Absolute value

Original article: w:Absolute value

For other uses, see Absolute value (disambiguation).

The graph of the absolute value function for real numbers

The absolute value of a number may be thought of as its distance from zero.

수학(mathematics)에서, |x|로 나타내는, 실수(real) x의 절댓값(absolute value) 또는 모듈러스(modulus)는 그의 부호(sign)에 관계없이 x의 비-음의(non-negative) 값입니다. 즉, 만약, x가 양수(positive)이면 |x| = x, 만약 x가 음수(negative)이면 |x| = −x (이 경우에 −x는 양수입니다), 및 |0| = 0입니다. 예를 들어, 3의 절댓값은 3이고, −3의 절댓값도 역시 3입니다. 숫자의 절댓값은 영으로부터의 그의 거리(distance)로 생각될 수 있습니다.

실수에 대해 절댓값의 일반화는 수학적 설정의 광범위한 다양한 종류에서 발생합니다. 예를 들어, 절댓값은 복소수(complex number), 사원수(quaternion:쿼터니언), 순서 링(ordered ring), 필드(fields) 및 벡터 공간(vector space)에 대해 역시 정의됩니다. 절댓값은 다양한 수학적 및 물리적 문맥에서 크기(magnitude), 거리(distance) 및 노름(norm)의 개념과 밀접하게 관련됩니다.

Terminology and notation

1806년에서, 장-로베르 아르강(Jean-Robert Argand)은, 특히 복소수 절댓값에 대해, 프랑스어에서 측정의 단위를 의미하는, 모듈(module)이라는 용어를 도입했고, 그것은 라틴어로 동등한 모듈러스로 1866년에 영어로 차용되었습니다. 용어 절댓값은 프랑스어에서 적어도 1806년, 영어에서 1857년부터 이 의미에서 사용되어 왔습니다. 양쪽에 수직 막대(vertical bar)를 가진 표기법 |x|은 1841년에 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)에 의해 도입되었습니다. 절댓값에 대해 다른 이름은 숫자 값(numerical value) 및 크기(magnitude)를 포함합니다. 프로그래밍 언어 및 계산 소프트웨어 패키지에서, x의 절댓값은 일반적으로 abs(x), 또는 비슷한 표현에 의해 나타냅니다.

수직 막대 표기법은 다른 수학적 문맥의 여러 곳에서 역시 나타납니다: 예를 들어, 집합에 적용될 때, 그것은 그의 카디널리티(cardinality)를 나타냅니다; 행렬(matrix)에 적용될 때, 그것은 그의 행렬식(determinant)을 나타냅니다. 수직 막대는 절댓값의 개념이 정의되는 것에 대해 대수적 대상, 특히 노름 나눗셈 대수(normed division algebra)의 원소, 예를 들어 실수, 복소수 또는 쿼터니언에 대해 오직 절댓값을 나타냅니다. 밀접하게 관련되어 있지만 구별되는 표기법은 $\mathbb {R} ^{n}$에서 벡터의 유클리드 노름(euclidean norm) 또는 균등 노름(uniform norm)에 대해, 비록 아래첨자를 가진 이중 수직 막대 (각각, $\|\cdot \|_{2}$ 및 $\|\cdot \|_{\infty }$)이 보다 공통이고 덜 모호한 표기법일지라도, 수직 막대의 사용입니다.

Definition and properties

Real numbers

임의의 실수(real number) x에 대해, x의 절댓값(absolute value) 또는 모듈러스(modulus)는 |x| (수량의 각 측면에 수직 막대(vertical bar))로 나타내고 다음으로 정의됩니다:

$|x|=\left\{{\begin{array}{rl}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{array}}\right.$

x의 절댓값은 따라서 항상 양수(positive) 또는 영(zero)이지만 절대 음수(negative)는 아닙니다: x 자체가 음수 (x < 0)일 때, 그의 절댓값은 반드시 양수입니다 (|x| = −x > 0).

