Circle group

수학(mathematics)에서, 원 그룹(circle group)은, $\mathbb {T}$ 또는 $\mathbb {S} ^{1}$ 에 의해 표시되며, 절댓값(absolute value) 1을 갖는 모든 복소수(complex number)의 곱셈의(multiplicative) 그룹(group), 즉, 복소 평면(complex plane)에서 단위 원(unit circle) 또는 다음과 같은 단순히 단위 복소수(unit complex numbers)입니다:^[1] $\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.$ 원 그룹은 $\mathbb {C} ^{\times }$ , 모든 비-영 복소수의 곱셈 그룹의 부분그룹(subgroup)을 형성합니다. $\mathbb {C} ^{\times }$ 는 아벨(abelian)이기 때문에, $\mathbb {T}$ 도 마찬가지임이 따라옵니다.

원 그룹에서 단위 복소수는 원점에 대한 복소 평면의 회전(rotation)을 나타내고 각도 측정(angle measure) $\theta$ 에 의해 매개변수화될 수 있습니다: $\theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$ 이것은 원 그룹에 대한 지수 맵(exponential map)입니다.

원 그룹은 폰트랴긴 이중성(Pontryagin duality)과 리 그룹(Lie group)의 이론에서 중심 역할을 합니다.

원 그룹에 대해 표기법 $\mathbb {T}$ 는 표준 토폴로지와 함께 (아래 참조), 원 그룹이 1-토러스(torus)라는 사실로부터 유래합니다. 보다 일반적으로, ( $\mathbb {T}$ 그 자체의 $n$ 회를 곱하는 직접 곱(direct product)) $\mathbb {T} ^{n}$ 은 기하학적으로 $n$ -토러스입니다.

원 그룹은 특수 직교 그룹( special orthogonal group) $\mathrm {SO} (2)$ 와 동형적(isomorphic)입니다.

Elementary introduction

Multiplication on the circle group is equivalent to addition of angles.

원 그룹에 대해 생각하는 한 가지 방법은 0°와 360°의 사이 또는 $\in [0,2\pi )$ 또는 $\in (-\pi ,+\pi ]$ 만 허용되는 각도를 추가하는 방법을 설명하는 것입니다. 예를 들어, 다이어그램은 150°에 270°를 더하는 방법을 보여줍니다. 그 답은 150° + 270° = 420°이지만, 원 그룹의 관점에서 생각할 때, 원을 한 바퀴 돌았다는 사실을 "잊을" 수 있습니다. 그러므로, 답을 360°만큼 조정하면 420° ≡ 60° (mod 360°)를 제공합니다.

또 다른 설명은 0과 1 사이의 숫자만 허용되는 보통의 (실수) 덧셈의 관점에 의한 것입니다 (이때, 1은 전체 회전에 해당: 360° 또는 $2\pi$ ), 즉 실수 모듈로 정수: $\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ 입니다. 이것은 십진 점 앞에 나오는 자릿수를 항상 버림으로써 달성될 수 있습니다. 예를 들어, 0.4166... + 0.75를 계산할 때, 답은 1.1666...이지만, 선행하는 1을 버릴 수 있으므로, (원 그룹에서) 답은 단지 0.166...보다 약간 선호되는 $0.1{\bar {6}}\equiv 1.1{\bar {6}}\equiv -0.8{\bar {3}}\;({\text{mod}}\,\mathbb {Z} )$ 인데, 왜냐하면 $0.1{\bar {6}}\in [0,1)$ 때문입니다.

Topological and analytic structure

원 그룹은 단지 추상 대수적 대상 이상입니다. 그것은 복소 평면의 부분공간(subspace)으로 여길 때 자연스러운 토폴로지(natural topology)를 가집니다. 곱셈과 역화는 $\mathbb {C} ^{\times }$ 위에 연속 함수(continuous functions)이기 때문에, 원 그룹은 토폴로지적 그룹(topological group)의 구조를 가집니다. 게다가, 단위 원은 복소 평면의 닫힌 부분집합(closed subset)이기 때문에, 원 그룹은 $\mathbb {C} ^{\times }$ (토폴로지적 그룹으로 고려된 자제)의 닫힌 부분그룹입니다.

