Tangent lines to circles

Original article: w:Tangent lines to circles

유클리드 평면 기하학(Euclidean plane geometry)에서, 원에 접하는 직선은 정확히 한 점에서 원에 접촉하는, 결코 원의 내부로 들어가지 않는 직선입니다. 원에 접하는 직선은 여러 정리(theorem)의 주제를 형성하고, 많은 기하학적 구성(construction)과 증명(proofs)에서 중요한 역할을 합니다. 점(point) P에서 원(circle)에 접하는 직선(tangent line)은 해당 점에 대한 반지름(radius)에 수직(perpendicular)이기 때문에, 접선을 포함하는 정리는 종종 방사형 직선(radial line)과 직교(orthogonal) 원을 포함합니다.

Tangent lines to one circle

원 C에 접하는 직선 t는 단일 점 T에서 원과 교차(intersect)합니다. 비교에 대해, 가름선(secant line)은 두 점에서 원과 교차하지만, 또 다른 직선은 원과 전혀 교차하지 않을 수 있습니다. 접선의 이 속성은 스케일링(scalings), 회전(rotation), 평행-이동(translations), 반전(inversions) 및 맵 투영(map projections)과 같은 많은 기하학적 변환(transformation) 아래에서 유지됩니다. 기술 언어에서, 이들 변환은, 비록 직선과 원이 변형될지라도, 접선과 원의 발생 구조(incidence structure)를 변경하지 않습니다.

원의 반지름은 원의 둘레의 끝점을 통해 접선에 수직입니다. 반대로, 같은 끝점을 통해 반지름에 수직선은 접선입니다. 원과 접선의 결과 기하학적 도형은 반지름의 축에 대한 반사 대칭(reflection symmetry)을 가집니다.

By the power-of-a-point theorem, the product of lengths PM·PN for any ray PMN equals to the square of PT, the length of the tangent line segment (red).

접하는 직선은 원 안에 있는 점을 통해 그릴 수 없는데, 왜냐하면 임의의 그러한 직선은 반드시 가름선이어야 하기 때문입니다. 어쨌든, 두 접하는 직선은 원 외부의 점 P에서 원에 그려질 수 있습니다. 원과 두 접선의 기하학적 도형은 마찬가지로 원의 중심 점 O에 P를 연결하는 방사형 축에 대한 반사 대칭을 가집니다. 따라서 P에서 두 접하는 점까지 선분의 길이는 같습니다. 가름선-접선 정리(secant-tangent theorem)에 의해, 이 접하는 길이의 제곱은 원 C에서 점 P의 거듭제곱(power of the point P)과 같습니다. 이 거듭제곱은 P를 통과하는 가름선을 갖는 P에서 원의 임의의 두 교차점까지의 거리의 곱과 같습니다.

The angle θ between a chord and a tangent is half the arc belonging to the chord.

접하는 직선 t과 접하는 점 T는 서로 켤레 관계를 가지며, 이것은 극점 및 극선(pole points and polar lines)의 아이디어로 일반화되어 왔습니다. 같은 역 관계는 원 외부의 점 P와 두 접점을 연결하는 가름선 사이에 존재합니다.

만약 한 점 P가 중심 O를 갖는 원의 외부에 있고, P로부터 접선이 점 T와 S에서 원에 닿으면, ∠TPS 및 ∠TOS는 보충(supplementary)입니다 (합해서 180°입니다).

만약 현(chord) TM이 외부 점 P의 접점 T로부터 그려지고 ∠PTM ≤ 90°이면, ∠PTM = (1/2)∠TOM입니다.

Compass and straightedge constructions

원의 둘레 위의 점 T에서 원에 접하는 직선 t를 구성(construct)하는 것은 비교적 간단합니다.

• 직선 a는 방상형 점 T를 통과하는, O, 원의 중심으로부터 그려집니다;
• 직선 t는 a에 수직(perpendicular) 직선입니다.

Construction of a tangent to a given circle (black) from a given exterior point (P).

탈레스 정리(Thales' theorem)는 원 C 외부의 점 P에 접하는 직선을 구성(construct)하기 위해 사용될 수 있습니다.

