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Topology

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Original article: w:Topology
This article is about the branch of mathematics. For the mathematical structure, see Topological space. For other uses, see Topology (disambiguation).
Not to be confused with topography or typology.
Möbius strips, which have only one surface and one edge, are a kind of object studied in topology.

수학(mathematics)에서, 토폴로지 (topology, 그리스 단어 τόπος, '장소, 위치', 및 λόγος, '연구'에서 유래)는 늘어남(stretching), 비틀림(twisting), 구겨짐, 및 굽힘과 같은; 즉, 구멍을 닫거나, 구멍을 열거나, 찢거나, 접착하거나, 자체를 통과 없이 연속(continuous) 변형(deformations) 아래에서 보존되는 기하학 대상(geometric object)의 속성과 관련됩니다.

토폴로지적 공간(topological space)은 토폴로지라고 불리는 구조에 부여된 집합(set)으로, 부분-공간의 연속 변형과, 보다 일반적으로 모든 종류의 연속성(continuity)을 정의하는 것을 허용합니다. 유클리드 공간(Euclidean space)과, 보다 일반적으로 메트릭 공간(metric space)은 토폴로지적 공간의 예제인데, 왜냐하면 임의의 거리 또는 메트릭이 토폴로지를 정의하기 때문입니다. 토폴로지에서 고려되는 변형은 위상-동형(homeomorphism)과 호모토피(homotopies)입니다. 그러한 변형 아래에서 불변인 속성은 토폴로지적 속성(topological property)입니다. 토폴로지적 속성의 기본 예제는 직선(line)과 표면(surface) 사이의 구별을 허용하는 차원(dimension); 직선과 원 사이의 구별을 허용하는 컴팩트성(compactness); 원과 둘의 비-교차하는 원 사이를 구별을 허용하는 연결성(connectedness)입니다.

토폴로지의 기초가 되는 아이디어는 17세기에 geometria situs와 analysis situs를 구상했던 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)로 거슬러 올라갑니다. 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 쾨니히스베르크의 일곱 다리(Seven Bridges of Königsberg) 문제와 다면체 공식(polyhedron formula)은 틀림없이 이 분야의 첫 번째 정리입니다. 용어 토폴로지는 19세기에 요한 베네딕트 리스팅(Johann Benedict Listing)에 의해 도입되었지만, 토폴로지적 공간의 아이디어가 개발되었던 것은 20세기 초반이 되어서야 이루어졌습니다.

A three-dimensional depiction of a thickened trefoil knot, the simplest non-trivial knot
A three-dimensional depiction of a thickened trefoil knot, the simplest non-trivial knot

Motivation

토폴로지 이면의 동기를 부여하는 통찰력은 일부 기하학적 문제가 관련된 대상의 정확한 모양이 아니라, 함께 놓이는 방법에 달려 있다는 것입니다. 예를 들어, 정사각형과 원은 공통에 있는 많은 속성을 가집니다: 그것들은 (토폴로지적 관점에서) 둘 다 일 차원 대상이고 둘 다 평면을 내부 부분과 외부 부분의 두 부분으로 분리합니다.

토폴로지의 첫 번째 논문 중 하나에서, 레온하르트 오일러는 7개의 다리 각각을 정확히 한 번씩 건너는 쾨니히스베르크 (지금의 Kaliningrad)의 마을을 통과하는 경로를 찾는 것이 불가능하다는 것을 보여주었습니다. 이 결과는 다리의 길이나 서로의 거리에 의존하지 않고, 연결 속성: 어떤 다리가 어떤 섬이나 강둑에 연결되는지에만 의존했습니다. 이 쾨니히스베르크의 일곱 다리 문제는 그래프 이론(graph theory)으로 알려진 수학의 한 가지로 이어졌습니다.