좀 더 말할 수 있습니다. 원은 1-차원 실수 매니폴드(manifold)이고, 곱셈과 역화는 원 위에 실수-해석적 맵(real-analytic maps)입니다. 이것은 원 그룹에 리 그룹(Lie group)의 사례, 일-매개변수 그룹(one-parameter group)의 구조를 제공합니다. 사실, 동형까지(up to), 고유한 1-차원 컴팩트, 연결된 리 그룹입니다. 더욱이, 모든 각 $n$ -차원 컴팩트, 연결된, 아벨 리 그룹은 $\mathbb {T} ^{n}$ 과 동형적입니다.

Isomorphisms

원 그룹은 수학에서 다양한 형식으로 나타납니다. 우리는 여기에 보다 공통적인 형식 중 일부를 나열합니다. 구체적으로, 우리는 다음임을 보입니다:

$\mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2).$ 여기서 슬래시(/)는 몫 그룹(quotient group)을 나타냄에 주목하십시오.

모든 1×1 유니태리 행렬(unitary matrices)의 집합은 분명히 원 그룹과 일치합니다; 유니태리 조건은 그것의 원소가 절댓값 1을 가지는 조건과 동등합니다. 그러므로, 원 그룹은 첫 번째 유니태리 그룹, $\mathrm {U} (1)$ 과 정식적으로 동형적입니다.

지수 함수(exponential function)는 덧셈의 실수 $\mathbb {R}$ 에서 다음 맵을 통한 원 그룹 $\mathbb {T}$ 로의 그룹 준동형(group homomorphism) $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T}$ 를 생성합니다:

$\theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$

마지막 상등은 오일러의 공식(Euler's formula) 또는 복소 지수입니다. 실수 θ는 양의 x-축에서 반시계 방향으로 측정된 단위 원 위의 각도 (라디안)에 해당합니다. 이 맵이 준동형이라는 것은 단위 복소수의 곱셈이 각도의 덧셈에 해당한다는 사실에서 따릅니다:

$e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.$

이 지수 맵은 분명히 $\mathbb {R}$ 에서 $\mathbb {T}$ 로의 전사(surjective) 함수입니다. 어쨌든, 그것은 단사(injective)가 아닙니다. 이 맵의 커널(kernel)은 $2\pi$ 의 모든 정수 배수의 집합입니다. 첫 번째 동형 정리(first isomorphism theorem)에 의해, 우리는 다음임을 가집니다:

$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .$

크기 조정 후, 우리는 역시 $\mathbb {T}$ 가 $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ 와 동형적이라고 말할 수 있습니다.

만약 복소수가 2×2 실수 행렬로 구현되면 (복소수 참조), 단위 복소수는 단위 행렬식을 갖는 2×2 직교 행렬에 해당합니다. 구체적으로, 우리는 다음을 가집니다:

$e^{i\theta }\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta }\right).$

이 함수는 원 그룹이 특수 직교 그룹(special orthogonal group) $\mathrm {SO} (2)$ 와 동형적임을 보이는데 왜냐하면 다음이기 때문입니다: $f\left(e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}\right)={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta _{1}}\right)\times f\left(e^{i\theta _{2}}\right),$ 여기서 $\times$ 는 행렬 곱셈입니다.

이 동형은 단위 복소수에 의한 곱셈이 복소수 (및 실수) 평면에서 적절한 회전이고, 모든 각 그러한 회전이 이 형식이라는 기하학적 해석을 가집니다.

Properties

차원 > 0의 모든 각 컴팩트 리 그룹 $\mathrm {G}$ 는 원 그룹과 동형적 부분그룹(subgroup)을 가집니다. 이것은, 대칭의 관점에서 생각하여, 연속적으로 작용하는 컴팩트 대칭 그룹이 작용하는 일-매개변수 원 부분그룹을 가질 것으로 예상될 수 있음을 의미합니다; 물리적 시스템에서 그 결과는, 예를 들어, 회전적 불변성(rotational invariance)과 자발적인 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)에서 볼 수 있습니다.

