위해서 사용될 수는 있지만, 그것은 함수가 한 점에서 극한을 가지지 않는 것을 입증하기 위해서 사용될 수는 없습니다.

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}$

은 그 점을 통과하는 경로를 따라 극한의 임의의 숫자를 취하는 것에 의해 절대 찾을 수 없습니다. 그러나

$0\leq {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\leq 1$

$-\left|y\right\vert \leq y\leq \left|y\right\vert$

$-\left|y\right\vert \leq {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}\leq \left|y\right\vert$

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}-\left|y\right\vert =0$

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}\left|y\right\vert =0$

$0\leq \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}\leq 0$

이므로, 조임 정리에 의해,

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0$.

External links

• Weisstein, Eric W. "Squeezing Theorem". MathWorld.
• Squeeze Theorem by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.
• Squeeze Theorem on Proofs.wiki.