Unit disk

수학(mathematics)에서, P 주변의 열린 단위 디스크(open unit disk 또는 disc)는 P로부터의 그 거리가 1보다 작은 점의 집합이며, 여기서 P는 평면(plane)에서 주어진 점입니다:

D_{1}(P)=\{Q:\vert P-Q\vert <1\}.\,

P 주변의 닫힌 단위 디스크는 P로부터의 그 거리가 1보다 작거나 같은 점의 집합입니다:

{\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|P-Q|\leq 1\}.\,

단위 디스크는 디스크(disks)와 단위 공(unit balls)의 특별한 경우입니다; 이를테면, 그것들은 단위 원(unit circle)의 내부를 포함하고, 닫힌 단위 디스크의 경우에서 단위 원 자체를 포함합니다.

추가 사양 없이, 단위 디스크라는 용어는 표준 유클리드 메트릭(standard Euclidean metric)에 관해 원점(origin)에 대한 열린 단위 디스크, $D_{1}(0)$ 에 사용됩니다. 그것은 원점에 중심을 둔 반지름 1의 원(circle)의 내부입니다. 이 집합은 1보다 작은 절댓값(absolute value)을 갖는 모든 복소수(complex numbers)의 집합으로 식별될 수 있습니다. 복소 평면 (C)의 부분-집합으로 볼 때, 단위 디스크는 종종 $\mathbb {D}$ 로 표시됩니다.

The open unit disk, the plane, and the upper half-plane

다음 함수는

f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}

열린 단위 디스크에서 평면까지의 실수 해석적(analytic)이고 전단사(bijective) 함수의 예제입니다; 그것의 역함수도 해석적입니다. 실수 2-차원 해석적 매니폴드(analytic manifold)로 고려된, 열린 단위 디스크는 따라서 전체 평면에 동형적입니다. 특히, 열린 단위 디스크는 평면 전체로의 위상-동형적(homeomorphic)입니다.

어쨌든 열린 단위 디스크와 평면 사이에는 등각(conformal) 전단사 맵이 없습니다. 리만 표면(Riemann surface)으로 고려된, 열린 단위 디스크는 따라서 복소 평면(complex plane)과 다릅니다.

열린 단위 디스크와 열린 위쪽 절반-평면(upper half-plane) 사이에는 등각 전단사 맵이 있습니다. 따라서 리만 표면으로 고려된, 열린 단위 원반은 위쪽 절반-평면과 동형적 ("이중-정칙(biholomorphic)" 또는 "등각적으로 동등한")이고, 그 둘은 종종 같은 의미로 사용됩니다.

훨씬 더 일반적으로, 리만 매핑 정리(Riemann mapping theorem)는 복소 평면 자체와 다른 복소 평면의 모든 각 단순 연결된(simply connected) 열린 부분-집합(open subset)이 열린 단위 디스크에 등각 및 전단사 맵을 허용한다고 말합니다.

열린 단위 디스크에서 열린 위쪽 절반-평면까지의 하나의 전단사 등각 맵은 뫼비우스 변환(Möbius transformation)입니다:

g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}

이는 케일리 변환(Cayley transform)의 역입니다.

기하학적으로, 실수 축이 위쪽 절반-평면이 디스크의 내부가 되고 실수 축이 디스크의 원주를 형성하고, 맨 위의 한 지점, "무한대에서 점"을 저장하도록 구부러지고 축소되는 것을 상상할 수 있습니다. 열린 단위 디스크에서 열린 위쪽 절반-평면까지의 전단사 등각 맵은 두 개의 입체 투영(stereographic projections)의 합성으로 구성될 수도 있습니다: 먼저 단위 디스크는 단위 구의 "남극"을 투사 중심으로 삼아 단위 상반구 위로 입체적으로 투영되고, 그런-다음 이 반구는 구에 닿는 수직 반면에 옆으로 투영되며, 접하는 점의 반대쪽 반구에 있는 점을 투영 중심으로 합니다.

단위 디스크와 위쪽 절반-평면은 하디 공간(Hardy spaces)의 도메인으로 상호 교환할 수 없습니다. 이러한 차이에 기여하는 것은 단위 원이 유한 (일-차원) 르베그 측정(Lebesgue measure)을 갖는 반면 실수 직선은 그렇지 않다는 사실입니다.

Hyperbolic plane

열린 단위 디스크는 쌍곡 평면의 푸앵카레 디스크 모델(Poincaré disk model)에 대한 점의 집합을 형성합니다. 단위 원에 수직인 원형 호는 이 모델에서 "선(lines)"을 형성합니다. 단위 원은 케일리–클라인 메트릭(Cayley–Klein metric)의 스타일의 교차-비율(cross-ratio)의 사용을 통해 디스크 위에 메트릭을 결정하는 케일리 절댓값(Cayley absolute)입니다. 미분 기하학의 언어에서, 단위 원에 수직인 원형 호는 모델에서 점 사이의 최단 거리를 나타내는 측지선(geodesics)입니다. 그 모델은 특별한 유니태리 그룹 SU(1,1)에 의해 표현되는 운동(motions)을 포함합니다. 그 디스크 모델은 위에 주어진 매핑 g에 의해 푸앵카레 절반-평면 모델(Poincaré half-plane model)로 변환될 수 있습니다.

푸앵카레 디스크와 푸앵카레 절반-평면은 모두 쌍곡 평면의 등각(conformal) 모델이며, 이는 교차하는 곡선 사이의 각도는 등거리-변환 그룹의 운동에 의해 보존됩니다.

쌍곡선 공간의 또 다른 모델인 벨트라미-클라인 모델(Beltrami-Klein model)도 열린 단위 디스크 위에 구축됩니다. 그것은 등각(conformal)은 아니지만, 측지선이 직선이라는 속성을 가집니다.

Unit disks with respect to other metrics

우리는 역시 다른 메트릭(metrics)에 관한 단위 디스크를 고려합니다. 예를 들어, 택시캡 메트릭(taxicab metric)과 체비쇼프 메트릭(Chebyshev metric)과 함께 디스크는 정사각형처럼 보입니다 (비록 놓여있는 토폴로지(topologies)가 유클리드 토폴로지와 동일하더라도).

유클리드 단위 디스크의 넓이는 π이고 그것의 둘레(perimeter)는 2π입니다. 대조적으로, 택시캡 기하학에서 단위 디스크의 (택시캡 매트릭에 상대적인) 둘레는 8입니다. 1932년에, 스타니스와프 골랍(Stanisław Gołąb)은 노름(norm)에서 발생하는 메트릭에서, 단위 디스크의 둘레가 6과 8 사이의 임의의 값을 가질 수 있음을 입증했고, 이들 극단 값이 얻어지는 것과 단위 디스크가 각각 정육각형(hexagon) 또는 평행사변형(parallelogram)인 것은 필요충분 조건입니다.

References

S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6 (1932), 179.

External links

Weisstein, Eric W. "Unit disk". MathWorld.
On the Perimeter and Area of the Unit Disc, by J.C. Álvarez Pavia and A.C. Thompson

The open unit disk, the plane, and the upper half-plane

Hyperbolic plane

Unit disks with respect to other metrics

See also

References

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