Turn (angle)

Turn
Turn
Unit of	Plane angle
Symbol	tr, pla or τ
Conversions
1 tr in ...	... is equal to ...
radians	2π rad ; ≈ 6.283185307... rad
milliradians	2000π mrad ; ≈ 6283.185307.. mrad
degrees	360°
gradians	400g

Counterclockwise rotations about the center point where a complete rotation is equal to 1 turn.

회전(turn)은 2 $π$ 라디안(radian), 360 도(degrees) 또는 400 그레이디언(gradian)과 같은 평면 각(plane angle) 측정의 단위입니다. 회전은 역시 cycle (줄여서 cyc. 또는 cyl.), revolution (줄여서 rev.), complete rotation (줄여서 rot.) 또는 full circle이라고 참조됩니다.

회전의 재분화는 반-회전, 사분의-일-회전, 십분의-일-회전, 백분의-일-회전, 점(points), 등을 포함합니다.

Subdivisions

회전은 100 센티-회전 또는 1000 밀리-회전으로 나뉠 수 있으며, 각 밀리-회전은 0.36°의 각도(angle)에 해당하며, 역시 21′ 36″로 쓸 수 있습니다.^[1]^[2] 센티-회전으로 나뉜 각도-측정기(protractor)는 통상적으로 백분율 각도-측정기라고 불립니다.

회전의 이진 분수(Binary fractions of a turn)는 역시 사용됩니다. 선원들은 전통적으로 회전을 32 나침반 지점(compass points)으로 나누었습니다. 이진 각도는 ,역시 이진 라디안(binary radian) (또는 브래드)이라고 알려져 있으며, 1/256 회전입니다.^[3] 이진 각도는 각도가 단일 바이트(byte)에서 최대 가능한 정밀도로 표현될 수 있도록 계산에 사용됩니다. 계산에 사용되는 각도의 다른 측정은 $n$ 의 다른 값에 대해 하나의 전체 회전을 $2 n$ 같은 부분으로 나누는 것을 기반으로 할 수 있습니다.^[4]

회전의 개념은 공통적으로 평면(planar) 회전에 대해 사용됩니다.

History

단어 turn은 그리스 단어 τόρνος (tórnos – a lathe)에서 라틴어와 프랑스어를 통해 유래되었습니다.

1697년에, 데이비드 그레고리(David Gregory)는 $π / ρ$ (로우 분의 파이)를 원의 둘레 (즉, 원주(circumference))를 반지름으로 나눈 값을 나타내기 위해 사용했습니다.^[5]^[6] 어쨌든, 1647년 초에, 윌리엄 오트레드(William Oughtred)는 $δ / π$ (파이 분의 델타)를 지름과 둘레의 비율에 대해 사용했습니다. 현재 의미 (둘레를 지름으로 나눈 것)와 함께 기호 $π$ 의 첫 번째 사용은 1706년에 웨일즈(Welsh)의 수학자 William Jones(윌리엄 존스)에 의한 것입니다.^[7] 오일러(Euler)는 1737년에 그 의미를 가진 기호를 채택했으며, 그것의 광범위한 사용으로 이어졌습니다.

백분율 각도-측정기는 1922년 이래로 존재해 왔지만,^[8] 용어 센티-회전, 밀리-회전 및 마이크로-회전은 훨씬 나중에 1962년 영국 천문학자 프레드 호일(Fred Hoyle)에 의해 도입되었습니다.^[1]^[2] 포병 및 위성 관측(satellite watching)에 대해 일부 측정 장치는 밀리-회전 스케일을 가지고 있습니다.^[9]^[10]

Unit symbols

독일 표준 DIN 1315 (1974년 3월)는 회전에 대해 단위 기호 pla (라틴어로부터: plenus angulus "완전한 회전")을 제안했습니다.^[11]^[12] DIN 1301-1 (2010년 10월)에 사용되었던, 소위 Vollwinkel ("완전한 회전")은 SI 단위(SI unit)가 아닙니다. 어쨌든, 그것은 EU와^[13]^[14] 스위스에서 측정의 법적 단위(legal unit of measurement)입니다.^[15]

표준 ISO 80000-3:2006는 기호 r을 갖는 단위 이름 revolution이 회전하는 기계에 사용되고, 마찬가지로 완전한 회전을 의미하기 위해 용어 turn을 사용합니다. 표준 IEEE 260.1:2004는 역시 단위 이름 rotation과 기호 $r$ 을 사용합니다.