해석적 기하학(analytic geometry) 관점에서, 실수의 절댓값은 실수 직선(real number line)을 따라 영으로부터 숫자의 거리(distance)이고, 보다 일반적으로 두 실수의 차이의 절댓값은 그들 사이의 거리입니다. 사실, 수학에서 추상적인 거리 함수(distance function)의 개념은 차이의 절댓값의 일반화된 것으로 볼 수 있습니다 (아래의 "거리(Distance)"를 참조하십시오).

제곱근 기호(square root symbol)는 고유한 양의 제곱근 (양수에 적용될 때)을 나타내므로, 그것은 다음인 것을 따릅니다:

$|x|={\sqrt {x^{2}}}$

은 위의 정의와 동등하고, 실수의 절댓값의 대안적인 정의로 사용될 수 있습니다.

절댓값은 이 개념을 다른 도메인으로 일반화하는 것에 대해 사용되는 다음 네 가지 기본 속성을 가집니다 (여기서 a, b는 실수입니다):

$|a|\geq 0$	비-음수성(Non-negativity)
$|a|=0\iff a=0$	양의-한정성(Positive-definiteness)
$|ab|=|a|\,|b|$	곱셈성(Multiplicativity)
$|a+b|\leq |a|+|b|$	부분덧셈성(Subadditivity), 특히 삼각형 부등식(triangle inequality)

비-음수성, 양의 한정성, 및 곱셈성은 정의로부터 쉽게 명백합니다. 부분덧셈성이 유지되는지 확인하기 위해, 먼저 s를 –1 또는 +1 중에 취하는 두 대안 중에 하나는 $s\cdot (a+b)=|a+b|\geq 0$임을 보증하는 것을 주목하십시오. 이제 $-1\cdot x\leq |x|$ 및 $+1\cdot x\leq |x|$이므로, 그것은, s의 값이 어느 것이든지, 모든 실수 $x$에 대해 $s\cdot x\leq |x|$을 가짐을 따릅니다. 결론적으로, 원했던 것처럼, $|a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|$입니다. (복소수에 대한 이 논증의 일반화에 대해, 아래의 "Proof of the triangle inequality for complex numbers"를 참조하십시오.)

일부 추가적인 유용한 속성이 아래에 제공됩니다. 이들은 정의의 즉각적인 결과 또는 위의 네 가지 기본 속성에 의해 암시됩니다.

${\big |}\,|a|\,{\big |}=|a|$	거듭상등성(Idempotence) (절댓값의 절댓값은 절댓값입니다)
$|-a|=|a|$	짝수성(Evenness) (그래프의 반사 대칭(reflection symmetry))
$|a-b|=0\iff a=b$	불-식별자의 동일성(Identity of indiscernibles) (양의-한정성과 동등함)
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	삼각형 부등식(Triangle inequality) (부분덧셈성과 동등함)
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\$ (if $b\neq 0$)	나눗셈의 보존 (곱셈성과 동등함)
$|a-b|\geq {\big |}\,|a|-|b|\,{\big |}$	역 삼각형 부등식(Reverse triangle inequality) (부분덧셈성과 동등함)

부등식과 관련되는 두 개의 다른 유용한 속성은 다음입니다:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b\$ or $a\geq b$

이들 관계는 절댓값과 관련된 부등식을 해결하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들면:

$|x-3|\leq 9$	$\iff -9\leq x-3\leq 9$
	$\iff -6\leq x\leq 12$

"영으로부터 거리"처럼, 절댓값은, 임의의 실수 사이의 절대 차이(absolute difference), 실수 위의 표준 거리(metric)을 정의하기 위해 사용됩니다.

Complex numbers

The absolute value of a complex number $z$ is the distance $r$ of $z$ from the origin. It is also seen in the picture that $z$ and its complex conjugate ${\bar {z}}$ have the same absolute value.