유사하게, 대수적 토폴로지의 털난 공 정리(hairy ball theorem)는 "카울릭(cowlick)을 생성 없이 털난 공의 머리카락을 평평하게 빗을 수 없다"고 말합니다. 이 사실은 구에 사라지지 않는 연속 접 벡터 필드(tangent vector field)가 없다는 그것들이 정리의 보다 형식적인 명제를 인식할 수 없을지라도 대부분의 사람들에게 즉시 설득력이 있습니다. 쾨니히스베르크의 다리와 마찬가지로, 결과는 구의 모양에 의존하지 않습니다; 그것이 구멍을 가지지 않은 한 임의의 종류의 매끄러운 얼룩에 적용됩니다.

A continuous deformation (a type of homeomorphism) of a mug into a doughnut (torus) and of a (holeless) cow into a sphere

대상의 정확한 모양에 의존하지 않는 이들 문제를 다루기 위해, 이들 문제가 의존하는 속성에 대해 명확해야 합니다. 이러한 필요로부터 위상-동형(homomorphism)의 개념이 발생합니다. 각 다리를 한 번만 건너는 것이 불가능하다는 것은 쾨니히스베르크의 다리와 위상-동형인 모든 다리 배열에 적용되며, 털난 공 정리는 구와 위상-동형적인 임의의 공간에 적용됩니다.

직관적으로, 두 공간은 만약 하나가 절단이나 접착 없이 다른 공간으로 변형될 수 있으면 위상-동형입니다. 전통적인 농담은 토폴로지 학자가 도넛과 커피 잔을 구별할 수 없다는 것인데, 왜냐하면 충분하게 유연한 도넛은 딤플을 만들고 구멍을 손잡이로 줄이면서 점차적으로 확대하여 커피 컵으로 모양을 바꿀 수 있기 때문입니다.[1]

위상-동형은 가장 기본적인 토폴로지적 동등성(topological equivalence)으로 고려될 수 있습니다. 또 다른 것은 호모토피 동등성(homotopy equivalence)입니다. 이것은 기술을 배우지 않고는 설명하기가 더 어렵지만, 본질적인 개념은 두 대상이 만약 그것들 둘 다가 더 큰 대상을 "찌그러뜨리는" 결과를 초래하면 호모토피 동등하다는 것입니다.

Equivalence classes of the Latin alphabet in the sans-serif font
Homeomorphism Homotopy equivalence
{A,R} {B} {C,G,I,J,L,M,N,S,U,V,W,Z}, {D,O} {E,F,T,Y} {H,K}, {P,Q} {X} {A,R,D,O,P,Q} {B}, {C,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,S,T,U,V,W,X,Y,Z}

영어 알파벳의 대문자를 위상-동형과 호모토피 동등성에 따라 분류하는 입문 연습입니다. 결과는 사용된 글꼴과 문자를 구성하는 획에 약간의 두께가 있는지 또는 두께가 없는 이상적인 곡선인지에 따라 다릅니다. 여기의 그림은 sans-serif Myriad 글꼴을 사용하고 두께 없는 이상적인 곡선으로 구성된 것으로 가정됩니다. 호모토피 동등성은 위상-동형보다 더 거친 관계입니다; 호모토피 동등성 클래스는 여러 위상-동형 클래스를 포함할 수 있습니다. 위에서 설명한 호모토피 동등성의 간단한 경우는 두 글자가 호모토피 동등함을 보여주기 위해 여기에서 사용될 수 있습니다. 예를 들어, O는 P 내부에 맞고 P의 꼬리는 "구멍" 부분에 눌려질 수 있습니다.

위상-동형 클래스는 다음입니다:

  • 구멍 없음은 C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W, 및 Z에 해당합니다;
  • 구멍 없고 꼬리 세 개는 E, F, T, 및 Y에 해당합니다;
  • 구멍 없고 꼬리 네 개는 X에 해당합니다;
  • 구멍 하나와 꼬리 없음은 D과 O에 해당합니다;
  • 구멍 하나와 꼬리 하나는 P과 Q에 해당합니다;
  • 구멍 하나와 꼬리 둘은 A와 R에 해당합니다;
  • 구멍 둘과 꼬리 없음은 B에 해당합니다; 그리고
  • 꼬리 네 개를 갖는 막대는 H와 K에 해당합니다; K 위에 "막대"는 보기에 거의 너무 짧습니다.

