Partial function

수학에서, (f: X ↛ Y 또는 f: X ⇸ Y로 쓰이는) X에서 Y로의 부분 함수(partial function)는 X의 어떤 부분집합 X ′에 대한, 함수(function) f: X ′ → Y입니다. 그것은, f가 X의 모든 각 원소를 Y의 원소에 매핑하도록 강요하지 않음으로써 (단지 X의 어떤 부분집합 X ′에 대해서만 매핑), 함수 f: X → Y의 개념을 일반화합니다. 만약 X ′ = X이면, f는 그의 도메인이 X의 진부분집합이 아니라는 것을 강조하기 위해 전체 함수(total function)라고 불립니다. 부분 함수는 정확한 도메인(domain), X가 알려지지 않았을 때 종종 사용됩니다 (예를 들어, 계산 가능성 이론(computability theory)에서 일반적인 재귀 함수(general recursive function)는 정수에서 정수로의 부분 함수이고, 그러한 함수가 전체인지 여부를 결정하는 것에 대해 임의의 알고리듬(algorithm)이 결코 없습니다). 실수(real) 및 복소수 해석학(complex analysis)에서, 부분 함수는 일반적으로 단순히 함수라고 불립니다.

특히, 임의의 x ∈ X에 대해, 다음 중 하나를 말할 것입니다:

f(x) = y ∈ Y (Y에서 하나의 원소로써 정의됩니다) 또는
f(x)는 정의되지 않습니다.

예를 들어, 정수(integer)로 제한된 제곱근(square root) 함수를 고려할 수 있습니다:

g\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}

g(n)={\sqrt {n}}.

따라서, g(n)는 완전 제곱수(perfect squares) (i.e., 0, 1, 4, 9, 16, ...)인 n에 대해서 오직 정의됩니다. 그래서, g(25) = 5이지만, g(26)은 정의되지 않습니다.

Basic concepts

부분 함수의 도메인(domain)의 개념에 대해 현재 수학적 사용법 안의 두 가지 뚜렷한 의미가 있습니다. 재귀 이론가(recursion theorists)를 포함한, 대부분의 수학자들은 (위의 X') f(x)가 정의된 것과 같은 모든 값 x의 집합에 대해 용어 "f의 도메인"을 사용합니다. 그러나 일부, 특히 카테고리 이론가(category theorists)는 부분 함수 f:X → Y의 도메인을 X로 간주하고, 그리고 정의의 도메인으로 X'를 나타냅니다. 비슷하게, 용어 치역(range)은 코모메인(codomain) 또는 함수의 이미지를 나타낼 수 있습니다.

부분 함수는 정의의 그의 도메인에 대한 부분 함수의 제한에 의해 주어진 전체 함수가 단사 또는 전사일 때 단사(injective) 또는 전사(surjective)라고 말합니다. 부분 함수는 단사와 전사 (따라서 전단사(bijective)) 둘 다일 수 있습니다.

함수는 그의 이미지에 대해 제한될 때, 자명하게 전사이기 때문에, 용어 부분 전단사(partial bijection)는, 그것이 단사인, 부분 함수를 나타냅니다.^[1]

단사 부분 함수는 단사 부분 함수에 대해 역이 될 수 있고, 단사 및 전사 모두인 부분 함수는 역으로 단사 함수를 가집니다. 게다가, 그것이 단사인 전체 함수는 단사 부분 함수에 대한 역이 될 수 있습니다.

변환(transformation)의 개념은 부분 함수에 마찬가지로 일반화될 수 있습니다. 부분 변환은 함수 f: A ⇸ B이며, 여기서 A와 B 둘 다는 어떤 집합 X의 부분 집합(subset)입니다.^[1]

Total function

"전체 함수"는 함수(function)에 대해 동의어입니다. 형용사 "전체"의 사용은 그것이 부분 함수의 특수한 경우라고 제안하는 것입니다 (구체적으로, 도메인 X를 갖는 전체 함수는 X에 걸쳐 부분 함수의 특수한 경우입니다). 형용사는, 부분 함수가 공통인 맥락에서, 예를 들어 계산가능성 이론(computability theory)에서 명확성에 대해 전형적으로 사용될 수 있습니다.

Function spaces

[X ⇸ Y]로 표시되는, 집합 X에서 집합 Y로의 모든 부분 함수 f: X ⇸ Y의 집합은 동일한 코도메인 Y를 갖는 X의 부분 집합 위에 정의된 모든 전체 함수의 합집합입니다:

[X\not \to Y]=

\bigcup \limits _{D\subseteq {X}}[D\to Y]

,

후자는 $\bigcup \limits _{D\subseteq {X}}Y^{D}$ 로 역시 쓰입니다. 유한한 경우에서, 그의 카디널리티는

|[X\not \to Y]|=

(|Y|+1)^{|X|}

,

왜냐하면 임의의 부분 집합은 Y에 포함되지 않은 임의의 고정된 값 c에 의한 전체 함수에 대해 확장될 수 있고, 그래서 코도메인은 Y ∪ {c}이고, 단사인 (유일한 그리고 제한에 의해 역이 가능한) 연산이기 때문입니다.

Discussion and examples

위의 첫 번째 다이어그램은, 왼쪽 집합 안의 원소 1이 오른쪽 집합 안의 아무 것과도 결합되지 않았기 때문에, 전체 함수가 아닌 부분 함수를 나타냅니다. 반면에, 두 번째 다이어그램은, 왼쪽 집합 위의 모든 원소가 오른쪽 집합 안의 정확히 한 원소와 결합되기 때문에, 전체 함수를 나타냅니다.