복소수(complex number)는 순서화(ordered)되지 않기 때문에, 실수 절댓값에 대해 제일 위에 제공된 정의는 복소수에 직접 적용될 수 없습니다. 어쨌든, 0으로부터 거리로 실수의 절댓값의 기하학적 해석은 일반화될 수 있습니다. 복소수의 절댓값은 복소 평면(complex plane)에서 원점(origin)으로부터 해당하는 점의 유클리드 거리에 의해 정의됩니다. 이것은 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 사용하여 계산될 수 있습니다: 임의의 복소수에 대해

$z=x+iy,$

여기서 x와 y는 실수이고, z의 절댓값(absolute value) 또는 모듈러스(modulus)는 |z|로 나타내고 다음으로 정의됩니다:

$|z|={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

여기서 Re(z) = x 및 Im(z) = y은 z의 실수 및 허수 부분을, 각각, 나타냅니다. 허수 부분 y가 영일 때, 이것은 실수 x의 절댓값의 정의와 일치합니다.

복소수 z가 다음처럼 극 형식(polar form)으로 표현될 때

$z=re^{i\theta },$

여기서 $r={\sqrt {[\mathrm {Re} (z)]^{2}+[\mathrm {Im} (z)]^{2}}}\geq 0$이고 (θ ∈ arg(z)는 z의 편각(argument) (또는 위상(phase))입니다), 그의 절댓값은

$|z|=r$.

임의의 복소수 z와, 같은 절댓값을 가진, 그의 복소수 켤레(complex conjugate) ${\bar {z}}=x-iy$의 곱은 항상 비-음의 실수 $(x^{2}+y^{2})$이므로, 복소수의 절댓값은 편리하게 다음으로 표현됩니다:

$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}},$

이것은 실수에 대해 대안적인 정의: $|x|={\sqrt {x\cdot x}}$를 닮았습니다.

복소수 절댓값은 위에서 주어진 실수 절댓값에 대해 네 개의 기본 속성을 공유합니다.

그룹 이론(group theory)의 언어에서, 곱셈 속성은 다음으로 다시-표현될 수 있습니다: 절댓값은 양의 실수(positive real numbers)의 곱셈 아래에서 복소수의 곱셈 그룹(multiplicative group)으로부터 그룹(group)으로 위로의 그룹 준동형 사상(group homomorphism)입니다.

중요하게도, 부분덧셈성(subadditivity)의 속성 ("삼각형 부등식(triangle inequality)")은 다음으로 n 복소수 ${\textstyle (z_{k})_{k=1}^{n}}$의 임의의 유한한 모임으로 확장됩니다:

${\Bigg |}\sum _{k=1}^{n}z_{k}{\Bigg |}\leq \sum _{k=1}^{n}|z_{k}|.\quad \quad (*)$

이 부등식은, 무한 급수(infinite series) ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }z_{k}}$가 절대적으로 수렴인 것(absolutely convergent)으로 제공되면, 무한한 가족(families)에 역시 적용됩니다. 만약 르베그 적분(Lebesgue integration)이 합계의 연속 유사체로 보일 때, 이 부등식은, 측정가능한 부분집합(measurable subset) $E$에 걸쳐 적분될 때, 복소수-값, 측정가능한 함수(measurable function) $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$에 의해 비슷하게 복종됩니다.

${\Bigg |}\int _{E}f\ dx{\Bigg |}\leq \int _{E}|f|\ dx.\quad \quad (**)$

(이것은 특별한 경우로 경계진 구간 $[a,b]$에 걸쳐 리만-적분가능한(Riemann-integrable) 함수를 포함합니다.)

Proof of the complex triangle inequality

$(*)$에 의해 제공된 것처럼, 삼각형 부등식은 복소수의 세 가지 쉽게 확인된 속성을 적용함으로써 증명될 수 있습니다: 즉 모든 각 복소수 $z\in \mathbb {C}$에 대해,

(i): $|c|=1$ 및 $|z|=c\cdot z$을 만족하는 $c\in \mathbb {C}$가 존재합니다;

(ii): $\mathrm {Re} (z)\leq |z|$.

역시, 복소수 $(w_{k})_{k=1}^{n}$의 가족에 대해, ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\mathrm {Re} (w_{k})+i\sum _{k}\mathrm {Im} (w_{k})}$입니다. 특히,

(iii): 만약 ${\textstyle \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} }$이면, ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\mathrm {Re} (w_{k})}$입니다.