• 원은 지름 OP를 가지는 선분 OP의 중앙점 위에 중심을 두고 그려지며 여기서 O는 다시 원 C의 중심입니다.
• 원 C와 새로운 원의 교차 점 T₁과 T₂는 다음 논증에 의해 P를 통과하는 직선에 대해 접하는 점입니다.

선분 OT₁과 OT₂는 원 C의 반지름입니다; 둘 다는 반원에 내접하므로, 그들은, 각각, 선분 PT₁과 PT₂에 수직입니다. 그러나 오직 접선이 방사형 직선과 수직입니다. 따라서, P로부터 및 T₁과 T₂를 통과하는 두 직선은 원 C에 접합니다.

오직 직선(straightedge)을 사용하여, 원 외부의 점 P에 접선을 구성(construct)하기 위한 또 다른 방법:

• 원과 두 번 교차하는 주어진 P를 통과하는 임의의 세 다른 직선을 그리십시오.
• $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$를 여섯 교차하는 점으로 놓으며, 같은 문자는 같은 직선에 해당하고 인덱스 1은 P에 더 가까운 점입니다.
• D를 직선 $A_{1}B_{2}$와 $A_{2}B_{1}$가 교차하는 점으로 놓습니다.
• 비슷하게 $B_{1}C_{2}$와 $B_{2}C_{1}$에 대해 E로 놓습니다.
• D와 E를 통과하는 직선을 그리십시오.
• 이 직선은 두 점, F와 G에서 원과 만납니다.
• 접선은 직선 PF와 PG입니다.

Tangential polygons

접하는 다각형(tangential polygon)은 각 변이, 내접원(incircle)으로 불리는, 특정 원에 접하는 다각형(polygon)입니다. 모든 각 삼각형(triangle)은 접하는 다각형이며, 변의 임의의 숫자의 모든 각 정규 다각형(regular polygon)과 같습니다; 게다가, 다각형 변의 모든 각 숫자에 대해, 비-일치(congruent) 접하는 다각형의 무한 숫자가 있습니다.

Tangent quadrilateral theorem and inscribed circles

접하는 사각형(tangential quadrilateral) ABCD는 주어진 원 C에 접하는 네 직선 변의 닫힌 그림입니다. 동등하게, 원 C는 사각형 ABCD에 내접(inscribed)됩니다. 피토 정리(Pitot theorem)에 의해, 임의의 그러한 사변형의 반대 변의 합은 같습니다. 즉,

${\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.$

Tangential quadrilateral

이 결론은 사변형의 네 꼭짓점에서 접하는 선분의 상등을 따릅니다. 접하는 점을 (선분 AB 위에) P, (선분 BC 위에) Q, (선분 CD 위에) R 및 (선분 DA 위에) S로 표시하는 것으로 놓습니다. ABCD의 각 점에 대한 대칭 접하는 선분은, 예를 들어 BP=BQ=b, CQ=CR=c, DR=DS=d, 및 AS=AP=a와 같습니다. 그러나 사변형의 각 변은 두 그러한 접하는 선분으로 구성됩니다:

${\overline {AB}}+{\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)={\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)$

정리를 증명합니다.

반대도 역시 참입니다: 원은 반대 변의 길이가 합해서 같은 값이면 모든 각 사변형에 내접될 수 있습니다.

이 정리와 그것의 역은 다양한 사용을 가집니다. 예를 들어, 그들은 직사각형은 만약 정사각형(square)이 아니면 내접되는 원을 가질 수 없고, 모든 각 마름모는 내접원을 가지지만, 일반적인 평행-사변형(parallelogram)은 그렇지 않음을 즉시 보여 줍니다.

Tangent lines to two circles

The external (above) and internal (below) homothetic center S of the two circles.