호모토피 클래스는 더 큰 것인데, 왜냐하면 꼬리는 한 지점까지 눌려질 수 있기 때문입니다. 그것들은 다음입니다:

  • 구멍 하나,
  • 구멍 두 개, 그리고
  • 구멍 없음.

문자를 올바르게 분류하기 위해, 우리는 같은 클래스에서 두 문자가 동등하고 다른 클래스에서 두 문자가 동등하지 않음을 보여야 합니다. 위상-동형의 경우에서, 이것은 점을 선택하고 문자를 다르게 분리하는 그것들의 제거를 보임으로써 수행될 수 있습니다. 예를 들어, X와 Y는 위상-동형이 아닌데, 왜냐하면 X의 중심 점을 제거하면 4개의 조각을 남기고; Y에서 어떤 점이 이 점에 해당하든지, 그것의 제거는 많아야 세 개의 조각을 남기기 때문입니다. 호모토피 동등성의 경우는 더 어렵고 기본 그룹(fundamental group)과 같은 대수적 불변이 추정되는 다른 클래스에서 다르다는 것을 보여주는 보다 정교한 논증이 필요합니다.

문자 토폴로지는 스텐실(stencil) 타이포그래피(typography)와 실질적인 관련이 있습니다. 예를 들어, Braggadocio 글꼴 스텐실은 하나의 연결된 재료의 조각으로 만들어집니다.

History

The Seven Bridges of Königsberg was a problem solved by Euler.
See also: History of the separation axioms

잘-정의된 수학 분야로서 토폴로지는 20세기 초반에 시작되었지만, 일부 고립된 결과는 몇 세기 전으로 거슬러 올라갈 수 있습니다.[2] 이들 중에는 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 의해 조사된 기하학에서 특정 질문이 있습니다. 쾨니히스베르크의 일곱 다리에 관한 그의 1736년 논문은 토폴로지의 최초의 실용적인 응용 중 하나로 고려됩니다.[2] 1750년 11월 14일, 오일러는 다면체(polyhedron)의 가장자리의 중요성을 깨달았다고 친구에게 편지를 썼습니다. 이것은 그의 다면체 공식(polyhedron formula) V − E + F = 2으로 이어졌습니다 (여기서 V, E, 및 F는 각각 다면체의 꼭짓점, 가장자리, 및 면의 숫자를 나타냅니다). 일부 권위자들은 이 분석을 토폴로지의 탄생을 알리는 첫 번째 정리로 여깁니다.[3]

Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann, 및 Enrico Betti가 추가로 기여했습니다.[4] 리스팅(Listing)은 1847년에 모국어 독일어로 쓰인 Vorstudien zur Topologie에서 "토폴로지"라는 용어를 소개했으며, 처음 인쇄본으로 등장하기 전 10년 동안 서신에서 이 단어를 사용했습니다.[5] 영어 형식 "topology"는 1883년 Nature 저널에 실린 리스팅의 사망 기사에서 "양적 관계가 주로 취급되는 보통의 기하학에서 질적 기하학"을 구별하기 위해 사용되었습니다.

그들의 연구는 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)에 의해 수정되고, 통합되고, 크게 확장되었습니다. 1895년에, 그는 Analysis Situs에 대한 획기적인 논문을 발표했는며, 이 논문에서는 현재 대수적 토폴로지(algebraic topology)의 일부로 고려되는 호모토피(homotopy)와 호몰로지(homology)로 알려진 개념을 소개했습니다.[4]

Topological characteristics of closed 2-manifolds[4]
Manifold Euler num Orientability Betti numbers Torsion coefficient (1-dim)
b0 b1 b2
Sphere 2 Orientable 1 0 1 none
Torus 0 Orientable 1 2 1 none
2-holed torus −2 Orientable 1 4 1 none
g-holed torus (genus g) 2 − 2g Orientable 1 2g 1 none
Projective plane 1 Non-orientable 1 0 0 2
Klein bottle 0 Non-orientable 1 1 0 2
Sphere with c cross-caps (c > 0) 2 − c Non-orientable 1 c − 1 0 2
2-Manifold with g holes
and c cross-caps (c > 0)		 2 − (2g + c) Non-orientable 1 (2g + c) − 1 0 2

Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli, 등의 함수 공간에 대한 연구을 통합하여, Maurice Fréchet는 1906년에 메트릭 공간(metric space)을 도입했습니다.[6] 메트릭 공간은 이제 일반적인 토폴로지적 공간의 특별한 경우로 고려되며, 임의의 주어진 토폴로지적 공간은 잠재적으로 많은 구별되는 메트릭 공간을 발생시킵니다. 1914년에, Felix Hausdorff는 "토폴로지적 공간(topological space)"이라는 용어를 만들고 현재 하우스도르프 공간(Hausdorff space)이라고 불리는 것에 대한 정의를 내렸습니다.[7] 현재, 토폴로지적 공간은 1922년 Kazimierz Kuratowski에 의해 제공된 하우스도르프 공간의 약간의 일반화입니다.[8]

현대 토폴로지는 19세기 후반에 게오르크 칸토어에 의해 개발된 집합 이론의 아이디어에 크게 의존합니다. 집합 이론의 기본 아이디어를 확립하는 것 외에도, 칸토어는 푸리에 급수(Fourier series)의 그의 연구의 일부로 유클리드 공간(Euclidean space)에서 점 집합을 고려했습니다. 추가 개발에 대해서는, 점-집합 토폴로지(point-set topology)와 대수적 토폴로지를 참조하십시오.

2022년 Abel Prize는 Dennis Sullivan에게 "가장 넓은 의미의 토폴로지, 특히 대수적, 기하학적, 및 동역학적 측면에서 토폴로지에 대한 획기적인 공헌"으로 수여되었습니다.[9]

Concepts

Topologies on sets

Main article: Topological space

용어 토폴로지는 역시 토폴로지라고 하는 수학 영역의 중심에 있는 특정 수학적 아이디어를 나타냅니다. 비공식적으로, 토폴로지는 집합의 원소가 공간적으로 서로 관련되는 방법을 알려줍니다. 같은 집합은 다른 토폴로지를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 실수 직선(real line), 복소 평면(complex plane), 및 칸토어 집합(Cantor set)은 다른 토폴로지를 갖는 같은 집합으로 생각될 수 있습니다.

공식적으로, X를 집합이라고 놓고 τ를 X의 부분-집합의 가족(family)이라고 놓습니다. 그런-다음 τ는 만약 다음이면, X 위에 토폴로지라고 불립니다:

  1. 빈 집합과 X 둘 다는 τ의 원소입니다.
  2. τ의 원소의 임의의 합집합은 τ의 원소입니다.
  3. τ의 유한하게 많은 원소의 임의의 교집합은 τ의 원소입니다.

만약 τ가 X 위에 토폴로지이면, 쌍 (X, τ)은 토폴로지적 공간이라고 불립니다. 표기법 Xτ는 특정 토폴로지 τ가 부여된 집합 X를 나타내기 위해 사용될 수 있습니다. 정의에 의해, 모든 각 토폴로지는 π-시스템(-π-system)입니다.

τ의 구성원은 X에서 열린 집합(open sets)이라고 불립니다. X의 부분집합은 만약 그것의 여집합이 τ에 있으면 (즉, 그것의 여집합이 열린 것이면) 닫혀 있다고 말합니다. X의 부분집합은 열린, 닫힌, 둘 다 (닫힌-열린 집합(clopen set)), 또는 둘 다 아닐 수 있습니다. 빈 집합과 X 자체는 항상 닫혀 있고 열려 있습니다. 점 x를 포함하는 X의 열린 부분집합은 x의 이웃(neighborhood)이라고 불립니다.