$(*)$의 증명: ($k=1,\ldots ,n$에 걸쳐 더해지는) $|c|=1$ 및 ${\textstyle {\big |}\sum _{k}z_{k}{\big |}=c{\big (}\sum _{k}z_{k}{\big )}}$을 만족하는 $c\in \mathbb {C}$를 선택하십시오. 다음 계산은 그런 다음 원하는 부등식을 제공합니다:

${\Big |}\sum _{k}z_{k}{\Big |}\;{\overset {(i)}{=}}\;c{\Big (}\sum _{k}z_{k}{\Big )}=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(iii)}{=}}\;\sum _{k}\mathrm {Re} (cz_{k})\;{\overset {(ii)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}|c||z_{k}|=\sum _{k}|z_{k}|$.

등호는, 만약 모든 $cz_{k}$가 비-음의 실수이면 정확하게 $(*)$에서 유지되며, 이것은 차례로 만약 모든 비-영 $z_{k}$가 같은 편각(argument), 즉, 복소수 상수 $\zeta$에 대해 $z_{k}=a_{k}\zeta$와 $1\leq k\leq n$에 대해 실수 상수 $a_{k}\geq 0$를 가지면 정확하게 발생하는 것임을 이 증명으로부터 분명해집니다.

$f$ 측정가능은 $|f|$가 역시 측정가능임을 의미하므로, 부등식 $(**)$의 증명은, ${\textstyle \int _{E}(\cdot )\,dx}$를 가진 ${\textstyle \sum _{k}(\cdot )}$와 $f(x)$를 가진 $z_{k}$를 대체함으로써, 같은 기법을 통해 나아갑니다.

Absolute value function

The graph of the absolute value function for real numbers

Composition of absolute value with a cubic function in different orders

실수 절댓값 함수는 어디에서나 연속(continuous)입니다. 그것은 x = 0을 제외하고 어디에서나 미분가능(differentiable)입니다. 그것은 구간 (−∞,0] 위에 단조적으로 감소(monotonically decreasing)하고 구간 [0,+∞) 위에 단조적으로 증가합니다. 실수와 그의 역수(opposite)는 같은 절댓값을 가지므로, 그것은 짝수 함수(even function)이고, 따라서 역(invertible)이 존재하지 않습니다. 실수 절댓값 함수는 조각별 선형(piecewise linear), 볼록 함수(convex function)입니다.

실수 복소 함수 둘 다는 거듭상등(idempotent)입니다.

Relationship to the sign function

실수의 절댓값 함수는 그의 부호에 상관없이 그의 값을 반환하는데, 반면에 부호 함수(sign (or signum) function)는 그의 값에 상관없이 숫자의 부호를 반환합니다. 다음 방정식은 이들 두 함수 사이의 관계를 보여줍니다:

$|x|=x\operatorname {sgn} (x),$

또는

$|x|\operatorname {sgn} (x)=x,$

그리고 x ≠ 0에 대해,

$\operatorname {sgn} (x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$

Derivative

실수 절댓값 함수는 모든 각 x ≠ 0에 대해 도함수를 가지지만, x = 0에서 미분 가능(differentiable)하지 않습니다. x ≠ 0에서 그것의 도함수는 계단 함수(step function)에 의해 제공됩니다:

${\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}$

x = 0에서 |x|의 부분도함수(subdifferential)는 구간(interval) [−1,1]입니다.

복소수(complex) 절댓값 함수는 어디에서나 연속이지만 아느 곳에도 복소수 미분가능(complex differentiable)하지 않는데 왜냐하면 그것은 코시–리만 방정식(Cauchy–Riemann equations)을 위반하기 때문입니다.

x에 관한 |x|의 이차 도함수는, 그것이 존재하지 않는, 영을 제외하고 어디에서나 영입니다. 일반화된 함수(generalised function)로서, 이차 도함수는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)의 두 배로 취할 수 있습니다.

Antiderivative

실수 절댓값 함수의 역도함수 (부정 적분)은 다음입니다:

$\int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,$

여기서 C는 임의의 적분의 상수(constant of integration)입니다. 이것은 복소수 역도함수(complex antiderivative)는 아닌데 왜냐하면 복소수 역도함수는 복소수 절댓값 함수가 아닌 복소수-미분가능 (정칙(holomorphic)) 함수에 대해 오직 존재하기 때문입니다.