원 그룹은 많은 부분그룹을 가지지만, 그것의 유일한 적절한 닫힌 부분그룹은 단위의 근(roots of unity)으로 구성됩니다: 각 정수 $n>0$ 에 대해, 단위의 $n$ -번째 근은 동형까지 고유한 차수 $n$ 의 순환 그룹(cyclic group)을 형성합니다.

실수가 모든 자연수 $b>1$ 에 대해 b-진수 유리수 $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]$ 의 완비인 것과 같은 방법에서, 원 그룹은 직접 극한(direct limit) $\varinjlim \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z}$ 에 의해 주어진 $b$ 에 대해 프뤼퍼 그룹(Prüfer group) $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]/\mathbb {Z}$ 의 완비입니다.

Representations

원 그룹의 표시(representations)는 설명하기 쉽습니다. 그것은 아벨 그룹의 기약 복소 표현이 모두 1-차원이라는 슈어의 보조정리(Schur's lemma)에서 따릅니다. 원 그룹이 컴팩트하기 때문에, 다음과 같은 임의의 표시는 $\rho :\mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }$ ${\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T}$ 에서 값을 취해야 합니다. 그러므로, 원 그룹의 기약 표시는 원 그룹에서 자체로의 준동형(homomorphisms)일 뿐입니다.

이들 표시는 모두 동등하지 않습니다. 표시 $\phi _{-n}$ 은 $\phi _{n}$ 에 대한 켤레(conjugate)입니다:

$\phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.$

이들 표시는 원 그룹의 캐릭터(characters)일 뿐입니다. $\mathbb {T}$ 의 캐릭터 그룹(character group)은 분명히 $\phi _{1}$ 에 의해 생성된 무한 순환 그룹(infinite cyclic group)입니다:

$\operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .$

원 그룹의 기약 실수 표시는 자명한 표시( trivial representation, 1차원적임)와 $\mathrm {SO} (2)$ 에서 값을 취하는 다음 표시입니다: $\rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},$ 여기서 우리는 양의 정수 $n$ 만을 가지는데, 왜냐하면 표시 $\rho _{-n}$ 은 $\rho _{n}$ 과 동등하기 때문입니다.

Group structure

원 그룹 $\mathbb {T}$ 는 나눔-가능 그룹(divisible group)입니다. 그것의 꼬임 부분그룹(torsion subgroup)은 모든 단위의 모든 $n$ 에 대해 단위의 모든 $n$ -번째 근의 집합에 의해 주어지고 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ 와 동형적입니다. 나눔-가능 그룹에 대한 구조 정리(structure theorem)와 함께 선택의 공리(axiom of choice)는 $\mathbb {T}$ 가 $\mathbb {Q}$ 의 복사본의 숫자를 갖는 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ 의 직접 합(direct sum)과 동형적임을 알려줍니다.

$\mathbb {Q}$ 의 복사본의 숫자는 직접 합의 카디널리티가 정확하기 위해 ${\mathfrak {c}}$ (연속체의 카디널리티)여야 합니다. 그러나 $\mathbb {Q}$ 의 ${\mathfrak {c}}$ 복사본의 직접 합은 $\mathbb {R}$ 이 $\mathbb {Q}$ 에 걸쳐 차원 ${\mathfrak {c}}$ 의 벡터 공간(vector space)이므로 $\mathbb {R}$ 과 동형적입니다. 따라서

$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).$

다음 동형은

$\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$

같은 방법에서 입증될 수 있는데, 왜냐하면 $\mathbb {C} ^{\times }$ 는 역시 그것의 꼬임 부분그룹이 $\mathbb {T}$ 의 꼬임 부분그룹과 같은 나눔-가능 아벨 그룹이기 때문입니다.

Notes

^ James, Robert C.; James, Glenn (1992). Mathematics Dictionary (Fifth ed.). Chapman & Hall. p. 436. ISBN 9780412990410. a unit complex number is a complex number of unit absolute value.

References

James, Robert C.; James, Glenn (1992). Mathematics Dictionary (Fifth ed.). Chapman & Hall. ISBN 9780412990410.

External links

Homeomorphism and the Group Structure on a Circle

[1] James, Robert C.; James, Glenn (1992). Mathematics Dictionary (Fifth ed.). Chapman & Hall. p. 436. ISBN 9780412990410. a unit complex number is a complex number of unit absolute value.

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