Sum of angles of a triangle
유클리드 공간(Euclidean space)에서, 삼각형의 각도의 합은 직진 각도[(straight angle) (180도(degrees), π 라디안(radians), 두 개의 직각(right angle), 또는 절반-바퀴(turn))와 같습니다. 삼각형(triangle)은 세 개의 각도를 가지며, 각 꼭짓점(vertex)에 하나씩, 한 쌍의 인접한 변(sides)으로 경계집니다.
이 합이 다른 다른 것에 대해, 기하학이 존재하는지 여부는 오랫동안 알려지지 않았습니다. 수학에 대한 이 문제의 영향은 특히 19세기 동안 강했습니다. 궁극적으로, 그 대답은 긍정적인 것으로 입증되었습니다: 다른 공간 (기하학)에서, 이 합이 더 크거나 작을 수 있지만, 그때에 삼각형에 따라 달라져야 합니다. 180°와의 차이는 각도 결함(angular defect)의 경우이고 기하학적 시스템에 대해 중요한 구별 역할을 합니다.
Cases
Euclidean geometry
유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 삼각형 공준(triangle postulate)은 삼각형 각도의 합이 두 개의 직각(right angle)임을 말합니다. 이 공준은 평행 공준(parallel postulate)과 동등합니다.[1] 유클리드 기하학의 다른 공리의 존재에서, 다음 명재는 동등합니다:[2]
- 삼각형 공준(Triangle postulate): 삼각형의 각도의 합은 두 개의 직각입니다.
- 플레이페어의 공리(Playfair's axiom): 한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점이 주어지면, 정확히 한 직선이 그 점을 통과하면서 주어진 직선에 평행하게 그려질 수 있습니다.
- 프로크루스의 공리(Proclus' axiom): 만약 한 직선이 두 평행 직선의 하나와 교차하면, 그것은 역시 나머지 직선과 교차해야 합니다.[3]
- 등거리 공준(Equidistance postulate): 평행한 직선은 모든 곳에서 등거리에 있습니다 (즉, 한 직선 위의 각 점에서 다른 직선까지의 거리(distance)는 항상 같습니다.)
- 삼각형 넓이 속성(Triangle area property): 삼각형의 넓이(area)는 우리가 원하는 만큼 크게 할 수 있습니다.
- 세 점 속성(Three points property): 세 점은 한 직선 위에 놓이거나 한 원[(circle) 위에 놓일 수 있습니다.
- 피타고라스의 정리(Pythagoras' theorem): 직각 삼각형에서, 빗변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합과 같습니다.[1]
Hyperbolic geometry
쌍곡형 삼각형의 각도의 합은 180°보다 작습니다. 각도 결함과 삼각형의 넓이 사이의 관계는 요한 하인리히 램버트(Johann Heinrich Lambert)에 의해 처음 입증되었습니다.[4]
우리는 쌍곡형 기하학(hyperbolic geometry)이 플레이페어의 공리, 프로크로스의 공리 (비-교차로 정의된 평행성은 쌍곡형 평면에서 비-추이적임), 등거리 공준 (주어진 직선의 한쪽에 있고 그것으로부터 같은 거리에 있는 점이 한 직선을 형성하지 않음), 및 피타고라스의 정리를 어떻게 깨뜨리는지 쉽게 알 수 있습니다. 원은[5] 임의적으로 작은 곡률(curvature)을 절대 가질 수 없으므로,[6] 세 점 속성은 역시 실패합니다.
각도의 합은 임의적으로 작을 수 있습니다 (그러나 양수입니다). 아이디얼 삼각형(ideal triangle), 쌍곡형 삼각형의 일반화에 대해, 이 합은 영과 같습니다.
Spherical geometry
구형 삼각형(spherical triangle)에 대해, 각도의 합이 180°보다 더 크고 최대 540°까지 될 수 있습니다. 구체적으로, 각도의 합은 다음입니다:
- 180° × (1 + 4f ),
여기서 f는 삼각형으로 둘러싸인 구의 넓이의 비율입니다.
구형 기하학은 (평행 공준(parallel postulate)을 포함하여) 여러 유클리드의 공리(Euclid's axioms)를 만족하지 않습니다.
Exterior angles
삼각형의 인접한 측면 사이의 각도는 유클리드 및 다른 기하학에서 내부(interior) 각도로 참조됩니다. 외부(Exterior) 각도는 역시 정의될 수 있고, 유클리드 삼각형 공준은 외부 각도 정리(exterior angle theorem)로 공식화될 수 있습니다. 우리는 역시 유클리드의 경우에서 (임의의 볼록 다각형(convex polygon)에 대한 것처럼) 360°와 같고,[7] 구형의 경우에서 360°보다 작고, 쌍곡형 경우에서 360°보다 더 큰 모든 세 외부 각도의 합을 고려할 수 있습니다.
In differential geometry
표면의 미분 기하학(differential geometry of surfaces)에서, 삼각형의 각도 결함의 질문은 가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet theorem)의 특별한 경우로 이해되며, 여기서 닫힌 곡선(closed curve)의 곡률이 함수가 아니라 정확히 세 점 – 삼각형의 꼭짓점에서 지원(support)을 갖는 측정(measure)입니다.
See also
- Euclid's Elements
- Foundations of geometry
- Hilbert's axioms
- Saccheri quadrilateral (considered earlier than Saccheri by Omar Khayyám)
- Lambert quadrilateral
References
- ^ a b
Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). p. 2147. ISBN 1-58488-347-2.
The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.
- ^ Keith J. Devlin (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Macmillan. p. 161. ISBN 0-8050-7254-3.
- ^ Essentially, the transitivity of parallelism.
- ^ Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 149, Springer, p. 99, ISBN 9780387331973,
That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
- ^ Defined as the set of points at the fixed distance from its centre.
- ^ Defined in the differentially-geometrical sense.
- ^ From the definition of an exterior angle, its sums up to the straight angle with the interior angles. So, the sum of three exterior angles added to the sum of three interior angles always gives three straight angles.