두 원에 대해, 만약 두 원이 서로 외부에 있으며, 일반적으로 둘 다에 접하는 (쌍-접선(bitangent)) 네 구별되는 직선이 있지만, 퇴화 경우(degenerate cases)에서, 영과 사 사이의 임의의 숫자의 쌍-접선이 있습니다; 이것들은 아래에 설명되어 있습니다. 이들의 둘에 대해, 외부 접선, 그 원은 직선의 같은 편에 놓입니다; 다른 둘에 대해, 내부 접선, 그 원은 직선의 반대 편에 있습니다. 외부 접선은 외부 중심-닮음 중심(homothetic center)에서 교차하지만, 내부 접선은 내부 닮음-변환 중심에서 교차합니다. 외부 및 내부 닮음-변환 중심 둘 다는 모두 중심 직선 (두 원의 중심을 연결하는 직선) 위에 놓이며, 더 작은 원의 중심에 더 가깝습니다: 내부 중심은 두 원 사이의 선분 안에 있지만, 외부 중심은 두 점 사이가 아니라, 바깥, 더 작은 원의 중심의 편에 있습니다. 만약 두 원이 같은 반지름을 가지면, 여전히 네 쌍-접선이 있지만, 외부 접선은 평행하고 아핀 평면(affine plane)에서 외부 중심이 없습니다; 투영 평면(projective plane)에서, 외부 닮음-변환 중심은 이들 직선의 기울기에 대응하는 무한대에서 점(point at infinity)에 놓입니다.

Outer tangent

Finding outer tangent. Two circles' outer tangents.

점 $(x_{3},y_{3})$와 $(x_{4},y_{4})$을 연결하는 빨간 직선은 두 원 사이의 바깥 접선입니다. 점 $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$가 주어지면, 점 $(x_{3},y_{3})$, $(x_{4},y_{4})$는 각도 $\alpha$의 도움과 함께 쉽게 계산될 수 있습니다:

${\begin{aligned}x_{3}&=x_{1}\pm r\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )\\y_{3}&=y_{1}\pm r\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )\\x_{4}&=x_{2}\pm R\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )\\y_{4}&=y_{2}\pm R\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )\\\end{aligned}}$

여기서 R과 r은 두 원의 반지름을 나타내고 각도 $\alpha$는 기본 삼각법을 사용하여 계산될 수 있습니다. 우리는 $\gamma =-\arctan \left({\tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)$ 및 $\beta =\pm \arcsin \left({\tfrac {R-r}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\right)$와 함께 $\alpha =\gamma -\beta$를 가집니다.

Inner tangent

Inner tangent. The external tangent lines pass through the internal homothetic center.

내부 접선은 두 원의 중심을 연결하는 선분과 교차하는 접선입니다. 내부 접선은 두 원이 겹칠 때에 대해 정의되지 않을 것임에 주목하십시오.

Construction

쌍-접선은, 해당 기사에서 설명된 것처럼, 닮음-변환 중심을 구축하고, 그런-다음 위에 설명된 방법 중 하나에 의해, 한 원에 접하는 닮음-변환 중심을 통해 접하는 직선을 구성함으로써 구성될 수 있습니다. 결과 직선은 그런-다음 마찬가지로 다른 원에 접할 것입니다. 대안적으로, 접하는 직선과 접하는 점은 아래에 상세히 설명된 것처럼 보다 직접적으로 구성될 수 있습니다. 퇴화 경우(degenerate cases)에서, 이들 구성은 실패함에 주목하십시오; 설명을 단순화하기 위해, 이것은 이 섹션에서 논의되지 않지만, 구성의 한 형식은 제한적인 경우 (예를 들어, 한 점에서 접하는 두 원)에서 작동할 수 있습니다.

Synthetic geometry

O₁과 O₂를 두 원 C₁과 C₂의 중심으로 놓고 r₁과 r₂는 r₁ > r₂와 함께 그들의 반지름(radii)으로 놓습니다; 달리 말해서, 원 C₁은 두 원의 더 큰 것으로 정의됩니다. 두 다른 방법은 외부 및 내부 접하는 직선을 구성하기 위해 사용될 수 있습니다.

