Surface area

고체(solid) 물체의 표면 넓이는 물체 표면(surface)이 차지하는 전체 넓이(area)의 측정입니다.^[1] 곡선 표면의 존재에서 표면 넓이의 수학적 정의는 일-차원 곡선의 호 길이(arc length), 또는 다면체(polyhedra)에 대해 표면 (즉, 평평한 다각형 면(faces)을 가진 물체)의 표면 넓이의 정의보다 상당히 더 관련되며, 이것에 대해 표면 넓이는 그것의 면의 넓이의 합입니다. 구(sphere)와 같은 매끄러운 표면은 매개변수 표면(parametric surface)으로 표시를 사용하여 표면 넓이를 지정됩니다. 표면 넓이의 이 정의는 무한소 미적분(infinitesimal calculus)의 방법을 기초로 하고 부분 도함수(partial derivative)와 이중 적분화(double integration)를 포함합니다.

표면 넓이의 일반적인 정의는 20세기의 전환 시기에 앙리 르베그(Henri Lebesgue)와 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)에 의해 찾아졌습니다. 그들의 연구는 임의의 차원의 불규칙한 물체에 대한 표면 넓이의 다양한 개념을 연구하는 기하학적 측정 이론(geometric measure theory)의 발전으로 이어졌습니다. 중요한 예제는 표면의 민코프스키 컨텐츠(Minkowski content)입니다.

Definition

고대부터 많은 단순한 표면의 넓이가 알려져 왔지만, 넓이의 엄격한 수학적 정의는 상당한 주의가 필요합니다. 이것은 다음 함수를 제공해야 합니다:

S\mapsto A(S)

이것은 양의 실수(real number)를 여러 자연스러운 요구-사항을 만족시키는 표면(surface)의 어떤 클래스로의 할당입니다. 표면 넓이의 가장 기본 속성은 그것의 덧셈성입니다: 전체의 넓이는 부분의 넓이의 합입니다. 보다 엄격하게, 만약 표면 S가 그들이 경계를 제외하고 겹치지 않는 유한하게 많은 조각 S₁, …, S_r의 합집합이면,

A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).

평평한 다각형 모양의 표면 넓이는 그들의 기하학적으로 정의된 넓이(area)와 일치해야 합니다. 표면 넓이는 기하학적 개념이므로, 일치(congruent)하는 표면의 넓이는 같아야 하고 넓이는 오직 표면의 모양에 의존해야 하지만, 공간에서 그것의 위치와 방향에는 의존해서는 안됩니다. 이것은 표면 넓이가 유클리드 운동의 그룹(group of Euclidean motions) 아래에서 불변임을 의미합니다. 이들 속성은 조각별 매끄러움이라고 불리는 광범위한 종류의 기하학적 표면에 대해 표면 넓이를 고유하게 특성화합니다. 그러한 표면은 연속적으로 미분-가능 함수 ${\vec {r}}$ 과 함께 다음 매개변수 형식(parametric form)에서 표현될 수 있는 무한히 많은 조각들로 구성됩니다:

S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D

.

개별 조각의 넓이는 다음 공식에 의해 정의됩니다:

A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.

따라서 S_D의 넓이는 법선 벡터의 길이 ${\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}$ 를 매개변수 uv 평면에서 적절한 지역 D에 걸쳐 표면에 적분함으로써 얻어질 수 있습니다. 전체 표면의 넓이는 그런-다음 표면 넓이의 덧셈성을 사용하여 조각의 넓이를 함께 더함으로써 얻습니다. 주요 공식은 다른 클래스의 표면에 특화될 수 있으며, 특히 그래프 z = f(x,y) 및 회전의 표면(surfaces of revolution)의 넓이에 대한 공식을 제공합니다.

Schwarz lantern with $M$ axial slices and $N$ radial vertices. The limit of the area as $M$ and $N$ tend to infinity doesn't converge. In particular it doesn't converge to the area of the cylinder.

곡선의 호 길이(arc length)와 비교하여, 표면 넓이의 미묘한 것 중 하나는 표면 넓이는 주어진 매끄러운 표면에 근사하는 다면체 모양의 넓이의 극한으로 간단히 정의될 수 없다는 것입니다. 이미 실린더에 대해, 평평한 표면을 근사하는 것의 다른 선택이 넓이의 다른 극한하는 값으로 이어질 수 있음을 헤르만 슈바르츠(Hermann Schwarz)에 의해 시연되었습니다; 이 예제는 슈바르츠 랜턴(Schwarz lantern)으로 알려져 있습니다.^[2]^[3]

표면 넓이의 일반적인 정의에 대한 다양한 접근은 앙리 르베그(Henri Lebesgue)와 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)에 의해 19세기 말과 20세기 초에 개발되었습니다. 조각별 매끄러운 표면에 대해 고유한 자연스러운 표면 넓이의 개념이 있지만, 만약 표면이 매우 불규칙하거나 거칠면, 넓이를 전혀 할당하지 못할 수 있습니다. 전형적인 예제는 밀집합 방식으로 전체적으로 펼쳐진 대못을 갖는 표면에 의해 제공됩니다. 이 유형의 많은 표면은 프랙탈(fractal)의 연구에서 발생합니다. 부분적으로 그 함수를 수행하고 매우 심하게 불규칙한 표면에 대해 정의될 수 있는 넓이의 개념의 확장은 기하학적 측정 이론(geometric measure theory)에서 연구됩니다. 그러한 확장의 특정 예제는 표면의 민코프스키 컨텐츠(Minkowski content)입니다.

