Tangential and normal components

수학(mathematics)에서, 곡선(curve) 위의 한 점에 벡터(vector)가 주어지면, 해당 벡터는 두 벡터의 합으로 고유하게 분해될 수 있으며, 하나는 벡터의 접선 성분(tangential component)이라고 불리는 곡선에 접하는 벡터이고, 또 다른 하나는 벡터의 법선 성분(normal component)이라고 불리는 곡선에 수직인 벡터입니다. 유사하게, 표면(surface) 위의 한 점에 있는 벡터도 같은 방법으로 분해될 수 있습니다.

보다 일반적으로, 매니폴드(manifold) M의 부분-매니폴드 N과 N의 한 점에서 M으로의 접 공간(tangent space)에서 벡터가 주어지면, 그것은 N에 접하는 성분과 N에 수직인 성분으로 분해될 수 있습니다.

Formal definition

Surface

좀 더 형식적으로, $S$ 를 표면이라고 놓고, $x$ 를 표면 위의 한 점이라고 놓습니다. $\mathbf {v}$ 를 $x.$ 에서의 벡터라고 놓습니다. 그런-다음 $\mathbf {v}$ 를 다음 합으로 고유하게 쓸 수 있습니다:

\mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }

여기서 합에서 첫 번째 벡터는 접선 성분이고 두 번째 벡터는 법선 성분입니다. 이들 두 벡터가 서로 수직이라는 것은 직접 이어집니다.

접선 성분과 법선 성분을 계산하기 위해, 표면에 대한 단위 법선(unit normal), 즉, $x$ 에서 $S$ 에 수직인 단위 벡터(unit vector) ${\hat {n}}$ 을 생각해 보십시오. 그런-다음,

\mathbf {v} _{\perp }=(\mathbf {v} \cdot {\hat {n}}){\hat {n}}

그리고 따라서

\mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }

여기서 " $\cdot$ "은 점 곱(dot product)을 나타냅니다. 접선 성분에 대해 또 다른 공식은 다음과 같습니다:

\mathbf {v} _{\parallel }=-{\hat {n}}\times ({\hat {n}}\times \mathbf {v} ),

여기서 " $\times$ "는 교차 곱(cross product)을 나타냅니다.

이들 공식은 사용된 특정 단위 법선 ${\hat {n}}$ 에 의존하지 않는다는 점에 주목하십시오 (주어진 점에서 임의의 표면으로의 반대 방향을 가리키는 두 개의 단위 법선이 존재하므로, 단위 법선 중 하나는 다른 하나의 음수입니다).

Submanifold

보다 일반적으로, 매니폴드 M의 부분매니폴드 N과 점 $p\in N$ 이 주어지면, 접 공간을 포함하는 짧고 정확한 수열(short exact sequence)을 얻습니다:

T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N

몫 공간(quotient space) $T_{p}M/T_{p}N$ 은 법선 벡터의 일반화된 공간입니다.

만약 M이 리만 매니폴드(Riemannian manifold)이면, 위의 수열은 분할되고, p에서 M의 접 공간은 N에 접하는 성분과 N에 수직인 성분의 직접 합(direct sum)으로 분해됩니다:

T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }

따라서 모든 각 접 벡터(tangent vector) $v\in T_{p}M$ 는 $v=v_{\parallel }+v_{\perp }$ 로 분할되며, 여기서 $v_{\parallel }\in T_{p}N$ 이고 $v_{\perp }\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }$ 입니다.