외부 접선(External tangents)

Construction of the outer tangent

반지름 r₁ − r₂의 새로운 원 C₃는 O₁에 중심을 두고 그려집니다. 위의 방법을 사용하여, 두 직선은 이 새로운 원에 접하는 O₂로부터 그려집니다. 이들 직선은 희망했던 접하는 직선에 평행한데, 왜냐하면 그 상황은 두 원 C₁과 C₂를 일정한 양, r₂만큼 축소하는 것에 해당하기 때문이며, 이것은 C₂를 한 점으로 축소합니다. 두 방사형 직선은 C₃ 위에 접하는 점을 통과하는 중심 O₁으로부터 그려질 수 있습니다; 이들은 희망했던 접하는 점에서 C₁과 교차합니다. 희망했던 외부 접하는 직선은 그들의 접하는 점에서 이들 방사형 직선에 수직인 직선이며, 이것은 위에서 설명한 것처럼 구성될 수 있습니다.

내부 접선(Internal tangents)

Construction of the inner tangent

반지름 r₁ + r₂의 새로운 원 C₃는 O₁ 위에 중심을 두고 그려집니다. 위의 방법을 사용하여, 두 직선은 이 새로운 원에 접하는 O₂로부터 그려집니다. 이들 직선은 희망했던 접하는 직선에 평행인데, 왜냐하면 그 상황은 일정한 양, r₂만큼 C₁을 확장하는 동안 C₂를 점으로 축소하는 것에 해당하기 때문입니다. 두 방사형 직선은 C₃ 위에 접하는 점을 통과하는 중심 O₁으로부터 그려질 수 있습니다; 이들은 희망했던 접하는 점에서 C₁과 교차합니다. 희망했던 내부 접하는 직선은 그들의 접하는 점에서 이들 방사형 직선에 수직인 직선이며, 이것은 위에서 설명한 것처럼 구성될 수 있습니다.

Analytic geometry

원은, 각각, 반지름 r₁과 r₂를 갖는 중심 c₁ = (x₁,y₁) 및 c₂ = (x₂,y₂)를 갖는 것으로 놓습니다. 직선을 정규화 a² + b² = 1를 갖는 방정식 $ax+by+c=0$에 의해 표현하면, 쌍-접선이 다음을 만족시킵니다:

ax₁ + by₁ + c = r₁ 및

ax₂ + by₂ + c = r₂.

두 번째로부터 첫 번째를 뺌으로써 $(a,b,c)$에 대해 풀면 다음을 산출합니다:

aΔx + bΔy = Δr

여기서 Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁ 및 Δr = r₂ − r₁입니다.

만약 $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$가 c₁에서 c₂까지 거리이면, 우리는 방정식을 단순화하기 위해 X = Δx/d, Y = Δy/d 및 R = Δr/d에 의해 정규화할 수 있으며, 방정식 aX + bY = R 및 a² + b² = 1을 산출하며, 두 외부 접하는 직선에 대해 두 해 (k = ±1)를 얻기 위해 이들을 푸십시오:

a = RX − kY√(1 − R²)

b = RY + kX√(1 − R²)

c = r₁ − (ax₁ + by₁)

기하학적으로 이것은 접하는 직선과 중심의 직선에 의해 형성된 각도를 계산하고, 그런-다음 중심의 직선에 대해 방정식을 회전하기 위해 접선에 대해 방정식을 산출하기 위해 사용합니다. 각도는 꼭짓점이 (외부) 닮음-변환 중심, 원의 중심, 및 접하는 점인 직각 삼각형의 삼각 함수를 계산함으로써 계산됩니다; 빗변은 접선 위에 놓이고, 반지름은 각도에 반대이고, 인접한 변은 중심의 직선 위에 놓입니다.

(X, Y)는 c₁에서 c₂까지 가리키는 단위 벡터이고, R은 $\cos \theta$이며 여기서 $\theta$는 중심의 직선과 접하는 직선 사이의 각도입니다. $\sin \theta$는 그런-다음 $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$이고 ($\theta$의 부호에 의존하며, 동등하게 회전의 방향), 위의 방정식은 회전 행렬을 사용하여 $\pm \theta$만큼 (X, Y)의 회전입니다:

${\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}$

k = 1은 c₁에서 c₂까지 보이는 원의 오른쪽에 대한 접선입니다.

k = −1는 c₂에서 c₁까지 보이는 원의 오른쪽에 접하는 직선입니다.

