Subset

수학(mathematics)에서, 만약 A가 B에 포함되면, 집합(set) A는 집합 B의 부분-집합(subset), 또는 동등하게, B는 A의 초월-집합(superset)입니다. 즉, A의 모든 원소(elements)가 역시 B의 원소입니다. A와 B는 같을 수 있습니다; 만약 그들이 같지 않으면, A는 B의 적절한 부분-집합입니다. 하나의 집합이 또 다른 집합의 부분-집합인 관계는 포함(inclusion) 또는 때때로 봉쇄(containment)라고 불립니다. "A가 B의 부분 집합입니다"는 "B는 A를 포함합니다", 또는 "A는 B에 포함됩니다"로 역시 표현될 수 있습니다.

부분-집합 관계는 집합에 대한 부분 순서(partial order)를 정의합니다. 사실, 주어진 집합의 부분-집합은 부분-집합 관계 아래에서 부울 대수(Boolean algebra)를 형성하며, 이것에서 접합과 만남(join and meet)은 교집합(intersection)과 합집합(union)에 의해 주어지며, 부분-집합 관계 자체는 부울 포함 관계(Boolean inclusion relation)입니다.

Definitions

만약 A와 B가 집합이고 A의 모든 각 원소(element)가 역시 B의 원소이면,

A는 B의 부분-집합(subset)이며, $A\subseteq B$ 에 의해 표시되며, 또는 동등하게
B는 A의 초월-집합(superset)이며, $B\supseteq A$ 에 의해 표시됩니다.

만약 A가 B의 부분-집합이지만, A가 B와 같지(equal) 않으면 (즉, A의 원소가 아닌 B의 적어도 하나의 원소가 존재하면),

A가 B의 적절한 (또는 엄격한) 부분-집합이며, $A\subsetneq B$ 에 의해 표시되며, 또는 동등하게
B가 A의 적절한 (또는 엄격한) 초월-집합이며, $B\supsetneq A$ 에 의해 표시됩니다.

임의의 집합 S에 대해, 포함 관계(relation) ⊆는 $A\leq B\iff A\subseteq B$ 에 의해 정의된 S의 모든 부분-집합 (S의 거듭-제곱 집합(power set))의 집합 ${\mathcal {P}}(S)$ 위에 부분 순서(partial order)입니다. 우리는 $A\leq B\iff B\subseteq A$ 를 정의함으로써 역 집합 포함에 의해 역시 부분적으로 순서 ${\mathcal {P}}(S)$ 일 것입니다.

정량화될 때, $A \subseteq B$ 는 $\forall x (x \in A \to x \in B)$ 로 표현됩니다.^[1]

Properties

집합 A가 B의 부분-집합인 것과 그들의 교집합이 A와 같은 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

공식적으로:

A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A.

집합 A가 B의 부분-집합인 것과 그들의 합집합이 B와 같은 것은 필요충분 조건입니다.

공식적으로:

A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B.

유한 집합 A가 B의 부분-집합인 것과 그들의 교집합의 카디널리티(cardinality)가 A의 카디널리티와 같은 것은 필요충분 조건입니다.

공식적으로:

A\subseteq B\Leftrightarrow |A\cap B|=|A|.

⊂ and ⊃ symbols

일부 저자는 각각 부분-집합 및 초월-집합을 나타내기 위해 기호 ⊂ 및 ⊃를 사용합니다; 즉, 같은 의미와 함께 기호 ⊆ 및 ⊇를 대신 사용합니다.^[2] 예를 들어, 이들 저자에 대해, A ⊂ A인 모든 각 집합 A에 참입니다.

다른 저자는 기호 ⊂ 및 ⊃를 각각 적절한 (역시 엄격한으로 불리는) 부분-집합과 적절한 초월-집합을 나타내기 위해 사용하는 것을 선호합니다; 즉, 같은 의미와 함께 기호 ⊊ 및 ⊋ 대신에 사용합니다.^[3] 이 사용법은 ⊆ 및 ⊂를 부등식(inequality) 기호 ≤ 및 <과 유사하게 만듭니다. 예를 들어, 만약 x ≤ y이면, x는 y와 같거나 같지 않을 수 있지만, 만약 x < y이면, x는 명확히 y와 같지 않고, y보다 작습니다. 비슷하게, ⊂가 적절한 부분-집합이라는 관례를 사용하면, 만약 A ⊆ B이면, A는 B와 같거나 같지 않을 수 있지만, 만약 A ⊂ B이면, A는 명확히 B와 같지 않습니다.