Natural logarithm

실수(real number)에서 그들 자신으로의 매핑하는 자연 로그(natural logarithm) 함수를 생각해 보겠습니다. 비-양의 실수의 로그는 실수가 아니므로, 자연 로그 함수는 도메인 안의 임의의 비-양의 실수를 갖는 코도메인 안의 임의의 실수를 결합시키지 않습니다. 그러므로, 자연 로그 함수는 실수에서 그들 자신으로의 함수로 볼 때 전체 함수가 아니지만, 그것은 부분 함수입니다. 만약 도메인이 양의 실수(positive reals)를 오직 포함하는 것으로 제한되면 (즉, 만약 자연 로그 함수가 양의 실수에서 실수로의 함수로 보입니다), 자연 로그는 전체 함수입니다.

Subtraction of natural numbers

(비-음의 정수) 자연수의 뺄셈은 다음 부분 집합으로 보일 수 있습니다:

f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \not \to \mathbb {N}

f(x,y)=x-y.

그것은 오직 $x\geq y$ 일 때 정의됩니다.

Bottom element

표시적 의미론(denotational semantics)에서 부분 함수는 그것이 정의될 때 바닥 원소(bottom element)를 반환하는 것으로 고려됩니다.

컴퓨터 과학(computer science)에서 부분 함수는 예외 또는 영원한 루프를 발생시키는 서브루틴에 해당합니다. IEEE 부동 소수점(IEEE floating point) 표준은 부동 소수점 연산이 정의되지 않고 예외가 억제될 때, 즉, 음수의 제곱은 요구될 때, 반환되는 숫자가 아닌 값을 정의합니다. 음수의 제곱근이 요구될 때.

함수 매개변수가 정적으로 형식화된(statically typed) 프로그래밍 언어에서, 언어의 유형 시스템(type system)은 함수의 정확한 도메인을 표현할 수 없기 때문에, 함수가 부분 함수로 정의될 수 있으므로, 프로그래머는 대신에 형식으로 표현할 수 있고 실제 도메인을 포함하는 가장 작은 도메인을 제공합니다.

In category theory

카테고리 이론(category theory)에서, 구체적 카테고리(concrete categories) 안의 사상(morphism) 합성의 연산을 고려할 때, 합성 연산 $\circ :\operatorname {hom} (C)\times \operatorname {hom} (C)\to \operatorname {hom} (C)$ 이 전체 함수인 것과 $\operatorname {ob} (C)$ 이 하나의 원소를 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 이것에 대한 이유는 두 사상 $f:X\to Y$ 과 $g:U\to V$ 은 만약 $Y=U$ 일 때 $g\circ f$ 으로 오직 합성될 수 있고, 즉, $f$ 의 코도메인은 반드시 $g$ 의 도메인과 같다는 것입니다.

집합과 부분 함수의 카테고리는 점화 집합(pointed set) 및 점-보존 맵의 카테고리와 동등(equivalent)하지만 동형(isomorphic)이 아닙니다.^[2] 한 교과서는 "부적절한", "무한한" 원소를 추가하는 것에 의해 집합과 부분 맵을 공식적인 완성은, 특히, 토폴로지 (한-점 컴팩트화(one-point compactification))에서 그리고 이론적 컴퓨터 과학(theoretical computer science)에서, 여러 번 재발명되었습니다."^[3]

집합과 부분 전단사의 카테고리는 그것의 듀얼(dual)과 동등합니다.^[4] 그것은 프로토타입 역 카테고리(inverse category)입니다.^[5]

In abstract algebra

부분 대수학(Partial algebra)은 보편 대수학(universal algebra)의 개념을 부분 연산(operations)으로 일반화합니다. 예제는 필드(field)일 것이며, 그것에서 곱셈에 대한 역은 오직 적절한 부분 연산입니다 (왜냐하면 영에 의한 나눗셈(division by zero)은 정의되지 않기 때문입니다).^[6]

주어진 기본 집합, X 위의 (부분 변환(transformation)) 모든 부분 함수의 집합은, 전형적으로 ${\mathcal {PT}}_{X}$ 에 의해 표시되는, 모든 부분 변환의 반-그룹 (또는 X 위의 부분 변환 반-그룹)이라고 불리는 정규 반-그룹(regular semigroup)을 형성합니다.^[7]^[8]^[9] X 위의 모든 부분 전단사 함수의 집합은 대칭 역 반-그룹(symmetric inverse semigroup)을 형성합니다.^[7]^[8]

Charts and atlases for manifolds and fiber bundles

매니폴드(manifold) 및 올-다발(fiber bundle)의 구조를 지정하는 아틀라스(atlases) 안의 차트는 부분 함수입니다. 매니폴드의 경우에서 도메인은 매니폴드의 점 집합입니다. 올-다발의 경우에서, 도메인은 올-다발의 전체 공간입니다. 이러한 응용에서, 가장 중요한 구조는 하나의 차트와 다른 차트의 역과 함께 합성된 전이 맵(transition map)입니다. 매니폴드와 올-다발의 초기 분류는 이러한 평행이동 맵 위의 제약 조건의 관점에서 크게 표현됩니다.

전체 함수 대신에 부분 함수를 사용에 대한 이유는 전역 구조를 설명하기 위해 지역 패치를 함께 꿰매는 것에 의해 일반 전역 위상을 표현되는 것을 허용하는 것입니다. "패치"는 차트가 정의된 도메인입니다.

References

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[9]

Function
$x \mapsto f (x)$
History of the function concept
Examples of domains and codomains
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
Classes/properties
Constant Identity Linear Polynomial Rational Algebraic Analytic Smooth Continuous Measurable Injective Surjective Bijective
Constructions
Restriction Composition λ Inverse
Generalizations
Binary relation Partial Multivalued Implicit Space
v t e