Common formulas

공통 고체의 표면 넓이
모양	방정식	변수
정육면체	$6s^{2}\,$	s = 변 길이
직육면체	$2(\ell w+\ell h+wh)\,$	ℓ = 길이, w = 너비, h = 높이
삼각형 각기둥	$bh+l(a+b+c)$	b = 삼각형의 밑변 길이, h = 삼각형의 높이, l = 삼각형 밑변 사이의 거리, a, b, c = 삼각형의 변
모든 각기둥	$2B+Ph\,$	B = 한 밑변의 넓이, P = 한 밑변의 둘레, h = 높이
구	$4\pi r^{2}=\pi d^{2}\,$	r = 구의 반지름, d = 지름
구형 달	$2r^{2}\theta \,$	r = 구의 반지름, θ = 이면각
토러스	$(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr$	r = 보조 반지름 (튜브의 반지름), R = 주요 반지름 (튜브의 중심에서 토러스의 중심까지의 거리)
닫힌 원기둥	$2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h)\,$	r = 원형 밑면의 반지름, h = 원기둥의 높이
원뿔의 옆쪽 표면 넓이	$\pi r\left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi rs\,$	$s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ s = 원뿔의 경사 높이, r = 원형 밑면의 반지름, h = 원뿔의 높이
원뿔의 전체 표면 넓이	$\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r(r+s)\,$	s = 원뿔의 경사 높이, r = 원형 밑면의 반지름, h = 원뿔의 높이
피라미드	$B+{\frac {PL}{2}}$	B = 밑면의 넓이, P = 밑면의 둘레, L = 경사 높이
정사각형 피라미드	$b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$	b = 밑변 길이, s = 경사 높이, h = 수직 높이
직사각형 피라미드	$lw+l{\sqrt {\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+w{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$	ℓ = 길이, w = 너비, h = 높이
사면체	${\sqrt {3}}a^{2}$	a = 변 길이

Ratio of surface areas of a sphere and cylinder of the same radius and height

아래 주어진 공식은 같은 반지름과 높이의 구(sphere)와 원기둥(cylinder)의 표면 넓이가 다음처럼 비율 2 : 3임을 보이기 위해 사용될 수 있습니다.

반지름을 r로 놓고 높이를 h로 놓습니다 (여기서 구에 대해 2r입니다).

${\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}$

이 비율의 발견은 아르키메데스(Archimedes)로 공인되고 있습니다.^[4]

In chemistry

표면 넓이는 화학적 역학(chemical kinetics)에서 중요합니다. 물질의 표면 넓이를 증가시키면 일반적으로 화학적 반응(chemical reaction)의 율(rate)이 증가합니다. 예를 들어, 미세 분말에서 철(iron)은 연소(combust)될 것이지만, 고체 블록에서 그것은 구조에 사용하기에 충분히 안정적입니다. 다른 응용에 대해, 최소 또는 최대 표면 넓이는 바람직할 수 있습니다.

In biology

The inner membrane of the mitochondrion has a large surface area due to infoldings, allowing higher rates of cellular respiration (electron micrograph).

유기체의 표면 넓이는 체온 조절 및 소화(digestion)와 같은 여러 고려-사항에서 중요합니다. 동물은 이빨(teeth)을 사용하여 음식을 더 작은 입자로 분쇄하며, 소화할 수 있는 표면 넓이를 증가시킵니다. 소화관을 감싸는 상피 조직은 [[microvilli|미세 융모(microvilli)가 포함되어 있어 흡수-가능한 넓이가 크게 증가합니다. 코끼리(Elephant)는 큰 귀(ear)를 가지며, 그것으로 자신의 체온을 조절할 수 있습니다. 다른 경우에서, 동물은 표면 넓이를 최소화해야 할 필요가 있습니다; 예를 들어, 사람들은 추울 때 가슴 위로 팔을 접어 열 손실을 최소화합니다.

세포(cell)의 표면 넓이 대 부피 비율(surface area to volume ratio) (SA:V)은 크기에 대한 상한을 부과하는데, 왜냐하면 부피가 표면 넓이보다 훨씬 빠르게 증가하기 때문이며, 따라서 물질이 내부에서 세포막(cell membrane)을 가로-질러 간극 공간 또는 다른 세포로 확산되는 속도를 제한합니다. 실제로, 세포를 반지름 r의 이상적인 반지름의 구(sphere)로 나타내면, 부피와 표면 넓이는, 각각, V = 4/3 π r³; SA = 4 π r²입니다. 결과적인 표면 넓이 대 부피 비율은 따라서 3/r입니다. 따라서, 만약 세포가 1 μm의 반지름을 가지면, SA:V 비율은 3입니다; 반면에 만약 셀의 반지름이 대신에 10 μm이면, SA:V 비율은 0.3이 됩니다. 100의 세포 반지름과 함께, SA:V 비율은 0.03입니다. 따라서, 표면 넓이는 부피가 증가함에 따라 급격히 떨어집니다.

References

^ Weisstein, Eric W. "Surface Area". MathWorld.
^ "Schwarz's Paradox" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2016-03-04. Retrieved 2017-03-21.
^ "Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-12-15. Retrieved 2012-07-24.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Rorres, Chris. "Tomb of Archimedes: Sources". Courant Institute of Mathematical Sciences. Archived from the original on 2006-12-09. Retrieved 2007-01-02.

Yu.D. Burago, V.A. Zalgaller, L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Area", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

External links

Surface Area Video at Thinkwell

[1] Weisstein, Eric W. "Surface Area". MathWorld.

[sch1-2] "Schwarz's Paradox" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2016-03-04. Retrieved 2017-03-21.

[sch2-3] "Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-12-15. Retrieved 2012-07-24.{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

[4] Rorres, Chris. "Tomb of Archimedes: Sources". Courant Institute of Mathematical Sciences. Archived from the original on 2006-12-09. Retrieved 2007-01-02.

[1]

[2]

[3]

[4]