Distance

See also: Metric space

절댓값은 거리의 아이디어와 밀접하게 관련되어 있습니다. 위에서 언급했듯이, 실수 또는 복소수의 절댓값은, 실수에 대해 실수 직선을 따라, 복소수에 대해 복소 평면에서 해당 숫자에서 원점까지 거리(distance)이고, 보다 일반적으로, 두 실수 또는 두 복소수의 차이의 절댓값은 그들 사이의 거리입니다.

유클리드 n-공간(Euclidean n-space)에서 두 점

$a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$

및

$b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$

사이의 표준 유클리드 거리(Euclidean distance)는 다음으로 정의됩니다:

${\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

이것은 일반화로 보일 수 있는데, 왜냐하면 $a_{1}$와 $b_{1}$ 실수에 대해, 즉 1-공간에서, 절댓값의 대안적인 정의에 따르면,

$|a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},$

그리고 $a=a_{1}+ia_{2}$와 $b=b_{1}+ib_{2}$에 대해, 즉 2-공간에서,

$|a-b|$	$=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|$
	$=|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|$
	$={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

위의 내용은 실수와 복소수에 대해 "절댓값"-거리가 표준 유클리드 거리와 일치한다는 것을 보여줍니다. 이것은 그것들이, 각각, 일 및 이-차원적 유클리드 공간으로 그것들을 여긴 결과로 이어진 것입니다.

두 개의 실수 또는 복소수 차이의 절댓값의 속성: 위에서 주어진 비-음수성, 불-식별자의 동일성, 대칭 및 삼각형 부등식은 다음으로 거리 함수(distance function)의 보다 일반적인 개념을 유발하는 것으로 보일 수 있습니다:

집합 X × X 위에 실수-값 함수 d는, 만약 그것이 아래의 네 가지 공리를 만족시키면, X 위의 메트릭(metric) (또는 거리 함수)으로 불립니다:

$d(a,b)\geq 0$	비-음수성(Non-negativity)
$d(a,b)=0\iff a=b$	불-식별자의 동일성(Identity of indiscernibles)
$d(a,b)=d(b,a)$	대칭(Symmetry)
$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$	삼각형 부등식(Triangle inequality)

Generalizations

Ordered rings

위의 실수에 대해 주어진 절댓값의 정의는 임의의 순서 링(ordered ring)으로 확장될 수 있습니다. 즉, 만약 a가 순서 링 R의 원소이면, |a|로 표시되는 a의 절댓값은 다음으로 정의됩니다:

$|a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.$

여기서 −a는 a의 덧셈의 역원(additive inverse)이고, 0은 덧셈의 항등원(identity element)이고, < 및 ≥은 링에서 순서화와 관련하여 보통의 의미입니다.

Fields

Main article: Absolute value (algebra)

실수에 대해 절댓값의 네 개의 기본 속성은 다음처럼 임의의 필드에 대한 절댓값의 개념을 일반화하기 위해 사용될 수 있습니다.

필드(field) F 위의 실수-값 함수는, 만약 그것이 다음 네 공리를 만족시키면, 절댓값(absolute value) (또는 모듈러스(modulus), 크기(magnitude), 값(value), 또는 평가(valuation))이라고 불립니다:

$v(a)\geq 0$	비-음수성(Non-negativity)
$v(a)=0\iff a=\mathbf {0}$	양의-한정성(Positive-definiteness)
$v(ab)=v(a)v(b)$	곱셈성(Multiplicativity)
$v(a+b)\leq v(a)+v(b)$	부분덧셈성(Subadditivity) 또는 삼각형 부등식(triangle inequality)

여기서 0은 F의 덧셈의 항등(additive identity) 원소를 나타냅니다. 그것은 양의-한정성 및 v(1) = 1인 것인 곱셈성에서 오는데, 여기서 1은 F의 곱셈의 항등(multiplicative identity) 원소를 나타냅니다. 위에서 정의된 실수 및 복소수 절댓값은 임의의 필드에 대해 절댓값의 예제입니다.