Continuous functions and homeomorphisms

A continuous transformation can turn a coffee mug into a donut.
Ceramic model by Keenan Crane and Henry Segerman.
Main articles: Continuous function and homeomorphism

하나의 토폴로지적 공간에서 또 다른 토폴로지적 공간으로의 함수(function) 또는 맵은 만약 임의의 열린 집합의 역 이미지가 열려 있으면 연속(continuous)이라고 불립니다. 만약 함수가 실수를 실수 (표준 토폴로지를 갖는 공간 둘 다)에 매핑하면, 이 연속의 정의는 미적분학(calculus)에서 연속의 정의와 동등합니다. 연속 함수가 일-대-일 및 전사(onto)이고, 함수의 역함수도 연속이면, 그 함수는 위상-동형이라고 불리고 함수의 도메인은 치역에 위상-동형적이라고 말합니다. 이것을 말하는 또 다른 방법은 그 함수가 토폴로지로 자연스러운 확장을 가진다는 것입니다. 만약 두 공간이 위상-동형적이면, 그것들은 동일한 토폴로지적 속성을 가지고, 토폴로지적으로 같은 것으로 여겨집니다. 정육면체와 구는 위상-동형이고, 커피 컵과 도넛도 마찬가지입니다. 그러나 원은 도넛과 위상동형이 아닙니다.

Manifolds

Main article: Manifold

토폴로지적 공간은 극단적으로 다양하고 이국적일 수 있지만, 토폴로지의 많은 영역은 매니폴드로 알려진 보다 친숙한 공간 클래스에 중점을 둡니다. 매니폴드는 각 점 근처에서 유클리드 공간과 닮은 토폴로지적 공간입니다. 보다 정확하게, n-차원 매니폴드의 각 점은 n 차원의 유클리드 공간과 위상-동형인 이웃(neighborhood)을 가집니다. 팔자 도형(figure eights)이 아닌 직선(Lines)과 원(circles)은 일-차원 매니폴드입니다. 이-차원 매니폴드는 표면(surfaces)이라고도 불리지만, 모든 표면이 매니폴드인 것은 아닙니다. 예제는 삼-차원에서 자기-교차 없이 실현될 수 있는 평면, 구, 토러스, 및 실현할 수 없는 클라인 병(Klein bottle)과 실수 투영 평면(real projective plane) (즉, 모든 그것들의 실현은 매니폴드가 아닌 표면임)을 가집니다.

Topics

General topology

Main article: General topology

일반 토폴로지는 토폴로지에서 사용되는 기본 집합-이론적 정의와 구성을 다루는 토폴로지의 한 가지입니다.[10][11] 이것은 미분 토폴로지, 기하 토폴로지, 및 대수적 토폴로지를 포함한 대부분의 다른 토폴로지 가지의 토대입니다. 일반 토폴로지에 대해 또 다른 이름은 점-집합 토폴로지입니다.

연구의 기본 대상은 토폴로지(topology)를 갖춘 집합인 토폴로지적 공간(topological spaces), 즉 유한 교집합(intersections)과 (유한 또는 무한) 합집합(unions) 아래에서 닫혀 있는 열린 집합이라고 불리는 부분집합(subsets)의 가족입니다. 연속성(continuity), 컴팩트성(compactness), 연결성(connectedness)과 같은 토폴로지의 기본 개념은 열린 집합의 관점에서 정의될 수 있습니다. 직관적으로, 연속 함수는 가까운 점을 가까운 점으로 가져옵니다.컴팩트 집합은 임의적으로 작은 크기의 유한하게 많은 집합으로 덮혀질 수 있는 집합입니다. 연결된 집합은 멀리 떨어져 있는 두 조각으로 나눌 수 없는 집합입니다. 단어 가까운, 임의적으로 작은, 및 멀리 떨어진은 모두 열린 집합을 사용함으로써 정확하게 만들 수 있습니다. 여러 토폴로지가 주어진 공간 위에 정의될 수 있습니다. 토폴로지 변경은 열린 집합의 모음 변경으로 구성됩니다. 이것은 어떤 함수가 연속적이고 어떤 부분-집합이 컴팩트 또는 연결되어 있는지를 변경합니다.