공학용 계산기 HP 39gII와 HP Prime은 2011년과 2013년 이래로 각각 회전에 대해 단위 기호 tr을 지원합니다. tr에 대한 지원은 2016년에 HP 50g에 대해, 및 2017년에 hp 39g+, HP 49g+, HP 39gs 및 HP 40gs에 대해 newRPL으로 더했습니다.^[16]^[17] 각도 모드 TURN이 마찬가지로 WP 43S에 대해 제안되었지만,^[18] 계산기는 대신 2019년 이래로 MUL $π$ (( $π$ 의 배수))를 모드 및 단위로 구현합니다.^[19]^[20]

Unit conversion

The circumference of the unit circle (whose radius is one) is $2 π$ .

일 회전은 $2 π$ (≈ 6.283185307179586)^[21] 라디안(radian)과 같습니다.

Conversion of common angles
Turns	Radians	Degrees	Gradians (Gons)
0	0	0°	0^g
1/24	$π$ /12	15°	16+2/3^g
1/12	$π$ /6	30°	33+1/3^g
1/10	$π$ /5	36°	40^g
1/8	$π$ /4	45°	50^g
1/2 $π$	1	c. 57.3°	c. 63.7^g
1/6	$π$ /3	60°	66+2/3^g
1/5	2 $π$ /5	72°	80^g
1/4	$π$ /2	90°	100^g
1/3	2 $π$ /3	120°	133+1/3^g
2/5	4 $π$ /5	144°	160^g
1/2	$π$	180°	200^g
3/4	3 $π$ /2	270°	300^g
1	2 $π$	360°	400^g

Tau proposals

2001년에, 로버트 팔레(Robert Palais)는 수학을 보다 간단하고 직관적으로 만들기 위해 반 회전에 대한 라디안의 숫자에 해당하는 $π$ 대신에 기본 원 상수로 한 회전에서 라디안의 숫자를 사용하는 것을 제안했습니다. 그의 제안은 "셋의 다리를 갖는 $π$ " 기호를 상수 ( $\pi \!\;\!\!\!\pi =2\pi$ )를 나타내기 위해 사용했습니다.^[22]

2010년에, 마이클 하틀(Michael Hartl)은 tau를 팔에의 원 상수: $τ = 2 π$ 를 나타내기 위해 사용하는 것을 제안했습니다. 그는 두 가지 이유를 제시했습니다. 첫째, $τ$ 는 한 회전에서 라디안의 숫자로, 회전의 분수를 보다 직접적으로 표현하는 것을 허용합니다: 예를 들어, 3/4 회전은 $3 π / 2$ 라디안 대신에 3τ/4 라디안을 표현될 것입니다. 둘째, $τ$ 는 $π$ 와 시작적으로 닮아 있으며, 원 상수를 갖는 그것의 결합은 피할 수 없습니다.^[23] 하틀의 Tau Manifesto는^[24] $τ$ 가 $π$ 대신에 사용되는 곳에서 더 명확하다고 주장되는 많은 공식의 예제를 제공합니다.^[25]^[26]^[27]

처음에는, 이러한 제안 중 어느 것도 수학과 과학 커뮤니티에서 널리 받아 들여지지 않았습니다.^[28] 어쨌든, ㅍ의 사용은 더욱 널리 퍼져 있습니다,^[29] 예를 들어:

2012년에, 교육 웹 사이트 칸 아카데미(Khan Academy)는 $τ$ 의 관점에서 표현된 답을 수용하기 시작했습니다.^[30]
2017년 6월에, 릴리스 3.6에 대해, 파이썬 프로그래밍 언어(Python programming language)는 회전에서 라디안의 숫자를 나타내기 위해 이름 tau를 채택했습니다.^[31]
$τ$ -기능성은 구글 계산기와 Python,^[32] Raku,^[33] Processing,^[34] Nim,^[35] 및 Rust와 같은 여러 프로그래밍 언어에서 사용할 수 있습니다.^[36]
그것은 역시 $τ$ -촉진자 피터 하레모에스(Peter Harremoës)에 의해 저술된,^[37] 적어도 하나의 수학적 연구 기사에서 사용되어 왔습니다.^[38]
2020년에, 릴리스 5.0에 대해, 타우는 .NET Core에 더해졌습니다 (5.0 출시에 대해 ".NET"으로 브랜드가 변경됩니다).^[39]

다음 테이블은 $τ := 2 π$ 가 $π$ 대신에 사용되면 다양한 항등식과 부등식이 어떻게 나타나는지 보여줍니다.^[40]^[41]