만약 v가 F 위의 절댓값이면, d(a, b) = v(a − b)로 정의되는, F × F 위의 함수 d는 메트릭이고 다음은 동등합니다:

• d는 F에서 모든 x, y, z에 대해 초메트릭(ultrametric) 부등식 $d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))$을 만족시킵니다.
• ${\big \{}v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}:n\in \mathbb {N} {\big \}}$은 R에서 경계(bounded)집니다.
• $v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}\leq 1\$ for every $n\in \mathbb {N} .$
• 모든 $a\in F$에 대해 $v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\$.
• 모든 $a,b\in F$에 대해 $v(a+b)\leq \mathrm {max} \{v(a),v(b)\}\$.

위의 조건의 임의의 것 (그러므로 모든 것)을 만족시키는 절댓값은 비-아르키메데스(non-Archimedean)라고 말해지며, 그렇지 않으면 아르키메데스(Archimedean)라고 말합니다.

Vector spaces

Main article: Norm (mathematics)

다시, 실수에 대해 절댓값의 기본 특성은, 약간의 수정과 함께, 임의의 벡터 공간에 대한 개념을 일반화하기 위해 사용될 수 있습니다.

|| · ||으로 표시되는, 필드 F에 걸쳐 벡터 공간(vector space) V 위의 실수-값 함수는 절댓값(absolute value)이라고 불리지만, 만약 그것이 다음 공리를 만족시키면, 보다 보통 노름(norm)이라고 불립니다:

F 안의 모든 a에 대해, 그리고 V 안의 v, u에 대해,

$\|\mathbf {v} \|\geq 0$	비-음수성(Non-negativity)
$\|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0$	양의-한정성(Positive-definiteness)
$\|a\mathbf {v} \|=|a|\|\mathbf {v} \|$	양의 동차성(Positive homogeneity) 또는 양의 확장성(positive scalability)
$\|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|$	부분덧셈성(Subadditivity) 또는 삼각형 부등식(triangle inequality)

벡터의 노름은 그의 길이(length) 또는 크기(magnitude)라고 역시 불립니다.

유클리드 공간(Euclidean space) Rⁿ의 경우에서, 함수는 다음으로 정의됩니다:

$\|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$

이것은 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고 불리는 하나의 노름입니다. 실수 R은 일-차원 벡터 공간 R¹으로 여겨지고, 절댓값은 노름(norm)이고, 임의의  p에 대해 p-노릅입니다 (L^p 공간을 참조하십시오). 사실 절댓값은, R¹ 위의 모든 각 노름 || · ||에 대해, ||x|| = ||1|| ⋅ |x|인 의미에서, R¹ 위의 "유일한" 노름입니다. 복소수 절댓값은 안의 곱 공간(inner product space)에서 노름의 특변한 경우입니다. 그것은, 만약 복소 평면(complex plane)이 유클리드 평면(Euclidean plane) R²로 식별되면, 유클리드 노름과 동일합니다.

Composition algebras

Main article: Composition algebra

모든 각 합성 대수 A는 그의 켤레(conjugation)로 불리는 인볼루션(involution) x → x*을 가집니다. A에서 원소 x와 그의 켤레 x*의 곱은 N(x) = x x*로 쓰이고 x의 노름이라고 불립니다.

실수 ℝ, 복소수 ℂ, 및 쿼터니언 ℍ는 한정 이차 형식(definite quadratic form)으로 제공되는 노름을 갖는 모든 합성 대수입니다. 이들 나눗셈 대수(division algebra)에서 절댓값은 합성 대수 노름의 제곱근(square root)으로 제공됩니다.

일반적으로 합성 대수의 노름은 명확하지 않고 영 벡터(null vector)를 가지는 이차 형식(quadratic form)일 것입니다. 어쨌든, 나눗셈 대수의 경우에서 처럼, 원소 x가 비-영 노름을 가지면, x는 x*/N(x)에 의해 제공되는 곱셈의 역원(multiplicative inverse)을 가집니다.

References

• Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
• Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
• Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.
• O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand".
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp. 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8.

External links

• "Absolute value", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• absolute value at PlanetMath.org.
• Weisstein, Eric W. "Absolute Value". MathWorld.