메트릭 공간(Metric spaces)은 임의의 두 점 사이의 거리가 메트릭(metric)이라고 불리는 함수에 의해 정의되는 토폴로지적 공간의 중요한 클래스입니다. 메트릭 공간에서, 열린 집합은 열린 디스크의 합집합이며, 여기서 x를 중심으로 하는 반지름 r의 열린 디스크는 x까지의 거리가 r보다 작은 모든 점의 집합입니다. 많은 공통 공간은 그것의 토폴로지가 메트릭에 의해 정의될 수 있는 토폴로지적 공간입니다. 이것은 실수 직선(real line), 복소 평면(complex plane), 실수와 복소 벡터 공간(vector spaces), 및 유클리드 공간(Euclidean spaces)의 경우입니다. 메트릭을 가지는 것은 많은 증명을 단순화합니다.

Algebraic topology

Main article: Algebraic topology

대수적 토폴로지는 대수학(algebra)에서 도구를 토폴로지적 공간을 연구하기 위해 사용하는 수학의 한 가지입니다.[12] 기본 목표는 토폴로지적 공간을 위상-동형화까지(up to) 분류하는(classify) 대수적 불변을 찾는 것이지만, 보통 대부분은 호모토피 동등성까지 분류합니다.

이러한 불변 중 가장 중요한 것은 호모토피 그룹(homotopy groups), 호몰로지, 및 코호몰로지(cohomology)입니다.

대수적 토폴로지는 토폴로지적 문제를 연구하기 위해 주로 대수를 사용하지만, 대수적 문제를 해결하기 위해 토폴로지를 사용하는 것이 때때로 역시 가능합니다. 예를 들어, 대수적 토폴로지는 자유 그룹(free group)의 임의의 부분-그룹이 다시 자유 그룹이라는 편리한 증명을 허용합니다.

Differential topology

Main article: Differential topology

미분 토폴로지는 미분-가능 매니폴드(differentiable manifolds) 위에 미분-가능 함수(differentiable functions)를 다루는 분야입니다.[13] 그것은 미분 기하학(differential geometry)과 밀접하게 관련되어 있고 함께 그것들은 미분-가능 매니폴드의 기하학적 이론을 구성합니다.

보다 구체적으로, 미분 토폴로지는 매니폴드 위에 매끄러운 구조(smooth structure)만 정의되어야 하는 속성과 구조를 고려합니다. 매끄러운 매니폴드는 여분의 기하학적 구조를 갖는 매니폴드보다 "부드러우며", 미분 토폴로지에 존재하는 특정 유형의 동등성과 변형(deformations)에 장애물로 작용할 수 있습니다. 예를 들어, 부피와 리만 곡률(Riemannian curvature)은 같은 매끄러운 매니폴드에서 다른 기하학적 구조를 구별할 수 있는 불변입니다—즉, 특정 매니폴드를 매끄럽게 "평평하게" 할 수 있지만, 공간을 왜곡하고 곡률 또는 부피에 영향을 미칠 수 것을 요구할 수 있습니다.

Geometric topology

Main article: Geometric topology

기하학적 토폴로지는 저-차원 매니폴드 (즉, 차원 2, 3, 및 4의 공간)와 기하학과의 상호 작용에 주로 초점을 맞추는 토폴로지의 한 가지이지만, 일부 고차원 토폴로지도 포함합니다.[14] 기하학적 토폴로지의 주제에 대한 몇 가지 예제는 방향-가능성(orientability), 핸들 분해(handle decompositions), 지역적 평탄도(local flatness), 구겨짐, 및 평면과 고-차원 숀피스 정리(Schönflies theorem)입니다.

고-차원 토폴로지에서, 특성 클래스(characteristic classes)는 기본 불변이고, 수술 이론(surgery theory)은 핵심 이론입니다.

저-차원 토폴로지는 2-차원에서 균등화 정리(uniformization theorem)에 반영된 것처럼 강하게 기하학적입니다 – 모든 각 표면은 상수 곡률 메트릭을 허용합니다; 기하학적으로, 그것은 양의 곡률/구형, 영 곡률/플랫, 및 음의 곡률/쌍곡선의 3가지 가능한 기하학 중 하나 – 그리고 3 차원에서 기하학화 추측(geometrization conjecture, 지금 정리) – 를 가지고 있습니다. 모든 각 3-매니폴드는 조각으로 절단될 수 있으며, 각 조각에는 8가지 가능한 기하학 중 하나를 가집니다.