위의 것은 각 원이 양의 반지름을 가짐을 가정합니다. 만약 r₁이 양수이고 r₂가 음수이면 c₁은 각 직선의 왼쪽에 놓일 것이고 c₂는 오른쪽, 및 두 접하는 직선은 교차할 것입니다. 이 방법에서 모든 네 해가 얻습니다. 반지름 둘 다의 부호를 서로 바꾸면 k = 1와 k = −1가 서로 바뀝니다.

Vectors

Finding outer tangent. Circle tangents.

일반적으로 중심 v₁와 v₂ 및 반지름 r₁과 r₂를 갖는 두 원에 접하는 네 직선에 대해 접선 t₁과 t₂의 점은 다음 연립 방정식을 풂으로써 제공됩니다:

${\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}$

이들 방정식은, $t_{2}-t_{1}$에 평행한 접하는 직선이 반지름에 수직이고, 접하는 점은 그들 각각의 원 위에 놓임을 표현합니다.

이것들은 두 이-차원 벡터 변수에서 네 개의 이차 방정식이고, 일반적으로 위치는 네 쌍의 해를 가질 것입니다.

Degenerate cases

두 구별되는 원은 구성에 따라 영과 사 사이의 쌍접하는 직선을 가질 수 있습니다; 이것들은 중심과 반지름 사이의 거리의 관점에서 분류될 수 있습니다. 만약 중복도와 함께 세면 (공통 접선을 두 번 셈) 영, 이 또는 사 쌍-접하는 직선이 있습니다. 쌍-접하는 직선은 음수 또는 영 반지름을 갖는 원으로 역시 일반화할 수 있습니다. 퇴화 경우(degenerate case)와 중복도(multiplicities)는 다른 구성의 극한의 관점에서 역시 이해될 수 있습니다 – 예를 들어, 거의 닿는 두 원의 극한, 그들이 닿도록 하나를 이동하는 것, 또는 영 반지름의 원으로 줄어드는 작은 반지름을 갖는 원으로 구성합니다.

• 만약 원이 서로 외부에 있으면 ($d>r_{1}+r_{2}$), 이것이 일반적인 위치(general position)이며, 네 쌍접선이 있습니다.
• 만약 그들이 한 점에서 외부적으로 닿으면 ($d=r_{1}+r_{2}$) – 외부 접하는 한 점을 가지며 – 그들은 두 외부 쌍접선과 하나의 내부 쌍접선, 즉 공통 접선을 가집니다. 이 공통 접하는 직선은 중복도 2를 가지는데, 왜냐하면 그것은 두 방향에 대해 (왼쪽에 하나, 오른쪽에 하나) 원을 분리하기 때문입니다.
• 만약 원이 두 점에서 교차하면 ($|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$), 그들은 내부 쌍접선을 가지지 않고 두 외부 쌍접선을 가집니다 (그들은 분리되지 않는데, 왜냐하면 그들은 교차하기 때문이고, 따라서 내부 쌍접선이 없습니다).
• 만약 원이 한 점에서 내부적으로 닿으면 ($d=|r_{1}-r_{2}|$) – 내부 접하는 한 점을 가지며 – 그들은 내부 쌍접선을 가지지 않고 하나의 외부 쌍접선, 즉 공통 접하는 직선을 가지며, 이것은 위에서 처럼 중복도 2를 가집니다.
• 만약 한 원이 완전하게 다른 원 안에 있으면 ($d<|r_{1}-r_{2}|$), 그들은 쌍접선을 가지지 않는데, 왜냐하면 밖의 원에 접하는 직선은 안의 원과 교차하지 않거나, 반대로 안의 원에 접하는 직선은 밖의 원에 가름선입니다.

마지막으로, 만약 두 원이 동일하면, 그 원에 대한 임의의 접선은 공통 접선이고 따라서 (외부) 쌍접선이므로, 쌍접선의 원의 가치가 있습니다.