$τ := 2 π$ 를 사용	$π$ 를 사용	공식	비고
$τ / 4$	$π / 2$	$1 / 4$ of a circle (as an angle in radians)
$C = τr$	$C = 2 πr$	Circumference $C$ of a circle of radius $r$
$A = τr 2 / 2$	$A = πr 2$	Area of a circle	Recall the area of a sector of angle $θ$ (measured in radians) is $A = θ r 2 / 2$ . The $1 / 2$ more clearly expresses that area is the integral of circumference.
$A = n / 2 sin τ / n$	$A = n / 2 sin 2π / n$	Area of a regular $n$ -gon with unit circumradius
$V_{n}(R)={\frac {\tau ^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }}{n!!}}(1+n\operatorname {mod} 2)R^{n}$	$V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}$	Volume of an $n$ -ball
$S_{n}(R)={\frac {\tau ^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}{(n-1)!!}}(2-(n\operatorname {mod} 2))R^{n}$	$S_{n}(R)={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma {\big (}{\frac {n+1}{2}}{\big )}}}R^{n}$	Surface area of an $n$ -ball
$f(a)={\frac {1}{\tau i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$	$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$	Cauchy's integral formula
$\varphi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {\tau }}}$	$\varphi (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}$	Standard normal distribution
$n!\sim {\sqrt {\tau n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$	$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$	Stirling's approximation
0 $e iτ = 1$ $e iτ - 1 = 0$	0 $e iπ = - 1$ $e iπ + 1 = 0$	Euler's identity
$e^{\tau i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {k\tau }{n}}+i\sin {\frac {k\tau }{n}}$	$e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}$	$n$ th roots of unity
$\hbar ={\frac {h}{\tau }}$	$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$	Reduced Planck constant	h is the natural unit of electromagnetic action.
$\omega ={{\tau } \over T}={\tau f}$	$\omega ={{2\pi } \over T}={2\pi f}$	Angular frequency
$τfL$	$2 πfL$	Reactance of an inductor
$τfC$	$2 πfC$	Susceptance of a capacitor

Examples of use

각도 단위로, 회전(turn of revolution)은 전자기 코일(electromagnetic coil)과 회전하는(rotating) 대상과의 연결에서 처럼, 같은 큰 각도에서 특히 유용합니다. 감기는 숫자(winding number)도 참조하십시오.
자동차 엔진과 같은 회전하는 기계의 각 속력은 공통적으로 분당 회전수(revolutions per minute) 또는 RPM으로 측정됩니다.
회전은 외부(external) 및 내부 각도 측정을 위해 복잡한 동역학(complex dynamics)에서 사용됩니다. 다각형의 외부 각도의 합은 일 회전과 같습니다. 각도 두배하는 맵(doubling map)이 사용됩니다.
파이 차트(pie chart)는 전체의 비율을 회전의 분수로 묘사합니다. 각 일 퍼센트는 일 센티-회전의 각도로 표시됩니다.^[8]

Kinematics of turns

운동학(kinematics)에서, turn은 전체 revolution보다 적은 회전입니다. 회전은 복소수(complex number) 또는 쿼터니언(quaternion)의 표현을 사용하는 수학적 모델(mathematical model)로 표현될 수 있습니다. 복소 평면(complex plane)에서 모든 각 비-영 숫자는 극 좌표(polar coordinate) 표현 $z = r cis a = r (cos a + i sin a)$ 를 가지며, 여기서 $r > 0$ 이고 $a$ 는 $[0, 2 π)$ 안에 있습니다. 복소 평면의 회전은 $z = x + iy$ 에 단위 원(unit circle) 위에 있는 원소 $u = exp(bi)$ 를 곱하여 발생합니다:

z\mapsto uz.

프랭크 몰리(Frank Morley)는 그의 아들 프랭크 비고 몰리(Frank Vigor Morley)와 공동 저술한 책 Inversive Geometry (1933)에서 지속적으로 단위 원의 원소를 turns로 참조했습니다.^[42]

turn에 대해 라틴어 용어는 버서(versor)로, 큰 원(great circle)의 호(arc)로 시각화될 수 있는 쿼터니언(quaternion)입니다. 두 버서의 곱은 두 변이 세 번째에 더해지는 구형 삼각형(spherical triangle)과 비교될 수 있습니다. 삼 차원(three dimensions)에서 회전의 운동학에 대해, 쿼터니언과 공간 회전(quaternions and spatial rotation)을 참조하십시오. 이 회전의 대수적 표현은 1840년대에 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton) (용어 versor를 사용)에 의해 시작되었고, 나라심하인가르 무쿤다(Narasimhaiengar Mukunda)의 연구에서 "해밀턴의 회전 이론"으로 반복되는 주제입니다.

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External links

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