2-차원 토폴로지는 하나의 변수에서 복소 기하학(complex geometry)으로 연구될 수 있습니다 (리만(Riemann) 표면은 복소 곡선입니다) – 균등화 정리에 의해 메트릭(metrics)의 모든 각 등각 클래스(conformal class)는 고유한 복소 클래스와 동등하고, 4-차원 토폴로지는 두 가지 변수 (복소 표면)에서 복소 기하학의 관점에서 연구될 수 있지만, 모든 각 4-매니폴드에서 복소 구조를 허용하는 것은 아닙니다.

Generalizations

때때로, 토폴로지의 도구를 사용해야 하지만 "점의 집합"을 사용할 수 없습니다. 점없는 토폴로지(pointless topology)에서, 열린 집합의 격자를 이론의 기본 개념으로 고려하지만,[15] 그로텐디크 토폴로지(Grothendieck topologies)는 그들의 카테고리(categories) 위에 뭉치(sheaves)의 정의와 일반 코호몰로지 이론의 정의를 허용하는 임의적인 카테고리 위에 정의된 구조입니다.

Applications

Biology

토폴로지는 분자와 나노구조 (예를 들어 막모양의 물체[16])를 포함한 다양한 생물학적 시스템을 연구하기 위해 사용되어 왔습니다. 특히, 회로 토폴로지(circuit topology)와 매듭 이론(knot theory)이 접힌 단백질과 핵산의 토폴로지를 분류하고 비교하기 위해 광범위하게 적용되어 왔습니다. 회로 토폴로지(circuit topology)는 인트라-사슬 접촉과 사슬 교차의 쌍-별 배열을 기반으로 접힌 분자 사슬을 분류합니다. 토폴로지의 한 가지, 매듭 이론(knot theory)은 생물학에서 DNA에 대한 특정 효소의 영향을 연구하기 위해 사용됩니다. 이들 효소는 DNA를 자르고, 비틀고, 다시 연결하여, 더 느린 전기-영동(electrophoresis)과 같은 관찰-가능 효과로 매듭을 초래합니다.[17] 토폴로지는 표현형(phenotype)과 유전자형(genotype) 사이의 관계를 나타내기 위해 진화 생물학(evolutionary biology)에서도 사용됩니다.[18] 상당히 다르게 나타나는 표현형은 발달 동안 유전적 변화가 표현형 변화에 어떻게 매핑되는지에 따라 단지 몇 가지 돌연변이에 의해 분리될 수 있습니다. 신경-과학에서, 오일러 특성과 베티 숫자와 같은 토폴로지적 양은 신경 네트워크에서 활동성의 패턴의 복잡성을 측정하기 위해 사용되어 왔습니다.

Computer science

토폴로지적 데이터 분석(Topological data analysis)은 대수적 토폴로지의 기술을 집합의 대규모 구조를 결정하기 위해 사용합니다 (예를 들어, 점의 구름이 구형인지 토러스형인지 결정하는 것). 토폴로지적 데이터 분석에 의해 사용되는 주요 방법은 다음과 같습니다:

  1. 데이터 점의 집합을 근접성 매개변수에 의해 인덱싱된 단순 복합체(simplicial complexes)의 가족으로 교체합니다.
  2. 대수적 토폴로지 – 특히 지속적인 호몰로지(persistent homology)의 이론을 통해 이들 토폴로지적 복합체를 분석합니다.[19]
  3. 바코드라고 불리는 매개변수화된 버전의 베티 숫자(Betti number)의 형태로 데이터 집합의 지속적인 호몰로지를 인코딩합니다.[19]