게다가, 쌍접하는 직선의 개념은 음의 반지름을 가진 원으로 확장될 수 있으며 (점의 같은 자취, $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2}$이지만, "뒤집어서" 고려됨), 이 경우에서 만약 반지름이 반대 부호를 가지면 (하나의 원은 음의 반지름, 다른 하나는 양의 반지름을 가지면), 외부 및 내부 닮음-변환 중심과 외부와 내부 쌍접선이 전환되지만, 만약 반지름이 같은 부호를 가지면 (둘 다 양의 반지름 또는 둘 다 음의 반지름), "외부" 및 "내부"는 같은 보통 의미를 가집니다 (하나의 부호를 전환하면 그들을 전환하므로, 둘 다를 전환하면 도로 그들을 전환합니다).

쌍접하는 직선은 원의 하나 또는 둘 다가 반지름 영을 가질 때 역시 정의할 수 있습니다. 이 경우에서, 반지름 영을 갖는 원은 이중 점이고, 따라서 그것을 통과하는 임의의 직선은 중복도 2를 갖는 점과 교차하므로, "접선"입니다. 만약 하나의 원이 반지름이 영이면, 쌍접하는 직선은 단순히 원에 접하고 점을 통과하는 직선이고 중복도 2로 세어집니다. 만약 원 둘 다가 반지름 영을 가지면, 쌍접하는 직선은 그들이 정의하는 직선이고, 중복도 4로 세어집니다.

이들 퇴화 경우에서, 외부 및 내부 닮음-변환 중심은, 외부 원이 정의되지 않는 경우인 원이 일치하는 것, 또는 내부 원이 정의되지 않는 경우인 원 둘 다가 반지름 영을 가지는 것을 제외하고, 일반적으로 여전히 존재함에 주목하십시오 (외부 중심은 만약 반지름이 같으면 무한대에 있습니다).

Applications

Belt problem

Main article: Belt problem

내부 및 외부 접하는 직선은 벨트 문제(belt problem)를 해결하는 데 유용하며, 이것은 두 도르래에 꼭 맞도록 벨트 또는 로프의 길이를 계산하는 것입니다. 만약 벨트가 무시할 수 있는 두께의 수학적 직선으로 여겨지고, 두 도르래가 정확히 같은 평면에 놓이는 것으로 가정되면, 그 문제는 벨트에 끼워진 원형 호의 길이와 함께 관련된 접하는 선분의 길이를 합한 것으로 이전됩니다. 만약 벨트가 교차하기 위해 바퀴를 감싸게 되면, 내부 접하는 선분이 관련됩니다. 반대로, 만약 벨드가 도르래 주위를 외부에서 감싸게 되면, 외부 접하는 선분이 관련됩니다; 이 경우는 때때로 도르래 문제라고 불립니다.

Tangent lines to three circles: Monge's theorem

Main article: Monge's theorem

C₁, C₂, 및 C₃에 의해 표시되는 세 원에 대해, 세 쌍의 원 (C₁C₂, C₂C₃, 및 C₁C₃)가 있습니다. 각 한 쌍의 원은 두 닮음-변환 중심을 가지므로, 함께 여섯 닮음-변환 중심(homothetic center)이 있습니다. 가스파르 몽주(Gaspard Monge)는 19세기 초에서 이들 여섯 점이 네 직선 위에 놓이며, 각 직선은 세 개의 같은-위의-직선 점을 가짐을 보였습니다.

Problem of Apollonius

Main article: Special cases of Apollonius' problem

Animation showing the inversive transformation of an Apollonius problem. The blue and red circles swell to tangency, and are inverted in the grey circle, producing two straight lines. The yellow solutions are found by sliding a circle between them until it touches the transformed green circle from within or without.

아폴로니우스의 문제(Apollonius's problem)의 많은 특별한 경우는 하나 이상의 직선에 접하는 원을 찾는 것을 포함합니다. 이들의 가장 간단한 것은 세 주어진 직선에 접하는 원을 만드는 것입니다 (LLL 문제). 이 문제를 풀기 위해, 임의의 그러한 원의 중심이 직선의 임의의 쌍의 각 이등분선 위에 반드시 놓여야 합니다; 두 직선의 모든 각 교차에 대해 두 각-이등분 직선이 있습니다. 이들 각 이등분선의 교차는 해 원의 중심을 제공합니다. 일반적으로 그러한 네 원에 대해, 세 직선의 교차에 의해 형성된 삼각형의 내접된 원 및 세 외접된 원이 있습니다.