Examples

File:PolygonsSet EN.svg

The regular polygons form a subset of the polygons

집합 A = {1, 2}는 B = {1, 2, 3}의 적절한 부분-집합이며, 따라서 표현 A ⊆ B 및 A ⊊ B은 참입니다.
집합 D = {1, 2, 3}는 E = {1, 2, 3}의 부분-집합이며 (그러나 적절한 부분-집합은 아닙니다), 따라서 D ⊆ E는 참이고, D ⊊ E는 참이 아닙니다 (거짓).
임의의 집합은 자체의 부분-집합이지만, 적절한 부분집합은 아닙니다. (임의의 집합 X에 대해 X ⊆ X는 참이고, X ⊊ X는 거짓입니다.)
빈 집합(empty set) { }은, ∅에 의해 표시되며, 임의의 주어진 집합 X의 역시 부분-집합입니다. 그것은 자체를 제외한 임의의 집합의 역시 항상 적절한 부분-집합입니다.
집합 {x: x는 10보다 큰 소수입니다}는 {x: x는 10보다 큰 홀수입니다}의 적절한 부분-집합입니다.
자연수(natural number)의 집합은 유리수(rational number)의 집합의 적절한 부분-집합입니다; 마찬가지로, 선분(line segment) 안의 점의 집합은 직선(line) 안의 점의 집합의 적절한 부분-집합입니다. 이들은 부분 집합과 전체 집합 둘 다가 무한인 예제이고, 부분-집합은 전체와 같은 카디널리티(cardinality) (크기, 즉, 유한 집합의 원소의 숫자에 해당하는 개념)을 가집니다; 그러한 경우는 우리의 초기 직관과 반대일 수 있습니다.
유리수의 집합은 실수(real number)의 집합의 적절한 부분-집합입니다. 이 예제에서, 두 집합은 무한이지만, 후자의 집합은 전자의 집합보다 더 큰 카디널리티 (또는 거듭제곱)를 가집니다.

오일러 다이어그램(Euler diagram)에서 또 다른 예제:

A is a proper subset of B

A is a proper subset of B
C is a subset but not a proper subset of B

C is a subset but not a proper subset of B

Other properties of inclusion

File:Subset with expansion.svg

A ⊆ B and B ⊆ C implies A ⊆ C

포함은 모든 각 부분적으로 순서화된 집합 (X, $\preceq$ )가 포함에 의해 순서화된 집합의 일부 모음에 동형(isomorphic)이라는 의미에서 정식의 부분 순서(partial order)입니다. 순서-숫자(ordinal number)는 간단한 예제입니다–만약 각 순서-숫자 n이 n보다 작거나 같은 모든 순서-숫자의 집합 [n]으로 식별되면, a ≤ b인 것과 [a] ⊆ [b]인 것은 필요충분 조건입니다.

집합 S의 거듭-제곱 집합(power set) ${\mathcal {P}}(S)$ 에 대해, 포함 부분 순서는 0 < 1에 대해 {0,1} 위에 부분적으로 순서의 복사본 k = |S| (S의 카디널리티(cardinality))의 (순서 동형(order isomorphism)까지) 데카르트 곱(Cartesian product)입니다. 이것은 S = {s₁, s₂, ..., s_k}를 열거하고 각 부분-집합 T ⊆ S과 결합함으로써 묘사될 수 있으며 (말하자면 2^S의 각 원소와 함께) 그것의 {0,1}^k로부터 k-튜플의 i번째 좌표가 1인 것과 s_i가 T의 구성원인 것은 필요충분 조건입니다.

References

^ Rosen, Kenneth H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications (7th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 119. ISBN 978-0-07-338309-5.
^ Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
^ Subsets and Proper Subsets (PDF), archived from the original (PDF) on 2013-01-23, retrieved 2012-09-07

Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

External links

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Weisstein, Eric W. "Subset". MathWorld.

[1] Rosen, Kenneth H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications (7th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 119. ISBN 978-0-07-338309-5.

[2] Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157

[3] Subsets and Proper Subsets (PDF), archived from the original (PDF) on 2013-01-23, retrieved 2012-09-07

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[2]

[3]

Definitions

Properties

⊂ and ⊃ symbols

Examples

Other properties of inclusion

See also

References

External links