도메인 이론(domain theory)과 같은 프로그래밍 언어 의미론(programming language semantics)의 여러 가지는 토폴로지를 사용하여 형식화됩니다. 이러한 맥락에서, Samson Abramsky와 Michael B. Smyth에 의한 연구를 기반으로 하는 Steve Vickers는 토폴로지적 공간을 반-결정가능 (동등하게, 유한하게 관찰-가능) 속성으로 특징지어지는 열린 집합에 걸쳐 부울(Boolean) 또는 헤이팅 대수(Heyting algebras)로 특성화합니다.[20]

Physics

토폴로지는 응집 물질 물리학(condensed matter physics),[21] 양자 필드 이론(quantum field theory)과 물리적 우주론(physical cosmology)과 같은 영역에서 물리학과 관련이 있습니다.

고체에서 기계적 속성의 토폴로지적 의존성은 기계 공학(mechanical engineering)과 재료 과학(materials science) 분야에서 관심이 있습니다. 전기적 및 기계적 속성은 재료에서 분자와 기본 단위의 배열과 네트워크 구조에 따라 달라집니다.[22] 구겨진(crumpled) 토폴로지의 압축 강도(compressive strength)는 대부분이 빈 공간인 그러한 구조의 중량 대비 높은 강도를 이해하기 위한 시도에서 연구됩니다.[23] 토폴로지는 표면 구조의 차원 위의 강성과 마찰의 의존성이 다-물체 물리학에서 응용을 갖는 관심의 대상인 접촉 역학(Contact mechanics)에서 더욱 중요합니다.

토폴로지적 양자 필드 이론(topological quantum field theory) (또는 토폴로지적 필드 이론 또는 TQFT)은 토폴로지적 불변(topological invariants)을 계산하는 양자 필드 이론입니다.

TQFT는 물리학자들에 의해 발명되었지만, 다른 것 중에서, 대수적 토폴로지에서 매듭 이론, 4-매니폴드의 이론, 및 대수적 기하학에서 모듈러스 공간의 이론과 관련되어 수학적인 관심을 끌기도 합니다. Donaldson, Jones, Witten, 및 Kontsevich는 토폴로지적 필드 이론과 관련된 연구로 모두 필즈 상(Fields Medals)을 받았습니다.

칼라비–야우 매니폴드(Calabi–Yau manifold)의 토폴로지적 분류는 다양한 매니폴드가 다른 종류의 끈을 유지할 수 있기 때문에 끈 이론(string theory)에서 중요한 의미를 가집니다.[24]

우주론에서, 토폴로지는 우주의 전체 모양을 설명하기 위해 사용될 수 있습니다.[25] 이 연구 영역은 공통적으로 시공간 토폴로지(spacetime topology)로 알려져 있습니다.

응축 물질에서, 토폴로지적 물리학에 대한 관련 응용은 후방 산란으로부터 보호되는 전류인 단-방향 전류를 얻기 위한 가능성에서 비롯됩니다. 그것은 유명한 양자 홀 효과(quantum Hall effect)로 전자 제품에서 처음 발견되었고, F.D.M Haldane에 의해 광자학(photonics)과[26] 같은 물리학의 다른 영역에서 일반화되었습니다.

Robotics

로봇(robot)의 가능한 위치는 구성 공간(configuration space)이라고 불리는 매니폴드(manifold)에 의해 설명될 수 있습니다.[27] 이동 계획(motion planning)의 영역에서, 구성 공간에서 두 점 사이의 경로를 찾습니다. 이들 경로는 로봇의 관절(joints)과 다른 부품을 원했던 포즈로 움직임을 나타냅니다.[28]

Games and puzzles

얽힘 퍼즐(Tanglement puzzles)은 퍼즐 모양과 구성 요소의 토폴로지적 측면을 기반으로 합니다.[29][30][31]

Fiber art

모듈식 구조에서 조각의 연속적인 접합을 생성하기 위해, 각 조각을 둘러싸고 각 가장자리를 한 번만 횡단하는 순서에서 끊기지 않은 경로를 생성해야 합니다. 이 과정은 오일러 경로(Eulerian path)를 적용한 것입니다.[32]

See also

References

Citations

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Bibliography

Further reading

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