일반적인 아폴로니우스 문제는 하나의 원과 두 평행 직선에 접하는 원의 더 간단한 문제로 변형될 수 있습니다 (LLL 특별한 경우의 자체로 특별한 경우). 이를 달성하기 위해, 주어진 세 원 중 둘을 그들이 닿을 때, 즉, 접할 때까지 스케일(scale)하는 것으로 충분합니다. 적절한 반지름의 원에 관한 접하는 점에서 반전(inversion)은 두 닿는 주어진 원을 두 평행 직선으로, 세 번째 주어진 원을 또 다른 원으로 변환합니다. 따라서, 그 해는 변환된 세 번째 원과 접촉할 때까지 두 평행 직선 사이에서 상수 반지름의 원을 미끄러져 움직임으로써 구할 수 있습니다. 재-반전은 원래 문제에 대한 해당하는 해를 생성합니다.

Generalizations

The concept of a tangent line and tangent point can be generalized to a pole point Q and its corresponding polar line q. The points P and Q are inverses of each other with respect to the circle.

Main articles: Pole and polar and Inversive geometry

하나 이상의 원에 접하는 직선의 개념은 여러 방법에서 일반화될 수 있습니다. 첫째, 접하는 점과 접하는 직선 사이의 켤레 관계는 극점과 극선(pole points and polar lines)으로 일반화될 수 있으며, 이것에서 극점은 원의 둘레뿐만 아니라 어느 곳에나 있을 수 있습니다. 둘째, 두 원의 합집합은 사차 평면 곡선(quartic plane curve)의 특별한 (기약(reducible)) 경우이고, 외부와 내부 접하는 직선은 이 사차 곡선의 쌍-접선(bitangent)입니다. 일반적인 사차 곡선은 28 쌍-접선을 가집니다.

세 번째 일반화는 접하는 직선 이외의 접하는 원을 고려합니다; 접하는 직선은 무한 반지름의 접하는 원으로 여길 수 있습니다. 특히, 두 원에 대한 외부 접하는 직선은 두 원에 대한 내부적으로 또는 외부적으로 접하는 원의 가족의 극한하는 경우이지만, 내부 접하는 직선은 두 원의 하나에 대한 내부적으로 접하고 나머지 하나에 대한 외부적으로 접하는 원의 가족의 극한하는 경우입니다.

뫼비우스(Möbius) 또는 반전 기하학(Inversive Geometry)에서, 직선은 "무한대에서" 점을 통해 원으로 표시되고 임의의 직선과 임의의 원에 대해, 뫼비우스 변환(Möbius transformation)이 있으며, 이것은 하나를 나머지 하나에 매핑합니다. 뫼비우스 기하학에서, 직선과 원 사이의 접선은 두 원 사이의 접선의 특별한 경우가 됩니다. 이 동등성은 리 구 기하학(Lie sphere geometry)에서 더 나아가서 확장됩니다.

반지름과 접하는 직선은 원의 한 점에서 수직이고 단위 쌍곡선(unit hyperbola)의 한 점에서 쌍곡형-직교(hyperbolic-orthogonal)입니다. 반지름 벡터를 통한 단위 쌍곡선의 매개변수 표현은 $p(a)\ =\ (\cosh a,\sinh a)$입니다. p(a)의 도함수(derivative)는 p(a)에서 접하는 직선의 방향에서 가리키고, ${\frac {dp}{da}}\ =\ (\sinh a,\cosh a)$입니다. 반지름과 접선은 a에서 쌍곡형 직교인데 왜냐하면 $p(a)\ {\text{and}}\ {\frac {dp}{da}}$는 단위 쌍곡선의 점근선 y=x에서 서로의 반사이기 때문입니다. 분할-복소수(split-complex number)로 해석될 때 (여기서 j j = +1), 두 숫자는 $jp(a)\ =\ {\frac {dp}{da}}$를 만족시킵니다.

External links

• Weisstein, Eric W. "Tangent lines to one circle". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Tangent lines to two circles". MathWorld.